I. Giới thiệu Bất Biến Đại Số Nền Tảng Luận Án Toán Học
Luận án tiến sĩ Toán học này tập trung vào nghiên cứu về bất biến đại số của đa tạp đại số, một lĩnh vực quan trọng trong hình học đại số hiện đại. Nghiên cứu này sử dụng các công cụ từ lý thuyết giao, một phương pháp tiếp cận hiệu quả để nghiên cứu các bất biến của đa tạp đại số. Cách tiếp cận này đặc biệt hữu ích trong việc nghiên cứu các số giao trên đa tạp Grassmann, một chủ đề đã được quan tâm từ thế kỷ 19. Luận án khai thác các kết quả liên quan đến đa tạp Grassmann, bắt đầu từ các công trình của Schubert và Grassmann, và phát triển theo hướng sử dụng kỹ thuật địa phương hóa trong lý thuyết giao đẳng biến. Kỹ thuật này, được phát triển bởi Borel, Atiyah-Bott và Berline-Vergne, cung cấp một công cụ mạnh mẽ cho việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau. Luận án sử dụng một biến thể của đa thức nội suy cho các đa thức đối xứng bậc bị chặn để chỉ ra các đồng nhất thức liên quan đến các đa thức đối xứng. Điều này cung cấp một cách tiếp cận mới để xử lý các số giao trên đa tạp Grassmann và thiết lập những công thức mới liên quan đến những bất biến của đa tạp đại số.
1.1. Tổng quan về Hình học Đại số và Bất Biến
Hình học đại số là lĩnh vực nghiên cứu chính trong luận án, tập trung vào các đa tạp đại số. Các phương pháp hiện đại, đặc biệt là lý thuyết giao, mang lại cách tiếp cận hiệu quả hơn so với các phương pháp cổ điển. Nghiên cứu bất biến đại số là trọng tâm, với mục tiêu tìm ra các tính chất không thay đổi của đa tạp dưới các phép biến đổi đại số khác nhau. "Các đa tạp đại số là đối tượng nghiên cứu chính trong Hình học đại số. Bên cạnh các phương pháp của Hình học đại số và Giải tích cổ điển như dựa vào phương trình xác định, các phương pháp của Hình học đại số hiện đại mang đến nhiều cách tiếp cận hiệu quả hơn." - (Trích từ tài liệu gốc).
1.2. Vai trò của Đa Tạp Grassmann trong Nghiên Cứu Bất Biến
Đa tạp Grassmann đóng vai trò trung tâm trong nghiên cứu, đặc biệt là trong việc tính toán số giao. Các nghiên cứu liên quan đến đa tạp Grassmann đã được bắt đầu từ thế kỷ 19 và được xem xét lại theo hướng sử dụng kỹ thuật địa phương hóa trong lý thuyết giao đẳng biến. Kỹ thuật này là một công cụ mạnh được sử dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau như Hình học đại số, Tôpô đại số, Hình học symplectic, Tổ hợp đại số và Lý thuyết kỳ dị.
II. Thách Thức Nghiên Cứu Bất Biến Đa Tạp Đại Số Phức Tạp
Nghiên cứu bất biến đại số của đa tạp đại số đặt ra nhiều thách thức đáng kể. Việc xác định phương trình định nghĩa một đa tạp xạ ảnh là cực kỳ khó khăn trong nhiều trường hợp. Do đó, việc tính toán bậc của đa tạp trở nên phức tạp. Hơn nữa, việc xây dựng các phân thớ vectơ không phân tách được trên không gian xạ ảnh là một vấn đề nan giải trong hình học đại số. Những thách thức này đòi hỏi các phương pháp tiếp cận tiên tiến và kỹ thuật tính toán phức tạp. Luận án này tập trung vào việc giải quyết những thách thức này bằng cách sử dụng lý thuyết giao và các kỹ thuật liên quan đến đa thức đối xứng và đa tạp Grassmann.
2.1. Khó khăn trong Việc Xác Định Phương Trình Đa Tạp Xạ Ảnh
Việc xác định phương trình định nghĩa một đa tạp xạ ảnh là một thách thức lớn, đặc biệt là đối với các đa tạp phức tạp. Điều này gây khó khăn cho việc tính toán các bất biến của đa tạp, chẳng hạn như bậc. Khi đó, bậc có thể được tính bằng các công cụ của lý thuyết giao được phát triển bởi William Fulton từ những năm đầu thập niên 1980.
2.2. Vấn Đề Xây Dựng Phân Thớ Vectơ Không Phân Tách Được
Xây dựng các phân thớ vectơ không phân tách được trên không gian xạ ảnh là một vấn đề khó trong Hình học đại số. Hartshorne đã khẳng định rằng chúng ta không thể xây dựng được các phân thớ vectơ không phân tách được trong trường hợp số chiều lớn và số hạng nhỏ. Cụ thể hơn, Hartshorne đã chỉ ra rằng mọi phân thớ vectơ hạng 2 trên không gian xạ ảnh Pn với n ≥ 7 đều tách được thành tổng trực tiếp của các phân thớ đường thẳng.
2.3. Tính toán số Euler của đa tạp
Một trong các kết quả chính của họ là chỉ ra nhiều công thức cho bậc đại số δ(m, n, r) trong quy hoạch nửa xác định với các giá trị m, n, r đặc biệt [44, Định lý 11] bằng cách tính các số Euler của đa tạp trơn, bậc của đa tạp định thức.
III. Phương Pháp Lý Thuyết Giao Nghiên Cứu Bất Biến Đại Số
Luận án sử dụng lý thuyết giao như một phương pháp chính để nghiên cứu bất biến đại số. Lý thuyết giao cung cấp các công cụ để tính toán số giao của các lớp đặc trưng trên đa tạp Grassmann, từ đó suy ra các thông tin về bất biến của đa tạp đại số. Phương pháp này bao gồm việc sử dụng kỹ thuật địa phương hóa trong lý thuyết giao đẳng biến, cũng như các kết quả liên quan đến đa thức đối xứng và đa thức Schur. Cụ thể, luận án sử dụng kết quả của Hiep về đồng nhất thức liên quan đến các đa thức đối xứng để xử lý các số giao trên đa tạp Grassmann.
3.1. Ứng dụng Lý Thuyết Giao Đẳng Biến và Địa Phương Hóa
Kỹ thuật địa phương hóa trong lý thuyết giao đẳng biến là một công cụ quan trọng được sử dụng trong luận án. Kỹ thuật này cho phép giảm bài toán tính toán số giao trên đa tạp Grassmann thành các bài toán đơn giản hơn trên các điểm bất động của tác động nhóm đại số.
3.2. Sử dụng Đa Thức Đối Xứng và Đa Thức Schur trong Tính Toán
Đa thức đối xứng và đa thức Schur đóng vai trò quan trọng trong việc biểu diễn và tính toán các số giao trên đa tạp Grassmann. Các đồng nhất thức liên quan đến các đa thức đối xứng, đặc biệt là kết quả của Hiep, được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức và tìm ra các công thức tường minh.
3.3. Đặc trưng tổ hợp cho bậc của đa tạp Fano
Tiếp tục hướng nghiên cứu này, bằng cách sử dụng phương pháp xử lý số giao của các lớp đặc trưng trên đa tạp Grassmann được khám phá bởi Hiep [33], chúng tôi đã thiết lập một đặc trưng tổ hợp cho bậc của đa tạp Fano của các không gian con tuyến tính trên một giao đầy đủ tổng quát thông qua hệ số của một đơn thức đặc biệt trong khai triển của một đa thức đối xứng, xem Định lý 2.
IV. Nghiên Cứu Bậc Đa Tạp Fano và Đặc Trưng Euler Phân Thớ
Luận án tập trung vào nghiên cứu bậc của đa tạp Fano và đặc trưng Euler của phân thớ Tango. Bậc của đa tạp Fano được biểu diễn như là một số giao của các lớp đặc trưng trên đa tạp Grassmann. Đặc trưng Euler của phân thớ Tango được xác định thông qua đặc trưng Chern và lớp Todd của phân thớ vectơ. Các kết quả này cung cấp các ứng dụng quan trọng trong việc phân loại các lớp đa tạp và nghiên cứu cấu trúc của phân thớ vectơ trên không gian xạ ảnh.
4.1. Xác Định Bậc của Đa Tạp Fano Thông Qua Lý Thuyết Giao
Bậc của đa tạp đại số phụ thuộc vào phép nhúng của nó vào một không gian xạ ảnh. Bậc của đa tạp xạ ảnh phức X là số giao điểm của X với một đa tạp tuyến tính tổng quát có đối chiều bằng số chiều của X. Bằng ngôn ngữ của lý thuyết giao, bậc của đa tạp Fano có thể biểu diễn như là một số giao của các lớp đặc trưng trên đa tạp Grassmann.
4.2. Tính Toán Đặc Trưng Euler của Phân Thớ Tango Trên Không Gian Xạ Ảnh
Theo Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch, đặc trưng Euler của phân thớ Tango có thể được xác định thông qua đặc trưng Chern và lớp Todd của phân thớ vectơ. Trên không gian xạ ảnh, đặc trưng Chern và lớp Todd của phân thớ vectơ khá đơn giản. Với cách tiếp cận này, luận án tính toán đặc trưng Chern của phân thớ vectơ Tango và lớp Todd của phân thớ tiếp xúc trên không gian xạ ảnh.
4.3. Các đa tạp Fano
Các nghiên cứu liên quan đến đa tạp Fano được bắt đầu từ cách đây hơn 40 năm với các kết quả của Altman-Kleiman [4], Barth-Van de Ven [7], Debarre-Manivel [16], Langer [38], Markushevich [40], Tennison [51], cũng như những kết quả mới 1 gần đây của Hiep [31].
V. Bậc Đại Số Trong Quy Hoạch Nửa Xác Định Hướng Tiếp Cận
Luận án cũng nghiên cứu bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định, một bài toán quan trọng trong Quy hoạch toán học. Luận án chỉ ra rằng bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định có thể được tính toán như một số giao của lớp Segre của lũy thừa đối xứng thứ hai của phân thớ phổ dụng trên đa tạp Grassmann. Từ đó, luận án đưa ra một đặc trưng tổ hợp cho bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định dưới dạng hệ số của một đơn thức đặc biệt trong khai triển của một đa thức đối xứng kép.
5.1. Liên Hệ Giữa Bậc Đại Số và Đa Tạp Đối Ngẫu
Bậc đại số δ(m, n, r) trong quy hoạch nửa xác định bằng với bậc của một đa tạp đối ngẫu bằng phương pháp hình học đại số phức. Kết quả này liên kết bài toán tối ưu hóa với các khái niệm hình học đại số, cung cấp một công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các bài toán quy hoạch nửa xác định.
5.2. Đặc Trưng Tổ Hợp cho Bậc Đại Số Trong Quy Hoạch Nửa Xác Định
Luận án đưa ra một đặc trưng tổ hợp cho bậc đại số δ(m, n, r) trong quy hoạch nửa xác định dưới dạng hệ số của một đơn thức đặc biệt trong khai triển của một đa thức đối xứng kép. Kết quả này cung cấp một phương pháp tổ hợp để tính bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định, mở ra các hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.
5.3. Ứng dụng trong tối ưu lồi
Bài toán này có ứng dụng rất đa dạng trong Tối ưu lồi, Lý thuyết điều khiển và Tối ưu hóa tổ hợp.
VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Về Bất Biến
Luận án đã trình bày các kết quả mới về bất biến của đa tạp đại số, đặc biệt là bậc của đa tạp Fano, đặc trưng Euler của phân thớ Tango và bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định. Các kết quả này được thu được bằng cách sử dụng lý thuyết giao, kỹ thuật địa phương hóa và các công cụ liên quan đến đa thức đối xứng và đa tạp Grassmann. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả này cho các lớp đa tạp đại số khác, cũng như phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả hơn cho các bất biến này.
6.1. Tổng Kết Các Kết Quả Chính Trong Luận Án
Luận án đã đưa ra một đặc trưng tổ hợp cho bậc của đa tạp Fano của các không gian con tuyến tính trên một giao đầy đủ trong không gian xạ ảnh phức dưới dạng hệ số đặc biệt của một đa thức đối xứng. Đồng thời, luận án thiết lập một công thức liên hệ giữa bậc và giống của đa tạp Fano trong trường hợp chiều của đa tạp Fano bằng 1. Luận án cũng đưa ra một công thức cho đặc trưng Euler của phân thớ Tango và một đặc trưng tổ hợp cho bậc đại số trong quy hoạch nửa xác định.
6.2. Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Bất Biến Đại Số Trong Tương Lai
Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả này cho các lớp đa tạp đại số khác, cũng như phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả hơn cho các bất biến này. Ngoài ra, việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các bất biến đại số và các bài toán trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như vật lý lý thuyết và khoa học máy tính, cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn.
