Nghiên cứu về soliton trong hệ trường gauge: Từ lý thuyết đến ứng dụng

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài

1.2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.3. Phương pháp nghiên cứu

1.4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

1.5. Bố cục của luận án

2. CHƯƠNG 1: SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL

2.1. Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang

2.2. Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee

2.2.1. Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov

2.2.2. Nghiệm dyon Julia – Zee

2.3. Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS)

2.3.1. Nghiệm soliton tới hạn

2.3.2. Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS)

2.4. Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton

2.5. Kết luận chương 1

3. CHƯƠNG 2: NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC

3.1. Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục

3.1.1. Nguồn đối xứng xuyên tâm

3.1.2. Nguồn ngoài đối xứng trục

3.2. Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng

3.3. Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo cao

3.3.1. Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục

3.3.2. Gián đoạn hóa hệ trường liên tục

3.3.3. Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV]

3.3.4. Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel [IV]

3.3.5. Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi Abel [III, IV]

3.4. Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích

3.4.1. Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng sợi dây

3.4.2. Nghiệm tĩnh của phương trình

3.4.3. Nghiệm sóng của phương trình [VI]

3.5. Kết luận chương 2

4. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN

4.1. Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong

4.2. Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và [V]

4.3. Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn

4.4. Kết luận chương 3

5. CHƯƠNG 4: THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN

5.1. Hạt trong trường Wu-Yang

5.2. Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS

5.2.1. Hạt trong trường gauge 'tHooft

5.2.2. Hạt trong trường soliton BPS

5.3. Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills

5.3.1. Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V]

5.3.2. Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V]

5.4. Kết luận chương 4

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Soliton và Hệ Trường Gauge Yang Mills

Lý thuyết trường gauge Yang-Mills, nền tảng của Mô hình Chuẩn, mô tả các tương tác cơ bản. Nghiên cứu soliton trong các hệ này mở ra hướng tiếp cận mới, khám phá các nghiệm phi tuyến có tính chất hạt. Soliton bảo toàn hình dạng theo thời gian, liên quan đến bản chất topo của nghiệm. Các nghiệm được phân loại theo chỉ số topo, một tích phân chuyển động quan trọng. Nghiên cứu này có ý nghĩa lớn trong nhiều lĩnh vực như quang học phi tuyến, vật lý hạt, vũ trụ học và vật lý chất rắn. Trong lý thuyết trường, soliton có dạng gần đúng như các hạt, với mật độ năng lượng tập trung trong không gian và dịch chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton nổi tiếng bao gồm skyrmion, nghiệm Wu-Yang, instanton, monopole 't Hooft-Polyakov và soliton BPS. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm tổng quát cho các phương trình phi tuyến này là một thách thức, đòi hỏi việc khai thác các tính chất đối xứng và sử dụng các ansatz riêng cho từng trường hợp.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Lý Thuyết Trường Gauge Yang Mills

Lý thuyết trường gauge Yang-Mills ra đời năm 1954, dựa trên yêu cầu bất biến Lagrangian đối với các phép biến đổi đối xứng nội tại. Glashow (1960) thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu. Weinberg và Salam (1967) kết hợp cơ chế Higgs, tạo khối lượng cho boson gauge, xây dựng mô hình Weinberg-Salam. CERN (1973) tìm thấy dòng yếu trung hòa, củng cố lý thuyết điện-yếu. QCD ra đời, mô tả tương tác mạnh dựa trên bất biến gauge đối với nhóm SU(3). Mô hình Chuẩn vẫn chưa thống nhất hoàn toàn do thiếu lực hấp dẫn. Mô hình này chứa fermion (hạt vật chất) và boson (hạt truyền tương tác). Các boson trung gian truyền tương tác giữa các fermion, được gọi là gauge boson. Các lý thuyết gauge này bất biến dưới phép biến đổi gauge.

1.2. Vai Trò của Soliton trong Vật Lý Lý Thuyết Hiện Đại

Soliton là đối tượng nghiên cứu quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lý. Trong lý thuyết trường, soliton có dạng gần đúng như các hạt, với mật độ năng lượng tập trung trong không gian và dịch chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang- Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad- Sommerfield). Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý thuyết.

II. Thách Thức và Phương Pháp Nghiên Cứu Nghiệm Soliton

Việc tìm nghiệm soliton cho các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs là một thách thức lớn do tính phi tuyến của chúng. Hầu như không có phương pháp giải tổng quát, mà phải dựa vào các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng cho từng trường hợp. Các trung tâm nghiên cứu mạnh về lĩnh vực này bao gồm Đại học Princeton, Massachusetts, Viện Vật lý lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge, Durham. Trong nước, nhóm nghiên cứu của Nguyễn Văn Thuận đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn SU(2) và ứng dụng trong các bài toán lượng tử. Luận án này tập trung vào nghiên cứu sâu hơn các nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs, tìm thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới.

2.1. Các Phương Pháp Giải Phương Trình Yang Mills Phi Tuyến

Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động. Do tính phi tuyến, việc giải các phương trình này đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt, bao gồm việc khai thác tính đối xứng của hệ và sử dụng các ansatz phù hợp.

2.2. Tiếp Cận Đối Xứng Trục trong Nghiên Cứu Nghiệm Soliton

Luận án này nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills cho bài toán có tính đối xứng trục, khi đó các hàm trường phụ thuộc vào hai biến không gian là ρ và z (trường hợp đối xứng cầu thì các hàm trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến r). Đối với bài toán này, luận án đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự. Tiếp theo, luận án khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với chỉ số topo cao (k > 1). Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm SU(2), luận án xét lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm Lorentz SO(3,1), cũng là của SU(2) – nhóm đẳng cấu địa phương – và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài toán hạt trong trường hấp dẫn.

III. Nghiệm Soliton và Ứng Dụng trong Vật Lý Hạt Cơ Bản

Trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills và phương trình Wong là một lĩnh vực còn nhiều vấn đề đang mở. Luận án này tiếp cận các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu đã chọn. Các kết quả mới của luận án bao gồm: (i) Nghiên cứu để tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills cho bài toán có tính đối xứng trục; (ii) Khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với chỉ số topo cao; (iii) Xét lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm Lorentz SO(3,1) và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài toán hạt trong trường hấp dẫn.

3.1. Nghiệm Dạng Vortex và Ứng Dụng Tiềm Năng

Luận án đã tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới.

3.2. Phương Trình Wong Mở Rộng và Chuyển Động Hạt

Luận án đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển động trong trường Yang-Mills của các nhóm SU(2) và SO(3,1). Dựa trên phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự thống nhất các tương tác.

IV. Phương Pháp Nghiên Cứu và Mô Phỏng Trường Yang Mills

Luận án sử dụng các ansatz, xây dựng mô hình tìm nghiệm, mô phỏng các nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau. Các bài toán lý thuyết trường nói chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp. Tuy nhiên, bằng cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương pháp số hoá để giải các phương trình, luận án đã thu được một số kết quả mới trong việc tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề động lực học của các tương tác. Tiếp theo, luận án sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ cùng với việc tham số hóa vector đối với nhóm SU(2) và tham số hóa vector phức đối với nhóm Lorentz SO(3,1), từ đó xây dựng phương trình Wong tổng quát, rồi tìm nghiệm của phương trình này để mô tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn.

4.1. Thuật Toán và Chương Trình Giải Phương Trình Yang Mills

Luận án đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm được, luận án đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản.

4.2. Tiếp Cận Yang Mills cho Bài Toán Hạt trong Trường Hấp Dẫn

V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Soliton

Luận án đã nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường Yang-Mills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác của hạt với các đối tượng này. Những kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của tự nhiên. Các hướng phát triển tiếp theo có thể tập trung vào việc tìm kiếm các nghiệm soliton mới, nghiên cứu sâu hơn về tính chất topo của chúng, và khám phá các ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực khác nhau của vật lý.

5.1. Đóng Góp của Luận Án vào Lý Thuyết Trường Lượng Tử

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của tự nhiên. Luận án đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm được, luận án đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau.

5.2. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai về Soliton và Trường Gauge

Các hướng phát triển tiếp theo có thể tập trung vào việc tìm kiếm các nghiệm soliton mới, nghiên cứu sâu hơn về tính chất topo của chúng, và khám phá các ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực khác nhau của vật lý, bao gồm vật lý chất rắn, quang học phi tuyến, và vũ trụ học. Việc nghiên cứu các tương tác giữa soliton và các hạt khác cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn.

VI. Ứng Dụng Công Nghệ và Vật Liệu Mới Từ Nghiên Cứu Soliton

Nghiên cứu về soliton không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mở ra tiềm năng ứng dụng trong công nghệ và vật liệu mới. Các nghiệm vortex tìm được có thể được sử dụng để nghiên cứu các loại vật liệu mới. Việc hiểu rõ hơn về tương tác của các hạt cơ bản thông qua các mô phỏng trường Yang-Mills có thể dẫn đến các đột phá trong công nghệ vật liệu và năng lượng. Ngoài ra, việc phát triển các phương pháp giải phương trình Yang-Mills hiệu quả hơn có thể giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

6.1. Tiềm Năng Ứng Dụng trong Vật Liệu Từ Tính và Siêu Dẫn

Các nghiệm soliton có thể có ứng dụng trong việc thiết kế các vật liệu từ tính mới với các tính chất đặc biệt. Ngoài ra, việc nghiên cứu các tương tác giữa soliton và các electron trong vật liệu có thể dẫn đến các khám phá mới về hiện tượng siêu dẫn.

6.2. Ứng Dụng trong Quang Học Phi Tuyến và Sợi Quang

Soliton đóng vai trò quan trọng trong quang học phi tuyến, đặc biệt là trong việc truyền tải thông tin qua sợi quang. Việc nghiên cứu các tính chất của soliton trong các môi trường phi tuyến có thể giúp cải thiện hiệu suất và tốc độ truyền tải thông tin.