Nghiên Cứu Về Hình Học Symplectic Trong Đa Tạp

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu tốt nghiệp toán tin đa tạp symplectic, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải pháp cụ thể cho vấn đề toán học.

• Tác giả: Trần Thị Bảo Trâm
• Người hướng dẫn: PGS-TS. Lê Anh Vũ
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM
• Chuyên ngành: Hình học
• Đề tài: Nghiên Cứu Về Hình Học Symplectic Trong Đa Tạp
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2009
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. ĐA TẠP TOPO
• 1.2. HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG
• 1.3. ATLAS CỦA MỘT ĐA TẠP
• 1.4. PHÉP CHUYỂN BẢN ĐỒ - ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG
• 1.5. HÀM TRÊN ĐA TẠP
• 2. CHƯƠNG 2: ĐA TẠP VI PHÂN
• 2.1. ĐỊNH NGHĨA
• 2.2. ĐA TẠP TÍCH
• 2.3. ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA CÁC ĐA TẠP
• 2.4. ĐA TẠP CON
• 3. CHƯƠNG 3: TRƯỜNG VECTƠ
• 3.1. NHÌN LẠI VECTƠ TRONG R" THEO QUAN ĐIỂM GIẢI TÍCH
• 3.2. VECTƠ TIẾP XÚC
• 3.3. TRƯỜNG VECTƠ

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Hình Học Symplectic Trong Đa Tạp

Hình học symplectic là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, đặc biệt trong nghiên cứu các đa tạp symplectic. Nó không chỉ cung cấp các công cụ lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như cơ học cổ điển và vật lý lý thuyết. Đa tạp symplectic được định nghĩa là một đa tạp có cấu trúc đặc biệt, cho phép nghiên cứu các tính chất hình học và động lực học của nó. Sự phát triển của hình học symplectic đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới, từ lý thuyết đến ứng dụng thực tiễn.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Đa Tạp Symplectic

Đa tạp symplectic là một đa tạp được trang bị một dạng symplectic, một 2-dạng đóng không suy biến. Điều này có nghĩa là mỗi đa tạp symplectic phải có số chiều chẵn và có cấu trúc đặc biệt cho phép nghiên cứu các tính chất hình học của nó.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Hình Học Symplectic

Hình học symplectic đã phát triển mạnh mẽ từ những năm 1960 với các công trình của Arnold và Weinstein. Những nghiên cứu này đã đặt nền móng cho nhiều lý thuyết và ứng dụng trong toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học cổ điển.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Hình Học Symplectic

Mặc dù hình học symplectic đã có nhiều tiến bộ, nhưng vẫn tồn tại nhiều vấn đề và thách thức trong nghiên cứu. Một trong những thách thức lớn nhất là xác định sự tồn tại và tính duy nhất của các dạng symplectic trên một đa tạp cho trước. Các câu hỏi này không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong vật lý và toán học.

2.1. Sự Tồn Tại Của Dạng Symplectic

Một trong những câu hỏi quan trọng là liệu có tồn tại các dạng symplectic trên một đa tạp cho trước hay không. Điều này liên quan đến các điều kiện hình học và topological của đa tạp.

2.2. Tính Duy Nhất Của Dạng Symplectic

Ngoài sự tồn tại, tính duy nhất của các dạng symplectic cũng là một vấn đề quan trọng. Nghiên cứu này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của đa tạp và các tính chất hình học của nó.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Hình Học Symplectic

Để nghiên cứu hình học symplectic, các nhà toán học sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm các kỹ thuật từ lý thuyết trường vectơ, vi phân và hình học vi phân. Những phương pháp này giúp phân tích các cấu trúc symplectic và các tính chất của chúng trong không gian đa tạp.

3.1. Phương Pháp Vi Phân Trong Hình Học Symplectic

Phương pháp vi phân cho phép nghiên cứu các tính chất của các dạng vi phân trên đa tạp symplectic. Điều này rất quan trọng trong việc xác định các cấu trúc hình học và động lực học của đa tạp.

3.2. Kỹ Thuật Từ Lý Thuyết Trường Vectơ

Lý thuyết trường vectơ cung cấp các công cụ mạnh mẽ để phân tích các cấu trúc symplectic. Các trường vectơ này giúp mô tả các tính chất động lực học của hệ thống trong không gian đa tạp.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Hình Học Symplectic

Hình học symplectic không chỉ là một lĩnh vực lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như cơ học cổ điển, vật lý lý thuyết và các ngành khoa học khác. Các ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng của hình học symplectic trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn.

4.1. Ứng Dụng Trong Cơ Học Cổ Điển

Hình học symplectic cung cấp các công cụ để mô tả các hệ thống cơ học phức tạp. Các mô hình này giúp hiểu rõ hơn về động lực học của các hệ thống vật lý.

4.2. Ứng Dụng Trong Vật Lý Lý Thuyết

Trong vật lý lý thuyết, hình học symplectic được sử dụng để nghiên cứu các lý thuyết trường và các mô hình vật lý khác. Điều này giúp phát triển các lý thuyết mới và cải thiện hiểu biết về vũ trụ.

V. Kết Luận Về Nghiên Cứu Hình Học Symplectic

Nghiên cứu hình học symplectic là một lĩnh vực phong phú và đầy hứa hẹn. Với sự phát triển không ngừng của các lý thuyết và ứng dụng, hình học symplectic sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới và ứng dụng thực tiễn.

5.1. Triển Vọng Nghiên Cứu Trong Tương Lai

Với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp nghiên cứu mới, hình học symplectic sẽ tiếp tục được khám phá và phát triển. Nhiều câu hỏi chưa được giải đáp sẽ mở ra hướng nghiên cứu mới.

5.2. Tầm Quan Trọng Của Hình Học Symplectic

Hình học symplectic không chỉ là một lĩnh vực lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Sự phát triển của nó sẽ tiếp tục ảnh hưởng đến nhiều ngành khoa học và công nghệ.

Trích đoạn nội dung tài liệu

phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương với nội dung tom tắt như sau: > Chương | giới thiệu các kiến thức chuẩn bị về da tạp khả vi, trường vectơ và các dang vi phan. đạo hàm Lie rat cần thiết cho nội dung chính của bản luận văn. > Chương 2 là chương chính cia bản luận văn trong đó trình bay các định nghĩa về da tạp symplectic, đẳng cau symplectic, da tạp con lagrangian, cách xây dung các dang cấu symplectic dựa vào các da tạp con lagrangian, cách xây dung các da tap con lagrangian bang phương pháp hàm sinh trên phân the đổi tiếp xúc, cũng như là một số ứng dụng của phương pháp này trong dòng trắc địa và trong việc tìm điềm bat động cia dang cau symplectic. Trong quá trình lam luận van, tôi đã nhận được sự giúp đờ rất nhiệt tinh từ Thầy hướng dẫn Lê Anh Vũ.

Thầy đã nhận xét, góp ý cũng như động viên rất nhiều để tôi có thé hoàn thành tốt đề tai luận văn của mình. Tôi xin chân thanh cảm ơn Thay rất nhiều. Tôi cũng xin cảm ơn ban quản lý thư viện của nhà trường, một số thầy cô trong khoa đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tải liệu tham khảo, cuỗi cùng tôi «xin được cảm on gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. Do thời gian có hạn và trình độ bản thân còn nhiễu hạn chế, bản luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót.

Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp cua các thầy cô và các bạn sinh viên. Thành phó Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 05 năm 2009 Sinh viên thực hiện Trần Thị Bảo Trâm CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Id, ánh xạ đồng nhất trên V ae ảnh xạ hạn chế lên U, A~® atlas A tương đương atlas 8 A atlas cua da tap (U,œ) bản đồ địa phương oY biên của Y fh cái nâng của vi phôi ƒ expiv dong của y M, đa tạp m chiều (M.A) da tạp khả vi M, với cấu trúc khả vi A (M.w) đa tạp symplectic M với dạng symplectic w a(f) đạo him theo hướng của a Af đạo ham theo hướng của vecto X + độ dài của đường cong x H*(M) đối đồng đều De Rham thứ p của M min(r,s) giá trị nhỏ nhất của r,s Fide hệ tọa độ địa phương d(x.y) khoảng cách từ x đến y E" không gian các ham có đạo hàm cắp & liên tục c(z) không gian các hảm trơn trên X ^f(T,M)=A?M không gian các p - dạng ngoài của M tại xe M 1 T3(7.M)=T;,M_ khong gian các tensor hỗn hợp kiểu (p.g) của M lì tại x v" không gian đối ngẫu của ! 18 TM =(T,M) không gian đối tiếp xúc của M tại x 10 M_xW, không gian tích của 2 đa tạp M,, W, 5 (VQ) không gian vecto symplectic trên V với anh xa Q I8 là cấu trúc symplectic tuyến tính A lớp tương đương chứa atlas A 4 [x.r] móc Lie của X và Y 10 Sympl( M, w) nhóm các đẳng cấu symplectic của (M,w) 40 Diff (X) nhóm các vi phôi của X 40 N's phân thớ đối pháp tuyến của $ 46 MS phân thớ đối pháp tuyến của S tại xe S 46 Tx phan thé đối tiếp xúc trên X 32 pr phép chiếu 47 pe phép lay đạo ham Lie theo vectơ ¥ 13 dimM số chiều của M § F(M) tập các hàm khả vi / : 4ƒ, > IR 7 F(x,) tập các hàm khả vi trong lân cận đủ nhỏ của x, § P?(M) tập các p - dang vi phân khả vi trên M 12 *(M) tập các trường vecto trên M 9 TM: tập các vectơ tiếp xúc với M tại x, § Đa fap symplectic GVHD: PGS — TS. Lê Anh Vii CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI Chúng ta xem nine đã biết các kiến thức vẻ đại sé đa tuyển tinh. Bạn đọc quan tam có thé tham khảo các tài liệu [5], [6], [7].

Chương này chủ yêu trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau. Các mệnh dé, tinh chất, định lý chỉ được phát biểu mà không chứng minh, phản trình bay chỉ tiét bạn đọc có thể tìm đọc ở các tài liệu {4], [Š}. Các kiến thức được nhắc tới ở đây bao gồm: © Đa tạp topo. © Ảnh xạ khả vi giữa các da tap.

¢ Dang vi phản trên da tap kha vi. © Dao hàm Lie. DA TAP TOPO Định nghĩa 1.1 Cho MỸ, là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đêm được. M, được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu nó đồng phói địa phương với không gian Euclide IR", tức là : với môi xạ e M„.

tôn tại lân cận mở UCM, của x, và một phép đẳng phói @:U —> V EIR", ở đây V là tập mởtrong R". Cặp (Ug) được gọi là một bản đồ địa phương của M, xung quanh điểm x, c M,.1 HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG Định nghĩa 1.2 Xé( ban dé địa phương (U,@) xung quanh điểm xạ M,.Vx 6U, ta có dong phôi yg: U>VcCR’ xt ø(x) =(x/(x).x* (x)} SVTH: Tran Thị Bảo Trâm Trang ! Đa fap symplectic GVHD: PGS - TS. Lê Anh Vũ Bộ (x' (w). x” (u)) gọi là tọa độ địa phương của u.

Các anh xạ x' :(/ =>, với í=l,.w là m hàm thành phần của @ và gọi là các hàm tọa độ. Lúc này, bộ {U 5 SỐ eae ah được goi là hệ tọa độ địa phương (xung quanh ve M,) img với bản đồ địa phương (U,ø).2 ATLAS CUA MỌT ĐA TẠP Định nghĩa 1.3 Mér hệ các ban đỏ địa phương ((U,„;Ø, a gọi là một atlas của đa tạp M, nêu họ các tập hợp (U,), là một phủ mở của M,. Một atlas được kí hiệu là: A. Một đa tạp tô pô thường có nhiều hoặc vô số các atlas, ta thường chon atlas có số bản dé ít nhất.

Atlas 4 = {(U,:ợ, )}, gọi là atlas tối đại nếu nó không bị chứa trong một atlas nao khác ngoài chính nó.3 PHÉP CHUYÊN BẢN ĐÒ - ĐÔI HỆ TOA ĐỘ DIA PHƯƠNG Cho M, là đa tap tôpô n - chiều. Giả sử (U,;Ø,) và (U;;Ø,) là hai bản đề địa phương của M, thỏa U, MU, +O.xz‡ là hệ toa độ địa phương img với (U,;Ø,).xz} là hệ tọa độ địa phương ứng với (U;;ø,). Ta ký hiệu một cách hinh thức như sau: Ø„„ = Ø;-Ø;`. Rõ ràng, ø„„ là ánh xạ đồng phôi và được gọi là phép chuyển ban đồ.

Lúc nay, ta có: SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 2 Da fap symplectic GVHD: PGS — TS. A4=|(U,:ø,)}„ xác định ! họ phép chuyển bản đồ ø„„ với U„ (1U, #Ø Va,ổØ. Ho ham chuyên ban do Ø„„ có các tinh chất sau: Va, 8,7 (1) Puq #ld,.4 HÀM TRÊN ĐA TẠP Định nghĩa 1.4 Cho M, là một da tạp tôpô n chiều và atlas 8 = {(U,;ø,)),. Xét ánh xa Lúc này, { được gọi là hàm trên đa tạp.

Với mỗi bản đồ (U,„,ø,„ )„ xét ánh xạ thu hẹp / |, :U, > R. Ta đồng nhất ƒ|„ với f, và xem nó như là hàm số thực với m biến số thực. f, gọi là biểu diễn địa phương của ƒ trên U, ứng với ban đồ (U.ø)- Như vậy, mỗi f ứng với một họ các hàm thực ø biến số thực {Ff}. Ngoài ra, ta có Wa, Ø sao cho Ứ, (U, # Ø thì /„= /,sợ„ hay f= fy Wap SVTH: Trân Thị Bao Tram Trang 3 Da fap symplectic GVHD: PGS — TS.

Lé Anh Vii 2. ĐA TẠP VI PHAN 2.1 ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 2. là một atlas của da tạp tôpô n chiều M ,. Khi do, A được gọi là một atlas khả vi lớp C* nêu với mọi cap chỉ số œ,8 sao cho U„ NU, # Ø ta đều có pháp chuyển bản dé Ppa: Py (U„f\U;)— ø;{U„f1U,) là ảnh xa khả ví lớp C°.ø,)}„ và ®=|(V„,v„)}„ là hai atlas khả vi lớp Ct của đa tạp M,.

Khi đỏ, A được gọi là tương đương với B ki hiệu là A ~ @, néu với mỗi bản đỗ (U,„.v;)< ® sao cho Ư„ [\W, # Ø, ta đều có ảnh xạ weø"”': (UV) > (UV) khả vi lớp C*. Lúc này, AUG là một atlas khả vi lớp C`. Rõ rang, quan hệ ~ là một quan hệ tương đương và nó chia tập tat cả các atlas khả vi của đa tạp tép6 M, thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương đương này được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C* trên M,.

Nếu lớp tương đương chứa A thì ta ký hiệu lớp tương đương đó là 4.3 Da tap t6p6 M„ n chiều cùng với cấu trúc khả ví A lớp C` trên nó mà ta có thé ký hiệu (M,,A) được gọi là đa tạp khả vi lớp C`. Đa tạp tôpô M, ban đầu gọi là đa tạp tôpô nên của đa tạp khả vi (M,.) lớp C* dang xét. Khi &=0, M, là đa tạp tôpô. Khi & =œ, M, là đa tạp trơn.

SVTH: Trân Thị Báo Trâm Trang 4 Da tạp symplectic GVHD: PGS - TS.2 ĐA TAP TÍCH Cho hai da tạp vi phân lớp C” la Aƒ, và W, lần lượt có số chiều là n va p. Khi đó, ta có thẻ xác định một cau trúc khả vi lớp C’ trên không gian M, x W. Gọi (U,@) là một ban do trên M,, (Vy) là một bản đồ trên W,. Rõ rang anh xạ øxự: UxV -> R°xR?=RTM (xy) (ø(x).e(>)) là một phép đồng phôi.

Mặt khác, với mọi (x,.v„}£ R° xR”, ánh xạ (0;.w„) bằng (Ø,sø„'w„sw,'), cho nên nó thuộc lớp C°. Do đó, họ tất cả các cặp {(U.*w,)} là một atlas khả vi lớp C’ trên M,xW,. Lúc này, đa tạp M,xH, với cau trúc khả vi vừa xác định được gọi là tích của hai đa tạp M, va W,. ANH XA KHẢ VI GIỮA CÁC ĐA TẠP 3.1 ANH XA KHẢ VI Cho M, là đa tạp khả vi lớp C’ n chiều, W, là đa tạp khả vi lớp C" p chiều.

Xét ánh xa liên tục ƒ : M, >W, và xét một bản đồ tùy ý (U,ø) của M,, một bản dé tùy ý (V.y) của W, sao cho /(U)C V. Lúc đó, có một ánh xạ m biến nhận giá trị là một vectơ p chiều. we/|,sø": ø(U) => w(V) (x' Sts x" > (7 (M2) ees be) trong đó ø(U) mở trong R", w(V) mở trong 8”. Ảnh xạ wef}, sø '=(ƒ'./7} gọi là biểu diễn địa phương của ƒ img với cap bản đồ {(Ư,@).

Ta đồng nhất /|,, = ự s /|,s@' và do đó xem /|„ như là ánh xạ n biến nhận giá trị vectơ p chiều. SVTH: Tran Thị Bao Tram Trang 5 GVHD: PGS — TS Lé Anh Vũ phương f|, = ° f|, »@'` đều là ảnh xạ khả vi lớp C*.2 ĐA TẠP CON Định nghĩa 3.