Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ ban về nhóm Lie, đại số Lie, K- biêu diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Chương 2 và Chương 3: Trình bày chỉ tiết các kết quả nghiên cứu với day đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi tiết bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tat ca các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều đã được Lê Anh Vũ liệt kê, đồng thời phân loại và mô tả chỉ tiết tôpô trên các MDS-phân lá tương ứng.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp tục nghiên cứu. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Đề trích dẫn một kết qua, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chang hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tai liệu [So-VI].
Cũng cần nói thêm răng, về cơ bản thì phương pháp nghiên cứu và cơ sở lý thuyết cho những kết quả nghiên cứu trong luận văn đã được trình bày khá day đủ trong các tài liệu trước như: đề tai cấp bộ '*Về một lớp con các MDS- đại số và phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MDS-nhóm liên thông tương ứng” của Lê Anh Vũ và luận văn thạc sĩ cùng tên của Dương Minh Thanh,. Tuy nhiên, đề tiện cho việc theo đối, chúng tôi xin trình bày lại lân nữa. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Anh Vũ, người thầy kính mến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Anh Vũ.
Xin chân thành cám ơn các thay trong Tô Hình học, Khoa Toán — Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh, Ban giảm hiệu trường THPT Bán công Mo Cay cùng toàn thẻ quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. LỚP CAC MD-NHOM VÀ MD-ĐẠI SO Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD-nhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm.
Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực). Nhiều mệnh dé được phát biéu nhưng không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiéu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Bo]. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie 1.
Định nghĩa Tập hợp G được gọi là | nhóm Lie (thực) néu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) — G là một nhóm. (ii) — G là đa tạp thực kha vi. (iii) Phép toán nhóm G x GG, (x,y) > xy ' khả vi. Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin, trên moi nhóm Lie lớp Cc" (tức là đa tạp tôpô) có thé đưa vào cau trúc đa tạp lớp C7 tương thích với cấu trúc nhóm.
Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nêu phép toán nhóm giao hoán. Chiêu của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G. Vì nhóm Lie vừa có cau trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thé đưa nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân,. để nghiên cứu câu trúc của nhóm Lie.
Đường thăng thực E với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie giao hoán. Đường tròn đơn vị s' với phép toán (.) (có thê xem s' là tập hợp các số phức có modun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán. Tập hợp GL(n,R) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi ø >2). Đặc biệt, khi »=1 thì G⁄(1,B)= 33, d.
Nếu G,,G, là các nhóm Lie thì tích G,xG, cũng là một nhóm Lie. Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt thường gặp là các nhóm Lie với phép cộng #" =&xi3x.x#, xuyến n- chiều 7" =S'xS'x. Nhóm các phép biến đôi affine của đường thăng thực 3 với tôpô tự nhiên chính là một nhóm Lie.
Nhóm này được ký hiệu là affR. Cu thể nhóm afflR = {(z,b)/ac R3,bc RỊ. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie 1. Định nghĩa Gia sử K là một trường đặc số khác 2.
Một đại số Lie G trên trường K hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bé sung một phép toán, kí hiệu là [.] (được gọi là móc Lie) có tính chất song tuyến tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi: [[x. Sô chiêu của đại so Lie G chính là so chiêu của không gian vecto G. Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của là n.
Cau trúc đại số Lie trên có thé được cho bởi móc Lie của từng cặp vecto thuộc cơ Sở Í«,.e,¡ đã chọn trước trên G như sau: “ [s,›e, | = Ye , l<isj<n, ' le tì Các hệ số œ,„ I<i<j<n được gọi là các hang SỐ cấu trúc của đại số Lie G. Khi trường K là trường số thực R thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không sợ nhằm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie dé chi đại số Lie thực. Không gian E* với móc Lie [x,y]=0 (tầm thường) hiển nhiên là một đại số Lie.
Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie giao hoán. Không gian E` với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-chiều. Cho cZ là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp (x.y}e‹Z, ta định nghĩa [x,y] =xy—yx, khi đó c⁄ trở thành một đại số Lie.
Nói riêng ta có đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại sé Lie với móc Lie | 4. 8|= AB- BA :VA, B e Mat(n,K). Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ V. Cho cZ là một đại số trên trường K.
Toán tử tuyến tính ø:c# —>c# được gọi là toán tử vi phân trên <Z nếu: 13 Ki hiệu Der(c#) là tập hợp tat cả các toán tử vi phân trên <. Khi đó Der(c#) trở thành 1 đại số trên K với phép hợp thành là phép nhân ánh xạ. Der(c#) sé trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [ø,,ø,]=Ø,°Ø;=Ø;°0, Der(A) gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên. Đồng cấu đại số Lie Cho G và G là hai K-đại số Lie.
Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K- tuyến tính 9: G, > G, sao cho ø bảo toàn móc Lie, tức là: ø([x, y]) =[@(x).»eđ,) Nếu ø là đăng cấu tuyến tính thì đồng cấu đại số Lie ø được gọi là đăng cau đại số Lie. Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ , ` ^ £ » f. chính là các đồng câu đại sô Lie. Mỗi đồng cau đại số Lie @: @¿——> End(V) (End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vecto V) được gọi là biểu dién tuyển tinh của G, trong không gian vectơ V.
Dé đơn giản thì đôi khi người ta ding thuật ngữ "biéu diễn" thay cho thuật ngữ "biéu diễn tuyến tinh", Khi ø là một đơn cấu thì ø được gọi là biểu điển khớp.1 (định lý Ado) Moi đại số Lie hữu hạn chiêu déu có it nhát một biéu điển tuyển tính khớp hữu hạn chiêu. 14 Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thé quy tất ca các phép chứng minh của dai số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho Ø là đại số Lie. Với mỗi xe.
kí hiệu ad, là toán tử trong Der(đ) được xác định bởi: ad,(y) =[x,y] ; Vy eG. Khi đó ad, là một anh xạ tuyến tính từ Go @ và ta thu được biéu diễn tuyến tinh của G trong chính G như sau: ad: @ —> End ( ở} xe ad, Biéu dién này được gọi là biểu điển chính quy của G. Hạt nhân cua biểu diễn này là Ker(ad) ={xe G/ad, =0} chính là tâm của Ở. Ví dụ: Xét đại số Lie G =#” với móc Lie là tích có hướng thông thường.
Khi đó biéu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau: (0 c —b ad=|-c 0 a b -a 0 Dé thay rằng, tâm của G là tam thường, do đó biểu điển ad ở đây là khớp. Nói cách khác, đại số Lie G = 8Ì với móc Lie là tích có hướng thông thường dang cau với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo M là đại số con của G nêu [M.
Ta bảo M là ideal của G nếu [đ. Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên. Cho G là K-dai số Lie. ớc là các ideal cia Gg (k= ee eee fii) GIP IG Dun.
¡ ft) al GIGIG2D. (iii) Nếu dim Ø < +ece thì Jne Nsao cho: kà ge" i a — ñ vo kh Gan BurpA oven = Go Đại số Lie @ gọi là giải được nếu GTM = {0}. ở gọi là /ữy Tinh nếu Goo = (0). Chỉ số n nhỏ nhất dé các đăng thức xảy ra được gọi là hang của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) đ.
Vị dụ: T(n,K)=|A=(a,)s Mat(n,K)/a, =0,1< j<¡<nÌ (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. T(n,K)= {4 = (a, ) € Mai(n,K)/a,=O0,1s jsis nÌ (đại số các ma trận tam giác trên mà các phan tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh.3 (Định lý Lie) Cho @ là biểu diễn tuyển tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được #4 trong khong gian vecto V trên trường đóng đại so K. Khi đó @ tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là @(x) = T(n.