CHƯƠNG 1. TONG QUAN VE GIAM BAC MO HINH 1. Giới thiệu về giảm bậc mô hình Vì sao có bài toán giảm bậc mô hình ? Trong rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật (như kỹ thuật hàng không, kỹ thuật điều khiển, kỹ thuật ô tô, động lực, .), mô hình toán học được sử dụng để mô hình hóa, điều khiển và phân tích cho các hệ thống lớn và các hiện tượng vật lý. Do sự phát triển của các phần mềm thiết kế mô hình chuyên dụng và tính toán chính xác trên máy tính nên mô phỏng số ngày càng được sử dụng đề mô phỏng các hệ thống phức tạp hoặc hiện tượng vật lý và rút ngắn thời gian phát triển sản phẩm và giảm giá thành.
Tuy nhiên, do yêu cầu tăng cường tính chính xác của các mô hình đã dẫn đến việc tăng cường số lượng các biến (biến trạng thái) và khối lượng tính toán cần được xử lý làm tăng chỉ phí tính toán mô phỏng. Hơn nữa, theo quan điểm của điều khiển học, khi mô hình đối tượng bậc cao hoặc bộ điều khiển bậc cao sẽ dẫn đến : + Sự gia tăng thời gian mô phỏng và khó khăn trong việc phân tích tính chất của mô hình như tính chất bất định, thay đổi thông số, tính phi tuyến. + Khó khăn khi tổng hợp bộ điều khiển hiện đại (như điều khiến LQG, điều khiển bền vững H.) cũng như hệ thống điều khiển sẽ khó có khả năng đáp ứng yêu cầu điều khiển thời gian thực. Vì vậy nếu có một mô hình toán học có bậc nhỏ hơn mà có thể mô tả một cách tương đối chính xác đối tượng hoặc bộ điều khiển bậc cao thì : - Mô hình giảm bậc tạo điều kiện để tìm hiểu về hệ thống hoặc để có sự hiểu biết ban đầu về hệ thống dễ dàng hơn: Mô hình giảm giúp hiểu về hệ thống đơn giản hơn.
-_ Mô hình bậc thấp sẽ giảm thời gian tính toán: Mô hình bậc thấp giúp quá trình tính toán nhanh hơn. - Mô hình bậc thấp chỉ ra được các đặc điểm (hành vi) bền vững của mô hình gốc: Mô hình giảm bậc là mô hình đáng tín cậy hơn. - Mô hình giảm bậc làm cho việc thiết kế điều khiển được thuận lợi hoặc dễ dàng hơn: Bộ điều khiến thu được có cấu trúc đơn giản và dé dàng hơn đề hiểu và thiết kế cũng như đáp ứng được yêu cầu điều khiển thời gian thực. Từ thực tế đó, yêu cầu xác định mô hình bậc thấp từ mô hình gốc bậc cao đáp ứng một số yêu cầu nhất định là một yêu cầu cấp thiết.
Các thuật toán để xác định mô hình bậc thấp từ mô hình bậc cao đáp ứng một số yêu cầu cơ bản (như bảo toàn tính ổn định, sai số giảm bậc nhỏ, .) hình thành nên lĩnh vực được gọi là “gIiảm bậc mô hình” (MOR: Model Order Reduction).2 Bài toán giảm mô hình Mô hình giảm hay giảm bậc mô hình là một thuật toán để tìm một hệ bậc thấp hơn so với hệ gốc dạng hệ phương trình vi phân thường (ODEs — ordinary differential equations). Ý tưởng chính của thuật toán là chuyên véctơ trạng thái bậc cao thành một véctơ trạng thái bậc thấp trong không gian trạng thái, cụ thé như sau: Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bắt biến theo thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau: x=Ax+Bu v=Œ (1.1) trong đó, xe Ñ”,ue R*”,yeR“,AeR”",Be R"",Ce R“". Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương trình đã cho trong (1.1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ các phương trình: x, =Ax +Bu (1.2) y, = CX, trong đó, xe R”,ue R”,ye R“,AeK”,BeR”,CeR“””,với r<n Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mô hình mô tả bởi phương trình trong (1.1), đồng thời đáp ứng được một số yêu cầu sau: 1. Sai số giảm bậc nhỏ và tồn tại một giới hạn lỗi toàn cục; 2.
Thuật toán giám bậc cần tính toán hiệu quá, ôn định; 3. Thuật toán giám bậc có thể thực hiện tự động dựa trên giới hạn sai số; 4. Các tính chất quan trọng của hệ thống gốc cần được bảo toàn trong hệ giảm bậc như tính ồn định và thụ động, .3 Các phương pháp giảm bậc mô hình 1.1 Các nghiên cứu giảm bậc mô hình trên thế giới Trong nhiều năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu đề giải quyết bài toán giảm bậc mô hình bậc cao được công bố và đề xuất, trong đó hầu hết các công trình tập trung giải quyết bài toán giảm bậc cho hệ tuyến tính. Tuy nhiên theo [1, 32], đối với một hệ bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất có thể được phân loại như sau Nhóm phương pháp bảo toàn những giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao đề xác định bậc của mô hình bậc thấp.
Và các tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc. Đề xuất được quan tâm nhiều nhất của nhóm là phương pháp điểm cực trội của Rommes [22, 23, 24], trong những nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra được khái niệm hay tiêu chuẩn đánh giá tính quan trọng của điểm cực dựa trên cở sở đóng góp của điểm cực vào đáp ứng xung đầu ra từ đó làm cơ sở phân loại các điểm cực và bảo lưu các điểm cực trong hệ giảm bậc. Nhóm phương pháp dựa trên thuật toán phân tích giá trị suy biến SVD: Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là phương pháp chặt cân bằng (cân bằng nội) do Moore đề xuất [18]. Phương pháp chặt cân bằng được thực hiện bằng cách áp dụng điều kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận gramian điều khiển và quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở.
Việc tương đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyền mô hình gốc biêu diễn trong hệ cơ sở bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội. Từ không gian cân bằng đó, mô hình bậc thấp có thể tìm được bằng cách loại bỏ các giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ. Những nghiên cứu gần đây [10] tập trung vào hoàn thiện thuật toán cho từng ứng dụng cụ thể của thuật toán cắt ngăn cân bằng. Ngoài phương pháp cân bằng nội thì còn có một số phương pháp cân bằng khác như phương pháp cân bằng ngẫu nhiên [17, 31], cân bằng giới hạn thực, cân bằng thực dương [26], cân bằng LQG [9], cân bằng trọng tần số [35], phương pháp xấp xỉ chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation) [2],.
Nhóm phuong phdp Singular Perturbation Approximation duge dé xuat đầu tiên bởi Y. Nhóm phương pháp dựụa trên không gian con Krylov (moment matching methods): Co sở của nhóm phương pháp này là chọn trùng khớp đặc tính đáp ứng của hệ giảm bậc và hệ gốc. Sự hấp dẫn chủ yếu của nhóm phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các phương pháp khác. Nhóm phương pháp này được phát triển từ phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàm theo chuỗi của Pade [21].
Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đôi khi các mô hình bậc thấp tìm được có thê không ổn định dù rằng mô hình gốc bậc cao ồn định. Để khắc phục nhược điểm trên đã có nhiều phương pháp được đề xuất trong đó quan trọng nhất là phương pháp giám bậc ổn định sử dụng phương pháp gần đúng theo chuỗi Chebyshev Pade do Bistritz và Lanholz đề xuất [5] và phương pháp thời điểm phù hợp (Pade approximants - moment matching) dựa trên không gian Krylov [13, 16, 32] và được chia làm 3 nhóm nhỏ hơn là 1) thực hiện theo quy trình Arnoldi [33] 2) thực hiện theo quy trình Lanholz [13], 3) thực hiện theo tỷ số năng lượng [16]. Các kỹ thuật thuật toán này đảm bảo cho việc lựa chọn điểm trùng khớp phù hợp, cung cấp giới hạn lỗi, đảm bảo được sự ổn định của mô hình, có thể áp dụng cho hệ nhiều vào nhiều ra, hệ tính toán song song,. Nhóm phương pháp dựa trên Granian và hàm dấu ma trận (Low-rank Gramian approximants and matrix sign function method): Nhóm phương pháp này là sự kết hợp của phương pháp dựa trên SVD và phương pháp thời điểm phù hợp (moment matching) dựa trên không gian con Krylov: Nhóm phương pháp này tìm cách kết hợp ưu điểm của các thuật toán dựa trên SVD và các thuật toán dựa trên phương pháp thời điểm phù hợp.
Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là của L¡ [25] đề xuất cách giải 2 phương trình Lyapunov bằng phép chiếu không gian con Krylov. Tiếp theo hiện có rất nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu và đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để kết hợp 2 nhóm phương pháp trên [4, 5, 8, 11, 12]. Nhóm các phương pháp khác: Đánh quan tâm nhất là nhiễu loạn được Sannuti và Kokovic đề xuất [27], phương pháp này đặc biệt tiện lợi khi hệ thống gốc có đặc tính biến đổi theo hai mức thời gian. Các trạng thái động học của hệ được phân chia thành các nhóm thuộc mode “chậm” và mode “nhanh” và việc giảm bậc được thực hiện bằng cách cho các đạo hàm theo thời gian của các trạng thái thuộc mode “nhanh” bằng không để các trạng thái thuộc thuộc mode “nhanh” được loại bỏ.
Ngoài ra con có các phương pháp như phương pháp kết hợp phép chiếu trực giao thích hợp (POD) với phương pháp cắt ngắn cân bằng (POD-BT), hay phương pháp dùng các thuật toán PSO hoặc GA tìm thông số của mô hình giảm bậc cố định cho hé SISO, .2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc Theo tìm hiểu của tác giả thì ở trong nước hiện nay chưa có nhiều công trình nghiên cứu về giảm bậc mô hình, xin nêu ra ở đây một số công trình mà tác giả đã tìm hiểu được. Luận văn tiến sĩ của Đào Huy Du [20] đề xuất phương pháp giảm bậc kết hợp giữa phương pháp dựa trên SVD với bảo toàn giá trị riêng quan trọng và áp dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán viễn thông. Các nghiên cứu của Nguyễn Ngọc San [7] đề xuất phương pháp giảm bậc tối ưu đầu ra, đảm bảo bảo lưu các trạng thái các trạng thái của mô hình gốc bậc cao trong mô hình giảm bậc và áp dụng thuật toán giảm bậc cho các bài toán trong mạng viễn thông. Luận văn tiến sĩ của Vũ N gọc Kiên [32] để xuất thuật toán giảm bậc bảo toàn các điểm cực trội theo chuẩn H;, H.