Chương 1 1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge transformation).
Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ phải bất biến chuẩn (gauge invariant). Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trò tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn (gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động lực là nhóm , và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm và trường chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ là nhóm , trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon.
Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn , các nhà vật lý lý thuyết đã xây dựng được lý thuyết thống nhất cho tương tác điện từ - yếu (mô hình Weinberg - Salam), còn nếu chọn nhóm chuẩn là 9 , ta sẽ được lý thuyết thống nhất điện từ - yếu - mạnh (mô hình chuẩn – Standard Model). Nếu thay nhóm chuẩn của mô hình chuẩn bằng nhóm ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified Theory). Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thông qua một ngôn ngữ duy nhất, đó là ngôn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết Yang- Mills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình này trong những mô hình vật lý khác nhau luôn là đề tài hấp dẫn các nhà vật lý.
Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs. Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến. Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo , đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo toàn.
Sự bảo toàn của không phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập hợp các tọa độ được coi như không gian moduli. Bogomolny [11] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE.
Bởi vì phương trình Bogomolny không chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có năng lượng cực tiểu. Nếu một đơn soliton có tập hợp tọa độ thì soliton sẽ có một không gian moduli với chiều. Đa tạp chiều này có cấu trúc một ma trận, nó mô tả những sự tương tác của các soliton.
Đôi khi thế của trường cũng được định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế, 10 không có lực tương tác giữa các soliton tĩnh và các tương tác bị chi phối bởi dạng hình học của không gian moduli thì năng lượng tỉ lệ với số lượng các soliton. Những thí dụ về các soliton được các nhà vật lý quan tâm nhiều: Kinks với một chiều; Vortices trong lý thuyết gauge với trường Higgs của trường hợp hai chiều [12]; Lumps trong những lý thuyết trường vô hướng phi tuyến ( - models) với hai chiều [13]; Monopoles trong ba chiều của những lý thuyết Gauge/Higgs [14, 15]; Solitons trong ba chiều -models (được biết đến như những Skyrmion) [16, 17]; Instantons trong những lý thuyết thuần gauge của bốn chiều [18] 1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong không gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge có dạng (1.1) nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge.
Các nghiệm của phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel [19], nghiệm monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các lớp ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy toán học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel.
11 Nghiệm monopole Wu-Yang là nghiệm monopole tự do của lý thuyết thuần. Nghiệm này đã được tìm ra đầu tiên bởi Wu và Yang [20] với trường hợp (sau đó được Jualia và Zee [21], Hsu và Mac [22] mở rộng cho trường hợp ) bằng cách đưa vào ansatz sau (gọi là ansatz Wu-Yang) (1.2) [ ] Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau (1.3) ( ) Phương trình (1.3) có hai nghiệm hằng là và , chúng là những nghiệm vacuum với ( đối với nghiệm thứ nhất, còn đối với nghiệm thứ hai là thế gauge thuần). Nghiệm hằng số không tầm thường là (1.4) Khi , thì , ta có trong đó là những hằng số. Với thế gauge không triệt tiêu tại vô cùng ̂ Dù có sự đóng góp này của thế gauge nhưng nó có thể thay đổi bởi phép biến đổi gauge.
Vì vậy, với sự tương đương gauge, phương trình (1. Để có cách nhìn tổng thể hơn và thuận lợi cho việc so sánh các nghiệm của Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs này. Ta hãy chỉ ra đây một tam tuyến Higgs mà Lagrangian của nó trong lý thuyết gauge được cho bởi (1.7) và thế Higgs là ( ) (1.8) chỉ số là chỉ số và bất biến dưới phép biến đổi cục bộ , còn cả và biến đổi như các biểu diễn phó. Mặt khác, thế Higgs phải không triệt tiêu tại vô cùng còn thế năng phải triệt tiêu tại đó.
Do vậy, bất kể nghiệm vật lý nào cũng phải thỏa mãn ( ) ̂ (1.9) √ Điều này giống như việc phá vỡ đối xứng trong lý thuyết lượng tử, mà ở đó mong muốn rằng vacuum có giá trị khác không 〈 〉. Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu một Lagrangian của thế gauge thuần Yang- Mills, có dạng ( ) (1.11) Để thế năng tại vô cùng phải triệt tiêu, đòi hỏi (1.12) Từ sự tương ứng Julia-Zee [21], nếu chọn (1.13) thì nghiệm của lý thuyết thuần Yang-Mills (1.10) và nghiệm của lý thuyết Yang-Mills-Higgs (1.5) sẽ giống nhau về mặt toán học. Trở lại với vấn đề nghiệm Wu-Yang. Phương trình (1.13) cho ta thấy rằng, bất kể nghiệm tĩnh nào của lý thuyết thuần cũng có thể coi như nghiệm của lý thuyết (1.5) mở rộng trong giới hạn nói trên.
Do vậy mà 13 phương trình (1.4) cũng gợi ý một nghiệm tương tự như lý thuyết đó. Ansatz thích hợp cho sự tương ứng này của phương trình (1.14) [ ] Phương trình chuyển động thu được từ Lagrangian (1.15) ( ) Sử dụng các ansatz (1.14) ta được phương trình rút gọn của (1.16) ( ) phương trình này có dạng hoàn toàn tương tự như (1. Còn đối với trường hợp thì phương trình này không còn nghiệm hằng số nữa.16) ta tìm được [ ] ở đây, ta sử dụng các ký hiệu Với (1.15), phương trình thứ nhất ứng với trường hợp tầm thường khi , còn khi thì nó trở thành [ ( ) ] và phương trình thứ hai của (1.15) trở thành [ ( ) ] 14 Từ (1.16) ta thu được Xuất phát từ phương trình (1.14) nên đôi khi người ta dùng thuật ngữ “bán kính gauge”. Sự tương ứng mà ta đã chỉ ra ở đây là điều rất thuận lợi cho việc tìm nghiệm của các phương trình chuyển động (1.16) trong trường hợp thuần gauge.
Một loại gauge khác mà được gọi là “string gauge” hay “unitary gauge”, với dạng biến đổi cục bộ ( ) (1.17) ký hiệu ̂ là vector phương vị trong không gian gauge (được xác định như hướng trong không gian ba chiều), tức là trên trục thì tọa độ của mỗi điểm là ̂. Phép biến đổi này là không liên tục dọc theo phía âm của trục. Những thế gauge unita thu được từ ansatz (1.14) bởi phép biến đổi (1.18) ( ) [ ̂ ̂ ] ( ) [ ̂] ở đây ̂ và ̂ là vector đơn vị trực giao với góc cực và trong 3-không gian. Những thế và được xác định bởi hàm.
Khi có phá vỡ đối xứng tự phát thì là thành phần khối lượng của trường gauge. Nhưng 15 thì không phụ thuộc vào hay mà nó được xác định bởi dạng của ansatz (1. Trở lại với nghiệm (1.4) ở trên, trong trường hợp string gauge nó trở thành (1.19) ( ) [ ̂] Với đây là nghiệm đầu tiên được tìm ra bởi Wu và Yang vào năm 1968 [20] và đó chính là nghiệm monopole. Còn đối với thì có thể coi như là nghiệm dyon với điện tích trong lý thuyết thuần gauge.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee Trong phần này ta sẽ xem xét một số nghiệm của lý thuyết gauge tương ứng với sự phá vỡ đối xứng gauge.
Một trong số nghiệm nổi tiếng thuộc lĩnh vực này của lý thuyết trường lượng tử là nghiệm monopole của ’t Hooft-Polyakov.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov ’t Hooft [15] và Polyakov [23, 24] đã tìm ra (một cách độc lập) nghiệm monopole của lý thuyết gauge với tam tuyến Higgs. Đây là nghiệm không kỳ dị và có năng lượng hữu hạn. Nó biểu diễn những trạng thái định xứ, mở rộng và bền về topo. Monopole chính là nghiệm của phương trình (1.16) cho trường hợp và.
16 Nhớ rằng, những nghiệm thu được từ việc sử dụng các ansatz Wu-Yang (1968), đó là (1. Bây giờ, ta hãy tìm hiểu để trả lời câu hỏi xem tại sao nghiệm này lại được giải thích như một đơn cực?