STABILITY OF POSITIVE SOLUTIONS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DELAYS IN NEURAL NETWORKS

• Tác giả: Le Thi Hong Dung
• Người hướng dẫn: Assoc. Le Van Hien
• Trường học: Hanoi National University of Education
• Chuyên ngành: Differential and Integral Equations
• Đề tài: Ổn Định Nghiệm Dương Phương Trình Vi Phân Phi Tuyến với Trễ trong Mạng Nơ-ron
• Loại tài liệu: Doctoral Thesis
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Ha Noi

• INTRODUCTION
• 1. CHƯƠNG 1: PRELIMINARIES
• 1.1. Nonnegative matrix and M-matrix
• 1.2. System of delayed differential equations and Lyapunov stability
• 1.3. Positive system and stablity of nonlinear positive system
• 1.4. Linear positive system
• 1.5. A result on the exponential stability of positive Hopfield neural network
• 1.6. Conformable fractional derivative
• 1.7. Other auxiliary results
• 2. CHƯƠNG 2: STABILITY OF NONLINEAR POSITIVE TIME-DELAY SYSTEMS IN BAM-COHEN-GROSSBERG NEURAL NETWORKS
• 2.1. Model description and Preliminaries
• 2.2. The existence and uniqueness of a solution
• 2.3. Positive solution and equilibrium point
• 2.4. Positive solutions
• 2.5. Positive equilibria
• 3. CHƯƠNG 3: STABILITY OF POSITIVE CONFORMABLE BAM NEURAL NETWORKS WITH DELAYS
• 4. CHƯƠNG 4: STABILITY OF POSITIVE INERTIAL BAM NEURAL NETWORK MODEL
• CONCLUSION
• LIST OF PUBLICATIONS
• LIST OF REFERENCES

I. Giới thiệu Nghiên cứu ổn định nghiệm dương mạng Nơ ron

Lý thuyết ổn định nghiệm là một trong những chủ đề nghiên cứu hàng đầu trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân và hệ thống điều khiển. Bắt nguồn từ công trình tiên phong của Lyapunov, lý thuyết này đã phát triển mạnh mẽ và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý, hóa học, sinh thái học và trí tuệ nhân tạo. Trong thực tế, nhiều mô hình về dân số, tăng trưởng kinh tế hoặc di cư lao động được mô tả bằng các hệ thống động mà trạng thái của chúng luôn không âm khi trạng thái và đầu vào ban đầu không âm. Những hệ thống này được gọi là hệ dương. Nghiên cứu về hệ dương cho thấy, bên cạnh phạm vi ứng dụng rộng rãi, chúng còn sở hữu nhiều thuộc tính không tìm thấy trong các hệ thống thông thường. Ví dụ, dựa trên tính đơn điệu và mạnh mẽ do tính dương gây ra, hệ dương được sử dụng để thiết kế các bộ quan sát khoảng, ước lượng trạng thái hoặc phân tích ổn định của hệ thống phi tuyến. Do đó, nhờ các đặc điểm lý thuyết và thực tiễn, lý thuyết về hệ dương ngày càng nhận được sự quan tâm lớn trong những năm gần đây.

1.1. Tổng quan về ứng dụng của phương trình vi phân trong mô hình hóa

Phương trình vi phân đóng vai trò then chốt trong việc mô hình hóa toán học các hệ thống động trong nhiều lĩnh vực. Từ việc mô tả sự biến đổi dân số đến dự đoán các xu hướng kinh tế, phương trình vi phân cung cấp một khung phân tích mạnh mẽ. Việc nghiên cứu tính ổn định asymptotic và tính ổn định toàn cục của các nghiệm này đặc biệt quan trọng để đảm bảo rằng các mô hình dự đoán được hành vi thực tế một cách chính xác và đáng tin cậy.

1.2. Sự phát triển của mạng Nơ ron và vai trò trong toán học ứng dụng

Sự ra đời của mạng nơ-ron đã mở ra một kỷ nguyên mới trong toán học ứng dụng và khoa học máy tính. Lấy cảm hứng từ bộ não con người, mô hình mạng nơ-ron có khả năng học hỏi, thích ứng và giải quyết các vấn đề phức tạp. Trong bối cảnh phương trình vi phân, mạng nơ-ron có thể được sử dụng để xấp xỉ nghiệm, phân tích nghiệm và khám phá các thuộc tính động của các hệ thống được mô tả bởi các phương trình này.

II. Thách thức Nghiên cứu ổn định hệ phi tuyến có trễ trong mạng

Trong khi lý thuyết về hệ dương đã được nghiên cứu sâu rộng cho nhiều loại hệ tuyến tính, lĩnh vực này vẫn còn ít phát triển hơn đáng kể đối với các hệ phi tuyến, đặc biệt là đối với các mô hình phát sinh trong mạng nơ-ron nhân tạo và sinh học. Thông thường, động lực học của mạng được biểu diễn bằng một hệ phương trình vi phân phi tuyến có hoặc không có trễ. Trong hai thập kỷ qua, nghiên cứu liên quan đến hành vi định tính của hệ thống phi tuyến mô tả các loại mạng nơ-ron khác nhau đã thu hút được sự chú ý đáng kể của các nhà nghiên cứu do phạm vi ứng dụng rộng rãi. Tính phi tuyến của hàm kích hoạt tế bào thần kinh làm cho việc nghiên cứu các mạng nơ-ron dương trở nên phức tạp và đầy thách thức hơn, đòi hỏi kiến thức chuyên sâu và các kỹ thuật cụ thể.

2.1. Độ phức tạp khi phân tích ổn định phương trình vi phân có trễ

Việc đưa trễ thời gian vào phương trình vi phân tạo ra những thách thức đáng kể trong phân tích ổn định. Trễ có thể dẫn đến dao động, mất ổn định và hành vi phức tạp, đòi hỏi các kỹ thuật toán học tiên tiến để ước lượng nghiệm và xác định điều kiện ổn định.

2.2. Hạn chế trong nghiên cứu hệ dương phi tuyến trong mạng Nơ ron

Mặc dù đã có nhiều kết quả liên quan đến lý thuyết hệ thống và điều khiển cho hệ dương được công bố trong vài thập kỷ qua, nhưng lĩnh vực nghiên cứu định tính về hành vi dài hạn và ổn định của các hệ thống nơ-ron phi tuyến có trễ vẫn là mối quan tâm lớn đối với các nhà toán học và kỹ sư. Ngoài ra, nhiều vấn đề mở liên quan đến ổn định nghiệm dương trong các mô hình sinh thái có nhiều trễ khác nhau vẫn đang được phát triển, đặc biệt đối với các mô hình có cấu trúc tổng quát hơn và gần với thực tế hơn.

III. Phương pháp Kỹ thuật so sánh và lý thuyết M matrix

Luận án tập trung vào các vấn đề về ổn định của một số lớp hệ thống vi phân dương phi tuyến có trễ trong mô hình mạng nơ-ron. Cụ thể, luận án nghiên cứu các vấn đề sau: Nghiệm dương và tính ổn định theo cấp số nhân của hệ thống phi tuyến có trễ thời gian trong mô hình mạng nơ-ron BAM-Cohen-Grossberg. Tính ổn định theo cấp số nhân của mạng nơ-ron BAM phù hợp dương với trễ thay đổi theo thời gian. Tính hấp dẫn theo cấp số nhân của mạng nơ-ron quán tính dương trong mô hình bộ nhớ kết hợp hai chiều có trễ thay đổi theo thời gian. Các mô hình được xem xét là các hệ thống mô tả mạng BAM-Hopfield có trễ bị chặn. Với các giả định liên quan đến trọng số kết nối và hàm kích hoạt thần kinh, chúng tôi chứng minh các hệ thống là dương và nhằm mục đích thiết lập các điều kiện ở dạng LP để đảm bảo tính ổn định theo cấp số nhân của hệ thống.

3.1. So sánh các kỹ thuật thông qua bất đẳng thức vi phân và tích phân

Kỹ thuật so sánh, đặc biệt là thông qua bất đẳng thức vi phân và tích phân, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích ổn định. Những kỹ thuật này cho phép so sánh nghiệm của hệ thống phức tạp với nghiệm của hệ thống đơn giản hơn, từ đó suy ra các kết luận về tính ổn định.

3.2. Ứng dụng lý thuyết M matrix trong phân tích ổn định

Lý thuyết M-matrix cung cấp một công cụ mạnh mẽ để phân tích ổn định của các hệ phương trình vi phân, đặc biệt là khi liên quan đến hệ dương. Bằng cách sử dụng các thuộc tính của M-matrix, có thể xác định các điều kiện ổn định một cách hiệu quả.

IV. Nghiên cứu mới Điều kiện LP cho ổn định mạng BAM Cohen Grossberg

Luận án này tập trung vào việc đề xuất các điều kiện dựa trên LP mới cho tính dương của nghiệm và tính ổn định theo cấp số nhân của trạng thái cân bằng dương của mạng nơ-ron BAM-Cohen-Grossberg với trễ thay đổi theo thời gian và tốc độ tự kích thích phi tuyến. Chứng minh tính dương và đưa ra các điều kiện có thể xử lý được cho sự ổn định theo cấp số nhân toàn cầu của trạng thái cân bằng dương duy nhất của mạng nơ-ron BAM phù hợp với trễ liên lạc. Thiết lập các điều kiện dựa trên LP đảm bảo tính dương của nghiệm và tính ổn định theo cấp số nhân toàn cầu của trạng thái cân bằng dương duy nhất của mạng nơ-ron quán tính BAM với trễ bị chặn.

4.1. Xây dựng điều kiện LP dựa trên M matrix cho ổn định

Việc xây dựng các điều kiện tuyến tính khả trình (LP) dựa trên lý thuyết M-matrix cho phép xác định các điều kiện ổn định một cách hiệu quả. Các điều kiện này cung cấp một phương pháp thực tế để kiểm tra tính ổn định của mạng nơ-ron trong các ứng dụng thực tế.

4.2. Ứng dụng Brouwer fixed point theorem

Brouwer fixed point theorem, việc sử dụng một phép biến đổi để tìm ra một nghiệm dương của phương trình. Nghiệm dương là một khái niệm quan trọng để đảm bảo sự ổn định của hệ thống vi phân. Việc sử dụng fixed point theorem tạo ra các giải pháp thích hợp để tạo tính ổn định asymptotic.

V. Ứng dụng Mô hình hóa và ổn định hệ thống sinh học và kỹ thuật

Các kết quả nghiên cứu trong luận án có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong việc mô hình hóa và phân tích ổn định của các hệ thống sinh học và kỹ thuật. Ví dụ, mạng nơ-ron với trễ được sử dụng để mô tả các quá trình sinh học như truyền tín hiệu thần kinh và điều hòa gen. Các điều kiện ổn định được phát triển trong luận án có thể giúp thiết kế các hệ thống điều khiển mạnh mẽ cho các ứng dụng kỹ thuật.

5.1. Ứng dụng trong điều khiển hệ thống có trễ thời gian

Các hệ thống điều khiển thường gặp phải trễ thời gian do thời gian xử lý, truyền thông hoặc các yếu tố khác. Các phương pháp phân tích ổn định được phát triển trong luận án có thể được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển bù trễ thời gian và đảm bảo tính ổn định của hệ thống.

5.2. Mô hình hóa và phân tích mạng Nơ ron sinh học

Mạng Nơ-ron có thể được sử dụng để mô hình hóa các quá trình sinh học phức tạp như truyền tín hiệu thần kinh, điều hòa gen và tương tác giữa các loài trong hệ sinh thái. Việc nghiên cứu tính ổn định của các mô hình này là rất quan trọng để hiểu và dự đoán hành vi của các hệ thống sinh học.

VI. Kết luận Hướng nghiên cứu mở rộng và phát triển lý thuyết

Nghiên cứu này đã góp phần vào sự hiểu biết về tính ổn định của các hệ thống phi tuyến có trễ trong mạng nơ-ron. Các kết quả đạt được mở ra nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng, bao gồm việc phát triển các phương pháp phân tích ổn định mới, khám phá các ứng dụng của mạng nơ-ron trong các lĩnh vực khác nhau và xây dựng các mô hình phức tạp hơn để mô tả các hệ thống thực tế.

6.1. Mở rộng nghiên cứu về các loại trễ khác nhau

Nghiên cứu có thể được mở rộng để xem xét các loại trễ khác nhau, chẳng hạn như trễ phụ thuộc vào trạng thái, trễ phân bố và trễ ngẫu nhiên. Việc phân tích tính ổn định của các hệ thống với các loại trễ này có thể cung cấp những hiểu biết sâu sắc hơn về hành vi của các hệ thống thực tế.

6.2. Phát triển phương pháp phân tích ổn định mạnh mẽ hơn

Việc phát triển các phương pháp phân tích ổn định mạnh mẽ hơn có thể giúp giải quyết các vấn đề phức tạp hơn và cung cấp các kết quả chính xác hơn. Các phương pháp này có thể bao gồm việc sử dụng các kỹ thuật phân tích hàm Lyapunov, bất đẳng thức vi phân và lý thuyết điều khiển.