I. Tổng Quan Nghiên Cứu Phương Trình Trễ và Trung Tính 55 ký tự
Nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp tích phân, bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm, là một vấn đề cốt yếu trong việc nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm các phương trình có trễ và trung tính. Nghiên cứu này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến địa phương xung quanh một điểm cân bằng hoặc quỹ đạo xác định. Tính hút của đa tạp bất biến cho phép sử dụng nguyên lý thu gọn để đơn giản hóa việc nghiên cứu phương trình vi phân ban đầu, từ đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm khi thời gian đủ lớn. Các kết quả ban đầu được thu được bởi Hadamard, Perron, Bigoliubov và Mitropolsky về sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vi phân trong Rn.
1.1. Lịch Sử Phát Triển Nghiên Cứu Đa Tạp Bất Biến
Daleckii và Krein đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với nghiệm của phương trình nửa tuyến tính trong không gian Banach với toán tử tuyến tính bị chặn. Henry đã phát triển các kết quả này về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Nhờ sự phát triển của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Huy đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình tiến hóa không ôtônôm nửa tuyến tính trong không gian Banach với số hạng phi tuyến là ϕ-Lipschitz. Hơn nữa, Huy đã chứng minh sự tồn tại của loại đa tạp bất biến mới, cụ thể là đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được.
1.2. Các Hướng Xử Lý và Điều Kiện Chính Trong Nghiên Cứu
Có hai phương pháp chính là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hóa thành phương pháp biến đổi đồ thị. Phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron. Số hạng phi tuyến thời gian đầu hầu hết đều được lựa chọn thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Gần đây, Huy đã sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm chấp nhận được để đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc vào thời gian và thuộc vào một không gian hàm Banach chấp nhận được. Các phương trình có trễ hay trung tính được nghiên cứu với trễ hữu hạn hoặc với trễ vô hạn.
II. Vấn Đề và Thách Thức Nghiên Cứu Phương Trình Trễ 58 ký tự
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính, trong đó hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến là một hàm số của thời gian. Chúng tôi xét phương trình (1), (2) và (3) (được định nghĩa chi tiết trong tài liệu gốc). Đối với phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ (tức là trường hợp đặc biệt của (1) và (2) khi F ut = u(t)) Minh và Wu đã sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị để chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến của nghiệm phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ. Các kết quả này đã được mở rộng bởi Huy và Duoc tới trường hợp số hạng phi tuyến là ϕ-Lipschitz. Nối tiếp ngay sau đó Huy và Khanh đã mở rộng kết quả trong [35] về việc chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định địa phương thuộc lớp chấp nhận được cũng với số hạng phi tuyến là ϕ-Lipschitz.
2.1. Nghiên Cứu Phương Trình Đạo Hàm Riêng Hàm Trung Tính
Trong trường hợp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính ôtônôm (tức là B(t) = B và Φ(t, φ) = Φ(φ) không phụ thuộc vào t) một số kết quả về sự tồn tại của đa tạp bất biến đã thu được bởi Petzeltová và Staffans và Benkhali, Ezzinbi và Fatajou. Họ đã đạt được các kết quả này dưới điều kiện B sinh ra nửa nhóm giải tích hyperbolic và Φ là liên tục Lipschitz đều với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Năm 1996, Wu và Xia đã xét mạng lưới các đường dây truyền tải và chỉ ra kết quả mô hình của nó ứng với dạng phương trình (được định nghĩa trong tài liệu gốc).
2.2. Đa Tạp Bất Biến Trong Trường Hợp Không Ôtônôm
Các kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích phân trong trường hợp không ôtônôm đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính dạng (1) đã đạt được bởi Huy và Bang dưới điều kiện họ các toán tử (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ và tam phân mũ, số hạng phi tuyến là ϕ-Lipschitz, tức là kΦ(t, φ) − Φ(t, ψ)k ≤ ϕ(t)kφ − ψkC , ở đây φ, ψ ∈ C và ϕ(t) là hàm thực thuộc vào không gian hàm chấp nhận được.
III. Phương Pháp Lyapunov Perron Nghiên Cứu Phương Trình 59 ký tự
Trong trường hợp phương trình đạo hàm riêng có trễ với trễ vô hạn, tức là ứng với trường hợp đặc biệt của (3) khi F ut = u(t) Huy và Dang đã chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn đối với phương trình du(t)/dt = A(t)u(t) + g(t, ut ), dưới điều kiện A(t) là 1-tuần hoàn và số hạng phi tuyến g(t, φ) là 1-tuần hoàn theo t ứng với mỗi φ cố định thuộc vào không gian giảm nhớ và là ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được. Theo hiểu biết của chúng tôi, năm 2009 sau khi Huy chỉ ra sự tồn tại của loại đa tạp bất biến chấp nhận được thì đến trước năm 2017 mới chỉ có công trình [46, 47, 36] là nối tiếp hướng nghiên cứu này.
3.1. Sự Tồn Tại Đa Tạp Bất Biến Chấp Nhận Được
Các công trình đó đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với lớp các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và phương trình đạo hàm riêng có trễ. Vì thế, sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu. Những phân tích trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu là “Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính”.
3.2. Mục Tiêu và Đối Tượng Nghiên Cứu Của Luận Án
Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình tiến hóa (1), (2) và (3) dưới các điều kiện phần tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz khác nhau với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ là hữu hạn hoặc vô hạn. Đối tượng nghiên cứu của luận án: Đa tạp bất biến chấp nhận được của các lớp phương trình (1), (2) và (3) trong không gian hàm chấp nhận được.
IV. Phạm Vi Nghiên Cứu và Phương Pháp Tiếp Cận 52 ký tự
Trong luận án chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân thuộc lớp chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ hữu hạn có dạng (1). Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng (2). Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn có dạng (3).
4.1. Phương Pháp Nghiên Cứu Đa Tạp Bất Biến
Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron. Các đánh giá về phần tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm. Các đánh giá về phần phi tuyến: Sử dụng điều kiện ϕ-Lipschitz và lý thuyết không gian hàm chấp nhận được.
4.2. Kết Quả Chính Đạt Được Trong Luận Án
Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây: Chứng minh được sự tồn tại của đa tạp tích phân chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình (1). Trong trường hợp I ≡ R+ chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận được. Sau đó, trong trường hợp I ≡ R chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại của đa tạp không ổn định bất biến chấp nhận được và tính hút của nó. Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình (2) trên nửa trục. Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận được đối với nghiệm phương trình (3) với trễ vô hạn.
V. Đóng Góp Mới và Cấu Trúc Chi Tiết Của Luận Án 59 ký tự
Các kết quả trong luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết đa tạp bất biến chấp nhận được. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 03 bài báo nghiên cứu được liệt kê ở “Danh mục các công trình đã công bố của luận án”. Một phần hoặc tất cả các kết quả này đã được báo cáo tại Seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 2, Đà Lạt, 09-11/12/2017, Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018, Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 3, Buôn Mê Thuột, 2-4/8/2019.
5.1. Cấu Trúc Chi Tiết Của Luận Án
Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương như sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở để phục vụ cho các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa trục R+ hoặc cả trục R. Tiếp theo là khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nó. Sau đó là khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ và tam phân mũ của họ tiến hóa.
5.2. Nội Dung Các Chương Tiếp Theo Của Luận Án
Đa tạp tích phân chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E- lớp và đa tạp không ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình (được định nghĩa trong tài liệu gốc). Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trên nửa trục. Bài toán được nghiên cứu ở chương này là chứng minh sự tồn tại của nghiệm, đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình (được định nghĩa trong tài liệu gốc). Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn. Bài toán của chương này là chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình (được định nghĩa trong tài liệu gốc).
