Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp biến phân cho lớp bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu px laplacian

Luận văn thạc sĩ trình bày phương pháp biến phân cho bài toán Dirichlet với phương trình elliptic kiểu p-Laplacian, khám phá ứng dụng và kết quả.

• Tác giả: Ha Van Son
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Chung
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Huế
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Phương Pháp Biến Phân Trong Bài Toán Dirichlet Đối Với Phương Trình Elliptic Kiểu p(x)-Laplacian
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Huế

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. MỞ ĐẦU
• 2. KIẾN THỨC BỔ TRỢ
• 2.1. Không gian Sobolev W”Œ”(©)
• 2.2. Một số vấn đề về phương pháp biến phân
• 3. BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KIỂU P(X)-LAPLACIAN
• 3.1. Giới thiệu bài toán
• 3.2. Sự tồn tại và tính đa nghiệm
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp biến phân trong bài toán Dirichlet

Phương pháp biến phân là một trong những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x)-Laplacian. Phương pháp này cho phép tìm nghiệm yếu của bài toán bằng cách quy về việc tìm điểm tới hạn của một hàm phiếm. Điều này đặc biệt quan trọng trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán không tuyến tính. Các nhà toán học đã phát triển nhiều lý thuyết và công cụ để áp dụng phương pháp này, từ các nguyên lý cực tiểu đến các định lý minimax.

1.1. Khái niệm cơ bản về không gian Sobolev

Không gian Sobolev W^{k,p}(Ω) là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Nó bao gồm các hàm có đạo hàm yếu tồn tại và thuộc không gian Lebesgue. Việc hiểu rõ về không gian Sobolev là cần thiết để áp dụng phương pháp biến phân trong bài toán Dirichlet.

1.2. Tính chất của phương trình elliptic

Phương trình elliptic có nhiều tính chất quan trọng, bao gồm tính liên tục và tính khả vi của nghiệm. Những tính chất này giúp xác định sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong không gian Sobolev, từ đó tạo điều kiện thuận lợi cho việc áp dụng phương pháp biến phân.

II. Vấn đề và thách thức trong bài toán Dirichlet

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x)-Laplacian gặp nhiều thách thức, đặc biệt là trong việc xác định sự tồn tại và tính đa nghiệm của nghiệm. Các yếu tố như tính không tuyến tính của phương trình và các điều kiện biên phức tạp có thể làm cho việc tìm nghiệm trở nên khó khăn. Do đó, việc áp dụng phương pháp biến phân là cần thiết để vượt qua những thách thức này.

2.1. Các vấn đề tồn tại nghiệm

Một trong những vấn đề chính trong bài toán Dirichlet là xác định sự tồn tại của nghiệm yếu. Các điều kiện biên và tính không tuyến tính của phương trình có thể ảnh hưởng đến sự tồn tại này. Việc áp dụng các nguyên lý biến phân giúp giải quyết vấn đề này một cách hiệu quả.

2.2. Thách thức trong tính đa nghiệm

Tính đa nghiệm của bài toán Dirichlet là một thách thức lớn. Các phương pháp như lý thuyết minimax và các định lý liên quan đến điểm tới hạn được sử dụng để nghiên cứu tính đa nghiệm. Tuy nhiên, việc áp dụng các phương pháp này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các điều kiện của bài toán.

III. Phương pháp biến phân trong bài toán Dirichlet

Phương pháp biến phân được áp dụng để tìm nghiệm yếu cho bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x)-Laplacian. Phương pháp này dựa trên việc tìm điểm tới hạn của một hàm phiếm, từ đó xác định nghiệm của bài toán. Các nguyên lý cực tiểu và lý thuyết minimax là những công cụ quan trọng trong phương pháp này.

3.1. Nguyên lý cực tiểu trong phương pháp biến phân

Nguyên lý cực tiểu là một trong những công cụ chính trong phương pháp biến phân. Nó cho phép xác định nghiệm yếu của bài toán bằng cách tìm điểm cực tiểu của một hàm phiếm. Điều này giúp đơn giản hóa quá trình tìm nghiệm và đảm bảo tính chính xác của kết quả.

3.2. Lý thuyết minimax và ứng dụng

Lý thuyết minimax cung cấp một cách tiếp cận mạnh mẽ để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm trong bài toán Dirichlet. Các định lý minimax cho phép xác định điểm tới hạn của hàm phiếm, từ đó tìm ra nghiệm yếu cho bài toán. Việc áp dụng lý thuyết này đã mang lại nhiều kết quả quan trọng trong nghiên cứu.

IV. Ứng dụng thực tiễn của phương trình elliptic

Phương trình elliptic kiểu p(x)-Laplacian có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính. Việc nghiên cứu và giải quyết bài toán Dirichlet không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại giá trị thực tiễn cao. Các kết quả nghiên cứu từ phương pháp biến phân có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán thực tế phức tạp.

4.1. Ứng dụng trong vật lý

Trong vật lý, phương trình elliptic thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng như truyền nhiệt và dòng chảy chất lỏng. Việc giải quyết bài toán Dirichlet giúp mô hình hóa chính xác các hiện tượng này, từ đó đưa ra các giải pháp hiệu quả.

4.2. Ứng dụng trong kỹ thuật

Trong kỹ thuật, các bài toán liên quan đến thiết kế và tối ưu hóa thường sử dụng phương trình elliptic. Việc áp dụng phương pháp biến phân giúp tìm ra các giải pháp tối ưu cho các bài toán kỹ thuật phức tạp.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu

Nghiên cứu về phương pháp biến phân trong bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x)-Laplacian đã mở ra nhiều hướng đi mới trong lĩnh vực toán học. Các kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng rộng rãi trong thực tiễn. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ tiếp tục phát triển với nhiều ứng dụng mới và các phương pháp cải tiến.

5.1. Hướng nghiên cứu tiếp theo

Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp mới trong lý thuyết phương trình elliptic. Việc áp dụng các công cụ hiện đại và công nghệ mới sẽ giúp nâng cao hiệu quả của các phương pháp hiện tại.

5.2. Tác động đến các lĩnh vực khác

Nghiên cứu về phương trình elliptic có thể tác động tích cực đến nhiều lĩnh vực khác nhau, từ khoa học máy tính đến kinh tế học. Việc áp dụng các kết quả nghiên cứu vào thực tiễn sẽ mang lại nhiều lợi ích cho xã hội.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Sobolev Ij“)(Q) “Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản. của không gian Lebesgue L?)(Q) và không gian Sobolev IW2”Œ”(©) với số mũ biến thiên được sử dụng trong luận văn. Dây là những không gian hàm được mở rộng một cách tự nhiên từ các không gian hàm đã biết với số mũ là hằng số /7(©) và W”(O). Những kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu (2), [3], [4], [5], [6], (7), [9].

Ki hiệu RẺ ;= {# = (#i.,d}, © là một miền (mở và liên thông) trong R°. Với mỗi hàm ứ xác định trên miền Ø C R“, kí hiệu supp (u) = fe © 9: ula) FO} và gọi la gia cita ham u trén Q. Khong gian CX(@) bao gdm céc ham kha vi vô hạn và có giá là một tập compact chứa trong $9. Không gian này thường được gọi là không gian hàm thử.

Với p € [I,+oc), kí hiệu L? (@) là không gian các hàm đo được Lebesgue u:Q— R tha man diéu kien fiw dr < +00. Khong gian L?,(Q), p € [1, +00] bao gém céc hàm € J(©') với mọi tập con compact 2 CC 9. Như vậy ta luôn có L?(Q) C Lige(Q) voi moi 1 <p < tox. Hơn nữa, nếu 9 là một miền bị chặn và 1 < p < p¿ < + thì 1 (Q) C 1" (9).

Nếu 1 < p < +00 thi khong gian L? (Q) là một không gian Banach tách được. Không gian Cÿ (O) trà mật khắp nơi trong không gian 1() với 1<p< +œ. Ngoài ra, với 1 < p < +00, không gian /(Q) là một không, gian Banach phản xạ. Liên quan đến không gian Ƒ(O) chúng ta còn có một số kết quả sau (xem [7, Chương 4).

Giá sử © là một miền trong IR” và u € LẬ,„(Q) thỏa mãn [wae =o, Vu € CR (Q). a Khi đó ta có u = 0 hầu khắp nơi trong Q. (Bát đẳng thức Hỏlder) Giả sử u € LP(Q), o € LÝ (Q) với 1<p,p' < +00 la cặp số mũ liên hợp, tức là sty =1. Khi đó, uu € LÌ(Q) va [ove a <lulploly.

Gid sit 1 < p < +00 va {un} la day ham trong L” (Q) hoi tu theo chuan é ham u € LP(Q). Khi đó, tồn tại một day con {un,} va ham 9 € L?(Q) sao cho () tụy (2) —> u(ø) hầu khắp nơi trên €. (ii) luu,(£)| < g (e), hầu khắp nơi trên © tới mọi k € Ñ". (Bổ đề Futou) Giả sử {u„} là một dãy các hàm đo được không âm trên tập đo duge Q CR".

Khi đó ta có lim unde < lim | u,dz. (Định li Lebesgue về sự hội tu bi chan) Gid sit {un} la mot dãy các hàm đo được hội tụ hầu khắp noi đến hàm đo được u trên tập đo được QC RẺ va théa man |uy (x)| < g(x) hầu khắp nơi trên ©, trong đó g là một hàm khả tích. Khi đó ta có lim unde = f w(x) dr.6, trong trường hợp © có độ đo hữu hạn (ø(9) < +e<), để chuyển giới hạn qua dấu tích phân chúng ta còn dùng đến định lí Vitali liên quan đến một họ hàm đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân (hay còn gọi là khả tích đều), xem [15, tr. Giả sử {w„} là một dãy các hàm xác định và khả tích trên tập đo được @ C R“, g(O) < +00.

Ta noi day {u„} là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © nếu với mọi € > 0, tồn tại ổ = ổ(e) > Ú sao. cho với mọi tập con # C 9 có độ đo g(E) < ð ta có Í««œ <e, WneN’. Giả sử Q C 8“ là một tập đo được với độ đo ø (9) < +00. “Từ Định nghĩa 1.7, ta có các khẳng định sau đây: (i) Néu {u,} va {v,} la hai dãy các hàm khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © thì day ham {un + vn} khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên ©.

Đặc biệt, nếu œ là một hàm khả tích trên @ thì {u„ + ø} cũng là dãy hàm khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên ©. (ii) Gi sit {un} và {o„} là hai dãy các hàm không âm, khả tích trên Q, đồng thời thỏa mãn điều kiện tạ SCua, YWneN, C>0. Khi đó, nếu dãy hàm {ø„} đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên @ thì dãy hàm {z„} đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên ©. (Định li Vitali) Gid st {un} la mot day cde hàm khả tích hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được 9 C R“ (w(Q) < +se) đến hàm đo được u.

Nếu đãu {uạ} đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên © thà u cũng là hàm khả tích va ta có lim nde = f ude. (1) a a Kết quả sau day cho ta một điều kiện đủ để mot day hàm là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân. Giả sử {u„} là một dãy các hàm khả tích uà u là một hàm khả tích trên tập đo duge 2 C R4, u(Q) < +s. Nếu tới mọi tập con E C 9 ta có đăng thức tích phan lim — Jae 7 [uae (12) Ẽ Ê thì dãy hàm {u„} là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Q.10 ta có một biến dạng của Dịnh lí Vitali được phát biểu như sau.

Giả sử {un} la mot dãy các hàm khả tích hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được 9 C TR“ (w(Q) < +e) đến hàm khả tích u. Khi đó, đẳng thức tích phân (1.9) xảy ra uới mọi tập con E CQ khi va chỉ khi dãy hàm {un} là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên ©. “Trong trường hợp đặc biệt, nếu {œ„} là một dãy các hàm không âm thì ta có kết quả sau nhờ Bồ đề Fatou (xem Mệnh đề 1. Gid sit {un} là một dãy các hàm khong am, khả tích uà hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được © C R“ (u(Q) < +00) dén hàm đo được u.

Khi đó, nếu đẳng thức tích phân (1.1) ray ra thi day ham {u,} la đồng tiên tục tuyệt đối theo tích phân trên Q. “Tiếp theo chúng ta sẽ nói về đạo hàm yếu và không gian Sobolev với số mũ hằng. Dây là những khái niệm rất quan trọng trong lí thuyết phương trình dao hàm riêng, xem (2] hoặc (7, Chương 9]. Giả sử u € /}„ (9) và đa chỉ số œ = (ai,as.,d voi modun Jal = Ö2a¿.

Ta nói hàm ø € Lj„ (9) là đạo at ham yếu cấp œ của ứ nếu [sư = (0 [ oar, ge € CR (O) (1.3) a a trong đó Ø#lz(z) Oe = Fae OE Kí hiệu đạo hàm yếu cấp a của hàm u là ø = D°w. Khi |a| = 1, các đạo hầm yến cấp 1 của hầm w theo biến z/ được kí iệu bối Dạ = TC, j= 1,2.d sẽ thỏa mãn đẳng thức {eDucdr= = f eDa,ude, 2€ C (9). (14) a a Tir Djnh nghia 1.13, đạo hàm cổ điễn Du cấp œ của hàm u cũng là đạo hàm yếu cấp œ của u. Tuy nhiên, có thể tồn tại đạo hàm yếu D°w cấp œ của w nhưng không tồn tại đạo hàm cổ điển của nó.

Một đặc trưng của đạo hàm. khác với đạo hàm cổ điển là nếu đạo hàm yếu cấp a của hàm ư tồn tại thì chưa chắc đã có đạo hàm yếu cấp thấp hơn. Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi không đi sâu vào vấn đề này, đọc giả có thể tham khảo thêm trong, tài liệu [2]. Giả sử © là miền trong R“, có biên Ø9 và 1< p< +œ.

Không gian Sobolev W”'”(©) bao gồm tắt cả các hàm u € L?(Q) sao cho dao ham yéu D,,u € IP(O) với mọi j = 1,2. d, tức là W?(9) = {u € (9) | D,„u € (9), Vj = 1,3,. Như chúng ta đã biết, W*?(Q) là khong gian Banach phan xa và tách được với chuẩn a ‡ lIwllwwsz¿a) (+: 1) : “ Chuẩn này tương đương với chuẩn Wella» = lo rans}. Ou Ou Vue = (Dott, Deytt, ny Dagtt) = (==.

ry’ Or, a t |Vul = (Sym). Day là một không gian Banach phản xạ với 1 < p < +00 va la khong gian Banach tach duge véi 1 < p < +00. Hon nữa, ta có nếu € IW}#(Q) với 1 <p < +00 va supp(u) la mot tap compact trong Q thi u € Wj”? (Q), xem (7, Chương 9]. (Bát đẳng thức Poincaré) Giả sử Q là miền bị chặn tà 1<p< +œ.

Khi đó, tồn tại số Ở > (0 sao cho |p <C|Vul,, Yue Wy? (2).15, khi xét không gian Wj” (9), thay vì sử dụng chuẩn ở đẳng thức (1.5) ta có thể dùng chuẩn tương đương sau "1. “Thật vậy, từ (1.5) ta có Ieliy,>e = (lel+ Vul2)* ì > Vu, Mặt khác, từ bất đẳng thức Poinearé (1.6), ta lại có : ; IIellua>e = (Iulỹ + |Vvlz)” < (CPIValj.+ [Vulp)” = (C” p +1)? 3 [Val, P P hay Iellu,za) < CIVal, với C7 là một hằng số dương. Từ đó, suy ra hai chuẩn Iu|Jy:z/„; và |Vu|, là tương đương.) a mot khong gian Banach, ham u : X > R gọi là liên tục Lipschitz trên X nếu tồn tai L > 0, sao cho |ư(œ) — u(w)| < L||z—w||, Yz,u€X. Cho © là một miền bị chặn trong IR“ với biên Ø9.

Ta nói © là một miền Lipschitz hay miền có biên Lipschitz nếu với mỗi điểm z.€ Ø0, tồn tại một lân cận U; của z và một hàm liên tục Lipschitz ; sao cho Ø0nU, ={z= a) € Us | sa (x1, 22, +, ta-1)} - Định nghĩa 1. Cho X và Y là hai không gian Banach. Ta nói rằng, không gian X nhúng liên tục vào không gian V và được kí hiệu X => Ÿ, nếu X C Y và tồn tại hằng số e > 0 sao cho ||u||y < c||u||x với mọi w € X. Khi đó, ta có toán tử nhúng J : X —> Y, w => J(u) € Y là tuyến tính liên tục.

Nếu không gian X nhúng liên tục vào không gian Y và toán tử nhúng .Ƒ xác định như trên là compact thì ta nói phép nhúng là compact, kí hiệu Xaoy. Sau đây chúng ta phát biểu định lí nhúng trong không gian Sobolev với số mũ hằng (trường hợp miền © bị chặn), xem [7]. Đặt re dp/(d—p). (Dinh lí nhúng Soboleu) Giả sử © là miền bị chặn, có biên A Lipschitz va 1 < p < +00.

Khi đó, uới 1 < q < p` thì phép nhúng từ W'?(©) uào L#(Q) là liên tục tà compact. Chú ý rằng nếu chúng ta xét trong không gian I/)” (Q) thì định lí nhúng, Sobolev vẫn đúng mà không cần đến điều kiện Lipschitz của biên ØO.