Chương 1 nêu tổng quan các lý thuyết đã được sử dụng để phân tích vỏ, trên cơ sở đó luận án tập trung phân tích tình hình nghiên cứu về vỏ FGM trong nước và trên thế giới. Từ đó rút ra các vấn đề đã được nghiên cứu về vỏ FGM và đề xuất hướng nghiên cứu trọng tâm của luận án. Tổng quan lý thuyết phân tích vỏ Lý thuyết vỏ là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn đã được phát triển từ cuối thế kỷ 19. Việc giải bài toán đàn hồi 3D với kết quả chính xác, hoặc có độ chính xác cao là rất phức tạp, do đó ít được quan tâm nghiên cứu, phát triển.
Để khắc phục những khó khăn trong tính toán, bài toán nghiên cứu vỏ được đơn giản hóa như bài toán 2D bằng cách xem xét nó như một kết cấu đặc trưng có chiều dày nhỏ so với các kích thước khác. Trên thực tế nghiên cứu, lý thuyết vỏ có thể được phân loại như Hình 1. Ở lớp lý thuyết vỏ thứ nhất, kết cấu vỏ được nghiên cứu trên cơ sở khai triển các hàm ứng suất, biến dạng theo chiều dày. Cauchy và Poisson [58] xây dựng các mô hình tính toán theo hướng này để đơn giản hóa bài toán 3D.
Kil’chevskiy [63] thực hiện khai triển các hàm biến dạng, ứng suất theo chuỗi MacLaurin bậc lũy thừa theo tọa độ chiều dày. Đối với lớp lý thuyết vỏ thứ hai, lý thuyết này được biết đến với tên gọi “Bề mặt Cossenat” [12], vỏ được xem xét như vật thể biến dạng cùng với tập hợp các đường chuẩn biến dạng. Lớp lý thuyết vỏ dạng này là các mô hình lý thuyết đàn hồi phi cổ điển, có tính đến ảnh hưởng của một số yếu tố phi tuyến. Trong lớp lý thuyết vỏ thứ ba thực hiện tích phân ứng suất theo chiều dày.
Sử dụng các ứng suất trung bình hoặc ứng suất tương đương đã được định nghĩa theo mặt trung hòa cho phép đưa bài toán 3D về phương pháp bài toán 2D trên cơ sở ứng suất tuơng đương. Phần lớn các nghiên cứu hiện nay đang dừng ở lớp lý thuyết này. Sử dụng phép gần đúng nêu trên cho phép đơn giản hóa những vấn đề rất phức luan an 6 tạp gặp phải khi giải bài toán 3D của lý thuyết vỏ, đồng thời hướng tiếp cận này có thể áp dụng hiệu quả trong việc giải các bài toán biên, bài toán trị riêng phức tạp. Lý thuyết vỏ được xây dựng trên cơ sở ứng suất tương đương có thể chia thành ba kiểu lý thuyết dưới đây: 1) Lý thuyết vỏ cổ điển (CST) hay lý thuyết vỏ Love.
2) Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT). 3) Các lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (HSDTs), Các lý thuyết biến dạng trượt-pháp bậc cao (HOSNTs). Lý thuyết phân tích vỏ Bề mặt Cosserat Đơn giản 3D xuống Khai triển ứng suất, ↓ 2D sử dụng ứng suất biến dạng theo chiều Cosserat brothers tương đương (trên cơ dày vỏ (1909) sở chuyển vị) ↓ Cauchy, Poisson Basset (1980) Kil’chevskiy (1939) Lý thuyết vỏ Love (Lý Lý thuyết biến dạng trượt Lý thuyết biến dạng trượt thuyết cổ điển) bậc nhất bậc cao/pháp ngang ↓ ↓ ↓ Kirchhoff-Love (1888) Naghdi (1957) Hildebrand, Reissner và Flugge (1934) Reissner (1944,1960) Thomas (1949) Biezeno (1941) Green và Zerna (1950) Naghdi (1956) Byrne (1944) Sanders (1959) Bercha và Glockner (1972) Reissner (1944) Klosner và Levine (1966) Hình 1. Sơ đồ các lý thuyết trong phân tích vỏ luan an 7 1.
Lý thuyết vỏ cổ điển Phần lớn các nghiên cứu theo lý thuyết vỏ cổ điển sử dụng lý thuyết vỏ tuyến tính. Bằng cách sử dụng các giả thiết đơn giản của lý thuyết tấm Poisson- Kirchhoff, lý thuyết tấm cổ điển cũng được phát triển cho vỏ. Người đầu tiên sử dụng lý thuyết tấm Poisson-Kirchhoff để phát triển cho lý thuyết vỏ chính là Aron [16]. Aron đã đưa ra các phương trình uốn của vỏ với biến dạng nhỏ và chuyển vị hữu hạn.
Lý thuyết của Aron chứa một vài khiếm khuyết, sau đó được Love khắc phục. Love đã đưa ra các giả thiết đơn giản sau: 1. Vỏ mỏng, có tỷ số chiều dày với bán kính cong nhỏ nhất h / Rmin 1, ở đây, h là chiều dày của vỏ, Rmin là bán kính cong nhỏ nhất của vỏ. Độ võng là nhỏ so với kích thước của vỏ.
Pháp tuyến của mặt giữa (z = 0) vẫn thẳng góc với mặt giữa trước và sau khi biến dạng. Giá trị ứng suất pháp ngang là rất nhỏ so với ứng suất mặt. Lý thuyết vỏ cổ điển sử dụng trường chuyển vị [85] có dạng sau: w0 u ( x, y , z , t ) = u0 ( x, y , t ) − z , x w v( x, y, z , t ) = v0 ( x, y, t ) − z 0 , (1. ở đây, z là tọa độ theo pháp tuyến tính từ mặt Oxy, u0 , v0 và w0 là chuyển vị của mặt trung hòa theo các phương x, y, z.
Tuy nhiên, lý thuyết cổ điển vẫn chỉ áp dụng được cho các vỏ mỏng. Với vỏ có chiều dày trung bình hoặc vỏ dày, lý thuyết này không còn chính xác nữa. Do đó, để đánh giá tốt hơn ứng xử của vỏ cần sử dụng những lý thuyết khác. Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất Phát triển tiếp theo của lý thuyết biến dạng cổ điển, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất như một đề cập đầu tiên và phổ biến là lý thuyết tấm Mindlin [73], trong đó tác giả đã đưa ra ảnh hưởng biến dạng trượt ngang (ứng suất tiếp theo chiều dày) trong kết cấu tấm.
Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất cho rằng đường thẳng vuông góc với mặt trung hòa vẫn thẳng sau biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung hòa nữa. Trường chuyển vị [85] trong lý thuyết này được biểu diễn dưới dạng sau: u ( x, y, z, t ) = u0 ( x, y, t ) + zx ( x, y, t ) v( x, y, z, t ) = v0 ( x, y, t ) + z y ( x, y, t ) (1.2) w( x, y, z, t ) = w0 ( x, y, t ) u v x = , y = z z ở đây, u0 , v0 và w0 là chuyển vị của mặt trung hòa, x và y là góc xuay của pháp tuyến so với mặt trung hòa lân cận tiếp tuyến của các đường tọa độ x và y tương ứng. Lý thuyết FSDT cho phép xem xét vỏ có chiều dày tốt hơn so với CST. Tuy nhiên để đánh giá ứng suất tiếp theo chiều dày cần đưa thêm hệ số hiệu chỉnh cắt vào trong lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.
Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Hildebrand, Reissner và Thomas [53] thực hiện khai triển chuyển vị theo chuỗi Taylor đến ba số hạng, đây như là sự phát triển ban đầu của lý thuyết vỏ bậc cao. Naghdi [76] tiếp tục đưa ra công thức cho bài toán với sự khai triển đến hai số hạng đối với chuyển vị mặt và khai triển đến ba số hạng đối với thành phần chuyển vị theo chiều dày khi xét đến ảnh hưởng của biến dạng pháp. Kant [59] cũng đã thiết lập đầy đủ các phương trình cơ bản đối với vỏ luan an 9 dày composite lớp làm từ vật liệu trực hướng bằng cách khai triển chuỗi Taylor đến ba số hạng cho trường chuyển vị. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, Kant và Ramesh [57] đưa ra lý thuyết vỏ trực hướng trong tọa độ cong tổng quát với trường chuyển vị được phân tích theo [53], từ đó xây dựng lý thuyết bậc cao cho vỏ trực hướng và cũng như vỏ nhiều lớp.
Lý thuyết này cho phép tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của pháp tuyến, cũng như biến dạng pháp tuyến. Firsanov và Doan thực hiện khai triển Taylor đến bậc N đối với chuyển vị mặt, bậc N-1 đối với chuyển vị theo phương pháp tuyến để xây dựng các phương trình cơ bản của lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu Quasi-3D [48, 49]. Các ứng suất mặt được tìm từ phương trình vật lý liên hệ giữa biến dạng và ứng suất, còn các ứng suất cắt được xác định từ các phương trình của lý thuyết đàn hồi 3D. Reddy và Liu [84] đã phát triển lý thuyết bậc cao cho vỏ với khai triển bậc ba đối với chuyển vị mặt và là hằng số đối chuyển vị theo phương pháp tuyến.
Với việc sử dụng điều kiện biên tự do đối với mặt trên và dưới, số ẩn trong hệ phương trình vi phân giảm xuống còn năm ẩn. Trường chuyển vị [85] theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (bậc ba theo Reddy) được mô tả như công thức sau: u ( x, y, z , t ) = u0 ( x, y, t ) + zx ( x, y, t ) + 2 z 2 x ( x, y, t ) + 6 z 3x ( x, y, t ) v( x, y, z , t ) = v0 ( x, y, t ) + z y ( x, y, t ) + 2 z 2 y ( x, y, t ) + 6 z 3 y ( x, y, t ) (1.3) w( x, y, z , t ) = w0 ( x, y, t ) ở đây, u0 , v0 , w0 là chuyển vị của mặt trung hòa, x và y góc quay của pháp tuyến so với mặt trung hòa lân cận tiếp tuyến của các đường tọa độ x và y tương ứng, x , y , x và y là thành phần chuyển vị bậc cao. u v 2u x = , y = , x = 2 , z z =0 z z =0 z z =0 luan an 10 2v 3u 3v y = 2 , x = 3 , y = 3 z z =0 z z =0 z z =0 Việc xây dựng các lý thuyết với bậc khác nhau phụ thuộc vào khai triển của chuyển vị chính theo chuỗi Taylor với số mũ khác nhau. Trong những năm gần đây, đã xuất hiện việc khai triển phi đa thức như: hàm hypebol, lượng giác và hàm mũ [6].
Để mô tả tốt hơn biến dạng trượt tại các biên tự do kéo nén cùng với tính liên tục các lớp của chuyển vị mặt, người ta sử dụng lý thuyết zig-zag cho vật liệu composite nói chung.1 liệt kê một số mô hình chuyển vị bậc cao đã áp dụng cho vỏ FGM trong các nghiên cứu gần đây. Mặc dù một số mô hình đa thức cũng như phi đa thức đã được nghiên cứu cho bài toán tấm, nhưng việc áp dụng cho vỏ FGM vẫn còn hạn chế.