MỞ ĐẦU 1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất hiện trong nhiều quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn trong quá trình truyền nhiệt hoặc khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh học khi mà sự tác động của ngoại lực là liên tục và ngẫu nhiên. Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới.
Một trong những vấn đề định tính quan trọng khi nghiên cứu những lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên có ứng dụng là xét tính đặt đúng của bài toán và sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian t → ∞. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mô tả trạng thái của các mô hình thực tế. Do đó, khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của hệ trong tương lai và đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng vài thập kỉ gần đây là lí thuyết về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên.
Hai hướng nghiên cứu cơ bản về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên: • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực ngẫu nhiên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên. Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫu nhiên, chẳng hạn tính trơn của tập hút, đánh giá số chiều của tập hút, nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của tập hút vào tham số,. • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên. Nói riêng là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên.
Trong trường hợp nghiệm dừng này không ổn định, nghiên cứu bài toán ổn định hóa nghiệm dừng bằng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp hoặc sử dụng điều khiển phản hồi có giá trên biên hoặc bên trong miền. Dưới đây chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu của hai hướng nghiên cứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung của luận án. Khái niệm tập hút ngẫu nhiên là một sự mở rộng của khái niệm tập hút toàn cục của hệ động lực tất định, được giới thiệu bởi H. Từ khi ra đời đến nay, hướng nghiên cứu về tập hút ngẫu nhiên và tính chất của nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Sau hơn hai thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút ngẫu nhiên đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộng các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Nói riêng, trong [29, 30] các tác giả đã xét lớp phương trình phản ứng khuếch tán với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính dạng ∑ m du = ∆udt + f (u)dt + hj (x)dWj , j=1 ở đó số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và đã chứng minh sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi phương trình. Tiếp tục phát triển vấn đề này, trong những năm gần đây, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút ngẫu ∑m nhiên cho lớp phương trình parabolic với nhiễu cộng tính j=1 hj (x)dWj hoặc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 9 ∑m nhiễu nhân tính j=1 bj c(x)udWj , trong miền bị chặn (xem [11, 23, 54, 55]) và miền không bị chặn (xem [16, 71, 75]). Một hướng khác để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình ngẫu nhiên là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm và trong trường hợp nghiệm không ổn định ta có thể ổn định hóa bằng điều khiển phù hợp.
Ổn định hóa phương trình tiến hóa bởi nhiễu ngẫu nhiên được bắt đầu từ những năm 60 của thế kỉ trước với các kết quả đầu tiên cho hệ hữu hạn chiều và hiện nay là cho các hệ vô hạn chiều. Có khá nhiều công trình nghiên cứu ổn định hóa về 0 của lớp phương trình vi phân hữu hạn chiều (xem, chẳng hạn, [10, 38, 61]) và vô hạn chiều (xem [25], bài báo tổng quan [24] và cuốn chuyên khảo [53]). Nói riêng, bài toán ổn định và ổn định hóa đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolic và một số lớp phương trình trong cơ học chất lỏng. Robinson (xem [23]) đã xét tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình khuếch tán với nhiễu nhân tính một chiều σu(t)dW (t) và hàm phi tuyến dạng đa thức bậc ba.
Taniguchi đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình Navier-Stokes ngẫu nhiên hai chiều (xem [26]). Márquez-Durán và J. Real nghiên cứu sự ổn định mũ trung bình bình phương và ổn định hầu chắc chắn của lớp phương trình LANS-α ngẫu nhiên ba chiều (xem [27]). Xem thêm một số kết quả gần đây theo hướng nghiên cứu thời sự này trong [58, 63, 64, 65].
Tuy nhiên, theo như hiểu biết của chúng tôi, vẫn còn ít công trình nghiên cứu ổn định hóa các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến trong không gian vô hạn chiều với trường hợp nghiệm dừng khác 0. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng, đặc biệt là các phương trình kiểu Navier- Stokes, cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem, chẳng hạn, [13, 19, 20, 28]). Tuy nhiên, đối với nhiều lớp phương trình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 ngẫu nhiên quan trọng trong cơ học chất lỏng, tính đặt đúng vẫn là vấn đề mở cần được nghiên cứu. Bên cạnh những kết quả đã đạt được ở trên, vẫn còn ít kết quả liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic suy biến và một số lớp phương trình ngẫu nhiên khác trong cơ học chất lỏng như hệ Navier- Stokes-Voigt, hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer,.
Chính vì vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên" để làm đề tài cho luận án tiến sĩ của mình. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Một trong những lớp phương trình parabolic được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli- Musina có dạng du + [−div(σ(x)∇u) + f (u) + λu]dt = gdt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0, u|∂O = 0, t > 0, (1) u|t=0 = u0. Trong trường hợp tất định, phương trình này có thể xem là mô hình đơn giản của quá trình khuếch tán nơtron (điều khiển phản hồi của phản ứng hạt nhân) (xem [33]). Trong trường hợp này, u và σ tương ứng chỉ thông lượng nơtron và hệ số khuếch tán nơtron.
Các điều kiện về lớp trọng σ được đưa ra bởi Caldiroli-Musina trong bài báo [21]; nói riêng, hệ số khuếch tán σ là hàm không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạn điểm. Một ví dụ điển hình là σ(x) = |x|α , α ∈ (0, 2), trong trường hợp miền bị chặn. Trong công trình [21], Caldiroli và Musina đã giới thiệu không gian năng lượng tự nhiên D01 (O, σ) được định nghĩa là bổ sung đủ của C0∞ (O) đối với chuẩn (∫ )1/2 ∥u∥D01 (O,σ) := 2 σ(x)|∇u| dx O LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 và chứng minh một số định lí nhúng tương ứng. Dựa trên những kết quả này, trong những năm gần đây, đã có nhiều kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này.
Zographopoulos đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận thông qua sự tồn tại của tập hút toàn cục của nghiệm bài toán Cauchy-Dirichlet đối với lớp phương trình trên trong trường hợp đặc biệt f (u) = −λu+|u|2γ u, g(x) = 2−α 0 với 0 ≤ γ ≤ (xem [40], [41]). Hưng (xem [4]) đã chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với bài toán Cauchy-Dirichlet trong trường hợp dữ kiện ban đầu u0 ∈ D01 (O, σ), g ∈ L2 (O) cho trước và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương và tăng trưởng kiểu Sobolev. Kết quả này mở rộng đáng kể các kết quả trước đó của N. • Trong các năm từ 2010 đến 2013, các tác giả C.
Thúy đã chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của tập hút, đánh giá số chiều fractal của tập hút của lớp phương trình parabolic suy biến trên khi số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức, trong cả hai trường hợp ngoại lực không phụ thuộc và phụ thuộc thời gian (xem [1, 2, 3]). Xem thêm các kết quả liên quan gần đây trong [18, 48, 49, 50]. Trong trường hợp ngẫu nhiên, đối với phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên có dạng ∑ m du + [− div(σ(x)∇u) + λu]dt = [f (x, u) + g(x)]dt + hj (x)dWj (t), j=1 năm 2011, các tác giả M. Kloeden đã chứng minh được sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên trong L2 (O) với O là một miền bị chặn (xem [72]).
Một LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 số vấn đề về tính trơn của tập hút ngẫu nhiên, sự tồn tại nghiệm dừng, tính ổn định và ổn định hóa của nghiệm dừng đối với lớp phương trình (1) vẫn còn là vấn đề mở và sẽ được chúng tôi nghiên cứu trong luận án này. Tiếp theo, một lớp phương trình trong cơ học chất lỏng được nhiều nhà toán học nghiên cứu trong những năm gần đây là hệ phương trình Navier- Stokes-Voigt có dạng d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt = f (x, t)dt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0, ∇ · u = 0, x ∈ O, t > 0, (2) u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O, trong đó O là một miền bị chặn với biên ∂O trơn. Trong trường hợp tất định, hệ phương trình này được giới thiệu bởi Oskolkov trong [62] để mô tả chuyển động của chất lỏng loại Kelvin-Voigt không nén được, nhớt, đàn hồi (với tham số đặc trưng cho tính đàn hồi α).