Mở đầu về dé tài nghiên cứu 1.1 Lý do lựa chọn đề tài Dại số Lie được khai sinh từ công trình nghiên cứu của Sophus Lie (1842 - 1899), nhà toán học người Na Uy, về nhóm các phép biến đổi hình học. Khi nghiên cứu đại số Lie, bài toán phân loại và nghiên cứu về biểu diễn đại số Lie là hai vấn đề cơ bản rất được quan tâm. Câu hỏi "C6 bao nhiêu đại số Lie khác nhau?" (tức là, không dang cấu với nhau) được đặt ra cho bài toán phân loại. Thông thường, có 3 kiểu đại số Lie: nửa đơn, giải được hoặc không giải được cũng không nửa đơn.
Theo Levi [29] và Malcev [31], mỗi đại số Lie hữu hạn chiều trên trường có đặc trưng 0 đều phân tích được thành tổng nửa trực tiếp của một đại số con nửa đơn với ideal giải được tối đại của nó. Năm 1988, Rand cùng với Winternitz và Zassenhaus [41] đã đưa ra một thuật toán hiện thực hoá sự phân tích này. Từ đây, việc phân loại các đại số Lie được quy về phân loại các đại số Lie nửa đơn và các đại số Lie giải được. Trong khi các đại số Lie nửa đơn đã được giải quyết triệt để bởi Cartan [6] và Gantmacher [11] thì phan loại các đại số Lie giải được lại phức tạp hơn nhiều và đến nay vẫn còn là bài toán mở.
Các kết quả phân loại đầy đủ đã biết đối với lớp đại số Lie giải được mới chỉ dừng lại 6 6 chiều (xem |4, 9, 28, 32, 33, 34, 35, 54, 59]). Khi số chiều càng tăng thì khối lượng tính toán trong bài toán phan loại trở nên rất lớn và dường như không thể giải quyết trong trường hợp số chiều tổng quát mà ở đó không có bổ sung thêm một hoặc một vài tính chất cho trước của đại số Lie. Mặt khác, như đã biết, mọi đại số Lie giao hoán cùng chiều đều đẳng cấu nhau, vì nó chỉ đơn thuần là một không gian vectơ. Xét trường hợp đại số Lie G giải được n-chiéu không giao hoán, thì lúc nay — đại số dẫn xuất G! = [G,G] của đ có số chiều k € {1,2,.,n — 1}, và đặc biệt G! là ideal nhỏ nhất của G sao cho đại số thương G/G' giao hoán (nhờ đặc điểm này của G! mà ta có thể “xấp xi” một đại số Lie không giao hoán bất kỳ với một đại số Lie giao hoán vốn rất dễ hiểu về cấu trúc); — căn lũy linh N(G) của G là ideal lũy linh lớn nhất của G mà số chiều thoả mãn không nhỏ hơn 5 (xem [33]).
Các đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất có số chiều cụ thể, hoặc với căn lũy linh cụ thể tạo nên một lớp con đặc biệt trong lớp các đại số Lie giải được. Do đó, trong sự cô gắng phân loại các đại số Lie giải được, ta có thể lựa chon bổ sung thêm các ràng buộc về số chiều của đại số dẫn xuất, hoặc xuất phát từ một căn lũy linh là một đại số Lie lũy linh cho trước. Một cách tự nhiên, ta bắt đầu với đại số dẫn xuất, căn lũy linh có chiều thấp. Để có cái nhìn trực quan hơn về đại số Lie, người ta quan tâm nghiên cứu vấn đề biểu diễn.
Bởi vì qua biểu diễn, một đại số Lie trừu tượng sẽ được xem như đại số con của đại số Lie tuyến tính tổng quát, hay cụ thể hơn là đại số con của đại số Lie ma trận. Và vì vậy có thể nói, nghiên cứu biểu diễn đại số Lie là nhằm trả lời câu hỏi "Dai số Lie trông như thế nào?". Một kết quả rất sâu sắc được thể hiện qua Định lý Ado-Iwasawa [1, 21] rằng mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có biểu diễn trung thành bậc hữu hạn, nói một cách khác, mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có thể xem là đại số Lie ma trận với cấp hữu hạn. Thế nhưng, vẫn còn bất lợi là bậc của các biểu diễn được xây dựng trong các phép chứng minh của Định lý Ado-Iwasawa thường rất lớn so với số chiều của đại số Lie ban đầu.
Hơn nữa, ta biết rằng bậc của các biểu diễn có thể lớn một cách tùy ý nhưng không thể nhỏ một cách tùy ý, cụ thể nó bị chặn dưới bởi căn bậc hai của số chiều của đại số Lie đang xét. Vì vậy, yêu cầu đặt ra là: đi tìm các biểu diễn trung thành bậc nhỏ nhất có thể của 6 các đại số Lie hữu hạn chiều. Ký hiệu /(đ) là bậc nhỏ nhất của một biểu diễn trung thành của đại số Lie G. Nói chung, rất khó để xác định /(đ) và cũng rất khó để tìm một ước lượng thích hợp cho (ở).
Bên cạnh đó, một biểu diễn nhóm Lie luôn cảm sinh nên biểu diễn trên đại số Lie của nó. Vì vậy, việc nghiên cứu biểu diễn đại số Lie luôn gắn liền nghiên cứu về biểu diễn nhóm Lie. Trong biểu diễn nhóm Lie, K-quy đạo, tức là quỹ đạo ứng với biểu diễn đối phụ hợp, lại giữ một vị trí trung tâm. Cụ thể, các quỹ đạo đối phụ hợp chính là chìa khóa của phương pháp quỹ đạo hay còn gọi là lý thuyết Kirillov.
Lý thuyết này thiết lập sự tương ứng giữa các biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm Lie với các quỹ đạo đối phụ hợp của nó (xem [25, 26]). Lý thuyết được khởi xướng bởi Kirillov vào đầu những năm 60 của thế kỷ 20 và cho đến nay vẫn luôn là một công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứu biểu diễn nhóm Lie và đại số Lie. Chính vai trò trung tam của các quỹ đạo đối phụ hợp mà việc nghiên cứu về chúng là thực sự cần thiết. Có bao nhiêu đại số Lie? Dai số Lie trông như thé nào? Trung thành Đối phụ hợp 0<dimG!<n-1 3 <dim N(đ) <n Bậc nhỏ nhất (ở) K-quỹ đạo G* thấp chiều |? || | N(đ) thấp chiều cho trước |? || |Tính ø(ở) |? Vấn đề liên quan |? Hình 1.1: Các vấn đề mở Những vấn đề đã chỉ ra ở trên có thể được tóm tắt qua Hình 1.
Đề tài Phân loại các đại số Lie giải được uới đại số dẫn xuất, căn lay linh thấp chiều va một vai biểu diễn của chúng được lựa chọn bởi sự cần thiết của việc nghiên cứu để góp phần giải quyết những vấn đề này.2 Mục đích nghiên cứu Luận án này nghiên cứu những vấn đề mở đã được xác định ở Mục 1.1 nhằm đóng góp một phần vào việc giải quyết các van đề này. Cụ thể, luận án này có các mục đích chính dưới đây. Nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie giải được chiều tùy ý nhưng có bổ sung ràng buộc đại số dẫn xuất thấp chiều; hoàn thành phân loại một lớp con của lớp đại số Lie này, cụ thể là lớp có đại số dẫn xuất 2-chiều. Với lớp đại số Lie giải được có đại số dẫn xuất 2-chiều vừa được phân loại, tiếp tục e nghiên cứu xây dựng biểu diễn trung thành sao cho bậc của biểu diễn là không quá lớn so với số chiều của đại số Lie, qua đó xác định một chặn trên cho bậc nhỏ nhất của biểu diễn trung thành.
e nghiên cứu mô tả các K-quỹ đạo (quỹ đạo ứng với biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie tương ứng) và hình học phân lá liên quan lớp K-quy đạo chiều cực đại. Với lớp K-quỹ đạo nói chung, nghiên cứu về số chiều của chúng đồng thời bổ sung ràng buộc về số chiều của các K-quỹ đạo vào bài toán phân loại các đại số Lie giải được; nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie giải được với ràng buộc tất cả các K-quỹ đạo không tầm thường có chiều hoặc đối chiều thấp và hoàn thành phân loại một lớp con của lớp đại số Lie này, cụ thể là lớp mà các K-quỹ đạo không tầm thường có đối chiều 2. Nghiên cứu lớp các đại số Lie giải được với căn lũy linh thấp chiều chưa được phân loại đầy đủ; hoàn thành phân loại một lớp con của lớp các đại số Lie giải được 7-chiều với căn lũy linh ð-chiều bằng cách mở rộng căn lũy linh là một trong các đại số Lie lũy linh 5-chiều đã biết. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án: Các lớp đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất, căn lity linh thấp chiều và lớp đại số Lie giải được mà tất cả các K-quỹ đạo không tầm thường có đối chiều thấp bằng nhau, cụ thể gồm e Lớp đại số Lie thực giải được có đại số dẫn xuất 2-chiều; e Lớp đại số Lie giải được 7-chiều có căn lũy linh 5-chiéu; e Lớp đại số Lie thực giải được với các K-quỹ đạo không tầm thường đều có đối chiều 2.
Pham vi nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu phan loại triệt để các lớp đại số Lie giải được như đã đề cập đồng thời nghiên cứu về vấn đề biểu diễn của một trong các lớp đại số Lie này.4 Phuong pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các phương pháp: e Nghiên cứu lý thuyết (gồm phân tích và tổng hợp lý thuyết, phân loại và hệ thống hóa lý thuyết) trên cơ sở nghiên cứu các công trình, tài liệu có liên quan đã được công bố, nghiên cứu các kỹ thuật đã được xây dựng trước đó và mở rộng ra vấn đề cần nghiên cứu. e Thảo luận nhóm.5 Ý nghĩa khoa hoc của đề tai Đề tài này có một số ý nghĩa khoa học quan trọng: e Dé tài tập trung phân loại một vài lớp con của lớp các đại số Lie giải được. Từ đó, đóng góp một kết quả cụ thể trong việc giải quyết bài toán phân loại các đại số Lie tổng quát. e Hơn nữa, do có một song ánh giữa lớp các đại số Lie hữu hạn chiều với lớp các nhóm Lie đơn liên.
Cho nên, khi có được kết quả phân loại trên một số lớp đại số Lie, thì các lớp nhóm Lie đơn liên tương ứng xem như cũng được phân loại. e Nghiên cứu về biểu diễn của lớp đại số Lie giải được có đại số dẫn xuất 2-chiều giúp ta có cái nhìn trực quan rằng có thể đồng nhất một phần tử thuộc lớp đại số Lie này với một ma trận xác định, đồng thời giúp ta có những hiểu biết sâu sắc hơn về lớp đại số Lie này thông qua bức tranh hình học các quỹ đạo đối phụ hợp và lớp các phân lá được hình thành từ các quỹ đạo chiều cực đại.6 Bo cục của luận án Với mục đích nghiên cứu cụ thể như trên, luận án được bố cục bao gồm chương mở đầu này, chương tổng quan tình hình nghiên cứu, bốn chương nội dung và chương kết luận.