Mở đầu cho các nghiên cứu có gân gia cường FGM là Najafizadeh N. và đồng nghiệp [66]. Bằng cách xây dựng phương trình ổn định tuyến tính và giải bài toán theo phương pháp giải tích và PPPTHH để xác định lực tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia cường dọc và vòng chịu tải nén dọc trục. Tuy nhiên các gân gia cường được họ xây dựng và đề xuất cũng làm bằng vật liệu FGM, do đó về phần chế tạo sẽ gặp nhiều khó khăn.
Bằng cách phát triển thêm bài toán về gân gia cường của tác giả Najafizadeh, tác giả Đào Huy Bích trong tài liệu [15] đã đưa ra một giải pháp đó là sử dụng thêm lý thuyết san đều tác dụng gân của Lekhnitsy. Trong phương án tác giả đề xuất chính, các gân được coi là gân đồng nhất, gân là gân gốm nếu nó được gia cường vào mặt giàu gốm, và là gân kim loại nếu nó được gia cường vào mặt giàu kim loại. Ngoài ra để sự dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân, cần bố trí các gân mau và kích thước nhỏ. Với giải pháp của mình, nhóm tác giả Đào Huy Bích đã đưa ra một loại các nghiên cứu về kết cấu FGM có gân gia cường, trong đó đối với vỏ FGM có thể kể đến các nghiên cứu [13], [14], [11] về kết cấu vỏ trụ mỏng FGM, vỏ hai độ cong, hay vỏ hai độ cong có tính đến yếu tố không hoàn hảo hình học của vỏ, và một số nghiên cứu khác nữa.
Nhóm tác giả Đào Văn Dũng và đồng nghiệp [48], [47] đã nghiên cứu cho kết cấu vỏ hình nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm FGM chịu tải nén và áp lực ngoài. Dựa trên lý thuyết cổ điển có tính đến tính phi tuyến hình học Von Kárman – Donnell và kỹ thuật san đều gân, những ảnh hưởng của các điều kiện nội ngoại cảnh lên sự ổn định của vỏ được phân tích một cách kỹ lưỡng. Tiếp cận với kết cấu vỏ có gân gia cường, tác giả Nguyễn Đình Đức và nhóm đã nghiên cứu cả bài toán động lực học và ổn định tĩnh loại kết cấu này làm bằng cả vật liệu FGM và S-FGM. Cụ thể, ổn định động phi tuyến kết cấu vỏ hai độ cong FGM dưới ảnh hưởng của tải nén và áp lực ngoài có xét đến cả yếu tố không hoàn hảo của vỏ được phân tích và khảo sát trong [27], còn ổn định tĩnh được phân tích trong [29] cũng cho kết cấu vỏ mỏng hai độ cong FGM trên nền đàn hồi, hay trong[33], [34] 18 cho kết cấu vỏ trụ tròn mỏng S-FGM có gân gia cường không hoàn hảo trên nền đàn hồi dưới ảnh hưởng của các loại tải khác nhau.
Ngoài ra, trong tài liệu [43] tác giả Nguyễn Đình Đức và Phạm Toàn Thắng phân tích động lực học và dao động phi tuyến của vỏ trụ tròn S-FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, và cũng với tác giả Phạm Toàn Thắng trong [37] cho kết cấu vỏ trụ tròn S-FGM có gân gia cường nhưng sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao. Đáng lưu ý, nhóm của tác giả Nguyễn Đình Đức đã phát triển bài toán khi kết cấu vỏ FGM có gân gia cường bằng cách xét kết cấu vỏ có gân gia cường được đặt trong môi trường nhiệt độ với giả thiết cả gân và vỏ đều bị biến dạng (về hình dạng) dưới tác động của nhiệt độ, ví dụ cụ thể như trong tài liệu [32] cho kết cấu vỏ nón cụt FGM, trong [39] cho kết cấu vỏ trụ hình ellip, hoặc tài liệu [29] cho kết cấu vỏ mỏng FGM hai độ cong sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển, còn trong [37] và [40] cho kết cấu vỏ trụ tròn S-FGM bằng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao. Ngoài ra, kết quả được phân tích và chỉ ra trong tài liệu [29, 41] của tác giả Nguyễn Đình Đức và nhóm còn chỉ ra được rằng kết quả tính toán khi hệ số Poisson của vật liệu FGM là hàm của tọa độ v ( z ) và khi const là không có sự khác biệt đáng kể. Chính điều này là căn cứ trong việc xem hệ số Poisson luôn là hằng số trong nhiều bài báo khác đã công bố cũng như trong luận án này.
Ổn định phi tuyến tĩnh và động kết cấu vỏ FGM có hình dạng đặc biệt Đối với kết cấu vỏ FGM có hình dạng đặc biệt, các nghiên cứu về kết cấu đặc biệt này nhận được ít sự quan tâm hơn các kết cấu thông thường do sự phức tạp hơn về mặt toán học. Tuy nhiên không vì thế mà các loại kết cấu này không được đề cập. Đối với tấm tròn, dựa trên lý thuyết tấm và phương pháp cổ điển, hai tác giả Ma và Wang trong [62] phân tích ứng xử uốn và sau mất ổn định của tấm tròn FGM dưới tác dụng của tải cơ và tải nhiệt. Nhóm tác giả Li cùng các đồng nghiệp [60] nghiên cứu ổn định phi tuyến cơ nhiệt giai đoạn sau mất ổn định của tấm tròn FGM có tính đến yếu tố không hoàn hảo của tấm.
Najafizadeh và Heydari [67] sử dụng phương pháp biến phân và tiêu chuẩn cân bằng lân cận, dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao để điều tra sự mất ổn định tuyến tính của tấm tròn FGM dưới tác dụng của tải nhiệt trong đó xem xét biến dạng là đối xứng. Ngoài ra, mất ổn định do nhiệt 19 của tấm tròn FGM hoàn hảo cũng đã được phân tích bởi nhóm tác giả Trần và đồng nghiệp [104] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. Một trường hợp hình đặc biệt của vỏ cầu là tấm vành khuyên cũng được các tác giả chú ý đến nghiên cứu. Eslami và Kiani trong [49] đã đưa ra những phân tích ban đầu về mất ổn định nhiệt của tấm vành khuyên FGM trên nền đàn hồi.
Trong khi đó, Dumir và đồng nghiệp [46] đã nghiên cứu ứng xử vồng của tấm vành khuyên đẳng hướng dày biến dạng đối xứng sử dụng lý thuyết biến dạng trược bậc nhất khi kết cấu chịu tải trọng ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ kết cấu. Hoặc đối với vỏ cầu nhẫn, Alwar và Narasimhan [7] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến đối xứng trục kết cấu vỏ cầu nhẫn nhưng làm bằng vật liệu trực hướng nhiều lớp. Trong khi Chih-Ping Wu và Yi-Hwa Tsai [106] đã nghiên cứu về vỏ cầu nhẫn FGM bằng phương pháp tiệm cận “differential quadrature” – DQ. Một hình dạng đặc biệt khác của vỏ cầu cũng đã được chú ý đến đó là kết cấu nắp cầu (spherical caps).
Có thể kể đến một vài nghiên cứu như của Chao và Lin [22], của Xu C. Cụ thể, trong [22], kết cấu nắp cầu cạn trực hướng chịu tải trọng ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài của vỏ đã được Chao và Lin nghiên cứu sử dụng lý thuyết vỏ mỏng cổ điển và giả định vỏ thoải của Reisener. Xu trong tài liệu [107] phân tích vồng và sau vồng kết cấu nắp cầu chịu tải trọng ngoài nhưng cho kết cấu nhiều lớp. Ổn định tĩnh và động phi tuyến kết cấu nắp cầu dưới tác dụng của tải trọng ngoài cũng được Dumir nghiên cứu, nhưng cho kết cấu mỏng trực hướng tựa trên nền đàn hồi [45].
Còn trong [102] Tillman nghiên cứu bằng lý thuyết và thực nghiệm để phân tích ứng xử của kết cấu nắp cầu cạn dưới ảnh hưởng của áp lực ngoài. Có thể thấy số lượng công trình nghiên cứu về kết cấu vỏ có hình dạng đặc biệt, nhất là kết cấu làm bằng vật liệu FGM còn rất hiếm. Nhiều vỏ có hình dạng đặc biệt khác như mảnh cầu nhẫn, theo nguồn tài liệu mở tính đến thời điểm hiện tại thì số lượng là rất hạn chế, gần như là chưa có. Điều này cho thấy việc nghiên cứu ổn định của các kết cấu có hình dạng đặc biệt của vỏ FGM là hết sức cấp thiết, đòi hỏi sự quan tâm hơn nữa của các nhà khoa học trong và ngoài nước.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án Từ tổng quan một số kết quả nghiên cứu về kết cấu vỏ FGM trong những năm vừa qua ở trên, có thể thấy các kết quả nghiên cứu về kết cấu vỏ FGM tuy nhiều nhưng vẫn chưa đủ, vẫn còn nhiều lĩnh vực về vỏ FGM cần phải được xem xét hơn nữa; đặc biệt là vấn đề về vỏ có hình dạng đặc biệt, ví dụ như tấm tròn, vỏ cầu nhẫn, mảnh cầu nhẫn – là những vấn đề gần như còn mới mẻ, chưa có nhiều tài liệu và các công trình nghiên cứu do việc tính toán có phần phức tạp. Hơn nữa các kết cấu vỏ cầu đang được sử dụng nhiều trong các công trình thực tiễn, như mái vòm, bình khí, kết cấu vỏ chứa nguyên liệu trong công nghiệp đóng tàu… Xuất phát từ thực tế đó, luận án đặt ra mục tiêu giải quyết bài toán ổn định phi tuyến tĩnh kết cấu vỏ cầu FGM, đặc biệt là vỏ cầu S-FGM có kể đến cả yếu tố gân gia cường; cũng như là của kết cấu vỏ có hình dạng đặc biệt là vỏ cầu nhẫn và mảnh cầu nhẫn FGM và tấm tròn FGM. Các vấn đề được giải quyết trong luận án này bao gồm: (i) Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến: Xác định các tải tới hạn và ứng xử sau vồng của kết cấu vỏ cầu FGM khi chúng chịu các tải cơ, nhiệt và cơ - nhiệt đồng thời. Từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của kích thước hình học, tính không hoàn hảo về hình dáng ban đầu, gân gia cường và nền đàn hồi đến ổn định phi tuyến của vỏ cầu FGM.
(ii) Nghiên cứu ổn định của các trường hợp riêng của vỏ cầu là vỏ cầu nhẫn, và mảnh cầu nhẫn FGM. Xây dựng các phương trình cơ bản đối với kết cấu vỏ cầu FGM Luận án nghiên cứu về ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu FGM, trong đó có xét đến hai trường hợp đặc biệt của vỏ cầu là vỏ cầu nhẫn và mảnh cầu nhẫn cũng làm bằng vật liệu FGM, do đó trong phần này tác giả sẽ trình bày các phương trình cơ bản nhất được sử dụng chung để giải quyết các bài toán liên quan. Xét mô hình vỏ cầu thoải làm bằng vật liệu FGM (P-FGM hoặc S-FGM) tựa hoặc không tựa trên nền đàn hồi với bán kính cong R, bán kính của hình tròn cơ sở r0 đối với vỏ cầu (hoặc r1 , r0 tương ứng với hình tròn cơ sở dưới và trên đối với vỏ cầu nhẫn hoặc mảnh cầu nhẫn), độ dày thành kết cấu h. Vỏ cầu FGM chịu áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài thành kết cấu q .