Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Phạm Văn Khánh, chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán (mã số 62 46 15 01), được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2015 dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Khắc Minh và GS. Nguyễn Duy Tiến. Đề tài nghiên cứu tập trung vào phân tích thống kê, dự báo và mô phỏng một số lớp chuỗi thời gian rời rạc và liên tục, cùng các ứng dụng trong bài toán điều khiển tối ưu tài chính và dự báo kinh tế vĩ mô.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Dữ liệu quan sát theo thời gian trong kinh tế, kỹ thuật và khoa học tự nhiên thường xuất hiện sự phụ thuộc và tương quan giữa các điểm lân cận. Điều này làm hạn chế khả năng áp dụng của các phương pháp thống kê cổ điển dựa trên giả định mẫu độc lập và cùng phân bố (IID). Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính truyền thống như tự hồi quy (AR), trung bình trượt (MA), tự hồi quy trung bình trượt (ARMA) hay vector tự hồi quy (VAR) với hệ số hằng số chưa mô tả đầy đủ các hiện tượng phi tuyến, phương sai sai số thay đổi, các biến động ngẫu nhiên trong tốc độ tăng trưởng, hoặc tác động của những cú sốc đột ngột.

Thực tế nghiên cứu đặt ra yêu cầu mở rộng các lớp chuỗi thời gian:

  • Chuỗi tự hồi quy với hệ số ngẫu nhiên (Random Coefficient Autoregressive - RCA) hiện vẫn còn ít công trình nghiên cứu so với các mô hình ARCH, GARCH. Đặc biệt, các nghiên cứu trước đây chủ yếu giả định nhiễu hệ số có phân bố chuẩn đối xứng quanh 0, chưa xem xét trường hợp hệ số chịu tác động của thành phần ngẫu nhiên không âm (phân bố chuẩn cụt) phản ánh các chính sách can thiệp một chiều như kích cầu hoặc ưu tiên kinh tế.
  • Trong bài toán điều khiển tối ưu chuỗi thời gian tài chính, các nghiên cứu kinh điển về thời điểm dừng tối ưu thường giả định hệ số dịch chuyển (tốc độ tăng giá) là hằng số đã biết, chưa giải quyết trọn vẹn trường hợp tốc độ tăng giá là biến ngẫu nhiên hoặc quá trình Markov ẩn.
  • Các công thức giải tích định giá phái sinh tài chính dưới tác động của bước nhảy ngẫu nhiên (mô hình Merton) có dạng chuỗi vô hạn hội tụ rất chậm, việc tính kỳ vọng điều kiện gặp trở ngại lớn về mặt tính toán.
  • Các mô hình kinh tế truyền thống như mô hình hồi quy Barro nghiên cứu sự hội tụ kinh tế chỉ xem xét điểm đầu và điểm cuối mà bỏ qua các biến động trong các thời kỳ con; mô hình tuyến tính VAR gặp giới hạn khi dự báo các chuỗi chỉ số giá có cấu trúc phi tuyến phức tạp.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu tổng quát của luận án là phát triển lý thuyết phân tích thống kê, giải thuật mô phỏng và bài toán điều khiển tối ưu cho các lớp chuỗi thời gian có hệ số ngẫu nhiên hoặc bước nhảy, đồng thời ứng dụng vào các bài toán thực nghiệm của kinh tế và tài chính. Luận án xác định 5 nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể:

  1. Thiết lập điều kiện dừng, xây dựng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại và chứng minh tính vững, phân bố tiệm cận cho mô hình tự hồi quy cấp 1 có hệ số chứa thành phần ngẫu nhiên không âm.
  2. Giải bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu để mua và bán tài sản khi tốc độ tăng giá là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hai giá trị hoặc là xích Markov hai trạng thái.
  3. Xây dựng giải thuật mô phỏng Monte-Carlo để tính giá các hợp đồng quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu cho chuỗi thời gian liên tục có bước nhảy ngẫu nhiên.
  4. Mở rộng mô hình hồi quy Barro bằng phương trình vi phân và khảo sát tất cả các thời kỳ con, kết hợp mô hình xích Markov để dự báo trạng thái hội tụ thu nhập bình quân đầu người tại Việt Nam.
  5. Áp dụng phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên thông qua lập trình Gen (GP) kết hợp mô phỏng Monte-Carlo để tự động xây dựng hàm dự báo chỉ số giá tiêu dùng (CPI) của Việt Nam, so sánh hiệu quả với mô hình vector tự hồi quy (VAR).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các mô hình chuỗi thời gian rời rạc và liên tục bao gồm: mô hình tự hồi quy hệ số ngẫu nhiên cấp 1 có nhiễu không âm; quá trình khuếch tán với độ dịch chuyển ngẫu nhiên; quá trình bước nhảy khuếch tán; mô hình hồi quy Barro mở rộng và xích Markov; mô hình VAR và lập trình Gen.
  • Phạm vi không gian: Thị trường vàng tự do tại Hà Nội; hệ thống các tỉnh, thành phố và nền kinh tế vĩ mô Việt Nam.
  • Phạm vi thời gian: Dữ liệu chuỗi lợi suất giá vàng tự do Hà Nội thu thập hàng ngày từ ngày 23/08/2011 đến ngày 23/08/2012; số liệu thu nhập bình quân đầu người và chỉ số CPI của Việt Nam theo các mốc niên giám thống kê được trích dẫn trong văn bản.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại các nhánh nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm liên quan trực tiếp đến từng chủ đề:

Các hướng nghiên cứu trước

  • Chuỗi thời gian với hệ số ngẫu nhiên: Nicholls và Quinn ([5], [6]) đã nghiên cứu lớp mô hình chuỗi thời gian có hệ số ngẫu nhiên và mô hình tự hồi quy cấp 1 với hệ số chịu tác động của biến ngẫu nhiên chuẩn phân bố đối xứng quanh 0. Các mô hình biến động điều kiện như ARCH (Engle), GARCH (Bollerslev), EGARCH (Nelson), TGARCH (Zakoian) được sử dụng phổ biến trong tài chính nhưng cấu trúc tham số phức tạp và phụ thuộc chặt chẽ vào giả định phân bố sai số.
  • Thời điểm dừng tối ưu cho quá trình ngẫu nhiên: Graversen và Peskir (2007) [10] đã giải bài toán tìm thời điểm dừng tối ưu đối với chuyển động Brown cực tiểu hóa khoảng cách bình phương đến giá trị cực đại với đường bao nghiệm có dạng $z^* \sqrt{1-t}$. Albert Shiryaev, Zouquan Xu và Xun Yu Zhou (2008) [11] đã giải quyết bài toán thời điểm bán cổ phiếu tối ưu với phương trình giá chiết khấu $dPt = (a - r)Pt dt + \sigma Pt dWt$ thông qua chỉ số $\alpha = (a - r)/\sigma^2$, xác định thời điểm dừng phụ thuộc vào $\alpha > 1/2$, $\alpha = 1/2$ hoặc $\alpha \le 0$. Về lý thuyết lọc phi tuyến, Liptser và Shiryaev [12] đã cung cấp hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên cho xác suất hậu nghiệm của quá trình Markov không quan sát được.
  • Định giá quyền chọn có bước nhảy: Merton (1976) đưa ra mô hình bước nhảy khuếch tán dẫn đến công thức giải tích tính giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu dưới dạng chuỗi vô hạn các giá trị Black-Scholes có trọng số Poisson.
  • Hội tụ thu nhập kinh tế: Robert Barro ([20]) phát triển mô hình tự hồi quy kiểm định giả thuyết hội tụ kinh tế giữa các vùng hoặc quốc gia dựa trên phương trình hồi quy chéo cổ điển.
  • Dự báo chuỗi thời gian bằng trí tuệ nhân tạo: Mô hình VAR của Sims (1980) đại diện cho phương pháp tham số kinh điển; phương pháp lập trình Gen (GP) của Koza (1992) phát triển từ giải thuật tiến hóa (EA) được ứng dụng để tìm hàm xấp xỉ cấu trúc dữ liệu thực nghiệm.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án định vị nghiên cứu vào các khoảng trống cụ thể:

  1. Bổ khuyết cơ sở lý thuyết cho mô hình RCA(1) khi thành phần ngẫu nhiên của hệ số là biến không âm $|b_t|$ (tuân theo phân bố chuẩn chặt cụt), xác lập điều kiện dừng hầu chắc chắn và dẫn xuất biểu thức giải tích của hàm mật độ có điều kiện để xây dựng hàm hợp lý cực đại.
  2. Mở rộng bài toán dừng tối ưu của Shiryaev, Xu và Zhou sang trường hợp tốc độ tăng trưởng $a$ không phải là hằng số mà là biến ngẫu nhiên hai trạng thái hoặc xích Markov hai trạng thái, chuyển đổi bài toán về dạng phương trình tích phân phi tuyến xác định đường bao dừng.
  3. Thay thế việc tính toán chuỗi giải tích hội tụ chậm của Merton bằng giải thuật mô phỏng Monte-Carlo để định giá quyền chọn kiểu Châu Âu khi quá trình giá cơ sở có bước nhảy ngẫu nhiên.
  4. Mở rộng mô hình Barro bằng cách xem xét quá trình hội tụ dưới dạng phương trình vi phân và tích hợp toàn bộ các khoảng thời gian con, kết hợp kiểm chứng bằng mô hình xích Markov.
  5. Ứng dụng giải thuật GP tự sinh hàm dự báo lạm phát phi tham số tại Việt Nam nhằm khắc phục các giới hạn giả định tuyến tính của mô hình VAR.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

  • Lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên: Không gian xác suất lọc $(\Omega, \mathcal{F}, {\mathcal{F}_t}, P)$, chuyển động Brown tiêu chuẩn $W_t$, phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô, định lý chọn mẫu Doob, công thức Dynkin, bổ đề Borel-Cantelli, luật mạnh số lớn và định lý chuyển độ đo Girsanov.
  • Lý thuyết lọc phi tuyến: Phương pháp xác định xác suất hậu nghiệm $\pi_t = P(\theta_t = \beta | \mathcal{F}_t^\xi)$ theo phương trình Liptser - Shiryaev để cập nhật trạng thái của tham số trôi dạt không quan sát được.
  • Lý thuyết thời điểm dừng tối ưu: Khái niệm hàm giá trị $V(t, y)$, toán tử sinh cực vi $\mathcal{L}_G$, miền tiếp tục (continuation region $C$), miền dừng (stopping region $D$) và bao dừng tối ưu $b(t)$.
  • Lý thuyết kinh tế lượng và chuỗi thời gian: Tính dừng nghiêm ngặt và dừng yếu, mô hình RCA, mô hình ARCH/GARCH, mô hình hồi quy Barro về $\beta$-hội tụ, mô hình VAR.
  • Lý thuyết tính toán tiến hóa: Lập trình Gen (GP) dựa trên cấu trúc cây cú pháp, các toán tử tiến hóa (lai ghép, đột biến, sao chép) và hàm thích nghi dựa trên chuẩn sai số.

Phương pháp nghiên cứu thực tế

Luận án kết hợp giữa phương pháp giải tích toán học, mô phỏng số và phân tích thực nghiệm:

  • Phương pháp giải tích và suy diễn thống kê: Thiết lập điều kiện nghiệm dừng thông qua chuỗi tích vô hạn ngẫu nhiên; tính toán tích phân chập xác định hàm mật độ có điều kiện; sử dụng phương pháp ước lượng giả hợp lý cực đại (QMLE); áp dụng khai triển Taylor và định lý Egorov chứng minh tính vững hầu chắc chắn và tính chuẩn tiệm cận của ước lượng.
  • Phương pháp đổi độ đo và biến đổi bài toán biên: Áp dụng định lý Girsanov để biến đổi quá trình quan sát sang độ đo mới $P^*$, quy bài toán dừng tối ưu ban đầu về bài toán phụ độc lập với biến trạng thái ẩn, thiết lập phương trình tích phân cho đường bao dừng $b(t)$.
  • Phương pháp số và mô phỏng Monte-Carlo:
    • Rời rạc hóa phương trình tích phân xác định đường bao dừng trên lưới thời gian $t_k = kh$ với bước chia $h = T/n$.
    • Mô phỏng Monte-Carlo tạo lập quỹ đạo quá trình giá có bước nhảy ngẫu nhiên trong môi trường rủi ro trung tính để định giá quyền chọn.
    • Mô phỏng số chuỗi RCA(1) với các bộ tham số khác nhau để đối chiếu điều kiện dừng lý thuyết.
  • Phương pháp kinh tế lượng thực nghiệm: Ước lượng mô hình Barro mở rộng bằng hồi quy dữ liệu bảng/chéo; lập ma trận xác suất chuyển trạng thái của xích Markov; ước lượng hệ phương trình VAR(p); vận hành thuật toán GP tiến hóa quần thể hàm số xấp xỉ chuỗi CPI.

Nguồn tư liệu và dữ liệu

  • Dữ liệu mô phỏng ngẫu nhiên phát sinh từ các phân phối chuẩn, Poisson và chuyển động Brown trên máy tính.
  • Chuỗi số liệu giá vàng hàng ngày tại thị trường tự do Hà Nội (giai đoạn 23/08/2011 – 23/08/2012) để tính chuỗi lợi suất $r_t$.
  • Số liệu thống kê kinh tế vĩ mô của Việt Nam về thu nhập bình quân đầu người của các địa phương và chuỗi chỉ số giá tiêu dùng (CPI).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Chuỗi tự hồi quy cấp 1 với hệ số hồi quy có chứa thành phần ngẫu nhiên không âm

Chương 1 thiết lập mô hình chuỗi thời gian mới có dạng: $$Y_t = (\varphi + |b_t|) Y_{t-1} + e_t \quad (1.1)$$ Trong đó ${(b_t, e_t)}_{t \in \mathbb{Z}}$ là các vector ngẫu nhiên độc lập trên không gian xác suất $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ với: $$E \begin{pmatrix} b_t \ e_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}; \quad \text{Cov} \begin{pmatrix} b_t \ e_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_b^2 & 0 \ 0 & \sigma_e^2 \end{pmatrix} \quad (1.2)$$

Nghiệm của phương trình (1.1) được biểu diễn thông qua biến ngẫu nhiên: $$Y = \sum_{i=0}^{\infty} e_{-i} \prod_{j=0}^{i-1} (\varphi + |b_{-j}|) \quad (1.3)$$

  • Điều kiện dừng của chuỗi: Luận án chứng minh rằng nếu $E \ln^+ |e_0| < \infty$ và $-\infty < E \ln |\varphi + |b_0|| < 0$, thì chuỗi (1.3) hội tụ tuyệt đối hầu chắc chắn. Khi các điều kiện này thỏa mãn cùng giả thiết $E|e_0|^\nu < \infty$, $E|b_0|^\nu < \infty$, $E|\varphi + |b_0||^\nu < 1$ với $\nu \ge 1$, thì $Y_k = \sum_{i=0}^\infty e_{k-i} \prod_{j=0}^{i-1} (\varphi + |b_{k-j}|)$ là nghiệm dừng duy nhất của (1.1).
  • Cấu trúc mô men có điều kiện: $$E(Y_k | \mathcal{F}{k-1}) = \left(\varphi + \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma_b\right) Y{k-1}$$ $$\text{Var}(Y_k | \mathcal{F}{k-1}) = \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) \sigma_b^2 Y{k-1}^2 + \sigma_e^2$$
  • Hàm mật độ có điều kiện: Do $b_k$ và $e_k$ độc lập và có phân bố chuẩn, hàm mật độ của $Y_k$ khi biết $Y_{k-1}$ được xác định chính xác qua hàm phân phối Laplace $\Phi(x)$: $$f_{Y_k | Y_{k-1}}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi (\sigma_b^2 Y_{k-1}^2 + \sigma_e^2)}} \exp\left{ -\frac{(x - \varphi Y_{k-1})^2}{2(\sigma_b^2 Y_{k-1}^2 + \sigma_e^2)} \right} \Phi\left( \frac{Y_{k-1} \sigma_b (x - \varphi Y_{k-1})}{\sigma_e \sqrt{\sigma_b^2 Y_{k-1}^2 + \sigma_e^2}} \right)$$
  • Ước lượng tham số: Luận án thiết lập hàm giả hợp lý cực đại $L_n(u)$ với vector tham số $u = (\varphi, \sigma_b^2, \sigma_e^2)$, chứng minh ước lượng $\hat{\theta}_n \xrightarrow{hcc} u_0$ khi $n \to \infty$ và xác lập tính chuẩn tiệm cận $\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0, G^{-1}AG^{-1})$.
  • Nghiên cứu mô phỏng và thực nghiệm:
    • Mô phỏng số với các giá trị $\varphi$ minh chứng ranh giới tính dừng:
      • Chuỗi dừng: $\varphi = -0.9359 \cdot 10^{-4}$; $\varphi = -0.3673 \cdot 10^{-4}$; $\varphi = -0.2580 \cdot 10^{-4}$; $\varphi = -1.6469 \cdot 10^{-4}$; $\varphi = -1.9064 \cdot 10^{-4}$.
      • Chuỗi không dừng (phân cụm hoặc tiến ra vô hạn): $\varphi = -1.4247 \cdot 10^{-4}$ (bắt đầu phân cụm); $\varphi = -1.9036 \cdot 10^{-4}$ (phân cụm mạnh); $\varphi = -1.4$ ($E Y_t \approx -1.3215 \cdot 10^{25}$); $\varphi = 0.4$ ($E Y_t \approx -8.0$; $E Y_t \approx 0.0110$; $E Y_t \approx -1.3678 \cdot 10^{44}$).
    • Ứng dụng thực tế cho chuỗi lợi suất giá vàng Hà Nội tự do (23/08/2011 – 23/08/2012) cho kết quả ước lượng: $\hat{\varphi} = 0.0004$, phương trình dự báo đạt được là $r_t = (0.0004 + |b_t|) r_{t-1} + e_t$ với ma trận hiệp phương sai sai số $\sigma_b^2 = 0.4$.

Chương 2. Ước lượng thời điểm dừng tối ưu cho quá trình ngẫu nhiên với hệ số trượt ngẫu nhiên

Chương 2 xem xét chuỗi thời gian liên tục mô tả quá trình giá tài sản $X_t$: $$dX_t = a_t X_t dt + \sigma X_t dW_t, \quad t \ge 0$$ Khi rời rạc hóa, mô hình có dạng $X_{t+1} = (a_t + 1)X_t + \sigma X_t e_t$.

  • Bài toán bán tài sản khi tốc độ tăng giá nhận hai giá trị rời rạc: Giả thiết $a \in {a_l, a_h}$ với $a_l < r < a_h$ ($r$ là lãi suất không rủi ro). Phân phối tiên nghiệm ban đầu:
Tốc độ tăng giá ($a$) Xác suất ($P$)
$a_h$ $\pi_0$
$a_l$ $1 - \pi_0$

Xác suất hậu nghiệm $\pi_t = P(a = a_h | \mathcal{F}_t^X)$ thỏa mãn phương trình lọc: $$d\pi_t = \omega \pi_t (1 - \pi_t) d\bar{W}_t, \quad \omega = \frac{a_h - a_l}{\sigma}$$ $$d\bar{W}_t = dW_t + \frac{a - (1 - \pi_t)a_l - \pi_t a_h}{\sigma} dt$$

Mục tiêu là tìm thời điểm dừng $\tau \in [0, T]$ tối đa hóa $V = \sup_{0 \le \tau \le T} E[e^{-r\tau} X_\tau]$. Bằng cách đổi độ đo xác suất sang $P^$ qua định lý Girsanov và đặt $\Phi_t = \frac{\pi_t}{1 - \pi_t}$, bài toán được quy về bài toán dừng phụ: $$V(t, y) = \sup_{0 \le \tau \le T - t} E^ \left[ e^{(a_l - r)\tau} (1 + Y_\tau) \right]$$ Trong đó $dY_u = (a_h - a_l) Y_u du + \omega Y_u d\tilde{W}_u$.

  • Bao dừng tối ưu: Luận án chứng minh tồn tại hàm biên không giảm, liên tục phải $b: [0, T) \to [0, \frac{r - a_l}{a_h - r})$ sao cho miền tiếp tục là $C = {(t, y): y > b(t)}$ và thời điểm dừng tối ưu là $\tau_D = \inf{u \in [0, T - t]: Y_u \le b(t + u)}$. Áp dụng công thức Dynkin, hàm $b(t)$ thỏa mãn phương trình tích phân phi tuyến: $$1 + b(t) = e^{(a_l - r)(T - t)} + \dots$$
  • Giải thuật số và kết quả mô phỏng: Đoạn $[0, T]$ được chia thành các khoảng nhỏ $t_k = kh$ để giải xấp xỉ dãy giá trị $b(t_k)$. Kết quả thống kê mô phỏng chỉ ra:
    • Nếu niềm tin ban đầu $\pi_0$ tiến gần 1, thời điểm dừng tối ưu tiến sát $T$ (khi $\pi_0 = 0.9$, hầu chắc chắn $\tau^* = 1$).
    • Nếu $\pi_0$ tiến gần 0, thời điểm dừng tối ưu tiến sát thời điểm ban đầu (khi $\pi_0 = 0.1$, hầu chắc chắn $\tau^* = 0$).
    • Quy tắc thực tế được rút ra: thời điểm bán tối ưu là khi giá đang xuống và vừa qua đỉnh; thời điểm mua tối ưu là khi giá đang lên và vừa qua đáy.
  • Bài toán mở rộng: Luận án giải quyết tiếp bài toán mua và bán tài sản tối ưu khi tốc độ tăng giá $a_t$ là xích Markov rời rạc hai trạng thái với các ma trận mật độ chuyển trạng thái tương ứng với vị thế của nhà đầu tư.

Chương 3. Phương pháp Monte - Carlo trong mô hình giá quyền chọn áp dụng cho quá trình có bước nhẩy ngẫu nhiên

Chương 3 mở rộng mô hình giá tài sản sang dạng liên tục có bước nhảy ngẫu nhiên để mô tả các hiện tượng sốc thị trường (vỡ nợ tập đoàn, khủng hoảng chính trị, thiên tai):

  • Hạn chế của công thức giải tích Merton: Trong môi trường rủi ro trung tính có bước nhảy Poisson với cường độ $\lambda$, giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu có công thức: $$C(S_0, T) = \sum_{k=0}^{\infty} p_k(\lambda T) E \left[ C^{(BS)}(\tilde{S}_k) \right]$$ Trong đó $p_k(\lambda T) = \frac{(\lambda T)^k}{k!} e^{-\lambda T}$, $C^{(BS)}$ là công thức Black-Scholes tiêu chuẩn. Luận án chỉ rõ chuỗi này hội tụ rất chậm và việc tính kỳ vọng $E[\tilde{S}_k]$ rất phức tạp, không thuận tiện cho tính toán thực tế.
  • Thuật toán Monte-Carlo: Luận án xây dựng quy trình mô phỏng Monte-Carlo để xấp xỉ giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu. Bằng cách phát sinh các đường đi ngẫu nhiên chứa thành phần khuếch tán Brown kết hợp bước nhảy Poisson, giá trị quyền chọn được tính bằng trung bình mẫu chiết khấu của dòng tiền thanh toán cuối kỳ.
  • Định hướng quyền chọn kiểu Mỹ: Luận án phân tích rằng quyền chọn kiểu Mỹ không có thời hạn thực thi cố định, bản chất là bài toán tìm thời điểm dừng tối ưu dưới sự hiện diện của bước nhảy ngẫu nhiên.

Chương 4. Dự báo trạng thái hội tụ của thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam

Chương 4 tiếp cận bài toán dự báo xu thế hội tụ kinh tế:

  • Mô hình Barro mở rộng: Tác giả mở rộng mô hình hồi quy Barro kinh điển ([20]) bằng cách tiếp cận dưới dạng phương trình vi phân và khảo sát toàn bộ các thời kỳ con trong suốt giai đoạn nghiên cứu thay vì chỉ xét hai thời điểm đầu - cuối (gồm Mô hình Barro 1 mở rộng và Mô hình Barro 2 mở rộng). Luận án chứng minh các kết quả toán học so sánh độ chính xác và tính ưu việt của mô hình mở rộng so với mô hình kinh điển.
  • Mô hình xích Markov: Sử dụng xích Markov để mô hình hóa sự chuyển dịch giữa các nhóm thu nhập bình quân đầu người của các địa phương, ước lượng ma trận xác suất chuyển nhằm dự báo phân bố trạng thái dài hạn.
  • Kết quả thực nghiệm: Ứng dụng trên chuỗi số liệu thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam chứng minh mô hình Barro mở rộng phản ánh sát diễn biến thực tế hơn, khắc phục được hiện tượng triệt tiêu các biến động quan trọng xảy ra trong các chu kỳ con.

Chương 5. So sánh mô hình vector tự hồi qui và các mô hình được tạo ra bởi lập trình Gen trong dự báo chỉ số giá tiêu dùng của Việt Nam

Chương 5 đối chiếu hai phương pháp dự báo chuỗi thời gian lạm phát:

  • Mô hình Vector tự hồi quy (VAR): Tiếp cận tham số truyền thống, thiết lập hệ phương trình hồi quy đa biến giữa chỉ số giá tiêu dùng (CPI) và các biến số kinh tế vĩ mô liên quan.
  • Phương pháp Lập trình Gen (GP): Áp dụng nguyên lý xấp xỉ ngẫu nhiên và giải thuật tiến hóa sinh học. Quá trình bắt đầu từ hàm xấp xỉ ban đầu $\hat{S}_0(x)$ (với $x$ là vector biến trễ hoặc biến độc lập). Qua các thế hệ lặp, các toán tử tiến hóa (lai ghép, đột biến) được áp dụng để sinh ra dãy hàm $\hat{S}_1(x), \dots, \hat{S}n(x)$ thỏa mãn điều kiện co sai số: $$|\hat{S}{k+1}(x) - S(t)| \le |\hat{S}_k(x) - S(t)|$$ Dãy hàm này hội tụ dần về chuỗi quan sát $S(t)$.
  • Kết quả so sánh: Máy tính tự động tạo ra hàm dự báo tối ưu từ quần thể ngẫu nhiên mà không cần giả định tiên nghiệm về dạng hàm toán học. Kết quả thực nghiệm trên dữ liệu CPI Việt Nam cho thấy phương pháp GP có độ chính xác dự báo cao hơn và sai số thấp hơn so với mô hình VAR.

Bảng tổng hợp các mô hình và phương pháp trong 5 chương

Chương Mô hình toán học trọng tâm Phương pháp phân tích Dữ liệu / Ứng dụng thực nghiệm Kết quả chính
Chương 1 Chuỗi tự hồi quy cấp 1 hệ số ngẫu nhiên không âm: $Y_t = (\varphi + |b_t|) Y_{t-1} + e_t$ Suy diễn giải tích, hàm giả hợp lý cực đại (QMLE), mô phỏng số Lợi suất giá vàng tự do Hà Nội (23/08/2011 – 23/08/2012) Thiết lập điều kiện dừng; chứng minh tính vững, phân bố tiệm cận; ước lượng $\hat{\varphi} = 0.0004$.
Chương 2 Quá trình khuếch tán với độ trượt ngẫu nhiên 2 trạng thái: $dX_t = a_t X_t dt + \sigma X_t dW_t$ Định lý Girsanov, lý thuyết lọc Liptser-Shiryaev, công thức Dynkin Dữ liệu mô phỏng quá trình giá và phân phối thời điểm dừng Xác định phương trình tích phân cho bao dừng $b(t)$; tìm ra quy tắc mua ở đáy, bán ở đỉnh theo xác suất $\pi_0$.
Chương 3 Quá trình bước nhảy khuếch tán (Merton Jump-Diffusion) Mô phỏng số Monte-Carlo Mô phỏng quỹ đạo giá tài sản chịu sốc ngẫu nhiên Khắc phục sự hội tụ chậm của chuỗi giải tích; định giá quyền chọn mua/bán Châu Âu.
Chương 4 Mô hình Barro mở rộng dạng vi phân & Mô hình xích Markov Phân tích phương trình vi phân trên các thời kỳ con, ma trận chuyển Số liệu thu nhập bình quân đầu người tại Việt Nam Chứng minh độ chính xác cao hơn mô hình Barro cổ điển; dự báo trạng thái hội tụ thu nhập.
Chương 5 Mô hình Vector tự hồi quy (VAR) & Lập trình Gen (GP) Giải thuật tiến hóa sinh học, xấp xỉ ngẫu nhiên, mô phỏng Monte-Carlo Chuỗi chỉ số giá tiêu dùng (CPI) Việt Nam Máy tính tự sinh hàm dự báo phi tuyến; GP cho sai số dự báo thấp hơn mô hình VAR.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Đề xuất mô hình chuỗi thời gian RCA(1) với hệ số hồi quy chứa thành phần ngẫu nhiên không âm phân bố chuẩn cụt. Chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính dừng hầu chắc chắn, dẫn xuất dạng tường minh của hàm mật độ có điều kiện, đồng thời chứng minh tính vững và tính chuẩn tiệm cận của ước lượng giả hợp lý cực đại.
  2. Mở rộng bài toán thời điểm dừng tối ưu của Shiryaev, Xu và Zhou cho quá trình ngẫu nhiên có hệ số trôi dạt tuân theo biến ngẫu nhiên hai giá trị hoặc xích Markov hai trạng thái. Thiết lập hệ phương trình tích phân phi tuyến xác định đường bao dừng tối ưu thông qua công thức Dynkin và kỹ thuật đổi độ đo Girsanov.
  3. Phát triển mô hình hồi quy Barro mở rộng dựa trên phương trình vi phân trên tất cả các khoảng thời gian con, cung cấp các chứng minh toán học khẳng định tính ưu việt về độ chính xác so với mô hình Barro truyền thống.

Đóng góp về mặt thực tiễn

  1. Cung cấp mô hình RCA(1) có nhiễu không âm thay thế cho các cấu trúc ARCH/GARCH phức tạp trong việc mô hình hóa phương sai thay đổi của chuỗi lợi suất giá vàng tự do tại Hà Nội.
  2. Đưa ra cơ sở định lượng cho các quyết định giao dịch tài chính: chỉ ra mối liên hệ giữa mức độ tin cậy tiên nghiệm $\pi_0$ với thời điểm thanh lý danh mục, xác định nguyên tắc tối ưu hóa thời điểm giao dịch (bán sau đỉnh, mua sau đáy).
  3. Cung cấp công cụ tính toán Monte-Carlo hiệu quả để định giá quyền chọn kiểu Châu Âu trong điều kiện thị trường xuất hiện các cú sốc bất thường dạng bước nhảy.
  4. Đánh giá thực nghiệm xu thế hội tụ thu nhập bình quân đầu người giữa các vùng kinh tế tại Việt Nam, phục vụ công tác đánh giá khoảng cách phát triển.
  5. Ứng dụng thành công lập trình Gen (GP) trong việc tự động sinh hàm dự báo chỉ số giá tiêu dùng (CPI) tại Việt Nam, đạt kết quả dự báo chính xác hơn mô hình chuỗi thời gian tuyến tính VAR.

Kiến nghị và giải pháp đề xuất

  • Ứng dụng mô hình chuỗi thời gian hệ số ngẫu nhiên có điều kiện không âm trong việc phân tích tác động của các chính sách kích cầu hoặc hỗ trợ tài chính đặc thù của Nhà nước.
  • Sử dụng công cụ mô phỏng Monte-Carlo định giá phái sinh để thiết lập các phương án bảo hiểm rủi ro danh mục khi thị trường tài chính đối mặt với các biến cố cực đoan ngoài ý muốn.
  • Kết hợp các phương pháp trí tuệ nhân tạo (lập trình Gen) với các mô hình kinh tế lượng truyền thống để nâng cao chất lượng dự báo các chỉ số kinh tế vĩ mô nhạy cảm như lạm phát.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu

  • Mô hình RCA trong Chương 1 mới dừng lại ở cấp 1 (RCA(1)), chưa mở rộng cho chuỗi tự hồi quy bậc cao $p$ hay hệ nhiều chiều.
  • Bài toán định giá quyền chọn khi có bước nhảy ở Chương 3 mới xây dựng giải thuật Monte-Carlo hoàn chỉnh cho quyền chọn kiểu Châu Âu; đối với quyền chọn kiểu Mỹ, luận án mới dừng ở mức nhận định bản chất toán học là bài toán dừng tối ưu mà chưa giải quyết triệt để biểu thức định lượng.
  • Các ứng dụng thực nghiệm kinh tế vĩ mô và vi mô mới tập trung vào các tập dữ liệu đại diện cụ thể tại Việt Nam trong các giai đoạn xác định.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Nghiên cứu bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu áp dụng cho việc định giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Mỹ trong điều kiện mô hình xuất hiện bước nhảy ngẫu nhiên với cường độ và biên độ bất kỳ.
  • Mở rộng lý thuyết tính dừng và ước lượng tham số cho mô hình tự hồi quy cấp cao $RCA(p)$ với hệ số chứa các thành phần ngẫu nhiên có dấu xác định.
  • Phát triển các giải thuật lai tạo giữa lập trình Gen và các mô hình chuỗi thời gian liên tục có sự chuyển đổi chế độ ngẫu nhiên (regime-switching).

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo hữu ích cho nhiều nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích, Xác suất thống kê, Toán tài chính: Có thể tham khảo phương pháp luận giải tích ngẫu nhiên ở Chương 1 và Chương 2, bao gồm kỹ thuật chứng minh chuỗi tích vô hạn dừng, kỹ thuật đổi độ đo xác suất Girsanov và ứng dụng công thức Dynkin giải bài toán biên tự do.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu Kinh tế lượng, Tài chính định lượng: Có thể khai thác mô hình RCA(1) có nhiễu không âm như một giải pháp thay thế đơn giản hơn mô hình ARCH/GARCH; tham khảo quy trình mô phỏng Monte-Carlo định giá phái sinh khi có bước nhảy ở Chương 3.
  • Chuyên viên phân tích và hoạch định chính sách kinh tế: Chương 4 và Chương 5 cung cấp khung phương pháp cụ thể để đánh giá sự phân hóa thu nhập giữa các tỉnh thành và dự báo biến động lạm phát (CPI) thông qua giải thuật tiến hóa GP.
  • Nhà đầu tư và chuyên viên quản trị rủi ro tài chính: Kết quả về bao dừng tối ưu ở Chương 2 cung cấp thuật toán hỗ trợ quyết định thời điểm giải ngân hoặc chốt lời tài sản dựa trên việc cập nhật liên tục xác suất hậu nghiệm của xu thế giá.

Câu hỏi thường gặp

1. Mô hình RCA(1) có hệ số chứa thành phần ngẫu nhiên không âm khác gì so với mô hình RCA truyền thống?

Trong mô hình truyền thống của Nicholls và Quinn, thành phần ngẫu nhiên trong hệ số hồi quy thường tuân theo phân bố chuẩn đối xứng quanh 0. Trong mô hình của luận án ($Y_t = (\varphi + |b_t|) Y_{t-1} + e_t$), thành phần ngẫu nhiên $|b_t|$ là trị tuyệt đối của biến ngẫu nhiên chuẩn, dẫn đến phân bố chuẩn cụt không âm. Cấu trúc này mô tả các tác động một chiều (như chính sách kích cầu) và dẫn đến hàm mật độ có điều kiện chứa hàm Laplace $\Phi(x)$ phức tạp hơn, đòi hỏi quy trình chứng minh tính dừng và ước lượng QMLE chuyên biệt.

2. Kết quả ước lượng thực nghiệm mô hình RCA(1) trên chuỗi lợi suất giá vàng tự do Hà Nội cho ra kết quả cụ thể nào?

Dữ liệu giá vàng tự do hàng ngày tại Hà Nội từ 23/08/2011 đến 23/08/2012 được sử dụng để ước lượng vector tham số $\theta = (\varphi, \sigma_b^2, \sigma_e^2)$. Kết quả thu được ước lượng $\hat{\varphi} = 0.0004$, phương sai của thành phần ngẫu nhiên hệ số là $\sigma_b^2 = 0.4$, xác lập mô hình dự báo chuỗi lợi suất thực tế: $$r_t = (0.0004 + |b_t|) r_{t-1} + e_t$$

3. Trong bài toán dừng tối ưu ở Chương 2, niềm tin tiên nghiệm $\pi_0$ ảnh hưởng như thế nào đến quyết định bán tài sản?

Xác suất tiên nghiệm $\pi_0 = P(a = a_h)$ quyết định trực tiếp vị trí của thời điểm dừng tối ưu $\tau^*$:

  • Khi $\pi_0$ tiến gần 1 (nhà đầu tư tin tưởng giá tăng trưởng cao), thời điểm dừng tối ưu tiến sát thời hạn cuối $T$; thực nghiệm mô phỏng chỉ ra khi $\pi_0 = 0.9$ thì hầu chắc chắn $\tau^* = 1$.
  • Khi $\pi_0$ tiến gần 0 (nhà đầu tư tin giá tăng trưởng thấp), thời điểm dừng tối ưu lùi về sát điểm bắt đầu; khi $\pi_0 = 0.1$ thì hầu chắc chắn $\tau^* = 0$ (thanh lý tài sản ngay lập tức).

4. Tại sao luận án đề xuất phương pháp Monte-Carlo thay thế công thức giải tích Merton để định giá quyền chọn ở Chương 3?

Công thức giải tích Merton tính giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu có dạng chuỗi vô hạn các số hạng Black-Scholes có trọng số Poisson. Chuỗi này hội tụ rất chậm trong tính toán số học, đồng thời kỳ vọng điều kiện của giá tài sản khi có $k$ bước nhảy ($E[\tilde{S}_k]$) cực kỳ phức tạp. Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo cho phép tính toán trực tiếp giá trị kỳ vọng chiết khấu với độ chính xác kiểm soát được mà không phụ thuộc vào tốc độ hội tụ của chuỗi giải tích.

5. Lập trình Gen (GP) ở Chương 5 tạo ra mô hình dự báo lạm phát khác với mô hình VAR như thế nào?

Mô hình VAR đòi hỏi người nghiên cứu phải xác định trước cấu trúc tuyến tính và bậc trễ của hệ phương trình. Ngược lại, lập trình Gen (GP) khởi tạo ngẫu nhiên một quần thể các hàm toán học ban đầu, sau đó sử dụng các toán tử tiến hóa (lai ghép, đột biến) để tự động tìm kiếm cấu trúc hàm dự báo tối ưu co cụm sai số chuẩn về chuỗi quan sát thực tế CPI. GP có khả năng tự thích ứng và mô hình hóa các mối quan hệ phi tuyến phức tạp mà không cần áp đặt cấu trúc tiên nghiệm.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của tác giả Phạm Văn Khánh đã giải quyết một cách có hệ thống các bài toán lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng trên các chuỗi thời gian rời rạc và liên tục có hệ số ngẫu nhiên hoặc bước nhảy. Công trình đóng góp các kết quả lý thuyết chặt chẽ về tính dừng của mô hình RCA(1) có nhiễu không âm, thiết lập phương trình tích phân xác định đường bao dừng tối ưu cho quá trình khuếch tán với độ trôi dạt ngẫu nhiên, và mở rộng mô hình hội tụ vi phân Barro. Đồng thời, luận án chứng minh tính khả thi và độ chính xác thực nghiệm thông qua các bài toán kinh tế - tài chính thực tế tại Việt Nam bao gồm mô hình hóa lợi suất giá vàng, định giá phái sinh bằng Monte-Carlo, đánh giá hội tụ thu nhập và dự báo chỉ số CPI bằng giải thuật tiến hóa sinh học.