CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN Đường cong bậc hai hay còn gọi là đường conic được nhắc đến và nghiên cứu 200 năm trước Công nguyên, khi Apollonius Perga nghiên cứu một cách có hệ thống về tính chất của các đường conic. Đường conic có thể được định nghĩa theo hai cách: 1/ Đường conic là quỹ tích các điểm mà tỷ lệ giữa khoảng cách từ nó đến một điểm cố định F và khoảng cách từ nó đến một đường thẳng cố định L bằng một giá trị thực e. - Khi 0 < e < 1 ta có đường elip (tròn). - Khi e = 1 ta có đường parabol.
- Khi e > 1 ta có đường hypebol. Điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng cố định L được gọi là đường chuẩn của conic.1 2/ Đường conic là đường giao tuyến giữa một mặt nón bậc hai và một mặt phẳng. Khi mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của nón, ta có đường elip. Khi mặt phẳng song song với một đường sinh của nón, ta có đường parabol.
Khi mặt phẳng song song với hai đường sinh của nón, ta có đường hypebol.2 Ứng dụng của các đường conic trong thực tế vô cùng đa dạng. Trong thiên văn học, quỹ đạo của hai vật thể tương tác với nhau được ghi lại trong “ịnh luật vạn vật hấp dẫn của Newton” là những đường conic nếu trọng tâm của chúng ở trạng thái tự do. Nếu chúng di chuyển về cùng một hướng, chúng sẽ để lại dấu vết hình elip; nếu chúng di chuyển tách biệt, chúng sẽ di chuyển theo đường parabol hay đường hypebol. Quỹ đạo chuyển động của mặt trăng và các hành tinh trong hệ mặt trời cũng là các đường elip.
Trong khí động học, người ta quan tâm nhiều đến tính chất “trơn” của các đường conic vì chúng không chứa bất kỳ điểm nào làm thay đổi độ cong, giúp cho bề mặt khí động học ngăn cản được sự chuyển động của không khí và nước. Trong tạo hình các chi tiết quang học (thấu kính.), trong thiết kế vòm nhà, sân bóng,. các đường conic cũng được ứng dụng rộng rãi. Ứng dụng đa dạng của các đường conic làm cho các nghiên cứu về chúng không ngừng phát triển.
Việc khảo sát các đường conic được chia làm hai hướng: khảo sát bằng hình học giải tích và khảo sát bằng hình học xạ ảnh. Trong hình học giải tích, đường conic được thể hiện dưới dạng phương trình đại số: 12 Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (A2 + B2 ≠ 0) Để khảo sát đường conic, người ta thường đưa hệ toạ độ Đề các ban đầu về hệ toạ độ thuần nhất. Trong hệ toạ độ thuần nhất, phương trình của các đường conic lần lượt có dạng: x2 y2 - Đường elip: + =1 a 2 b2 - Đường parabol: y2 = 2px hoặc x2 = 2py x2 y 2 - Đường hypebol: − =1 a 2 b2 Đường conic được xem là một đối tượng nghiên cứu của hình học xạ ảnh vì chúng có những tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh. Chúng thường được thể hiện là quỹ tích giao điểm của các tia tương ứng của hai chùm xạ ảnh.
Đường conic là elip (tròn), parabol hay hypebol phụ thuộc vào số giao điểm thực của nó với đường thẳng vô tận là 0, 1 hay 2. Để khảo sát đường conic, người ta thường dùng các phép biến đổi để đưa đường conic về đường tròn. Lý do vì khi biến đổi thành đường tròn, các tính chất xạ ảnh được giữ nguyên và các kết quả được thể hiện một cách rõ ràng, chính xác. Ví dụ, phép thấu xạ, phép nghịch đảo.
Phương pháp khảo sát đường conic bằng hình học giải tích có ưu điểm là dễ dàng biểu diễn các tính chất về lượng cũng như giải các bài toán về giao điểm một cách nhanh chóng, đặc biệt khi kỹ thuật xử lý bằng máy tính ngày càng phát triển. Nhưng nhược điểm của phương pháp này là không thể tiếp tục khảo sát các đường cong bậc cao hơn, ví dụ đường cong bậc 4 rất phổ biến trong kỹ thuật cũng như các đường cong không thể biểu diễn dưới dạng phương trình đại số tường minh. 13 Khắc phục nhược điểm của hình học giải tích, hình học xạ ảnh cho phép khảo sát các đường cong bậc cao do các tính chất xạ ảnh được bảo toàn qua các phép biến đổi. Tuy nhiên, cho đến nay, việc khảo sát mới chỉ dừng lại ở một đường conic riêng lẻ hoặc một chùm đường conic nhưng các kết quả hiển thị chưa được nhận ra một cách nhanh chóng và rõ ràng.
Nếu tiếp tục nghiên cứu về chùm đường conic thì các phương pháp trước đây không còn phù hợp nữa. Vì thế, các tính chất xạ ảnh của chùm chưa được nghiên cứu một cách sâu sắc. Trên cơ sở đó, luận văn đã vận dụng phép biến đổi giao đối cực trong hình học xạ ảnh để khảo sát một chùm conic (chùm đường cong bậc hai). Qua phép biến đổi này, việc nhận dạng các đường cong của chùm thuộc loại nào trong số các đường elip, parabol hay hypebol được thực hiện một cách nhanh chóng.
Hơn nữa, phép biến đổi cũng cho phép giải các bài toán về tìm giao điểm của hai đường conic và tính toán một vài đặc trưng của chùm đường conic (góc hợp bởi hai tiệm cận của đường hypebol, góc trục của đường parabol, dựng hypebol với góc tiệm cận cho trước. Một vài tính chất của phép biến đổi giao đối cực và kết quả khảo sát chùm đường conic được luận văn thể hiện bằng ngôn ngữ lập trình AutoLISP trên nền AutoCAD. 14 CHƯƠNG 2: NHẮC LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM 2.1 TỶ SỐ KÉP CỦA BỐN PHẦN TỬ TRONG MỘT DẠNG CẤP MỘT. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng trên một đường thẳng ∆.
Trên ∆ ta CA DA chọn một đơn vị dài và một hướng dương. Tỷ số giữa hai tỷ số và gọi là CB DB tỷ số kép của bốn điểm A, B, C, D lấy theo thứ tự đó và ký hiệu là (ABCD). CA DA ( ABCD) = : CB DB Hình 2. “Tỷ số kép của bốn điểm được bảo toàn qua phép chiếu xuyên tâm.” Chứng minh: 15 Hình 2.2 Ta chiếu xuyên tâm bốn điểm A, B, C, D thành bốn điểm A’, B’, C’, D’.
Qua B và B’ ta dựng hai đường thẳng BEF và B’E’F’ song song với SA. Ta có: CA SA = CB EB DA SA = DB FB do đó: CA DA FB : = CB DB EB Chứng minh tương tự như trên ta có: C' A' D' A' F ' B' : = C' B' D' B' E ' B' 16 FB F ' B ' Vì = nên (ABCD) = (A’B’C’D’) EB E' B ' 2.3 Tính chất của tỷ số kép. - Tỷ số kép của bốn điểm A, B, C, D không đổi khi ta hoán vị cặp hai điểm đầu với cặp hai điểm cuối. (ABCD) = (CDAB) - Tỷ số kép không thay đổi khi ta hoán vị đồng thời hai đầu với nhau và hai điểm cuối với nhau.
(ABCD) = (BADC) - Tỷ số kép sẽ đảo ngược đi nếu ta hoán vị hoặc hai điểm đầu với nhau, hoặc hai điểm cuối với nhau. 1 ( ABCD) = ( ABDC) - Tỷ số kép sẽ trở thành số bù của nó cho đến 1 khi ta hoán vị hai điểm ở giữa với nhau hoặc điểm đầu và điểm cuối với nhau.4 Trường hợp đặc biệt. - Nếu tỷ số kép của bốn điểm A, B, C, D bằng -1 thì ta nói cặp điểm A, B chia điều hoà cặp điểm C, D. 17 - Nếu cặp điểm A, B chia điều hoà cặp điểm C, D và C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB thì D là điểm vô tận và ngược lại, nếu D là điểm vô tận thì C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB.3 Chứng minh: Vì cặp A, B chia điều hoà cặp C, D nên (ABCD) = -1.
CA Mặt khác vì C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB nên = −1 CB Do đó: CA DA DA ( ABCD) = : = (− 1) : = −1 CB DB DB DA ⇒ =1 DB Điều này chỉ đúng khi D là điểm vô tận. Ngược lại, nếu D là điểm vô tận thì DA = 1 DB CA DA CA Ta có: ( ABCD) = : = = −1 CB DB CB 18 Suy ra C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB.2 TÍNH CHẤT ĐIỀU HOÀ CỦA TỨ GIÁC TOÀN PHẦN. Hình tạo bởi bốn đường thẳng (trong mặt phẳng) trong đó không có ba đường nào đồng quy gọi là một tứ giác toàn phần. Bốn đường thẳng đó gọi là các cạnh của tứ giác; sáu giao điểm của các cạnh gọi là các đỉnh của tứ giác; hai đỉnh không được nối bằng một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; một đường thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo; giao điểm của hai đường chéo gọi là một điểm chéo.
“Trong một tứ giác toàn phần, mỗi đường chéo bị hai đường chéo kia chia điều hoà”. Chứng minh: Hình 2.4 Từ tâm A chiếu hàng D, E, C, C’ thành hàng D, F, C’, C nên: (DECC’) = (DFC’C) 19 Từ tâm A’ chiếu hàng D, E, C’, C thành hàng D, F, B, B’ nên: (DEC’C) = (DFBB’) Từ đó rút ra: 1 (DECC ') = ( DEC ' C ) = (DECC ') ⇒ (DECC ') = 1 2 ⇒ (DECC ' ) = −1 Vậy đường chéo CC’ bị hai đường chéo AA’ và BB’ chia điều hoà. Chứng minh tương tự ta có: (DFBB’) = (EFAA’) = -1 2.3 LIÊN HỆ XẠ ẢNH. Một liên hệ một đối một giữa hai dạng cấp một sẽ gọi là liên hệ xạ ảnh nếu liên hệ đó bảo tồn tỷ số kép.
Ta dùng ký hiệu ∧ để chỉ liên hệ xạ ảnh.2 Vấn đề xác định một liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm. Định lý: “Cho bất cứ ba điểm A, B, C nào trên một hàng điểm s và bất cứ ba điểm A’, B’, C’ nào trên một hàng điểm s’ thì bao giờ cũng có một liên hệ xạ ảnh duy nhất trong đó A, A’; B, B’; C, C’ là những cặp điểm tương ứng.” Chứng minh: 20 Hình 2.5 Trên đường thẳng AA’ lấy hai điểm O, O’ rồi dựng đường thẳng s” nối các điểm OBxO’B’ và OCxO’C’. Giữa s và s’ ta thiết lập liên hệ sau đây: ứng với mỗi điểm M của s ta suy ra điểm M’ của s’ như sau: Kéo dài OM cho cắt s” tại M” rồi nối O’M” cho cắt s’ ở M’. Liên hệ đó là xạ ảnh (hai phép chiếu xuyên tâm liên tiếp từ s qua s” rồi từ s” qua s’) và trong liên hệ đó A, B, C theo thứ tự ứng với A’, B’, C’.
Liên hệ đó là duy nhất.