MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Rất nhiều các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng-khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo,. đều có thể được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên phù hợp. Bằng cách chọn không gian hàm và toán tử tuyến tính thích hợp, các phương trình đạo hàm riêng đó có thể được viết lại dưới dạng một phương trình tiến hóa trong một không gian Banach (xem, chẳng hạn, [27, 70, 76, 78]). Việc xem xét các phương trình tiến hóa trong các không gian trừu tượng cho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm.
Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều là khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Đây là một việc làm rất quan trọng vì nó cho phép người ta hiểu sâu sắc hơn của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra những ước lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong tương lai. Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có một bước đột phá lớn khi Foias C.
[28, 29] giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính 1 năm 1985 khi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes. Về khía cạnh toán học, đa tạp quán tính là một đa tạp trơn (tối thiểu là đa tạp Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, và hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới những điều kiện đang xét. Tính chất này cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian vô hạn chiều bằng cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh trên không gian hữu hạn chiều. Do đó, nó là một đối tượng rất hữu ích trong 1 Tiếng Anh: inertial manifolds 9 10 việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực vô hạn chiều.
Về khía cạnh vật lý, Temam R. [71] đã viết: “From the physical point of view an inertial manifold is an interaction law relating small and large eddies in a turbulent flow. In this sense the specification of an inertial manifold is equivalent to a modeling of turbulence. Kể từ đó, đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa dạng du + Au = F, t > 0, dt (1) u(0) = u0 ∈ X, trong đó A là một toán tử tuyến tính trong một không gian Banach vô hạn chiều, số hạng phi tuyến F (có thể phụ thuộc vào trạng thái/lịch sử/thời gian) và liên tục Lipschitz đều có hệ số Lipschitz là một hằng số đã được nghiên cứu một cách hệ thống (xin xem chi tiết ở Tổng quan vấn đề nghiên cứu).
[49] gọi là ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được, mà đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Điều kiện ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến là tổng quát hơn so với những công trình trước đây, mà trong đó người ta thường giả thiết phần phi tuyến là liên tục Lipschitz đều. Để lí giải tính tự nhiên của việc xét số hạng phi tuyến là hàm số ϕ-Lipschitz, ta sẽ xét mô hình Fisher-Kolmogorov mô tả sự lan truyền 2 Tạm dịch: “Từ quan điểm vật lý, một đa tạp quán tính là một luật tương tác liên quan đến các dòng xoáy nhỏ và lớn trong một dòng chảy cuộn xoáy. Theo nghĩa này, đặc điểm kỹ thuật của một đa tạp quán tính tương đương với một mô hình của các cuộn xoáy.
11 của lớp gene trội trong sinh thái học quần thể (xem Murray J. [45, 46]) ∂v v − ∆v = rv 1 − , t > s, x ∈ Ω, ∂t K(t) (3) v(t, x) = 0, t > s, x ∈ ∂Ω, v(s, x) = φ(x), s ∈ R, x ∈ Ω, trong đó Ω là một tập hợp bị chặn có biên trơn trong R3. Mô hình Fisher-Kolmogorov (3) được viết lại thành phương trình tiến hóa (2) nếu đặt u(·) := v(t, ·), chọn không gian Hilbert X := L2 (Ω) và xét toán tử tuyến tính A : X ⊃ D(A) → X, Aϕ := −ϕ00 − rϕ trên miền xác định D(A) := H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). [49] đã xây dựng một điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa (2) trong trường hợp hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được (xem Định lí 2.
Theo hiểu biết của chúng tôi, trước năm 2015 mới chỉ có các công trình [3, 4] tiếp nối kết quả này. Vì thế, nhánh nghiên cứu này đang còn nhiều vấn đề cần giải quyết, ở cả khía cạnh lý thuyết và khía cạnh ứng dụng. Những phân tích sơ bộ trên đây là lý do để tác giả tiến hành nghiên cứu đề tài “Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa”. Luận án này sẽ phát triển một số kết quả về đa tạp quán tính dựa trên những kết quả nền tảng Nguyen T.
2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 2.1 Lịch sử nghiên cứu Như đã đề cập, các lớp phương trình tiến hóa có dạng (1) và (2) nảy sinh khi toán học cố gắng tham gia và mô tả các quá trình tiến hóa trong khoa học 12 tự nhiên và công nghệ dưới những điều kiện tổng quát. Vì thế, các lớp phương trình tiến hóa đó đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu về tính chất định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Dưới đây, chúng tôi xin điểm qua (không đầy đủ) một số kết quả quan trọng về các nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình tiến hóa thông qua một đa tạp quán tính. Sự phân chia này sẽ phục vụ những chủ đề nghiên cứu của luận án: 1 – Sự tồn tại của đa tạp quán tính.
Như đã nói, khái niệm đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa du dt + Au = f (u) được giới thiệu lần đầu tiên năm 1985 bởi Foias C. [28] (xem thêm [29]) trong trường hợp toán tử tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều. Nói ngắn gọn, đa tạp quán tính tồn tại nếu kẽ hở phổ, tức là hiệu số λn+1 − λn (với λn là giá trị riêng thứ n của toán tử tuyến tính A), là đủ lớn và số hạng phi tuyến liên tục Lipschitz, tức là kf (t, x) − f (t, y)k 6 q Aβ (x − y) có hệ số Lipschitz q đủ nhỏ. Kể từ đó, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa đã được nghiên cứu một cách hệ thống bởi nhiều tác giả.
Sau kết quả Foias C. [11] đã xét các phương trình tiến hóa tổng quát trong không gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn và thuộc lớp C 1 , nhưng tính chất hút cấp mũ của đa tạp không được chứng minh là đều trên các tập con bị chặn của không gian trạng thái. [40] đã giới thiệu nguyên lý trung bình không gian để chứng minh sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình phản ứng-khuếch tán trong không gian nhiều chiều, mà lúc này điều kiện kẽ hở phổ không được thỏa mãn. Cũng vậy, Constantin P.
[18,19] thực hiện một chứng minh hình học cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính bằng việc sử dụng khái niệm chặn phổ (spectral barrier), mà khái niệm mới này là một nỗ lực để vượt qua điều kiện kẽ hở phổ.M [25] thiết lập một chứng minh đầu tiên cho trường hợp toán tử tuyến tính là tự liên hợp và số hạng phi tuyến không bị chặn. [22] thiết lập một chứng minh khác khi số hạng phi tuyến không nhất thiết bị chặn, nhưng trong một không gian Banach tổng quát, và được giả sử là thuộc lớp C 1. Các chứng minh về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với trường hợp không tự liên hợp có thể được trích dẫn trong Debussche A. Một nghiên 13 cứu đẹp đẽ về sự tồn tại của đa tạp quán tính thông qua tính chất nón là thuộc về Robinson J.
[44] đã nghiên cứu đa tạp quán tính đối với các phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần. Khái niệm đa tạp quán tính cũng được mở rộng và chứng minh tồn tại cho nhiều lớp phương trình tiến hóa trong ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính ngẫu nhiên trong Bensoussan A. [6], sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa không ôtônôm bởi Koksch N. Sau bài toán tồn tại, các tính chất hình học của đa tạp quán tính, chẳng hạn như tính chính quy, tính hyperbolic chuẩn tắc, cũng được nghiên cứu một cách sâu sắc (xem Rosa R.
Trong tất cả các công trình kể trên, sự tồn tại của đa tạp quán tính được chứng minh cho phương trình tiến hóa du dt + Au = f (u) với số hạng phi tuyến chỉ phụ thuộc vào trạng thái và thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz đều. Tuy nhiên, như đã nói, rất nhiều quá trình tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống phức tạp, điều này có thể không đúng. [49] đưa nhánh nghiên cứu về đa tạp quán tính lên một bước tiến mới với một chứng minh về sự tồn tại của đa tạp quán tính khi số hạng phi tuyến là hàm liên tục Lipschitz không đều, hay còn gọi là ϕ-Lipschitz, tức là kf (t, u)k 6 ϕ(t) 1 + Aβ u và kf (t, u) − f (t, v)k 6 ϕ(t) Aβ (u − v) , với ϕ là một hàm thực dương và thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy.
Kết quả này về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với các phương trình tiến hóa không ôtônôm có hệ số Lipschitz thuộc vào không gian hàm chấp nhận được là một phát triển nhằm mở rộng các điều kiện đặt lên số hạng phi tuyến. Một cách ngắn gọn, đa tạp quán tính đối với một phương trình tiến hóa tồn tại nếu toán tử đạo hàm riêng tuyến tính có kẽ hở phổ đủ lớn và số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz đủ nhỏ theo một nghĩa thích hợp (hệ số Rt Lipschitz đều đủ nhỏ, hoặc, chuẩn supt∈R t−1 ϕ(τ )dτ đủ nhỏ trong trường hợp ϕ-Lipschitz).