Chương 1 giới thiệu tổng quan về các yếu tố không chắc chắn, các mô hình xác suất và phi xác suất như lý thuyết tập mờ, lý thuyết khoảng. Trong đó phương pháp PTHH khoảng được xem là một công cụ hữu hiệu và nổi trội để phân tích ứng xử của kết cấu, là cơ sở của phương pháp THHH mờ. Nội dung chính của đề tài này là tìm hiểu và ứng dụng phương pháp PTHH khoảng cho các kết cấu đàn hồi tuyến tính chịu tải trọng tĩnh với các yếu tố không chắc chắn là những đại lượng khoảng bị chặn trên và chặn duới nhưng không gán với một cấu trúc xác suất nào. Các yếu tố không chắc chắn chủ yếu là do số liệu, việc nghiên cứu các yếu tố không chắc chắn về mô hình và sai số do rời rạc hoá là vượt khỏi phạm vi của đề tài.
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KHOẢNG 2. Số học khoảng 2. Số khoảng Một khoảng thực là một tập không rỗng của các số thực x=kkxÌ= ce RỈx < x <x} (2.1) trong đó x và z là cận dưới và cận trên của số khoảng x, x là một phần tử bất kỳ trong khoảng * là tập các số thực. Nếu x có dạng phức tạp hơn, cận dưới và cận trên được viết dưới dạng X=iff(x) x=sup(x) (2.2) Tập hợp tất cả các số khoảng được ký hiệu IR.
Điểm giữa š và bán kính ra4(x) của một khoảng x lần lượt được định nghĩa là x+x, x-x ¥ = mid(x) = 7 ; rad(x) = s= (251.3) Do đó, số khoảng x có thể được biểu diễn dưới dạng x =[¥-rad(x), ¥+rad(x)] (2.4) Trong nhiều trường hợp, điểm giữa x được xem 1a “gid tri danh nghĩa” của khoảng. Khoảng có bán kính bằng 0 được gọi là khoảng hẹp hay khoảng suy biến, khoảng hẹp bao gồm chỉ một số thực. Khoảng có bán kính lớn hơn 0 được gọi là khoảng đày. Nếu điểm giữa x z0 thì x có thể phân tích thành hai phần: phần xác định (điểm giữa) x và phần khoảng 1+ð x=šX(1+ð) (2.5) trong đó pablo E-rad(x)/, rad(x)/%], nếu X > 0 (2.6) x [rad(x)/X, —rad(x)/š], nếu X <0 ð được gọi là nhân tử khoảng, là số đo sự biến thiên của x đối với điểm giữa x của nó.
Một khoảng x có 2% không chắc chắn (đối với điểm giữa) nghĩa là 31 ð=[-0.01]) Độ rộng của khoảng x được định nghĩa là wid(x)=2rad(x)= š—x (2.7) Phần trong của khoảng x được định nghĩa là int(x) = {xe RÌx < x < x} (2.8) Giá trị tuyệt đối hay zzgnhitude của khoảng được định nghĩa là |x| = mag(x) = max{|x|,|z\} (2.9) Mignhitude cia x ae định nghĩa là mig(x)= là a nee x0 (2.10) 0 ngược lại Khoảng x là khoảng con của khoảng y, ký hiệu là xcy, khi và chỉ khi y<x Và y>x. Bất đẳng thức x<y có nghĩa là ¥ < y- Nếu Š là một tập con không rỗng và giới nội của R, thi bao cia S 1A khoảng hẹp nhất chứa S, được ký hiệu là ° OS :=[inf(S), sup(S)] (2. Các phép tính số học khoảng Bốn phép toán cơ bản của số thực là (+,-,x,+) có thể mở rộng cho các số khoảng. Một phép toán bất kỳ ee(+,-,x,z) trên các khoảng được định nghĩa theo quy tắc chung như sau xoy={roylrex, yey} (2.12) Tập hợp các kết quả của phép toán đối với xex và yey tạo thành một khoảng đóng (nếu 0 không nằm ở mẫu số) với các cận của khoảng xác định như sau xe y=|[min(xe y),max(xs y)]' với se(+,—,x, +) (2.13) Cận dưới và cận trên của phép toán xoy được xác định từ bốn cặp số xey,xey,xey,xey , như vậy 32 xty=[x+y,x+| x-y=|x-y,x- y xxp= [min{xy,xy, xy, xy} max ey,xy, xy, xy] (2.1/x] nếu x > 0 hay š < 0 x+y=xxl/y 2.
Hàm số khoảng Hàm số khoảng là một hàm có giá trị khoảng của một hoặc nhiều tham số khoảng, do đó, hàm số khoảng ánh xạ giá trị của một hoặc nhiều tham số khoảng lên một kheảng. Đối với một hàm số ƒ(x,.x,), nếu hàm giá trị khoảng ƒ(x,,.x„) có tính chất (xị.x„) Với mọi đối sốx thi f được gọi là hàm mở rộng khoảng của ƒ Đặc biệt ta có thể hàm mở rộng khoảng tự nhiên của ƒ nhận được bằng cách thay thế mỗi biến thực x, bằng một biến khoảng x, và mỗi phép toán thực (+,-,x, +) bằng các phép toán số học khoảng tương ứng. Nếu hàm số ƒ(x,.x„) là một biểu thức có một số hữu hạn các biến khoảng (x,,.x,) và các phép tính khoảng (+,—,x,+) thì hàm này thoả mãn tính chất bao hàm cơ bản là [7,10]: Nếu xị G yị,.x, c y„ thì P(e) oF (Pikes „) Một đặc điểm đáng chú ý của bao hàm là vùng giá trị của một hàm số có thể được đánh giá chặt bởi hàm mở rộng khoảng của chính nó [7,10] : sát Xm, sxụ.15) Điều đó có nghĩa hàm /(x,,.x,) chứa khoảng giá trị của /(x,.x,) đối với mọi x,ex,(=l,2,n). Ví dụ, đối với hàm số ƒ(x,x;)=x,+x, Với x ell,2] x; e[2,3] thì ta có thể tìm được các biên khoảng giá trị của ƒ bằng cách đánh giá hàm mở rộng khoảng tự nhiên của chính nó 33 # =x¡ +x; =[l,2|+b,3]=B.
Bài toán phụ thuộc Theo (2.15), đánh giá khoảng giá trị ham f(x) thường không đưa ra được vùng giá trị chính xác của ƒ mà chỉ đánh giá được bao kín biên ngoài của khoảng. Trong nhiều trường hợp, những biên được xác định bởi số học khoảng có xu hướng quá rộng so với biên khoảng giá trị thực, do vậy, kết quả nhận được là không chính xác. Chang hạn, xét biểu thức đại số /(x)=x?-x với xe|[_1,1]. Bằng cách đánh giá hàm mở Tộng khoảng tự nhiên, ta nhận được vùng giá trị của ƒ trên khoang [-1,1] 1a #(*)=x?~x=[E1,1Ƒ -[_1.2] Mặt khác, ta có thể biểu diễn Ứ@œ)=x?—x=(-0.
2] Như vậy, vùng giá trị hàm khoảng ƒ có bao hàm vùng giá trị chính xác, nhưng nó đưa ra giá trị cận dưới là quá lớn từ - 0. Trong tính toán số học khoảng, mỗi lần xuất hiện của một biến khoảng nào đó thì nó lại được xem như là một biến khoảng khác nhau, độc lập nhau. Sau khi biểu thức con x được tính, số học khoảng không nhận ra rằng giá trị của biến khoảng +” là liên quan chặt chẽ tới giá trị của biến khoảng x. Số học khoảng xem các khoảng là độc lập nhau, nghĩa là, số học khoảng tính biểu thức x*-x như là x”„-x; với x,=|_1,1],x; =[_1,1].
Điều này đã gây ra việc mở rộng biên kết quả tính toán, làm cho việc đánh giá biên chính xác của các biểu thức khoảng trở nên rất khó khăn. Sự mở rộng khoảng không mong muốn này được gọi là sự ước tinh qua mức do bài toán phụ thuộc hay đơn giản là bài toán phụ thuộc [7,10]. Nói chung, nếu tham số khoảng xuất hiện nhiều hơn một lần trong tính toán thì sẽ xảy ra bài toán phụ thuộc. Đối với các biểu thức mà các tham số khoảng xuất 34 hiện chỉ một lần, thì sẽ không xảy ra bài toán phụ thuộc và ta có thể nhận được vùng giá trị chính xác của hàm số [7].
Nếu bằng cách nào đó, ta có thể giảm được số lần xuất hiện mỗi tham số khoảng thì ta có thể tránh được bài toán phụ thuộc. Với ví dụ trên đây, ta biểu diễn hàm ƒ dưới dạng g(x) =(x-0.25 trong đó biến x chỉ xuất hiện một lân, thì đánh giá khoảng của ø cho kết quả vùng giá trị chính xác g(x) =(x-0.25, 2] Do bài toán“ñhụ thuộc, chỉ còn một số luật đại số của số thực vẫn còn đúng cho đại số khoảng, các luật khác chỉ giữ trong một dạng yếu hơn. Có hai quy tắc chung cho các phép toán khoảng [7,10] là: 1. Hai biểu thức đại số tương đương trong đại số thực thì cũng tương đương trong đại số khoảng khi mà tất cả các biến xuất hiện chỉ một lân.
Ví dụ, néu a, b,c EIR thi a+b=b+a;ab=ba;(a+b)+c=a+(b+tc);(ab)c=a(be) (2. Nếu ƒ và ø là hai biểu thức đại số tương đương trong đại số thực thì hàm mở rộng khoảng có dạng ƒ ø nếu các biến xuất hiện chỉ một lần trong f. Vi du, néu a, b, ce IR thi a(b +c)C ab +aec, (a+b)cC ace+bc (luat phan bé phu) a-bc(a+c)-(b+ec), abc(ac)/(bc) (luật giản ước phụ) (2.17) 0ea-a, Iea/a (luật giản ước phụ) Bài toán phụ thuộc làm cho luật phân bố, luật giản ước của đại số không còn phù hợp và gây rất nhiều khó khăn để có được kết quả chính xác đối với các tính toán khoảng phức tạp. Thành công của phép phân tích khoảng phụ thuộc đáng kể vào việc _ - giảm bớt sự phụ thuộc.
Vác tơ khoảng, ma trận khoảng 35 Một ma trận khoảng AeIR"*" là một ma trận mà các phần tử của nó là các khoảng 4, =|4„, 4„] với j = 1„.n; IR"*" biểu thị tập của tất cả những ma trận khoảng mx n; R"*" biểu thị tập của tất cả những ma trận số thực mx ø. Cận dưới, cận trên, điểm giữa, phần trong, giá trị tuyệt đối của một ma trận khoảng được định nghĩa như sau A=|A,); 4=(1,): A=(Ä,)› m(A)=(itA„)): |4A|=(A„|) — @.18) Ma trận khoảng kích thước x7 gọi là một véc tơ khoảng, biểu thị bằng IR". Một véc tơ khoảng được xem như là một hộp.1 biểu diễn một véc tơ khoảng có hai thành phần x =( [,3][1,2])” Các phép toán trên ma trận khoảng được mở rộng từ các phép toán trên ma tran so thuc tuong ting. Vi du, néu AcIR™ , BeIR™ vax cIR" thi A+B=(4,+By) soy sor xB (5A, xB, sans a(SA, xa (2.19) k=l ISi<n, I</<n k=l Isisn Cần chú ý là do bản chất của số học khoảng, một vài luật đại số đúng cho tác phép toán ma trận số thì chỉ đúng ở dạng yếu hơn cho các phép toán ma trận khoảng.
Ví dụ, đối với các ma trận 4| i} a-(! 1 wae -( Ụ cul thi (ane) oY eu (eun Ee) Hinh 2.1: Véc to khodng Va m7 e4 Lái Có thể thấy (48)CzA(BC), tức là luật liên kết không còn đúng, ta có (AB)C c A(BC). Các luật đại số dạng yếu hơn được Neumaier đưa ra (4B)C c A(ĐC) cho AeR"*" BeR"*? CelR?* 36 (4B)C c A(BC) cho AeR”"",Bc[R"*P, CcIRPs (48C c A(BC) cho A eIR™", BeIR™ , CER (2. Hệ phương trình tuyến tính khoảng Hệ phương trầnh tuyến tính khoảng với ma trận khoảng A eIR"*" và véc tơ khoảng ð eIR" có dạng Ax=b (AeA, beb) (2.21) Tập nghiệm của phương trình (2.21) c6 dang 3;(4,b)= {x<R"|B4e 4,3beb: Ax =0} (2.22) Để đảm bảo rằng tập nghiệm (4.4) bị giới nội thì ma tran A phải chính tắc, tức là mọi ma trận 4e44 là không kỳ dị. Nói chung, tập nghiệm 3 (4.5) có hình dạng phức tạp và khó để tính toán [7,10].
Néu A eIR™ là một ma trận khoảng vuông chính tắc thì tập nghiệm bị giới nội.