Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dương được thực hiện tại Viện Công nghệ thông tin thuộc Học viện Khoa học và Công nghệ (Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các thuật toán lặp tìm phần tử chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Bài toán chấp nhận lồi (convex feasibility problem) có dạng tổng quát là tìm một phần tử thuộc giao của một họ các tập con lồi, đóng trong không gian Hilbert $H$ hoặc không gian Banach $X$. Bài toán này giữ vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và ứng dụng như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh số, y học, quân sự và công nghiệp. Ban đầu, bài toán được nghiên cứu cho trường hợp giao của các tập lồi tường minh (như công trình của Neumann hay Bregman năm 1965). Về sau, bài toán được mở rộng cho trường hợp các tập thành phần được cho dưới dạng ẩn, cụ thể là:

  • Tập nghiệm của bài toán cân bằng (equilibrium problem);
  • Tập nghiệm của phương trình chứa toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và $j$-đơn điệu);
  • Tập điểm bất động của một ánh xạ hoặc một họ các ánh xạ không giãn.

Xu hướng nghiên cứu gần đây đặt ra yêu cầu giải quyết bài toán tìm điểm thuộc giao của các tập nghiệm thuộc những lớp bài toán khác nhau. Năm 2007, Tada và Takahashi đã đề xuất thuật toán lặp Mann và phương pháp lai ghép để tìm phần tử chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn đơn lẻ $T$. Cùng năm đó, Takahashi S. áp dụng phương pháp xấp xỉ mềm nhằm đạt được sự hội tụ mạnh. Đến năm 2010, Cianciaruso và cộng sự đã mở rộng bài toán cho nửa nhóm ánh xạ không giãn một tham số $S = {T(t) : t \ge 0}$ trên toàn không gian Hilbert $H$ thông qua tích phân Bochner, tuy nhiên thuật toán đòi hỏi các điều kiện tham số rất khắt khe. Song song đó, Ceng và Wong (2010) đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm không sử dụng tích phân Bochner nhưng phải áp đặt điều kiện chính quy tiệm cận đều lên nửa nhóm $S$ và chỉ xét khi song hàm cân bằng cùng nửa nhóm xác định trên cùng một tập lồi đóng $C$. Khoảng trống nghiên cứu đặt ra là: mở rộng các sơ đồ lặp từ một ánh xạ không giãn lên nửa nhóm ánh xạ không giãn, giảm nhẹ các điều kiện ràng buộc lên dãy tham số lặp, và tổng quát hóa bài toán khi các tập xác định của song hàm và nửa nhóm là độc lập nhau mà không cần giả thiết chính quy tiệm cận đều.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Theo công bố của tác giả trong văn bản, mục đích chính của luận án được xác định cụ thể gồm ba nhiệm vụ:

  1. Mở rộng các kết quả của Tada và Takahashi (2007) về phương pháp lặp Mann và phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học để tìm nghiệm của bài toán cân bằng đồng thời là điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (xét cả hai trường hợp có sử dụng và không sử dụng tích phân Bochner);
  2. Đề xuất một cách tiếp cận khác của phương pháp xấp xỉ mềm nhằm giảm nhẹ các điều kiện đặt lên các dãy tham số lặp trong kết quả của Cianciaruso và các cộng sự (2010);
  3. Mở rộng kết quả của Ceng và Wong (2010) cho bài toán tổng quát hơn khi song hàm $G$ và nửa nhóm ánh xạ không giãn $S$ lần lượt xác định trên các tập đóng lồi khác nhau của không gian Hilbert, đồng thời loại bỏ đòi hỏi về điều kiện chính quy tiệm cận đều của nửa nhóm $S$.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Điểm chung $p^* \in \text{SEP}(G, C) \cap \text{Fix}(S)$, trong đó $\text{SEP}(G, C)$ là tập nghiệm của bài toán cân bằng ứng với song hàm $G$ trên tập lồi đóng $C$, và $\text{Fix}(S)$ là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn $S = {T(t) : t \ge 0}$.
  • Phạm vi không gian: Không gian Hilbert thực $H$ trang bị tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$, chuẩn cảm sinh $|\cdot|$, các tập con lồi đóng $C \subseteq H$ (hoặc các tập con lồi đóng phân biệt $C_1, C_2 \subseteq H$).
  • Phạm vi phương pháp: Phương pháp giải tích phi tuyến, lý thuyết toán tử đơn điệu, phép chiếu trực giao, phương pháp điểm gần kề, phương pháp lặp Krasnosel’skij-Mann, phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học và phương pháp xấp xỉ mềm (viscosity approximation).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã hệ thống hóa lịch sử phát triển của các phương pháp giải bài toán chấp nhận lồi, bài toán tìm điểm bất động và bài toán cân bằng qua các mốc công trình tiêu biểu:

Tác giả & Năm công bố Đối tượng / Bài toán nghiên cứu Phương pháp / Đóng góp chính Giới hạn / Điều kiện
Neumann Giao hai tập con đóng lồi $C_1 \cap C_2$ Phép chiếu liên tiếp Hội tụ mạnh trong không gian Hilbert
Bregman (1965) [12] Họ gồm hai tập con đóng lồi Mở rộng công thức lặp chiếu Chỉ thu được sự hội tụ yếu
Mann (1953) [38]; Krasnosel’skij (1955) [36] Điểm bất động của ánh xạ không giãn $T$ Sơ đồ lặp ánh xạ trung bình: $x_{n+1} = \alpha_n x_n + (1-\alpha_n)Tx_n$ Dãy lặp chỉ hội tụ yếu; Genel & Lindenstrauss [30] chỉ ra không thể hội tụ mạnh trong vô hạn chiều
Halpern (1967) [32]; Wittmann (1992) [64] Điểm bất động của ánh xạ không giãn $T$ Lặp Halpern xấp xỉ bằng họ ánh xạ co Đạt hội tụ mạnh với điều kiện $\lim \alpha_n = 0$, $\sum \alpha_n = \infty$, $\sum
Moudafi (2000) [43]; Xu (2004) [67] Điểm bất động của ánh xạ không giãn $T$ Phương pháp xấp xỉ mềm: $x_{n+1} = \alpha_n f(x_n) + (1-\alpha_n)Tx_n$ Đạt hội tụ mạnh về $z = P_{\text{Fix}(T)}f(z)$
Nakajo & Takahashi (2000) [45] Điểm bất động của $T$ và của nửa nhóm $S$ Phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học ($C_n \cap Q_n$) Hội tụ mạnh về phép chiếu $P_{\text{Fix}(S)}(x_0)$, giảm nhẹ điều kiện lên ${\alpha_n}$
Atsushiba & Takahashi (1997) [7]; Shimizu & Takahashi (1997) [54] Nửa nhóm ánh xạ không giãn $S$ Lặp kiểu Mann và kiểu Halpern dùng tích phân Bochner $\frac{1}{t_n}\int_0^{t_n} T(s)x_n ds$ Thu được hội tụ yếu (Mann) và hội tụ mạnh (Halpern)
Blum & Oettli (1994) [11]; Moudafi (1999) [42] Bài toán cân bằng (EP) Hợp nhất các bài toán tối ưu, BĐT biến phân; phương pháp điểm gần kề Giải dãy bài toán phụ đơn điệu mạnh
Combettes & Hirstoaga (2005) [29] Nghiệm của bài toán cân bằng $\text{SEP}(G, C)$ Xây dựng toán tử giải $T_r$ không giãn chặt $\text{Fix}(T_r) = \text{SEP}(G, C)$
Tada & Takahashi (2007) [58] Giao $\text{SEP}(G, C) \cap \text{Fix}(T)$ với một ánh xạ $T$ Kết hợp toán tử $T_r$ với lặp Mann (hội tụ yếu) và phương pháp lai ghép (hội tụ mạnh) Chưa mở rộng cho nửa nhóm ánh xạ không giãn liên tục $S$
Takahashi S. (2007) [59] Giao $\text{SEP}(G, C) \cap \text{Fix}(T)$ với một ánh xạ $T$ Kết hợp $T_r$ với phương pháp xấp xỉ mềm Ràng buộc các dãy tham số ${\alpha_n}$, ${r_n}$
Cianciaruso và cs (2010) [26] Giao $\text{SEP}(G, H) \cap \text{Fix}(S)$ trên toàn không gian $H$ Xấp xỉ mềm kết hợp tích phân Bochner Ràng buộc gắt gao: $\sum
Ceng & Wong (2010) [23] Giao $\text{SEP}(G, C) \cap \text{Fix}(S)$ trên tập $C$ Xấp xỉ mềm không dùng tích phân Bochner Phải thỏa mãn điều kiện nửa nhóm $S$ chính quy tiệm cận đều; $G$ và $S$ cùng trên tập $C$

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án định vị nghiên cứu vào ba điểm cốt lõi chưa được hoàn thiện trong các công trình đi trước:

  1. Tổng quát hóa sơ đồ lặp Mann và sơ đồ lai ghép của Tada và Takahashi (2007) từ một toán tử $T$ đơn lẻ sang họ nửa nhóm ánh xạ không giãn liên tục $S = {T(t) : t \ge 0}$, thiết lập thuật toán cho cả hai hướng tiếp cận: xấp xỉ rời rạc không dùng tích phân Bochner ($T_n x = T(t_n)x$) và xấp xỉ liên tục có dùng tích phân Bochner ($T_n x = \frac{1}{t_n}\int_0^{t_n} T(s)x ds$).
  2. Khắc phục hạn chế của sơ đồ Cianciaruso và cộng sự (2010) bằng cách loại bỏ hoàn toàn điều kiện $\sum_{n=1}^\infty |\alpha_{n+1} - \alpha_n| < \infty$, đồng thời thay thế các điều kiện giới hạn đối với dãy bước thời gian ${t_n}$ và tham số chính quy ${r_n}$ bằng các giả thiết yếu hơn.
  3. Giải quyết bài toán tổng quát khi song hàm cân bằng $G$ và nửa nhóm $S$ được định nghĩa trên hai tập lồi đóng khác biệt nhau, loại bỏ đòi hỏi nửa nhóm phải có tính chất chính quy tiệm cận đều mà Ceng và Wong (2010) đã áp đặt.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án xây dựng trên nền tảng giải tích hàm và lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert thực $H$:

  • Hình học không gian Hilbert: Tính chất lồi đều (mọi không gian Hilbert đều lồi đều) và tính chất Opial (nếu dãy $x_n \rightharpoonup x_0$ yếu thì $\liminf_{n\to\infty} |x_n - x_0| < \liminf_{n\to\infty} |x_n - x|$ với mọi $x \neq x_0$).
  • Toán tử chiếu trực giao $P_C$: Ánh xạ từ $H$ lên tập lồi đóng $C$ thỏa mãn $|x - P_C x| \le |x - y|, \forall y \in C$. Đặc trưng bởi bất đẳng thức $\langle x - P_C x, P_C x - y \rangle \ge 0, \forall y \in C$. Toán tử chiếu là ánh xạ không giãn chặt: $|P_C x - P_C y|^2 \le \langle P_C x - P_C y, x - y \rangle$. Luận án sử dụng các công thức giải tích tường minh của phép chiếu lên hình cầu đóng, hình hộp chữ nhật trong $\mathbb{R}^n$, siêu phẳng và nửa không gian đóng.
  • Nguyên lý bán đóng (Demiclosedness Principle): Ánh xạ $I - T$ là bán đóng tại $0$, nghĩa là nếu $x_n \rightharpoonup x$ yếu và $(I - T)x_n \to 0$ mạnh thì $x \in \text{Fix}(T)$ (Opial, Goebel-Kirk).
  • Toán tử đơn điệu và phương trình tiến hóa: Toán tử đa trị $A : H \to 2^H$ đơn điệu cực đại, toán tử giải $J_\lambda = (I + \lambda A)^{-1}$. Nửa nhóm ánh xạ không giãn $S = {T(t) : t \ge 0}$ sinh bởi toán tử đơn điệu cực đại $A$ qua bài toán Cauchy $\frac{du}{dt} + Au(t) \ni 0, u(0) = x$ (Brezis, 1973).
  • Bài toán cân bằng (EP) và 4 giả thiết của song hàm $G$:
    • $(A1)$ $G(x, x) = 0, \forall x \in C$;
    • $(A2)$ $G$ đơn điệu: $G(x, y) + G(y, x) \le 0, \forall x, y \in C$;
    • $(A3)$ Hemi-liên tục trên: $\limsup_{t \to 0^+} G(tz + (1-t)x, y) \le G(x, y), \forall x, y, z \in C$;
    • $(A4)$ $G(x, \cdot)$ là hàm lồi và nửa liên tục dưới trên $C$ với mỗi $x \in C$.
  • Toán tử giải $T_r$ (Combettes và Hirstoaga, 2005): Với $r > 0$, ánh xạ $T_r : H \to C$ xác định bởi: $$T_r x = \left{ z \in C : G(z, y) + \frac{1}{r} \langle y - z, z - x \rangle \ge 0, \forall y \in C \right}$$ Toán tử $T_r$ đơn trị, không giãn chặt, thỏa mãn $\text{Fix}(T_r) = \text{SEP}(G, C)$ và tập $\text{SEP}(G, C)$ là đóng, lồi.

Luận án tổng hợp mối liên hệ giữa bài toán cân bằng và các trường hợp riêng thông qua bảng sau:

Bài toán gốc Biểu thức toán học tương đương Song hàm $G(x, y)$ trong EP
Cực tiểu hóa hàm lồi Tìm $x^* \in C: \phi(x^*) \le \phi(y), \forall y \in C$ $G(x, y) = \phi(y) - \phi(x)$
Bất đẳng thức biến phân (VIP) Tìm $x^* \in C: \langle F(x^), y - x^ \rangle \ge 0, \forall y \in C$ $G(x, y) = \langle F(x), y - x \rangle$
Bài toán bù $x^* \in C, F(x^) \in C^, \langle F(x^), x^ \rangle = 0$ $G(x, y) = \langle F(x), y - x \rangle$ trên nón lồi $C$
Điểm bất động ánh xạ Tìm $x^* \in C: x^* = F(x^*)$ $G(x, y) = \langle x - F(x), y - x \rangle$
Bất đẳng thức biến phân đa trị Tìm $x^* \in C, u^* \in F(x^): \langle u^, y - x^* \rangle \ge 0$ $G(x, y) = \max_{u \in F(x)} \langle u, y - x \rangle$
Điểm yên ngựa Tìm $(x_1^, x_2^): L(x_1^, y_2) \le L(x_1^, x_2^) \le L(y_1, x_2^)$ $G(x, y) = L(y_1, x_2) - L(x_1, y_2)$ trên $C_1 \times C_2$
Cân bằng Nash (NEP) Tìm $x^* \in K: L_i(x^) \ge L_i(x^_{-i}, x_i), \forall x_i \in K_i$ $G(x, y) = \sum_{i \in I} [L_i(x) - L_i(x_{-i}, y_i)]$

Phương pháp nghiên cứu thực tế

  • Phương pháp giải tích phi tuyến định lượng: Sử dụng các kỹ thuật ước lượng chuẩn, khai triển tích vô hướng trong không gian Hilbert $|x + y|^2 \le |x|^2 + 2\langle y, x + y \rangle$, các đánh giá tiệm cận và bổ đề giải tích chuỗi số không âm của Xu (2002).
  • Phương pháp xấp xỉ rời rạc và liên tục: Thiết kế dãy toán tử $T_n$ theo hai hướng: rời rạc hóa với bước $t_n$ thỏa mãn điều kiện Saejung ($\liminf t_n = 0, \limsup t_n > 0, \lim(t_{n+1}-t_n) = 0$) và tích phân Bochner trung bình Cesàro trên đoạn $[0, t_n]$.
  • Thử nghiệm tính toán số: Lập trình thực thi các thuật toán lặp trên máy tính đối với các bài toán mẫu cụ thể nhằm đối chiếu tốc độ hội tụ và độ chính xác thực tế của phương pháp lặp Mann, phương pháp lai ghép và phương pháp xấp xỉ mềm.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 đóng vai trò hệ thống hóa toàn bộ cơ sở toán học cho luận án. Tác giả trình bày chi tiết các khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử lồi, tính khả vi Gâteaux, khả vi Fréchet, khái niệm dưới vi phân $\partial f(x)$, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại và toán tử giải. Chương này điểm lại có hệ thống các thuật toán lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn (Picard, Krasnosel’skij-Mann, Halpern, Moudafi, Xu, Buong-Lang) và nửa nhóm ánh xạ không giãn (Atsushiba-Takahashi, Shimizu-Takahashi, Plubtieng-Pupaeng, Nakajo-Takahashi, Yao-Noor, He-Chen, Saejung).

Đặc biệt, chương tổng hợp các bổ đề bổ trợ cốt lõi trực tiếp phục vụ cho việc chứng minh các định lý ở Chương 2 và Chương 3:

  • Bổ đề 1.2 (Cianciaruso và cs, 2010): Đánh giá tính liên tục Lipschitz của toán tử giải: $|T_{r_2}y - T_{r_1}x| \le |y - x| + \frac{|r_2 - r_1|}{r_2} |T_{r_2}y - y|$.
  • Bổ đề 1.3 (Saejung, 2009): Sự tồn tại dãy con trích xuất triệt tiêu sai số $\lim \frac{|x_{n_i} - T(t_{n_i})x_{n_i}|}{t_{n_i}} = 0$ khi dãy bước nhảy ${t_n}$ dao động.
  • Bổ đề 1.4 & 1.6 (Shimizu và Takahashi, 1997): Tính chất tiệm cận của tích phân Bochner của nửa nhóm và sự hội tụ của dãy lặp trung bình trong không gian Banach.
  • Bổ đề 1.7 (Xu, 2002): Bổ đề giải tích về dãy số thực không âm $a_{n+1} \le (1 - b_n)a_n + b_n c_n$ đảm bảo $a_n \to 0$.
  • Bổ đề 1.8 (Yamada, 2001) & Bổ đề 1.10 (Takahashi và Toyoda, 2003): Tính chất co của toán tử mở rộng và sự hội tụ mạnh của dãy hình chiếu $P_C(x_n)$.

Chương 2: Phương pháp lặp Mann và phương pháp lai ghép

Chương này công bố các kết quả nghiên cứu mới về phương pháp lặp Mann và phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học để giải bài toán tìm phần tử $p^* \in \text{SEP}(G, C) \cap \text{Fix}(S)$ trong không gian Hilbert $H$. Các kết quả chính dựa trên công bố của tác giả tại các bài báo khoa học [1] và [19] trong danh mục công trình.

1. Phương pháp lặp Mann (Định lý 2.1)

Tác giả đề xuất thuật toán lặp (2.1): Chọn điểm xuất phát $x_0 \in H$, với mỗi $n \ge 0$, xác định $u_n \in C$ và $x_{n+1}$ theo sơ đồ: $$\begin{cases} u_n \in C : G(u_n, y) + \dfrac{1}{r_n} \langle y - u_n, u_n - x_n \rangle \ge 0, \quad \forall y \in C \ x_{n+1} = \alpha_n x_n + (1 - \alpha_n) T_n u_n \end{cases}$$ Trong đó dãy tham số ${r_n} \subset (0, \infty)$ thỏa mãn $\liminf_{n\to\infty} r_n > 0$, dãy trọng số ${\alpha_n} \subset [a, b] \subset (0, 1)$, và toán tử $T_n$ được chọn theo một trong hai trường hợp:

  • Trường hợp không sử dụng tích phân Bochner: $T_n x = T(t_n)x$ với dãy ${t_n}$ thỏa mãn $\liminf_{n\to\infty} t_n = 0$, $\limsup_{n\to\infty} t_n > 0$, $\lim_{n\to\infty} (t_{n+1} - t_n) = 0$.
  • Trường hợp có sử dụng tích phân Bochner: $T_n x = \dfrac{1}{t_n}\displaystyle\int_0^{t_n} T(s)x ds$ với $\lim_{n\to\infty} t_n = \infty$.

Luận án chứng minh định lý qua quy trình 4 bước chặt chẽ:

  1. Bước 1 (Tính bị chặn): Đặt $\Omega = \text{Fix}(S) \cap \text{SEP}(G, C)$. Với $p \in \Omega$, từ tính chất không giãn của $T_r$ và $T_n$, chứng minh được $|x_{n+1} - p| \le |x_n - p|$. Do đó tồn tại giới hạn $\lim_{n\to\infty} |x_n - p| = c$, suy ra các dãy ${x_n}$ và ${u_n}$ bị chặn.
  2. Bước 2 (Triệt tiêu sai lệch giữa $x_n$ và $u_n$): Sử dụng bất đẳng thức $|u_n - p|^2 \le |x_n - p|^2 - |u_n - x_n|^2$, kết hợp tính lồi suy ra $(1 - b)|x_n - u_n|^2 \le |x_n - p|^2 - |x_{n+1} - p|^2$. Từ đó chứng minh $\lim_{n\to\infty} |x_n - u_n| = 0$ và $\lim_{n\to\infty} \frac{|x_n - u_n|}{r_n} = 0$.
  3. Bước 3 (Triệt tiêu sai lệch toán tử): Dẫn xuất $\lim_{n\to\infty} |T_n u_n - x_n| = 0$, từ đó suy ra $\lim_{n\to\infty} |T_n u_n - u_n| = 0$.
  4. Bước 4 (Chứng minh hội tụ yếu về $p^$):* Lấy dãy con $x_{n_i} \rightharpoonup w$. Chứng minh $w \in \text{SEP}(G, C)$ thông qua tính đơn điệu và tính hemi-liên tục trên của $G$. Tiếp theo, áp dụng Bổ đề Saejung (cho trường hợp rời rạc) hoặc Bổ đề Shimizu-Takahashi (cho trường hợp tích phân Bochner) cùng tính chất Opial để khẳng định $w \in \text{Fix}(S)$. Tính duy nhất của điểm giới hạn yếu được suy ra từ tính chất Opial, từ đó khẳng định toàn bộ dãy $x_n \rightharpoonup p^* = \lim_{n\to\infty} P_{\Omega}(x_n)$.

2. Phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học

Để khắc phục hạn chế chỉ hội tụ yếu của phương pháp Mann, luận án phát triển sơ đồ lai ghép mở rộng Nakajo-Takahashi cho bài toán cân bằng và nửa nhóm ánh xạ không giãn. Bằng cách dựng các tập đóng lồi phân tách $C_n$ và $Q_n$ tại mỗi bước lặp và xác định $x_{n+1} = P_{C_n \cap Q_n}(x_0)$, luận án chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh về hình chiếu trực giao $P_{\Omega}(x_0)$ mà không cần đặt điều kiện phức tạp lên các dãy tham số.

3. Thử nghiệm số

Luận án tiến hành các thử nghiệm tính toán số nhằm minh họa tính khả thi của thuật toán, so sánh số bước lặp và thời gian tính toán giữa phương pháp lặp Mann và phương pháp lai ghép khi giải bài toán cân bằng kết hợp nửa nhóm ánh xạ không giãn.

Chương 3: Phương pháp xấp xỉ mềm

Chương 3 giải quyết bài toán tìm kiếm sự hội tụ mạnh thông qua phương pháp xấp xỉ mềm với các cải tiến về điều kiện tham số và mở rộng không gian bài toán:

1. Phương pháp xấp xỉ mềm cải tiến cho bài toán trên cùng một tập

Tác giả xem xét sơ đồ xấp xỉ mềm kết hợp tích phân Bochner cho nửa nhóm $S$ và bài toán cân bằng $G$. Bằng cách tiếp cận giải tích mới, luận án đã loại bỏ hoàn toàn điều kiện $\sum_{n=1}^\infty |\alpha_{n+1} - \alpha_n| < \infty$ vốn là một rào cản tính toán lớn trong công trình của Cianciaruso và cộng sự (2010). Đồng thời, các điều kiện về dãy bước thời gian ${t_n}$ và tham số ${r_n}$ được thay thế bằng các điều kiện suy yếu:

  • Không còn đòi hỏi giới hạn tỉ số $\lim_{n\to\infty} \frac{|t_n - t_{n-1}|}{t_n \alpha_n} = 0$;
  • Thay thế điều kiện tổng chuỗi dao động $\sum_{n=1}^\infty |r_{n+1} - r_n| < \infty$ bằng điều kiện tiệm cận lỏng hơn.

2. Phương pháp xấp xỉ mềm giải bài toán tổng quát trên các tập khác nhau

Luận án mở rộng bài toán sang mô hình tổng quát: Song hàm cân bằng $G$ được xác định trên tập lồi đóng $C_1$, trong khi nửa nhóm ánh xạ không giãn $S$ được xác định trên tập lồi đóng $C_2$ ($C_1 \neq C_2$). Bằng việc sử dụng các phép chiếu phù hợp và kết hợp sơ đồ xấp xỉ mềm không dùng tích phân Bochner, tác giả chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về phần tử nghiệm chung mà hoàn toàn không cần giả thiết nửa nhóm $S$ phải thỏa mãn điều kiện chính quy tiệm cận đều $\lim_{s\to\infty} \sup_{x \in \tilde{C}} |T(t)T(s)x - T(s)x| = 0$ như trong công trình của Ceng và Wong (2010).

3. Thử nghiệm số

Các ví dụ tính toán số được xây dựng cụ thể để kiểm chứng sự hội tụ mạnh của phương pháp xấp xỉ mềm cải tiến và tính đúng đắn của thuật toán giải bài toán tổng quát trên các tập xác định phân biệt.

Kết quả và những đóng góp mới

Dựa trên công bố của tác giả trong phần "Mở đầu", "Kết luận" và nội dung các chương, những đóng góp mới của luận án bao gồm:

  1. Về mặt lý luận toán học:

    • Đã mở rộng thành công phương pháp lặp Mann và phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học của Tada và Takahashi (2007) từ một ánh xạ không giãn đơn lẻ $T$ sang họ nửa nhóm ánh xạ không giãn liên tục $S = {T(t) : t \ge 0}$ kết hợp với bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực.
    • Thiết lập và chứng minh đầy đủ sự hội tụ của các thuật toán trong cả hai dạng xấp xỉ nửa nhóm: dạng rời rạc (không dùng tích phân Bochner) và dạng liên tục (có dùng tích phân Bochner).
    • Đề xuất cách tiếp cận mới cho phương pháp xấp xỉ mềm, loại bỏ thành công điều kiện chuỗi biến sai $\sum_{n=1}^\infty |\alpha_{n+1} - \alpha_n| < \infty$ và làm suy yếu các điều kiện ràng buộc đối với các dãy ${t_n}$, ${r_n}$ so với kết quả của Cianciaruso và cộng sự (2010).
    • Mở rộng bài toán tìm điểm chung khi song hàm $G$ và nửa nhóm $S$ xác định trên hai tập lồi đóng khác nhau, loại bỏ điều kiện chính quy tiệm cận đều của nửa nhóm mà Ceng và Wong (2010) đã áp đặt.

  2. Về mặt ứng dụng và thực tiễn tính toán:

    • Xây dựng các sơ đồ lặp cụ thể có khả năng ứng dụng giải các bài toán tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân, bài toán bù và bài toán cân bằng Nash thông qua cấu trúc bài toán cân bằng tổng quát.
    • Cung cấp các ví dụ và kết quả thử nghiệm số khẳng định tính đúng đắn, tính ổn định và khả năng thực thi thuật toán trên thực tế.

  3. Báo cáo và công bố khoa học:

    • Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành (gồm bài báo [1], [19]) và báo cáo tại nhiều hội nghị khoa học uy tín:
      • Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của CNTT-TT (Hà Nội, 2012);
      • Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XII (Ba Vì, 2013);
      • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVI về một số vấn đề chọn lọc của CNTT-TT (Đà Nẵng, 2013);
      • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII về một số vấn đề chọn lọc của CNTT-TT (TP. Hồ Chí Minh, 2015);
      • Các buổi seminar khoa học tại Phòng Thống kê - Tính toán và ứng dụng, Viện Công nghệ thông tin (VAST).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào phạm vi và nội dung trình bày trong văn bản luận án:

Hạn chế

  • Các kết quả nghiên cứu và thuật toán lặp trong luận án chủ yếu được thiết lập và chứng minh trong không gian Hilbert thực $H$. Việc mở rộng sang không gian Banach tổng quát (không gian Banach lồi đều, trơn đều hoặc không gian có tính chất Opial) chưa được thực hiện trọn vẹn cho toàn bộ các sơ đồ lai ghép và xấp xỉ mềm trên các tập phân biệt.
  • Các thử nghiệm số được tiến hành chủ yếu trên các ví dụ toán học mô phỏng nhằm kiểm chứng tính đúng đắn lý thuyết của giải thuật, chưa mở rộng áp dụng trực tiếp trên các tập dữ liệu thực nghiệm quy mô lớn trong công nghiệp, xử lý ảnh y tế hoặc bài toán kinh tế thực tế.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng các sơ đồ lặp Mann, phương pháp lai ghép và phương pháp xấp xỉ mềm cho bài toán cân bằng và nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach tổng quát.
  • Khảo sát các thuật toán tìm điểm chung đối với các lớp bài toán mở rộng hơn, chẳng hạn như bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu, toán tử không giãn tựa lồi hoặc họ các nửa nhóm ánh xạ không giãn.
  • Nghiên cứu các kỹ thuật tăng tốc độ hội tụ (như kỹ thuật quán tính - inertial extrapolation) kết hợp với phương pháp lai ghép và xấp xỉ mềm.

Giá trị tham khảo

Luận án mang lại giá trị học thuật và tư liệu chuyên khảo hữu ích cho các nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng, Tối ưu hóa: Tài liệu cung cấp hệ thống kiến thức chuẩn bị rất hoàn chỉnh tại Chương 1 về lý thuyết nửa nhóm, phương trình tiến hóa, toán tử đơn điệu cực đại, toán tử chiếu và cấu trúc bài toán cân bằng cùng hệ thống các bổ đề giải tích quan trọng.
  • Giảng viên và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Giải tích phi tuyến và Tối ưu hóa: Kỹ thuật chứng minh 4 bước giải tích ở Chương 2 và phương pháp xử lý điều kiện tham số ở Chương 3 là tài liệu tham khảo giá trị cho việc phát triển các sơ đồ lặp mới.
  • Các nhà nghiên cứu ứng dụng trong Khoa học máy tính, Xử lý tín hiệu và Kinh tế toán: Cung cấp mô hình toán học tổng quát để chuyển đổi các bài toán tối ưu, bài toán bù, bất đẳng thức biến phân và cân bằng Nash về dạng bài toán cân bằng và điểm bất động để giải bằng thuật toán số.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án giải quyết bài toán toán học tổng quát nào?

Luận án giải quyết bài toán tìm phần tử chung $p^*$ thuộc giao của tập nghiệm bài toán cân bằng $\text{SEP}(G, C)$ ứng với song hàm $G$ thỏa mãn 4 điều kiện $(A1)-(A4)$ và tập điểm bất động chung $\text{Fix}(S)$ của nửa nhóm ánh xạ không giãn một tham số $S = {T(t) : t \ge 0}$ trong không gian Hilbert thực $H$ (hoặc khi $G$ và $S$ xác định trên hai tập lồi đóng khác biệt).

2. Sơ đồ lặp Mann (2.1) trong luận án khác gì so với công thức lặp của Tada và Takahashi (2007)?

Sơ đồ của Tada và Takahashi (2007) chỉ áp dụng cho một ánh xạ không giãn đơn lẻ $T$. Luận án đã mở rộng sơ đồ này cho cả họ nửa nhóm ánh xạ không giãn liên tục $S = {T(t) : t \ge 0}$ qua hai hình thức toán tử $T_n$: hoặc lấy giá trị rời rạc $T_n x = T(t_n)x$ với dãy ${t_n}$ thỏa mãn điều kiện Saejung, hoặc lấy giá trị liên tục qua tích phân Bochner $T_n x = \frac{1}{t_n}\int_0^{t_n} T(s)x ds$ với $t_n \to \infty$.

3. Luận án đã cải tiến những điều kiện tham số nào so với công trình của Cianciaruso và cộng sự (2010)?

Luận án đã loại bỏ hoàn toàn điều kiện chuỗi biến sai $\sum_{n=1}^\infty |\alpha_{n+1} - \alpha_n| < \infty$, đồng thời bỏ điều kiện giới hạn tỉ số $\lim_{n\to\infty} \frac{|t_n - t_{n-1}|}{t_n \alpha_n} = 0$ và nới lỏng điều kiện đối với chuỗi hiệu tham số chính quy hóa ${r_n}$.

4. Bốn điều kiện chuẩn (A1)-(A4) đặt lên song hàm $G$ của bài toán cân bằng trong luận án là gì?

  • $(A1)$ $G(x, x) = 0$ với mọi $x \in C$;
  • $(A2)$ $G$ là song hàm đơn điệu: $G(x, y) + G(y, x) \le 0, \forall x, y \in C$;
  • $(A3)$ $G$ hemi-liên tục trên: $\limsup_{t \to 0^+} G(tz + (1-t)x, y) \le G(x, y), \forall x, y, z \in C$;
  • $(A4)$ Với mỗi $x \in C$, phiếm hàm $G(x, \cdot)$ lồi và nửa liên tục dưới trên $C$.

5. Bài toán cân bằng trong luận án bao hàm những bài toán tối ưu cụ thể nào?

Bài toán cân bằng trong luận án bao hàm bài toán cực tiểu hóa hàm lồi (với $G(x, y) = \phi(y) - \phi(x)$), bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị và đa trị (với $G(x, y) = \langle F(x), y - x \rangle$), bài toán bù trên nón lồi, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ, bài toán tìm điểm yên ngựa của hàm Lagrange, và bài toán tìm điểm cân bằng Nash trong trò chơi bất hợp tác $p$ người chơi.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dương là một công trình nghiên cứu chuyên sâu thuộc chuyên ngành toán học (giải tích hàm và tối ưu hóa), tập trung giải quyết bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Tác giả đã mở rộng các phương pháp lặp Mann, phương pháp lai ghép và phương pháp xấp xỉ mềm sang nửa nhóm ánh xạ không giãn ở cả hai dạng có và không có tích phân Bochner, đồng thời nới lỏng đáng kể các điều kiện tham số khắt khe trong các công trình quốc tế trước đó. Các kết quả giải tích lý thuyết được chứng minh chặt chẽ và được minh chứng tính khả thi qua các thử nghiệm tính toán số cụ thể.