CHƯƠNG 1.1 Giới thiệu Trong thực tế có nhiều hiện tượng của kết cau không thé mô tả được bang phân tích tuyến tính chăng hạn như sự mất 6n định của kết cấu, sự hình thành khớp dẻo , các ứng xử phi tuyến vật liệu bê tông. Bên cạnh đó phân tích tuyến tính chỉ phù hợp với các kết cầu có chuyên vị bé trong khi đó tại trạng thái giới hạn chuyền vi của kết cầu thường là lớn do đó phân tích này không thể mô tả đúng bản chất ứng xử của kết cầu khi làm việc thực tế. Vì vậy mà hiện nay việc phân tích phi tuyến đã trở nên cần thiết và quan trọng trong thiết kế kết cau. Hai yếu tố phi tuyến thường được xem xét trong phân tích là phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu.
Phân tích phi tuyến hình học là sự phân tích có kế đến sự thay đổi cấu hình của kết cau khi chịu tải trọng. Đối với phân tích này các phương trình phan tử hữu han thường được thiết lập dựa trên công thức tong Lagrange, công thức Update Lagrange hay công thức đồng xoay (co-rotational). Trong công thức tong Lagrange, hệ tọa độ tham chiếu được gắn với cấu hình ban dau, nếu ta sử dụng biến dang Green-Lagrange [1] [2] , nó chi được áp dụng cho trường hợp góc xoay bé. Do đó mà Reissner [3| đã dé xuất lý thuyết dầm biến dạng hữu hạn áp dụng công thức tong Lagrange trong trường hợp góc xoay lớn, sau này lý thuyết này duoc phát triển bởi Simo [4], Simo và Vu-Quoc [5], Cardona và Géradin [6] , Irahimbegovic [7], Park and Lee [8], Pai [9].Ngoài ly thuyết dam Reissner dé phân tích kết cấu với chuyển vi và góc xoay lớn ta cũng có thể sử dụng công thức Lagrange cập nhật hay công thức đồng xoay.
Với phương pháp giải bài toán phi tuyến bằng cách gia tải từng bước, khi bước tải nhỏ Công thức Lagrange cập nhật chọn hệ tọa độ tham chiếu tại cau hình biến dạng đã được giải tại bước tải trước đó. Những tiễn bộ đáng kế trong phương pháp nay là việc phát triển công thức gia số Lagrange cập nhật tuyến tính bởi Bathe và Bolourchi [10]. Yang and Kuo [12], Yang và các cộng sự [13] [14]. Y tưởng của công thức đồng xoay là sử dụng hệ tọa độ tham chiếu gắn với phan tử ở trạng thái Tổng quan 2 hiện tại trong suốt quá trình biến dang từ đó có thé phân chia chuyền vị của phan tử thành chuyén vị cứng và chuyền vị gây biến dạng.
Công thức đồng xoay đã được sử dụng trong các nghiên cứu của Belytschko [15], Rankin và Nour-Omid [16], Nour- Omid va Rankin [17], Crisfield [18], K. Hsiao và các cộng sự [19] [20], Pacoste va Eriksson [21], Battini Pacoste [22], Battini [23] [24], Felippa va Haugen [25]. Trong việc phân tích khung với mô hình vật liều đàn dẻo có hai phương pháp thường được áp dụng là phương pháp khớp dẻo và phương pháp vùng dẻo trong đó phương pháp khớp dẻo là phương pháp đơn giản và pho biến nhất. Tuy nhiên phương pháp khớp dẻo lại không thé mô phỏng sự lan truyền dẻo qua mặt cat ngang cấu kiện.
Hơn nữa, trong thực tế sự chảy dẻo trong cấu kiện hiểm khi xảy ra trong một chiều dai vô cùng bé. Ta thấy trong các cau kiện ở tầng dưới cùng trong khung nhà cao tầng cũng như các cầu kiện chịu lực dọc lớn, sự chảy dẻo xảy ra trong suốt chiều dài, do đó phương pháp khớp dẻo có thể cho phân tích thiếu chính xác. Phương pháp vùng dẻo chia mặt cắt ngang của phần tử thành nhiều thớ để mô hình hoá sự chảy dẻo qua mặt cat ngang, trong khi đó nhiều phần tử hữu hạn được sử dụng dọc theo chiều dài. Phương pháp này tiên đoán khá chính xác các ứng xử phi tuyến vật liệu của khung.
Khi sử dụng phương pháp vùng dẻo cho bai toán dam Tymoshenko thường gặp van dé trong việc giải các phương trình phi tuyến giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp cho nên giải thuật Backward Euler sẽ được áp dụng. Các phương trình phần tử hữu hạn phi tuyến thường được giải dựa trên phương pháp lap Newton-Raphson với các kỹ thuật điều khiến theo lực, theo chuyên vị hay theo dây cung (arc-length). Khi xây dựng đường cân bang tai trọng- chuyển vị, phương pháp điều khiến theo lực bị thất bại ở những điểm “snap through” còn phương pháp điều khiến chuyên vị lại bi ở những điểm “snap back”. Dé tránh 2 hiện tượng nay thì kỹ thuật điều khiển arc-length thường được áp dụng.
Riks [27] [28] va Wempner [29] lần đầu giới thiệu phương pháp điều khiến theo arc-length, sau này phương pháp này tiếp tục được Crisfield [30] nghiên cứu và hiện nay được sử dụng khá phố biến.2 Tình hình nghiên cứu 1.1 Cac nghiên cứu ngoài nước 1.1 Phân tích phi tuyến hình học Lần dau tiên Turner, Dill, Martin và Melosh (1960) [31] đã thiết lập được ma trận độ cứng có xét đến phi tuyến hình học cho phần tử thanh liên kết khớp và phần tử ứng suất phăng tam giác bằng công thức tong Lagrange. Năm 1963 Gallagher và Padlog [32] đã đề xuất một ma trận độ cứng có xét đến phi tuyến hình học cho phan tử dầm-cột bằng công thức tổng Lagrange. Vào năm 1968, Mallet và Marcel [33] đã cải tiễn công thức Gallagher và Padlog đã trình bày bằng 2 ma trận độ cứng mới sử dụng những hàm nội suy tuyến tính và bậc hai của chuyển vị, trong đó họ cũng trình bày thuật toán lặp trực tiếp, thuật toán gia tăng tuyến tính dé giải bài toán phi tuyến. Lý thuyết dầm biến dạng hữu han được Eric Reissner [3] dé xuất vào năm 1972 đã giải quyết van dé góc xoay lớn cho các phân tích dựa trên công thức tong Lagrange.
Sau đó Simo và các đồng sự (1985-1986) [4] [5] đã phát triển 1 phần tử dam 3 chiều dựa trên lý thuyết biến dạng hữu han của Reissner va thu được kết quả khá chính xác trong các ví dụ phân tích phi tuyến ôn định khung phăng và khung không gian. Từ đó đến nay đã có nhiều nghiên cứu phân tích phi tuyến kết cau áp dụng lý thuyết này, trong đó có nghiên cứu của Park và Lee (1986) [8] là có xét đến mô hình vật liệu đàn dẻo cho dầm chịu uốn và cắt. Frank Pai (2007, 2011) [9] đã dé xuất 1 lý thuyết dầm chính xác về mặt hình học, không sử dụng biến góc xoay. Bên cạnh sự phát triển của lý thuyết dầm biến dạng hữu hạn của Reissner thì cũng có nhiều các nghiên cứu phân tích kết cấu chuyển vị lớn và góc xoay lớn sử dụng công thức Lagrange cập nhật và đến này công thức nay được sử dụng khá phô biến trong phương pháp phân tử hữu hạn phi tuyến.
Năm 1975 Bathe KJ [10] và các đồng sự [11] đã đề xuất một mô hình phần tử hữu hạn dựa trên công thức Lagrange cập nhập để phân tích phi tuyến cho bài toán chịu tải trọng động, đến năm 1979 ông và S. Bolourchi đã phát triển phan tử dam ba chiều dé phân tích phi tuyến khung không gian. Kuo [12] đã tổng hợp và áp dụng cho nhiều bài toán phân tích phi tuyến kết cau khung, sau đó tiếp tục phát triển phương pháp nay Tổng quan 4 cho mô hình phan tử tam và vỏ. Hiện nay thì phương pháp phan tử hữu han sử dụng công thức Lagrange cập nhật được dùng rat phố biến trong các nghiên cứu ứng xử phi tuyến của kết cấu.
Công thức đồng xoay được đề xuất lần đầu tiên bởi Belytschko [15] cùng các cộng sự vào năm 1973. Trong bài nghiên cứu của mình ông đã đề xuất hệ tọa độ xoay theo cau hình biến dạng của phan tử dé phân tích bai toán khung phang chuyên vi lớn và biến dạng bé sử dụng lý thuyết dam Euler-Bernouli. Clein [47] tiếp tục phát triển phương pháp đồng xoay để giải quyết bài toán khung không gian chuyền vị lớn biến dạng nhỏ, sau đó K. Hsiao và các cộng sự (1988) [20] đã sử dụng phương pháp này dé phân tích khung phang dan dẻo.
Cole vào năm 1989 dé xuất công thức đồng xoay cho dam phăng và dầm không gian cho cả 2 trường hợp dầm Euler-Bernoulli và dầm Timoshenko. Tiếp đó vào năm 1990 Crisfield [18] đã hoan thiện công thức đồng xoay cho dầm không gian. Eriksson (1997) [21] thiết lập các công thức đồng xoay cho phần tử dam 3D sử dụng lý thuyết dam Euler-Bernoulli dé phân tích hiện tượng mat 6n định khung không gian. Sau đó Jean-Marc Battini, Costin Pacoste (2002) [23].
đã tiếp tục phát triển bài bài báo trước của mình bằng cách xét đến mô hình vật liệu đàn dẻo và tái bền tuyến tính. Đến 2006 Jean-Marc Battini, Costin Pacoste phát triển phan tử đồng xoay tam giác cho bài toán tam mỏng. Hiện nay là các nghiên cứu phan tử dầm đồng xoay cho bài toán kết cau chịu tải trọng đông của Thanh-Nam Le, Jean-Marc và Mohammed Hyiaj.2 Phan tich phi tuyén vat liéu Phương pháp khớp dẻo đơn giản, phan tử được giả thiết van còn hoàn toàn dan hồi giữa các đầu mút của phân tử, và một khi sự chảy dẻo của mặt cắt ngang được tìm thấy thì một khớp dẻo được đặt ngay tại đầu mút chảy dẻo. Những khớp dẻo này được xem là khớp lý tưởng trong thuật toán gia tăng với moment uốn không đổi trong bước tải kế tiếp.
Orbison (1982) [48] đã thực hiện thành công phương pháp này kết hợp với mặt chảy dẻo để xác định sự hình thành khớp dẻo trong cau kiện. Tổng quan 5 Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được phát triển bởi King (1990) [49] dùng mặt chảy dẻo cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dan dần của đầu mút phan tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo đơn giản. Sau đó Abdel Ghaffar (1992) [50] cũng sử dụng phương pháp này nhưng cho phép khớp dẻo hình thành bất cứ vị trí nào dọc theo chiều dài phân tử hữu hạn ké cả đầu mút cấu kiện. Gần đây, Kim và Chen (1996) [51] đã cải tiễn thêm phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh và sau đó được trình bày bới Liew (1991).
Phương pháp vùng dẻo có 2 nghiên cứu sớm nhất là của Alvares và Bimrstiel (1969) [34]. Tiếp đó, những nghiên cứu sử dụng phương pháp này để phân tích các dâm-cột riêng lẻ và các khung nhỏ gồm có: Vinnakota (1967 , 1971, 1974) [35]. Swanger và Emkin (1979) [36] , Meek va Lin (1990) [37] , Chan và Kitipornchai (1988) [38] , Kitipornchai, Al-Bermani va Chan (1998, 1990, 1991) [39], Elzanaty va Murray (1980) [40]. Vogel (1985) [41] , Ziemian (1990) [42] cũng thực hiện kỹ thuật này dé xác định đường tải trọng chuyén vị với 1 số khung dé xuất.
Clarke (1994) [43] phân tích lại các khung của Vogel và Ziemian để so sánh kết quả đạt được của mình.