I. Phương pháp giải bài toán
Phần này tập trung vào phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại. Các phương pháp chính bao gồm phương pháp điểm gần kề và các cải biến của nó. Phương pháp điểm gần kề được đề xuất bởi Martinet (1970) và mở rộng bởi Rockafellar (1976) để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Phương pháp này sử dụng toán tử giải của toán tử đơn điệu và đảm bảo sự hội tụ yếu đến không điểm của toán tử.
1.1. Phương pháp điểm gần kề
Phương pháp điểm gần kề là một trong những phương pháp cơ bản để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng toán tử giải của toán tử đơn điệu và đảm bảo sự hội tụ yếu đến không điểm của toán tử. Các cải biến của phương pháp này bao gồm phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề co.
1.2. Phương pháp tách tiến lùi
Phương pháp tách tiến-lùi là một phương pháp khác để giải bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp này sử dụng toán tử giải của từng toán tử riêng biệt thay vì toán tử giải của tổng hai toán tử. Phương pháp tách tiến-lùi đảm bảo sự hội tụ yếu đến không điểm của tổng hai toán tử.
II. Tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại
Phần này tập trung vào việc tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại. Các phương pháp chính bao gồm phương pháp điểm gần kề và phương pháp tách tiến-lùi. Các phương pháp này đảm bảo sự hội tụ yếu hoặc mạnh đến không điểm của toán tử đơn điệu cực đại.
2.1. Phương pháp lặp tìm không điểm
Phương pháp lặp tìm không điểm là một phương pháp hiệu quả để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp này sử dụng dãy lặp được xác định bởi toán tử giải của toán tử đơn điệu và đảm bảo sự hội tụ yếu hoặc mạnh đến không điểm của toán tử.
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp
Phương pháp hiệu chỉnh lặp là một cải biến của phương pháp lặp tìm không điểm. Phương pháp này sử dụng dãy tham số thay đổi trong mỗi bước lặp và đảm bảo sự hội tụ mạnh đến không điểm của toán tử đơn điệu cực đại.
III. Bài toán chấp nhận tách nhiều tập
Phần này tập trung vào bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP). Bài toán này liên quan đến việc tìm một điểm thuộc giao của nhiều tập lồi đóng trong không gian Hilbert. Các phương pháp giải chính bao gồm phương pháp chiếu gradient và phương pháp điểm bất động.
3.1. Phương pháp chiếu gradient
Phương pháp chiếu gradient là một phương pháp hiệu quả để giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Phương pháp này sử dụng phép chiếu lên các tập lồi đóng và đảm bảo sự hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán.
3.2. Phương pháp điểm bất động
Phương pháp điểm bất động là một phương pháp khác để giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Phương pháp này sử dụng ánh xạ trung bình và đảm bảo sự hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán.
IV. Giải bài toán tối ưu
Phần này tập trung vào việc giải bài toán tối ưu liên quan đến toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập. Các phương pháp chính bao gồm phương pháp điểm gần kề và phương pháp tách tiến-lùi. Các phương pháp này đảm bảo sự hội tụ yếu hoặc mạnh đến nghiệm của bài toán.
4.1. Phương pháp tối ưu hóa
Phương pháp tối ưu hóa là một phương pháp hiệu quả để giải bài toán tối ưu liên quan đến toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp này sử dụng các kỹ thuật lặp và đảm bảo sự hội tụ yếu hoặc mạnh đến nghiệm của bài toán.
4.2. Phương pháp số
Phương pháp số là một phương pháp khác để giải bài toán tối ưu. Phương pháp này sử dụng các thuật toán số và đảm bảo sự hội tụ yếu hoặc mạnh đến nghiệm của bài toán.
