CHƯƠNG 1. ỔN ĐỊNH CON LẮC NGƯỢC 1. Tìm hàm truyền của đối tượng 1. Giới thiệu về đối tượng Gồm 1 cây kim loại (thanh con lắc) quay quanh 1 trục thẳng đứng.
Thanh con lắc được gắn gián tiếp vào một xe (xe con lắc) thông qua một encoder để đo góc. Trên chiếc xe có 1 encoder khác để xác định vị trí chiếc xe đang di chuyển. Do trong quá trình vận hành chiếc xe sẽ chạy tới lui với tốc độ cao để lấy mẫu nên phần cơ khí cần phải được tính toán thiết kế chính xác, chắc chắn nhằm tránh gây nhiễu và hư hỏng trong quá trình vận hành. Mô hình toán hệ con lắc ngược Hình 1.
Mô hình hệ động lực học hệ con lắc ngược. - Trong đó: M: Khối lượng xe (kg) m: Khối lượng con lắc (kg) l: Chiều dài con lắc (m) F: Lực tác động vào xe (N) g: gia tốc trọng trường () x: vị trí xe con lắc (m) θ: góc lệch giữa con lắc và phương thẳng đứng (rad) Việc mô tả các chuyển động của động lực học con lắc ngược dựa vào định luật của Newton về chuyển động. Các hệ thống cơ khí có hai trục: chuyển động của xe con lắc ở trên trục X và chuyển động quay của thanh con lắc trên mặt phẳng XY. Phân tích sơ đồ của hệ thống con lắc ngược ta có được sơ đồ lực tác động vào xe con lắc và thanh con lắc theo hình 2.
5 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 Hình 2. Sơ đồ lực tác dụng vào hệ thống con lắc ngược Tiến hành tổng hợp các lực tác động vào xe con lắc theo phương ngang ta đuợc các phương trình về chuyển động: M x b x N F (1) Chúng ta có thể tổng hợp các lực theo phƣơng thẳng đứng nhƣng không hữu ích vì chuyển động của hệ thống con lắc ngược không chuyển động theo hướng này và trọng lực của Trái Đất cân bằng với tất cả lực thẳng đứng. Tổng hợp lực của thanh con lắc theo chiều ngang ta được: m x ml cos ml 2 sin N (2) Trong đó là chiều dài từ tâm con lắc tới điểm gốc là: L l 2 Từ phương trình (2) ta thay vào phương trình (1) được: ( M m x) b x ml 2 cos m 2 lsin F (3) Tổng hợp các lực vuông góc với thanh con lắc: P sin N cos mg sin ml m x cos (4) Để làm triệt tiêu hai điều kiện P và N ta tiến hành tổng hợp moment tại trọng tâm thanh con lắc: Pl sin N cos J (5) Thay phương trình 1.4 vào phương trình 1.5 ta được: ( J ml 2) m lg sin ml x cos (6) Từ hai phương trình (3) và (6) ta có hệ phương trình mô tả đặc tính động học phi tuyến của hệ thống con lắc ngược: 6 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 ( M m) x b x ml cos ml 2 sin F (7) 2 ( J ml ) mlgsin ml x cos (8) Ta biến đổi (7) và (8) như sau: F b x ml cos ml 2 sin x (9) M m mlxcos mlgsin (10) ( J ml 2 ) Thay các phương trình (9) và (10) vào các phương trình (7) và (8) ta được phương trình toán của hệ con lắc ngược phi tuyến: ( J ml 2 )( F b x ml 2 sin cos ) m 2l 2 gsin cos x (11) ( J ml 2 )( M m) m 2l 2cos 2 2 ml (b x cos Fcos ml sin cos (M m) gsin ) (12) ( J ml 2 )( M m) m 2l 2cos 2 Để đơn giản hóa hệ thống ta bỏ qua khối lượng cần lắc, mô hình toán phi tuyến của hệ con lắc ngược được xác định như sau: F ml ( sin ) 2 mgsin cos x (13) M m mcos 2 Fcos ( M m) gsin ml ( sin cos ) 2 (14) mlcos 2 ( M m)l Để tuyến tính hóa hệ con lắc ngược ta giả sử góc θ nhỏ để có thể xấp xỉ: sinθ ≈ θ; cosθ ≈ 1; 0. Ta được phương trình tuyến tính hóa hệ thống như sau: F mg x (15) M M F ( M m) g (16) Ml Ml Lấy Laplace 2 vế phương trình (16) ta được: F ( s) ( M m) g s 2 ( s ) Ml Ml Hàm truyền của hệ thống: 1 ( s) Ml 1 G (s) (17) F ( s ) ( M m) g Mls ( M m) g 2 Ml 7 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 1.
Tìm hàm truyền và vẽ QĐNS: Ký hiệu Mô tả Giá trị Đơn vị m Khối lượng con lắc 0,1 kg M Khối lượng xe con lắc 0,9 kg l Chiều dài con lắc 0,6 m g Gia tốc trọng trường 9,81 m/ Bảng 1. Thông số mô phỏng hệ thống con lắc ngược bỏ qua thông số động cơ 1. Vẽ QĐNS trên phần mềm Matlab Tìm K để hệ thống ổn định - Thay thông số thực tế vào hàm truyền: M = 0.81 - Hàm truyền của hê ̣ thống, từ phương trình (17) ta có: K GD ( s ) 0.81 - Phương trình đă ̣c trưng của hê ̣ thống 1 GD ( s ) 0 K 1 0 0.81 K 0 8 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 0. Bảng Rough Điều kiện để hệ thống ổn định K>0 Vẽ QĐNS trên phần mềm Matlab: CODE MATLAB: >> num=[1] >> den=[0.9 0 -35] >> hamtruyen=tf(num,den) : Xuất phương trình hàm truyền >> axis([-10 10 -15 15]) : Độ dài trục X và trục Y >> rlocus(hamtruyen) : Xuất quỹ đạo nghiệm số >> grid on : Hiển thị các đường tọa độ trục 9 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 1.
Tìm K để hệ thống ổn định Phương trình đặc trưng của hệ thống 1 GD ( s ) 0 K 1 0 0.9 s 2 35 K 0 Tìm Kgh theo tiêu chuẩn Hurwitz: Ta có ma trâ ̣n a1 a3 0 0 a0 a 2 0.9 35 K Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Huwitz đều bằng 0 nên hệ thống không ổn định. Xác định giá trị của k,Wc trên Matlab: CODE MATLAB: >> num=[1] >> den=[0.9 0 -35] >> hamtruyen=tf(num,den) : Xuất phương trình hàm truyền >> axis([-10 10 -15 15]) : Độ dài trục X và trục Y >> rlocus(hamtruyen) : Xuất quỹ đạo nghiệm số >> grid on : Hiển thị các đường tọa độ trục >> [k,Wc]=rlocfind(hamtruyen) 10 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 11 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 K= 41.6799i - Đáp ứng bước của hệ thống: Nhận xét: 12 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 -Từ biểu đồ ta có thể thấy hê ̣ thống đạt setpoint ở giây 9.3 và tiếp tục tăng tuyến tính. Hê ̣ thống chưa ổn định. Do đó ta cần thiết kế thêm bô ̣ điều khiển để hê ̣ thống ổn định 13 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 Thiết kế BĐK mờ, PID cho biết kết quả trước khi thiết kế, sau khi thiết kế và kết quả đạt được tốt nhất sau khi hiệu chỉnh 1.
Bộ điều khiển mờ 1. Chọn biến vào ra Ta chọn bốn biến vào ra là góc lệch của con lắc, vận tốc góc của con lắc, ví trí xe và vận tốc của xe. Biến ra là lực tác động lên xe. Ta chọn các tập cơ sở của các biến như sau: - Góc lệch: [-0,3;0,3] (rad) - Vận tốc góc: [-0,3;0,3] (rad/s) - Vị trí xe: [-3;3] (m) - Vận tốc xe: [-3;3] (m/s) - Lực tác động: [-40 ;40] (N) 1.
Chuẩn hóa các biến đầu ra và đầu vào Chuẩn hóa các biến về miền [-1;1] nên ta chọn các hệ số tiền xử lý và hậu xử lý như sau: 1 1 1 K1 ; K 2 1; K 3 ; K 4 Hệ số tiền xử lý: 0,3 3 3 Hệ số hậu xử lý: K 5 40 14 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 1. Định nghĩa các tập mờ Chọn 3 tập mờ cho mỗi biến ngõ vào, các tập mờ này phân hoạch trên tập cơ sở chuẩn hóa [-1;1] và hàm liên thuộc có dạng hình bậc thang. Số tập mờ ở biến ngõ ra được chọn bằng 7 và hàm liên thuộc có dạng vạch. được chọn bằng 7 và hàm liên thuộc có dạng vạch.
Định nghĩa các hàm liên thuộc ngõ vào. 15 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.com) lOMoARcPSD|38895030 Nhóm 3-TD20D Lý thuyết điều khiển 2 Hình 4. Định nghĩa các hàm liên thuộc ngõ ra. Lựa chọn quy tắc mờ Với ba tập mờ ngõ vào cho mỗi biến và dựa vào phương pháp thử sai, kinh nghiệm ta có thể liệt kê ra 81 quy tắc mờ như bảng dưới đây: STT x x f 1 NE NE NE NE NB 2 NE NE NE ZE NB 3 NE NE NE PO NM 4 NE NE ZE NE NB 5 NE NE ZE ZE NM 6 NE NE ZE PO NE 7 NE NE PO NE NM 8 NE NE PO ZE NE 9 NE NE PO PO ZE 10 NE ZE NE NE NB 11 NE ZE NE ZE NM 12 NE ZE NE PO NE 13 NE ZE ZE NE NM 16 Downloaded by BACH VAN (bachvan12@gmail.