Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về topo và đại số làm nén tảng đẻ nghiên cứu những chương sau. Chương H: Phân nàn ti gian phủ Trong chương này đề đặt ra là xác định khong gian phủ của B - van dé topo, G chuyền sua xả: ĐỂ dự vs, và dùng công cụ nhóm cơ ban dé nghiên cứu. Nội dung gồm có: - cam daar Serra ae ôn Khgian phô dụng phủ g .- Sei đổi phủ Vind đực yết ph Sư ẫn củ tán gian ph oh vận ing - Sy tôn tại của không những nội Chương III: nản vào lý thuyết nhóm Trong ch đề đặt ra nhóm con của nhóm tự do là nhóm tự do - vẫn đề đại số chu gt hb wy và sử dụng chứng minh ¿ôn tai không gian phú của chương trước và các nội dung sau: - Không gian phủ của đỗ thị -_ Nhóm cơ bản của đồ thị dé giải quyết vấn đề trên ở phần: - Nhóm con của nhóm tự do Do thời gian có và trình độ bản thân còn nhiều hạn chế, luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các Thay Cô và các ban sinh viên.
TP Hồ Chi Minh, tháng 4 năm 2009 Sinh viên thực hiện GVHD: NGUYÊN HA THANH 4 SVTH: LÊ THỊ MAI TRANG PHAN LOAI KHÔNG GIAN PHU Chương]: CÁC KIEN THUC CHUAN BI _ §1. KHONG GIAN TOPO. TINH COMPACT - ANH XA LIEN TỤC 1.1 Khéng gian topo: 1. Định nghĩa: Mỗi không gian topo là một cặp (X,r), trong đỏ X là một tập hợp khác rỗng, r là một họ nào đó gòm các tập con của X thỏa man các tiên đẻ: (i) Ø.
(ii) | Giao của một họ hữu hạn các tập mở là tập mở. (iii) Hợp của một họ bat ki các tập mở là tập mở. Khi r đã được chi rd hoặc không sợ nhằm lẫn. Mỗi tập hợp Ger được gọi ld tập mở của X.
Các định nghĩa: ChoX là một không gian topo a. Tập đóng: tập con A của X gọi là đóng nếu .X \ 4 là mở, từ luật DeMogan, họ các tập đóng thỏa i @,X đóng ii. Kin với phép hợp hữu han. Kin với phép giao bat ki.
Điểm dính - Bao đóng: xeX gọi là điểm dính của 4 nếu YY mở chứa x > ¥ ¬ 4Ø. Hiển nhiên mọi điểm của 4 đều là điểm dính của nó, tuy nhiên 4 có thé có điểm dính không thuộc A. Ví đụ 4=(a,ø} thì ø là điểm dính của A. Tập hợp các điểm dính của A gọi là bao đóng của A: 4,tacó ACA c.
Cơ sở: Định nghĩa: Một họ B các tập mở của (X.7) gọi là một cơ sở nếu VVe7T. Định by Một họ P các tập mở của (XY,T) là | cơ sở của 7 khi và chỉ khi mọi tập T - mở là một hợp thành của các phan tử trong B. Hệ quả: B là cơ sở của 7 thì 7 là topo trên X nhỏ nhất chứa Ø. Mỗi cơ sở xác định duy nhất | topo.
Dinh ly: Một họ B các tập con của X [aco sở của một topo (nao đó) trên X khi va chi khi (i) UG=Xx cca GVHD: NGUYEN HA THANH 5 SVTH: LE THỊ MAI TRANG PHAN LOẠI KHÔNG GIAN PHU (ii) WVG.GŒ, e 8 và xEeG, AG, + 3GeÖ:vteŒGCGẰ®G,.2 Không gian topo con: (.X,7) là không gian topo va D là tập con của X. Trên D xét họ T„ =V^D/V eT†| là một topo trên D. Định nghĩa: 7, là topo cảm sinh tử topo T.T„) gọi là không gian con của X cảm sinh từ không gian (X,T). mỗi tập con A của X có the xem là tập hợp hay là không gian con (không gian con cảm sinh), tuỳ theo vấn dé đang khảo sat.
Định nghĩa: Tập con A của không gian topo X, gọi là compact nếu: mọi phủ mở của A đều chứa | phủ con hữu han, tức là nếu (V,),,, là một phủ mở của A thi 3a,,a,,. Nếu tập X là compact thi X gọi là không gian compact. Mọi tập hữu hạn đều là tập compact. Moi tập con của không gian topo bù hữu hạn đều là tập compact.
Định lý: A là compact khi và chỉ khi không gian A là không gian compact. Đóng trong comp là ac t. Compact trong không gian 7; là đóng. Hệ quả: Tập con A của R là tập compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.
Định lý: Anh liên tục của tập compact là compact.4 Không gian Hausdorff: Không giantopo X được gọi là Hausdorff nếu với mọi cặp diém phân biệt x,y€ ÄX(x # y) luôn tôn tại các lân cận U của x, lân cận V của y sao cho UnV=0.5 Anh xạ liên tục: 1, Định nghĩa: Cho các không gian topo X,Ÿ và ánh xạ /: X —>Y (a) / liên tục tại điểm xeX nếu mọi V mở của Y chứa /(x), tồn tại mở của X chứa x saocho /(U)cCE. (b) Ánh xạ / gọi là liên tục trên X nếu nỏ liên tục tại mọi điểm của X. GVHD: NGUYÊN HÀ THANH 6 SVTH: LẺ THỊ MAI TRANG PHAN LOAI KHÔNG GIAN PHU 2. Ménh dé: Cho các không gian topo X và Y (a) Ảnh xạ /:.
->Y liên tục khi va chỉ khi anh ngược bởi / của mọi tập mở (đóng) trong Y là tập mở (đóng) trong +. (b) Ảnh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục. Ánh xạ mở - Ảnh xạ đóng: Giả sử f:X — Y là một ánh xạ từ không gian topo X vào không gian topo Y. Ta nor (a) / là anh xạ mở nếu ảnh /(U) của mỗi tập hợp mở U trong tập X là tập mở trong.
(b) / la ánh xạ đóng nếu ảnh /(x1) cua mỗi tập hợp đóng 4 trong tập X là tập dong trong X. Định nghĩa: (a) Cho X và Y là hai không gian topo. Song ảnh /ƒ: X->ŸY thỏa mãn f và /£' đều liên tục được gọi là một phép đồng phôi từ không gian topo X lên không gian topo Y. (b) Hai không gian topo X và Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu tổn tại một phép đông phôi f:X +Y.
Mệnh đề: Giả sử /: X + Y là một song ánh liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Y. Khi đó mệnh đề sau đây tương đương: (i) / là một phép đồng phôi (ii) / là một ánh xạ mở. (iii) / là một ánh xạ đóng. Tương đương topo : (a) Hai không gian topo đồng phôi thi có cùng những tinh chất topo nghĩa là có cùng những tính chất liên quan đến những tập mở, tập đóng và lân cận.
Nói một cách khác, về phương diện topo, nếu X và Y phôi thì X và Y hoàn toàn như nhau. (b) Quan hệ đồng phôi là quan hệ tương đương trên lớp các không gian topo tức là nó có tính chất phản xạ. đối xứng và bắc cầu. (c) Hai không gian topo được gọi là tương đương topo (hay cùng kiểu topo) khi và chí khi chúng đồng phôi.
GVHD: NGUYEN HÀ THANH 7 SVTH: LE TH] MAI TRANG PHAN LOẠI KHÔNG GIAN PHU §2. NHÓM - DONG CÁU NHÓM : 2. Nửa nhóm ; là một tập hợp X cùng với một phép toan hai ngôi kết hợp da cho trong X, Một nửa nhóm có phan tử trung lập gọi là vi nhóm. Một nửa nhóm là giao hoán néu phép toán của nó là giao hoán.
- Nhóm - Ta gọi là nhóm nếu một nửa nhóm X có tinh chất sau: - Có phần tử trung lập e. - Với mọi xeX, có một phần tử x'eX sao cho x'x= xx'=e (phần tử x’ gọi là phần tử đối xứng hay phần tử nghịch đảo của x) 2. Nhóm con: Định nghĩa: Một bộ phận dn định A của một nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh lả nhóm. Định lý: Một bộ phận A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa man: Với mọi x,yc€A, xyeA.
eœA, với e là phần tử trung lập của X Với mọi xe A thì x'eA. Hệ quả: Gia sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Các điều kiện sau đây là tương đương. A là nhóm con của X.
Với mọi x,yeA.xveA và x eA Với mọi x,ye A, xy eA 2.2 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương: 1. Định nghĩa nhómcon chuẩn tắc: Một nhóm con 4 của một nhóm X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x''axeA với mọi aeA và xeX. Định nghĩa nhóm thương : Nếu 4 là một nhóm chuẩn tắc của X thi: + Quy tắc cho tương ứng với cặp (x4, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X!AxX!A đến XA. + X/A cùng với phép toán hai ngôi (A y4) >, xy4 là một nhóm.
gọi là nhóm thương của X trên 4. Định lý: Giả sử 4 là một nhóm con của một nhóm X. Các điều kiện sau là tương đương : + A là chuân tac., GVHD: NGUYEN HA THANH 8 SVTH: LE THỊ MAI TRANG PHAN LOẠI KHONG GIAN PHÙ 2. Định nghĩa: Một dong cấu (nhóm) là một anh xạ / từ một nhỏm X đến một nhóm Y sao cho flaby= flayftb) ;Va.
Nếu X=Y thi đồng cấu f gọi là một tự đồng câu của X. - Một đồng cầu là đơn ánh thì gọi là đơn cấu. - Moột đồng cầu mà toàn ảnh thì gọi là toàn cấu. - Một đồng cấu mà là song ánh thì gọi là một đăng cấu.
Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc AX aera là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc. Anh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi là (ự đẳng cấu đồng nhất của X. Giả sử A là nhỏm con chuẩn tắc của một nhóm X.
Anh xạ h:X >X/A xX >ẰÀ(x) = x4 Là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương + / 4. Đồng cấu này còn là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc. Giả sử x—Y xree Với e là phần tử trung lập của Y , là một đồng cấu gọi là đồng cấu tằm thường. Nếu ƒ:X ->Y là một đẳng cau từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược ƒˆ':X ~»Y cũng là một đẳng cau.
Định lý: Giả sử /: X ->Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến nhóm Y. Thể thi: (i) fle.) =e, (ii) f(x") =[fCoJ' với mọi xe X. Định lý: Giả sử /:.X + Y là một đồng cau từ một nhóm X đến nhóm Y, 4 là một nhóm con của X va Ø là nhóm con chuẩn tắc của Y. Thé thi: (i) f(A) là một nhóm con của Y.
(ii) £-'(B) là một nhóm con chuẩn tắc của Y.