Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie, và lớp các MD - nhóm. MD - đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera va Roman Popovych nghiên cứu dé tính toán các bất biến của các đại số Lie.
Chương 3: Áp dụng thuật toán trên dé tính các bất biển của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều. Phần kết luận: Dua ra những nhận xét và những van dé mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau dé tài. Các nghiên cứu đạt được dựa trên việc tính toán thuần tuý đại số và sự trợ giúp của máy tính. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu).
ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD — nhóm và lớp các MD - đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhóm Lie. Một số mệnh đề và định lý được phát biéu nhưng không chứng minh. Độc gia nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki].
Đại số Lie 1. Định nghĩa Cho K là trường và G là không gian vecto trên K. Ta bảo G là một đại số Lie trên K hay K - đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie: [-.y] — (tích Lie hay móc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn: (L,) Móc Lie là hoán tử song tuyến tính. Tức là: [Ax + Ly, z] = A[x,z] + uly.
WA, weK (L2) Móc Lie phan xứng. Tức là: [x,x] = 0, ¥x eG (Lạ) Móc Lie thoả man đồng nhất thức Jacôbi.zeớ) Nhận xét Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (Lạ) tương đương với Nếu [x,y] = 0, WVx,ye thì ta bảo móc Lie tầm thường và G là đại số Lie giao hoán. Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G. Cho G là một không gian hữu hạn chiêu trên trường K.
Giả sử số chiều của G lan. Cấu trúc đại số Lie trên Œ có thé được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {e,,e;.e„} đã chọn trước trên như sau: ` & £ [s-e, | = Devers Isi<jen,c, K kel Cac hé sé Cj được gọi là hằng số cầu trúc của đại số Lie G. Khi K là trường số thực thì Œ được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chi đê cập và nghiên cứu các đại so Lie thực nên nêu không sợ nhằm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie dé chỉ đại số Lie thực.
Không gian với móc Lie [x.y] =0 (tam thường) hiển nhiên là một đại số Lie. Và được gọi là đại số Lie thực giao hoán n— chiều. Không gian ° với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3 — chiều. Cho A là một đại số (kết hợp) trên trường K.
Với mọi cặp (x,y)eA, ta định nghĩa [x,y]= xy —yx, khi đó A trở thành một đại số Lie. Nói riêng ta có đại số Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie với móc Lie | 4, 8Ì= AB - BA, VA, B € Mat(n,K). Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K — không gian vectơ V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau: [f,g]=feg-gef, ¥f.
Ệ: Cho A là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính @: A> A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu: @(x.@(y) Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A. Khi đó Der(A) trở thành một đại số trên K với phép nhân là phép hợp thành ánh xạ. Đồng cau và dang cau đại số Lie Cho G, va G, là hai K- đại sô Lie và f':G, > G, là một anh xạ.
Ta bao f là một đồng cau đại số Lie nếu: (i) — Z# là ánh xa K- tuyến tính. (ii) _f bảo toàn móc Lie, tức là: ƒ([x. Vx, yeG, Nếu fcon là một song ánh thì f được gọi là đăng cau đại số Lie. Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính là các đồng cầu đại số Lie.
Mỗi đồng cấu đại số Lie ƒ#: -> End(V) (End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biêu diễn tuyến tính của Œ trong không gian vectơ V, kí hiệu /,Ƒ). Nếu dimV = n < +, khi ta cố định cơ sở nào đó của V thì ta có f:G, > End(V) = Mat(n,K). Dé đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ “biêu diễn" thay cho thuật ngữ “biểu dién tuyến tinh”. Khi £ là một don cau thì £ được gọi là biéu điển khớp.
Định lý (Định ly Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyén tinh khớp hữu hạn chiêu. Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thê quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie vẻ trường hợp đại số Lie ma trận. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho là đại số Lie. Der(G) = ‡/: G3 G/ f là toán tứ vi phân} là đại số Lic.
Đồng cấu đại số Lie ad: G > Der(G) ¢ End(G) xE>ad, ở đó ad,: Œ => Ớứ yr ad, (y)=[x,y] là biéu dién tuyến tinh ad của G trong chính G (ad, là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ G). Biểu dién này được gọi là biêu dién chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn này là Ker(ad)={x €G/ad, =0 } chính là tâm của G. Ví dụ Xét đại số Lie G= Ỷ với móc Lie là tích có hướng thông thường.
Khi đó, Ww=(a,b,c)eŒ=_ ” ta có biểu dién chính quy của Œ được cho bởi ma trận như sau: Dễ thay rang, tâm của G là tam thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách khác, đại số Lie G= 7 với móc Lie là tích có hướng thông thường dang cau với đại số Lie các trận thực phản xứng cấp 3. Đại số Lie giải được và đại số Lie luỹ linh Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo M là đại số con của G nếu [M.
Ta bảo M là ideal của G nêu [G,M]<M.y]:x EGY eM} Khi M là một ideal cua G thi không gian thương GK trở thành một đại số Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên như sau: (øị + M.g: + M Cho là K- đại số Lie. Đặt: Mệnh dé a. G* ,G, la các ideal dẫn xuất thứ k của G (&=1,2,3,. Ta có các dãy bao hàm thức sau: Gs 5C ?5.
Nếu dim G <+20 thi Jn e N sao cho: 1 ea GP = c" = =Œ° tá Gn = +] = ¬=“ Đại số Lie G gọi là giải được nêu G” ={0}, G gọi là luỹ linh nếu Œ„ ={0}. Chỉ số n nhỏ nhất dé các đăng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, /uỹ linh) Œ.K)=|4 (a) €Mat(n,K)/ay =0, I< j<isn} (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được BẾP EU chiều.K)=|A =(a;,) 6 Mat(n,K)/ iJ, a, =0, 1s jsisn| (đại số các ma trận tam giác trên ma các phan tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số n{n =1) Lie luy linh chiêu. 5 Định lý (Định lý Lie) Cho f là biéu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vecto V trên trường đóng đại số K. Khi đó f tương đương với biéu dién ma trận tam giác trên, tức là f(x)=T(n.
Hệ quả Nếu G là đại số Lie giải được thì G’ =[Œ G] là đại số Lie luỹ linh. Đa tap vi phan và nhóm Lie 1. Da tạp vi phan 1. Dinh nghia da tap vi phan (a) Cho M là không gian tôpô Housdorff và có cơ sở đếm được.
M được gọi là một đa tạp tôpô n - chiều nếu: với mỗi x e M , ton tại lân cận mở U của x và đông phôi ø:U ->@(UJC_ " (ø(U) là tập mở trong "). Khi đó: e (U,ø) là bản đồ địa phương trong lân cận của x. e© Một họ các bản đồ {(U.ø,)),_ „ được gọi là một atlat của M nêu {U;},_, là một phủ mở của M. e Gom tất cả các bản đồ ta được một atlat cực đại.
(b) Ta nói rằng atlat {(U,.ø, I F khả vi lớp C' (hay thuộc lớp C’) nếu các ban đồ của atlat tương thích nhau “ một cách CT (ở đây r > 0). Tức là: Với mỗi cặp chỉ SỐ i,jel sao cho Ư,U,#Ø, ánh xạ: 0Ø :Ớ, (U, SU,)- >ø,(U, SU,) đều thuộc lớp C’. (c) Hai atlat khả vi thuộc lớp CÝ gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng vẫn là một atlat khả vi lớp C7. Đó là một quan hệ tương đương trên tập các atlat khả vi lớp C'.
Nó định ra một sự chia lớp trên tập hợp các atlat khả vi lớp C' trên M. Mỗi lớp tương đương như vậy gọi là một cầu trúc vi phân (hay cấu trúc khả vi) lớp C’ trên M. Định nghĩa Một cặp gồm một đa tạp tôpô n — chiều cùng với một cấu trúc vi phân lớp C' đã cho trên M, gọi là đa tạp vi phân n — chiều lớp C' (r > 0). M gọi là đa tạp tôpô nền của đa tạp vi phân đang xét.
Nếu không sợ nhằm lẫn, đa tạp vi phân đang xét vẫn được kí hiệu là M. Các ví dụ về đa tap vi phân Ví dụ 1: ( Mi ) là một đa tạp vi phân n — chiều, cấu trúc vi phân sinh bởi A= | " td} (atlat c# chỉ gồm một bản đồ) gọi là cấu trúc vi phân ty nhiên. Ví dụ 2: Xét mặt cầu n— chiều: S” = la mi LX 2 Y"Ve “+! 7= J Xét: (s°x sank | > [+ › "4 "| atlat kha vi lớp C”. Do đó S” trở thành da tạp vi phan lớp C” (n - chiều) 1.
Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân a. Hệ toa độ địa phương Cho M là da tạp tôpô n — chiều, (U,g) là bản đồ địa phương của x.