Tổng quan luận án

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong toán học ứng dụng và giải tích hiện đại, nhiều bài toán thực tiễn thuộc các lĩnh vực khoa học kỹ thuật (như bài toán biến phân, bài toán cực trị, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân) cũng như trong tổ chức đời sống kinh tế (như bài toán kế hoạch sản xuất, bài toán vận tải, bài toán khẩu phần thức ăn) đều quy về bài toán tổng quát là tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi $f$ xác định trên không gian Hilbert hữu hạn chiều hoặc vô hạn chiều. Do điểm cực tiểu của một phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới tương đương với không điểm của dưới vi phân $\partial f$ của phiếm hàm đó, bài toán tìm cực tiểu được tổng quát hóa thành bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại $T$: tìm $p^* \in H$ sao cho $0 \in Tp^*$.

Để giải bài toán này, phương pháp điểm gần kề (Proximal Point Algorithm - PPA) do Martinet đề xuất năm 1970 cho bài toán cực tiểu hóa và được Rockafellar tổng quát hóa năm 1976 cho toán tử đơn điệu cực đại đóng vai trò nền tảng. Tuy nhiên, Güler (1991) đã chỉ ra rằng thuật toán điểm gần kề cổ điển chỉ đạt được sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Để thiết lập sự hội tụ mạnh, nhiều tác giả đã đề xuất các sơ đồ cải biên kết hợp hiệu chỉnh Tikhonov, phép co hoặc phép xấp xỉ mềm. Dù vậy, hầu hết các phương pháp cải biên đã biết đều đòi hỏi điều kiện ngặt nghèo lên dãy tham số của toán tử giải $r_k$, cụ thể là dãy ${r_k}$ phải bị chặn dưới bởi một hằng số dương ($\liminf_{k \to \infty} r_k > 0$ hoặc $r_k \ge \varepsilon > 0$). Năm 2017, công trình của Nguyễn Bường đề xuất lược đồ lặp cho phép tham số $r_k \to 0$ nhưng lại phải sử dụng tích của $k$ toán tử giải tại bước lặp thứ $k$, gây phức tạp lớn trong tính toán. Do đó, một khoảng trống nghiên cứu quan trọng là: xây dựng phương pháp điểm gần kề đạt hội tụ mạnh mà dãy tham số ${r_k}$ là một dãy số dương bất kỳ trong $(0, \infty)$, đồng thời chỉ sử dụng cấu trúc toán tử giải đơn giản.

Mặt khác, khi phiếm hàm mục tiêu là tổng của hai phiếm hàm lồi, bài toán dẫn đến việc tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại $0 \in (A+B)p^*$. Phương pháp tách tiến-lùi (Forward-Backward Splitting) cổ điển của Lions - Mercier và Passty (1979) cũng chỉ đạt hội tụ yếu. Các cải tiến đạt hội tụ mạnh sau này (kết hợp sơ đồ Halpern, Mann) tiếp tục phụ thuộc vào điều kiện tham số bước lặp $r_k$ bị chặn dưới bởi hằng số dương. Yêu cầu đặt ra là thiết lập thuật toán dạng tách tiến-lùi đạt hội tụ mạnh khi tham số $r_k \to 0$ hoặc ${r_k}$ nằm trong khoảng $(0, \alpha)$ tổng quát.

Đồng thời, đối với bài toán chấp nhận tách nhiều tập (Multiple-Set Split Feasibility Problem - MSSFP), phần lớn các công trình trước đây tập trung vào trường hợp số lượng tập lồi là hữu hạn. Các nghiên cứu dành cho trường hợp các họ tập lồi đóng là vô hạn đếm được còn rất hạn chế và gặp rào cản tính toán nếu tại mỗi bước lặp phải tính toán hình chiếu lên vô hạn tập. Luận án lựa chọn giải quyết các khoảng trống lý thuyết và tính toán nêu trên.

Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm hai nội dung chính:

  1. Đề xuất một số thuật toán lặp mới giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại với điều kiện dãy tham số của toán tử giải dần tới $0$ hoặc là dãy số bất kỳ trong một khoảng xác định.
  2. Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong trường hợp các họ tập chỉ số $J_1$ và $J_2$ là vô hạn đếm được, với đặc tính tại mỗi bước lặp chỉ sử dụng hữu hạn các tập của hai họ đó.

Các câu hỏi nghiên cứu tương ứng được đặt ra trong văn bản:

  • Câu hỏi 1: Liệu có tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề hội tụ mà sự hội tụ mạnh thu được với dãy tham số ${r_k}$ là một dãy số bất kỳ trong $(0, \infty)$ mà không cần sử dụng tích của $k$ toán tử giải?
  • Câu hỏi 2: Liệu có thể xây dựng được phương pháp giải bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại mà sự hội tụ mạnh thu được với điều kiện dãy tham số $r_k$ dần tới $0$, hoặc ${r_k}$ là một dãy số bất kỳ trong khoảng $(0, \alpha)$ với $\alpha > 0$?
  • Câu hỏi 3: Liệu có thể mở rộng phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập cho trường hợp các họ chỉ số là vô hạn đếm được sao cho mỗi bước lặp chỉ dùng hữu hạn tập mà vẫn đảm bảo dãy lặp hội tụ mạnh về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất?

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại, bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại (bao hàm thức biến phân đơn điệu), bài toán chấp nhận tách (SFP) và bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP).
  • Phạm vi không gian: Không gian Hilbert thực $H$, $H_1, H_2$ (bao gồm không gian vô hạn chiều và không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m, E^n$).
  • Phạm vi thời gian và địa điểm thực hiện: Luận án tiến sĩ toán học, chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số 9 46 01 12), hoàn thành năm 2022 tại Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Bường.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được điểm luận

Luận án đã tổng quan một hệ thống các công trình nghiên cứu trong nước và quốc tế liên quan đến ba bài toán trọng tâm:

Hướng nghiên cứu Tác giả và năm công bố Kết quả và hạn chế ghi nhận trong văn bản
Phương pháp điểm gần kề cổ điển Martinet (1970) Đề xuất thuật toán điểm gần kề cho bài toán cực tiểu hóa hàm lồi; chỉ đạt hội tụ yếu.
Rockafellar (1976) Mở rộng thuật toán cho toán tử đơn điệu cực đại: $x_{k+1} = J_k x_k + e_k$; hội tụ yếu với $r_k \ge \varepsilon > 0$.
Güler (1991) Chứng minh thuật toán điểm gần kề chỉ đạt được sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều.
Eckstein và Bertsekas (1992) Đưa ra phương pháp điểm gần kề tổng quát: $x_{k+1} = (1 - t_k)x_k + t_k w_k$; kết quả vẫn là hội tụ yếu.
Marino và Xu (2004) Thiết lập điều kiện hội tụ yếu với giả thiết nới lỏng hơn cho các dãy tham số.
Cải biên đạt hội tụ mạnh cho toán tử đơn điệu Lehdili và Moudafi (1996) Kết hợp phương pháp điểm gần kề với hiệu chỉnh Tikhonov $x_{k+1} = J_k^{T_k} x_k$; hội tụ mạnh về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Kamimura và Takahashi (2000) Đề xuất phương pháp điểm gần kề co $x_{k+1} = t_k u + (1 - t_k)J_k x_k + e_k$; đòi hỏi $r_k \to \infty$.
Boikanyo và Morosanu (2012) Mở rộng phương pháp hiệu chỉnh kết hợp ánh xạ không giãn $S$; vẫn yêu cầu $r_k \ge \varepsilon > 0$.
Yao và Noor (2008) Cải tiến phương pháp điểm gần kề co; yêu cầu tham số $r_k$ thỏa mãn $r_{k+1} - r_k \to 0$ và bị chặn dưới.
S. Wang (2012) Giải bài toán bất đẳng thức biến phân liên quan đến không điểm của toán tử; yêu cầu chặn dưới đối với $r_k$.
Nguyễn Bường (2017) Đề xuất dãy lặp dùng tích $k$ toán tử giải $J^k = J_1 J_2 \cdots J_k$; hội tụ mạnh với $\sum r_k < \infty$ ($r_k \to 0$), nhưng tính toán phức tạp.
Xu (2002), Ceng và cộng sự (2008) Đề xuất thuật toán hai bước tính tại mỗi bước lặp; yêu cầu điều kiện $r_k \to \infty$.
Phương pháp tách cho tổng hai toán tử Peaceman và Rachford (1955), Douglas và Rachford (1956) Đề xuất sơ đồ tách cho toán tử tuyến tính đơn trị.
Lions và Mercier (1979), Passty (1979) Mở rộng sơ đồ tách cho toán tử đa trị đơn điệu cực đại và đề xuất phương pháp tách tiến-lùi: $x_{k+1} = J_k(I - r_k A)x_k$; chỉ hội tụ yếu.
Combettes (2004), Jiao và Wang (2012) Kết hợp phương pháp tách tiến-lùi với sơ đồ Mann; chỉ đạt hội tụ yếu.
Takahashi, Wong và Yao (2012) Kết hợp tách tiến-lùi với sơ đồ kiểu Halpern; đạt hội tụ mạnh nhưng đòi hỏi $0 < \varepsilon \le r_k \le 2\alpha$.
Boikanyo (2016) Kết hợp tách tiến-lùi, điểm gần kề co và xấp xỉ mềm; đòi hỏi $\liminf_{k \to \infty} r_k > 0$.
Bài toán chấp nhận tách (SFP và MSSFP) Censor và Elfving (1994) Đặt bài toán SFP trong $\mathbb{R}^n$; thuật toán đòi hỏi tính ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
Byrne (2002) Đề xuất thuật toán CQ: $x_{k+1} = P_C(I - \gamma A^t(I - P_Q)A)x_k$, loại bỏ việc tính ma trận nghịch đảo.
Xu (2006, 2010) Nghiên cứu SFP trong Hilbert vô hạn chiều; chỉ ra CQ và KM chỉ hội tụ yếu; đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Bakushinsky - Bruck để đạt hội tụ mạnh.
Censor và cộng sự (2005) Đề xuất bài toán MSSFP hữu hạn tập trong $\mathbb{R}^n$ qua hàm khoảng cách xấp xỉ $p(x)$; tham số bước lặp cố định phụ thuộc $|A|$.
Zhang (2008), Zhao và Zhang Đề xuất phương pháp chiếu tự thích ứng cho MSSFP với bước lặp thay đổi.
Nguyễn Bường (2017) Thuật toán hội tụ mạnh cho MSSFP trong trường hợp họ chỉ số vô hạn đếm được $J_1 = J_2 = \mathbb{N}^+$.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án xác định ba khoảng trống học thuật cụ thể:

  1. Đối với bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại: Loại bỏ hoàn toàn điều kiện chặn dưới $r_k \ge \varepsilon > 0$ cũng như điều kiện $r_k \to \infty$, thiết lập thuật toán đạt hội tụ mạnh với dãy ${r_k}$ bất kỳ trong $(0, \infty)$ mà không phải dùng tích $k$ toán tử giải như trong công trình của Nguyễn Bường (2017).
  2. Đối với bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại: Xây dựng thuật toán dạng tách tiến-lùi đạt hội tụ mạnh với điều kiện tham số $r_k \to 0$ hoặc ${r_k}$ là dãy bất kỳ trong khoảng $(0, \alpha)$, thay thế các điều kiện chặn dưới truyền thống.
  3. Đối với bài toán chấp nhận tách nhiều tập: Mở rộng các kết quả hiệu chỉnh từ bài toán SFP sang bài toán MSSFP với hai họ vô hạn đếm được các tập lồi đóng, khắc phục hạn chế tính toán bằng cách chỉ sử dụng hữu hạn các tập của hai họ tại mỗi bước lặp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và hệ thống khái niệm

Luận án được xây dựng trên nền tảng của giải tích hàm, giải tích lồi và lý thuyết toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực $H$ với tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$ và chuẩn cảm sinh $|\cdot|$. Hệ thống định nghĩa và tính chất cơ bản bao gồm:

  • Khái niệm hội tụ: Dãy ${x_k} \subset H$ hội tụ mạnh về $x$ ($x_k \to x$) nếu $\lim_{k \to \infty} |x_k - x| = 0$; hội tụ yếu ($x_k \rightharpoonup x$) nếu $\lim_{k \to \infty} \langle x_k, y \rangle = \langle x, y \rangle, \forall y \in H$. Nếu $x_k \rightharpoonup x$ và $|x_k| \to |x|$ thì $x_k \to x$.
  • Tập lồi và nón pháp tuyến: Tập $C \subseteq H$ là tập lồi nếu $(1 - \lambda)x + \lambda y \in C$ với mọi $x, y \in C$ và $\lambda \in [0, 1]$. Nón pháp tuyến của tập lồi đóng $C$ tại $x \in C$ là $N_C(x) = {w \in H: \langle w, y - x \rangle \le 0, \forall y \in C}$.
  • Phép chiếu metric: Cho $C$ là tập con lồi đóng khác rỗng trong $H$. Với mỗi $x \in H$, tồn tại duy nhất phần tử $P_C x \in C$ sao cho $|x - P_C x| = \inf_{y \in C} |x - y|$. Ánh xạ $P_C: H \to C$ là phép chiếu metric, đặc trưng bởi bất đẳng thức $\langle x - P_C x, y - P_C x \rangle \le 0, \forall y \in C$. Phép chiếu metric là ánh xạ không giãn chặt: $|P_C x - P_C y|^2 \le \langle P_C x - P_C y, x - y \rangle, \forall x, y \in H$.
  • Các lớp ánh xạ phi tuyến: Cho ánh xạ $T: C \to H$:
    • $L$-Lipschitz nếu $|Tx - Ty| \le L|x - y|$; là ánh xạ co nếu $L < 1$; là không giãn nếu $L = 1$.
    • Không giãn chặt nếu $|Tx - Ty|^2 \le \langle Tx - Ty, x - y \rangle$.
    • $\eta$-đơn điệu mạnh nếu $\langle Tx - Ty, x - y \rangle \ge \eta |x - y|^2$ với $\eta > 0$.
    • $\gamma$-giả co chặt nếu $\langle Tx - Ty, x - y \rangle \le |x - y|^2 - \gamma |(I - T)x - (I - T)y|^2$ với $\gamma \in [0, 1)$.
    • $\alpha$-ngược đơn điệu mạnh nếu $\langle Tx - Ty, x - y \rangle \ge \alpha |Tx - Ty|^2$ với $\alpha > 0$.
    • $\alpha$-trung bình nếu $T = (1 - \alpha)I + \alpha N$ với $\alpha \in (0, 1)$ và $N$ là ánh xạ không giãn.
  • Toán tử đơn điệu cực đại: Toán tử đa trị $T: H \to 2^H$ được gọi là đơn điệu nếu $\langle u - v, x - y \rangle \ge 0$ với mọi $(x, u), (y, v) \in \text{gra}T$. $T$ là đơn điệu cực đại nếu nó đơn điệu và đồ thị $\text{gra}T$ không bị chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ toán tử đơn điệu nào khác. Tập không điểm được ký hiệu là $\text{Zer}T = {x \in D(T): 0 \in Tx}$, là tập lồi và đóng.
  • Toán tử giải (Resolvent) và xấp xỉ Yosida: Với số thực $r > 0$, toán tử giải của $T$ là $J_r = (I + rT)^{-1}$; xấp xỉ Yosida là $T_r = \frac{I - J_r}{r}$. Toán tử $J_r$ là ánh xạ đơn trị, không giãn chặt xác định trên toàn bộ $H$, thỏa mãn $\text{Fix}(J_r) = \text{Zer}T$.

Phương pháp nghiên cứu và công cụ phân tích

Tác giả sử dụng phương pháp giải tích hàm và lý thuyết tối ưu hóa giải tích, vận dụng các hệ bổ đề kỹ thuật để thiết lập tính bị chặn và đánh giá sự hội tụ:

  • Bổ đề 1.5: Bất đẳng thức cơ bản trong không gian Hilbert: $|x + y|^2 \le |x|^2 + 2\langle y, x + y \rangle, \forall x, y \in H$.
  • Bổ đề 1.6 (Yamada, 2001): Cho $F$ là ánh xạ $\eta$-đơn điệu mạnh và $L$-Lipschitz. Khi $\mu \in (0, 2\eta/L^2)$ và $t \in (0, 1)$, ánh xạ $I - t\mu F$ là ánh xạ co với hệ số co $1 - t\tau$, trong đó $\tau = 1 - \sqrt{1 - \mu(2\eta - \mu L^2)}$.
  • Bổ đề 1.8: Với toán tử đơn điệu cực đại $T$, ta có $|J_r x - p|^2 \le |x - p|^2 - |J_r x - x|^2$ với mọi $x \in H, p \in \text{Zer}T$.
  • Bổ đề 1.9 và 1.10 (Xu, 2002): Các điều kiện đủ để dãy số thực không âm $a_{k+1} \le (1 - b_k)a_k + b_k c_k$ hội tụ về $0$, trong đó $\sum b_k = \infty$ và $\limsup_{k \to \infty} c_k \le 0$.
  • Bổ đề 1.11 (Maingé, 2008): Kỹ thuật xử lý dãy số thực không đơn điệu thông qua việc xây dựng dãy chỉ số không giảm $m_k = \max{l \le k: a_l \le a_{l+1}}$ khi tồn tại dãy con thỏa mãn $a_{k_l} < a_{k_l + 1}$.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số khái niệm bài toán và phương pháp cơ bản

Chương 1 đóng vai trò là chương cơ sở lý thuyết, hệ thống hóa các định nghĩa, định lý, tính chất và các phương pháp kinh điển phục vụ cho việc phát triển các kết quả mới ở ba chương tiếp theo:

  • Nội dung 1.1: Trình bày lý thuyết không gian Hilbert, các lớp ánh xạ phi tuyến, nón pháp tuyến, phép chiếu metric và các tính chất của toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, toán tử giải $J_r$ và xấp xỉ Yosida $T_r$. Nêu rõ tính chất $\text{Zer}T = \text{Fix}(J_r)$ và mối liên hệ giữa bài toán tìm không điểm với bài toán tìm điểm bất động và bài toán tối ưu hóa lồi.
  • Nội dung 1.2: Phân tích chi tiết phương pháp điểm gần kề (PPA) cổ điển của Martinet (1970) và Rockafellar (1976), chỉ ra giới hạn hội tụ yếu theo Güler (1991). Tổng hợp các cải biên hội tụ mạnh của Lehdili - Moudafi (1996), Kamimura - Takahashi (2000), Marino - Xu (2004), Boikanyo - Morosanu (2012), Tian - Song (2013), và phương pháp dùng tích $k$ toán tử giải của Nguyễn Bường (2017). Trình bày phương pháp tách Douglas-Rachford, phương pháp tách tiến-lùi của Lions - Mercier (1979), Passty (1979) và các dạng cải tiến của Combettes (2004), Takahashi - Wong - Yao (2012), Boikanyo (2016).
  • Nội dung 1.3: Định nghĩa bài toán chấp nhận tách (SFP) tìm $x \in C$ sao cho $Ax \in Q$ và bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP) tìm $x \in \bigcap_{i \in J_1} C_i$ sao cho $Ax \in \bigcap_{j \in J_2} Q_j$. Giới thiệu thuật toán CQ của Byrne (2002), phương pháp xấp xỉ Krasnosel'skii-Mann của Xu (2006), thuật toán hiệu chỉnh Bakushinsky - Bruck của Xu (2010), Yao và cộng sự (2012), cùng các kết quả mở rộng cho trường hợp hữu hạn tập và vô hạn tập của Censor (2005), Zhang (2008), Wen (2015) và Nguyễn Bường (2017).
  • Nội dung 1.4: Thiết lập hệ thống các bổ đề giải tích bổ trợ (Bổ đề 1.5 đến Bổ đề 1.12) làm công cụ toán học trực tiếp cho các chứng minh ở Chương 2, 3 và 4.

Chương 2. Phương pháp lặp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chương 2 trình bày các đóng góp mới đối với bài toán tìm $p^* \in H$ sao cho $0 \in Tp^*$:

  • Lược đồ lặp với hai toán tử giải và tham số bất kỳ: Khắc phục hạn chế của việc sử dụng tích $k$ toán tử giải $J^k = J_1 J_2 \cdots J_k$ trong công trình của Nguyễn Bường (2017), tác giả đề xuất thay thế bằng việc kết hợp hai toán tử giải $J_k J_c$ tại mỗi bước lặp, trong đó $c > 0$ là một hằng số dương tùy ý cố định và $J_c = (I + cT)^{-1}$. Các dãy lặp được đề xuất gồm:
    • Sơ đồ dạng tích: $$z^{k+1} = J_k J_c (I - t_k \mu F)z^k + e_k$$ Trường hợp riêng khi chọn $F = I - f$ với $f = \tilde{a}I + (1 - \tilde{a})u$ dẫn đến: $$x_{k+1} = J_k J_c (t'_k u + (1 - t'_k)x_k) + e_k$$
    • Sơ đồ dạng tổ hợp lồi: $$z^{k+1} = (1 - \beta_k)(I - t_k \mu F)J_c z^k + \beta_k J_k z^k + e_k$$ dẫn đến trường hợp riêng: $$x_{k+1} = t'_k u + \beta'_k J_c x_k + \gamma'_k J_k x_k + e_k$$
  • Định lý hội tụ mạnh (Định lý 2.1 và 2.2): Chứng minh dãy ${z^k}$ hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất $p^$ của bất đẳng thức biến phân $\langle Fp^, p^* - p \rangle \le 0, \forall p \in \text{Zer}T$ dưới các điều kiện:
    • Dãy tham số ${r_k}$ là một dãy số dương bất kỳ trong $(0, \infty)$ (Điều kiện $(A8')$);
    • $t_k \in (0, 1), \lim_{k \to \infty} t_k = 0, \sum_{k=1}^\infty t_k = \infty$ (Điều kiện $(A5)$);
    • Dãy sai số ${e_k}$ thỏa mãn $\sum_{k=1}^\infty |e_k| < \infty$ hoặc $\lim_{k \to \infty} \frac{|e_k|}{t_k} = 0$;
    • Dãy ${\beta_k} \subset [a, b] \subset (0, 1)$.
  • Thuật toán hai bước tính cải tiến: Dựa trên cấu trúc hai bước của Ceng và cộng sự (2008), tác giả đề xuất thuật toán mới: $$\begin{cases} \tilde{x}{k+1} = J_k(x_k + e{k+1}) \ x_{k+1} = t_k u + (1 - t_k)J_c \tilde{x}{k+1} \end{cases}$$ Định lý 2.3 chứng minh dãy ${x_k}$ hội tụ mạnh về $p^* = P{\text{Zer}T} u$ với ${r_k}$ bất kỳ trong $(0, \infty)$ và sai số thỏa mãn ràng buộc tương đối $|e_{k+1}| \le \eta_k |\tilde{x}{k+1} - x_k|$ với $\sum{k=1}^\infty \eta_k^2 < \infty$.
  • Thực nghiệm tính toán số (Mục 2.2): Xây dựng các ví dụ số kiểm chứng sự hội tụ của thuật toán trong trường hợp tham số ${r_k}$ dao động bất kỳ hoặc tiến dần về $0$.

Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chương 3 mở rộng nghiên cứu sang bài toán bao hàm thức biến phân đơn điệu: tìm $p^* \in H$ sao cho $0 \in (A + B)p^*$, trong đó $A$ và $B$ là các toán tử đơn điệu cực đại:

  • Thiết lập thuật toán dạng tách tiến-lùi mới: Khắc phục yêu cầu dãy tham số ${r_k}$ phải bị chặn dưới bởi hằng số dương trong các công trình của Passty (1979), Takahashi - Wong - Yao (2012) và Boikanyo (2016), chương này xây dựng thuật toán tách tiến-lùi kết hợp toán tử giải của $B$ và toán tử $I - r_k A$.
  • Điều kiện hội tụ mạnh: Chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm của bài toán bao hàm thức biến phân đơn điệu dưới các giả thiết nới lỏng đối với tham số của toán tử giải:
    • Trường hợp 1: Dãy tham số ${r_k}$ dần tới $0$ khi $k \to \infty$;
    • Trường hợp 2: ${r_k}$ là một dãy số bất kỳ nằm trong khoảng $(0, \alpha)$ với hằng số $\alpha > 0$ phụ thuộc vào tính đơn điệu ngược mạnh của toán tử $A$.
  • Kiểm chứng số: Trình bày các ví dụ số ở cuối chương minh họa tốc độ hội tụ của thuật toán đề xuất so với các phương pháp tách tiến-lùi truyền thống.

Chương 4. Phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong không gian Hilbert

Chương 4 tập trung giải quyết bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP) tổng quát: $$\text{Tìm } x \in C := \bigcap_{i \in J_1} C_i \quad \text{sao cho} \quad Ax \in Q := \bigcap_{j \in J_2} Q_j$$ trong đó $J_1$ và $J_2$ là các tập chỉ số vô hạn đếm được ($J_1 = J_2 = \mathbb{N}^+$), $C_i$ và $Q_j$ là các tập con lồi đóng trong các không gian Hilbert $H_1, H_2$, và $A: H_1 \to H_2$ là ánh xạ tuyến tính bị chặn:

  • Phương pháp hiệu chỉnh lặp hữu hạn hóa tại mỗi bước: Xuất phát từ kết quả hiệu chỉnh Bakushinsky - Bruck của Xu (2010) và Yao và cộng sự (2012) vốn chỉ áp dụng cho bài toán SFP đơn lẻ, tác giả mở rộng thuật toán cho bài toán MSSFP với hai họ vô hạn các tập. Điểm then chốt trong thuật toán là: tại mỗi bước lặp thứ $k$, thuật toán chỉ sử dụng một số lượng hữu hạn các tập thuộc hai họ ${C_i}{i \in J_1}$ và ${Q_j}{j \in J_2}$, giúp quy trình tính toán khả thi trên thực tế.
  • Nghiệm chuẩn nhỏ nhất: Chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh về phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong tập nghiệm $\Gamma$ của bài toán MSSFP.
  • Các hệ quả mở rộng: Từ kết quả tổng quát cho trường hợp hai họ vô hạn đếm được, tác giả suy biến kết quả cho các trường hợp đặc thù: một trong hai họ chỉ số là hữu hạn và họ còn lại là vô hạn đếm được; cả hai họ chỉ số đều là hữu hạn. Các kết quả số ở cuối chương minh họa tính toán cụ thể cho các trường hợp này.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp mới về mặt lý luận

Luận án đạt được các kết quả khoa học mới trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và lý thuyết tối ưu hóa:

  1. Giải tỏa điều kiện chặn dưới của tham số trong phương pháp điểm gần kề: Luận án đã đề xuất các thuật toán điểm gần kề cải biên giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại, chứng minh sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert vô hạn chiều với điều kiện dãy tham số ${r_k}$ của toán tử giải là bất kỳ trong khoảng $(0, \infty)$. Kết quả này khắc phục được hạn chế chặn dưới kinh điển ($r_k \ge \varepsilon > 0$) của Rockafellar (1976), Lehdili - Moudafi (1996), Kamimura - Takahashi (2000), Boikanyo - Morosanu (2012), đồng thời loại bỏ cấu trúc tích $k$ toán tử giải cồng kềnh trong công trình của Nguyễn Bường (2017).
  2. Cải tiến thuật toán hai bước tính: Mở rộng kết quả của Ceng và cộng sự (2008), thiết lập thuật toán hai bước lặp hội tụ mạnh về hình chiếu metric $P_{\text{Zer}T} u$ với tham số ${r_k}$ bất kỳ trong $(0, \infty)$ kết hợp điều kiện sai số tương đối.
  3. Phát triển phương pháp tách tiến-lùi với bước lặp nới lỏng: Thiết lập thuật toán dạng tách tiến-lùi cho bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại đạt hội tụ mạnh khi tham số $r_k \to 0$ hoặc ${r_k}$ là dãy bất kỳ trong khoảng $(0, \alpha)$, mở rộng các kết quả của Lions - Mercier (1979), Passty (1979) và Takahashi - Wong - Yao (2012).
  4. Giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập với các họ vô hạn: Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bài toán MSSFP trong trường hợp hai họ tập lồi đóng là vô hạn đếm được. Chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất với đặc điểm quan trọng là chỉ cần tính toán trên số lượng hữu hạn tập tại mỗi bước lặp.

Giá trị thực tiễn và ứng dụng

  • Cung cấp cơ sở thuật toán số để giải quyết các bài toán tối ưu hóa lồi quy mô lớn, các phương trình toán tử phi tuyến và hệ bất đẳng thức biến phân.
  • Đóng góp công cụ tính toán trực tiếp cho mô hình bài toán chấp nhận tách phát sinh trong các bài toán ngược (Inverse Problems), bài toán phục hồi pha, kỹ thuật tái tạo hình ảnh trong y tế (CT, MRI) và bài toán điều chế cường độ xạ trị (Intensity-Modulated Radiation Therapy - IMRT).

Kiến nghị và đề xuất

  • Đề xuất tiếp tục nghiên cứu mở rộng thuật toán dạng tách cho bài toán tìm không điểm của tổng nhiều hơn hai toán tử đơn điệu cực đại $\sum_{i=1}^m A_i$.
  • Định hướng tích hợp các kỹ thuật xấp xỉ hữu hạn hóa của luận án vào việc xây dựng phần mềm chuyên dụng giải các bài toán ngược thực tế.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế được ghi nhận

Căn cứ trên các nội dung mà tác giả đã trình bày:

  • Luận án mới chỉ khảo sát bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại $A + B$. Khi phiếm hàm mục tiêu là tổng của nhiều hơn hai phiếm hàm lồi, việc mở rộng trực tiếp phương pháp tách đòi hỏi giải quyết các thách thức toán học phức tạp hơn mà luận án chưa hoàn thiện ("Khi hàm $f$ là tổng của nhiều phiếm hàm lồi... câu hỏi này cần nhiều công sức nghiên cứu tiếp theo").
  • Không gian khảo sát của toàn bộ luận án giới hạn trong phạm vi không gian Hilbert thực; chưa mở rộng sang không gian Banach tổng quát hoặc các không gian metric có độ cong khác không.
  • Đối với bài toán MSSFP, toán tử liên kết $A$ được giả định là ánh xạ tuyến tính bị chặn; chưa xét đến trường hợp toán tử phi tuyến hoặc không bị chặn.

Hướng nghiên cứu tiếp

  1. Nghiên cứu phương pháp tách cho bài toán tìm không điểm của tổng hữu hạn nhiều toán tử đơn điệu cực đại $\sum_{i=1}^m A_i$ với $m > 2$.
  2. Phát triển các thuật toán hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập khi ánh xạ liên kết $A$ là ánh xạ phi tuyến trong không gian Hilbert hoặc không gian Banach.
  3. Nghiên cứu đánh giá tốc độ hội tụ định lượng (complexity rate) của các thuật toán đề xuất và áp dụng giải các bài toán học máy và xử lý tín hiệu lớn.

Giá trị tham khảo

Đối tượng thụ hưởng

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học: Chuyên ngành Toán ứng dụng, Toán giải tích, Tối ưu hóa và Điều khiển học; có thể sử dụng luận án làm tài liệu học tập chuyên khảo về lý thuyết toán tử đơn điệu và giải tích lồi.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu: Thuộc các viện nghiên cứu và trường đại học chuyên về toán học, cơ học tính toán và khoa học máy tính.
  • Kỹ sư và chuyên gia công nghệ: Các nhà nghiên cứu phát triển thuật toán trong lĩnh vực xử lý ảnh số, thị giác máy tính, vật lý y khoa và xạ trị ung thư.

Các phần nội dung đáng tham khảo

  • Chương 1: Là tài liệu tổng quan có hệ thống về lý thuyết toán tử đơn điệu cực đại, phương pháp điểm gần kề, phương pháp tách tiến-lùi và bài toán chấp nhận tách nhiều tập, tổng hợp đầy đủ các tài liệu tham khảo trong nước và quốc tế.
  • Chương 2 và Chương 3: Cung cấp kỹ thuật giải tích chi tiết trong việc chứng minh sự hội tụ mạnh khi nới lỏng hoặc loại bỏ hoàn toàn điều kiện chặn dưới của tham số toán tử giải, đặc biệt là kỹ thuật áp dụng Bổ đề Maingé và Bổ đề Xu.
  • Chương 4: Cung cấp giải pháp xấp xỉ hóa hữu hạn cho bài toán tối ưu với vô hạn ràng buộc tập lồi, có giá trị ứng dụng trực tiếp trong lập trình tính toán số.

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao việc loại bỏ điều kiện $r_k \ge \varepsilon > 0$ trong phương pháp điểm gần kề lại có ý nghĩa lý thuyết quan trọng?

Trong phương pháp điểm gần kề cổ điển và các cải biên trước đây, điều kiện tham số bước lặp $r_k \ge \varepsilon > 0$ (hoặc $\liminf_{k \to \infty} r_k > 0$) là điều kiện kỹ thuật bắt buộc để kiểm soát khoảng cách giữa phần tử lặp và toán tử giải, đảm bảo $|x_k - J_k x_k| \to 0$ kéo theo sự hội tụ về không điểm. Việc loại bỏ điều kiện này và cho phép ${r_k}$ là dãy số bất kỳ trong $(0, \infty)$ mở rộng phạm vi lựa chọn bước lặp trong thực hành tính toán, tránh trường hợp thuật toán mất khả năng hội tụ khi dãy tham số suy giảm về $0$.

2. Thuật toán đề xuất trong Chương 2 khắc phục nhược điểm của công trình Nguyễn Bường (2017) như thế nào?

Công trình năm 2017 của Nguyễn Bường cho phép tham số $r_k \to 0$ ($\sum r_k < \infty$), nhưng tại mỗi bước lặp thứ $k$ phải tính toán tích của $k$ toán tử giải $J^k = J_1 J_2 \cdots J_k$, khiến khối lượng tính toán tích lũy tăng dần theo số bước lặp. Thuật toán trong Chương 2 khắc phục triệt để nhược điểm này bằng cách cố định một toán tử giải $J_c = (I + cT)^{-1}$ với $c > 0$ và chỉ sử dụng hai toán tử giải $J_k J_c$ tại mỗi bước lặp, đồng thời tổng quát hóa điều kiện cho ${r_k}$ thành dãy số dương bất kỳ trong $(0, \infty)$.

3. Sự khác nhau giữa bài toán chấp nhận tách (SFP) và bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP) là gì?

Bài toán SFP (Censor và Elfving, 1994) chỉ xét hai tập con lồi đóng đơn lẻ: tìm $x \in C$ sao cho $Ax \in Q$. Bài toán MSSFP (Censor và cộng sự, 2005) là sự mở rộng tổng quát hóa, trong đó $C = \bigcap_{i \in J_1} C_i$ và $Q = \bigcap_{j \in J_2} Q_j$ là giao của các họ tập lồi đóng. Khi các họ chỉ số $J_1, J_2$ là vô hạn đếm được, bài toán MSSFP phức tạp hơn nhiều do việc chiếu trực tiếp lên giao vô hạn các tập không khả thi về mặt giải thuật.

4. Thuật toán trong Chương 4 giải quyết bài toán MSSFP với họ vô hạn tập lồi đóng bằng cách nào?

Thuật toán trong Chương 4 áp dụng kỹ thuật xấp xỉ hóa kết hợp hiệu chỉnh lặp: tại mỗi bước lặp thứ $k$, thay vì phải tính toán trên toàn bộ họ vô hạn ${C_i}{i=1}^\infty$ và ${Q_j}{j=1}^\infty$, thuật toán chỉ tính toán trên các tổ hợp hữu hạn $\sum_{i=1}^k \alpha_i P_{C_i}$ và $\sum_{j=1}^k \beta_j P_{Q_j}$. Phương pháp chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán ban đầu khi $k \to \infty$.

5. Dãy sai số $e_k$ trong các thuật toán đề xuất cần thỏa mãn những điều kiện gì?

Tùy theo từng định lý, luận án đưa ra hai nhóm điều kiện sai số:

  • Nhóm sai số tuyệt đối: $\sum_{k=1}^\infty |e_k| < \infty$ hoặc sai số suy giảm nhanh hơn bước lặp: $\lim_{k \to \infty} \frac{|e_k|}{t_k} = 0$.
  • Nhóm sai số tương đối (trong thuật toán hai bước tính của Định lý 2.3): $|e_{k+1}| \le \eta_k |\tilde{x}{k+1} - x_k|$ với dãy ${\eta_k}$ thỏa mãn $\sum{k=1}^\infty \eta_k^2 < \infty$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Phạm Thị Thu Hoài đã giải quyết nhất quán các vấn đề lý thuyết và giải thuật lặp đối với bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại, tổng hai toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong không gian Hilbert. Các đóng góp khoa học chính bao gồm việc loại bỏ thành công điều kiện chặn dưới đối với dãy tham số của toán tử giải trong phương pháp điểm gần kề, thiết lập sơ đồ tách tiến-lùi hội tụ mạnh với bước lặp nới lỏng, và xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp chỉ sử dụng hữu hạn tập tại mỗi bước cho bài toán chấp nhận tách với các họ vô hạn đếm được. Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành và báo cáo tại các hội nghị khoa học uy tín, mang lại giá trị tham khảo học thuật rõ ràng cho chuyên ngành Toán ứng dụng.