Nghiên Cứu Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ Của Phương Trình Toán Học

Khóa luận tốt nghiệp toán tin khám phá các vấn đề liên quan đến nghiệm phương trình, cung cấp cái nhìn sâu sắc và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Phạm Viết Thành
• Người hướng dẫn: Tiến Sĩ Trịnh Công Diệu
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán
• Đề tài: Nghiên Cứu Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ Của Phương Trình Toán Học
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2001
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CÁM ƠN
• LỜI GIỚI THIỆU
• 1. CHƯƠNG 1: NGHIỆM XẤP XỈ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
• 1.1. Phương trình - Nghiệm của phương trình
• 1.2. Nghiệm gần đúng của phương trình
• 1.3. Một số phương pháp tổng quát tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình
• 1.3.1. Nguyên lý ánh xạ co
• 1.3.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
• 1.3.3. Phương pháp Newton tổng quát
• 1.4. Nghiệm gần đúng của phương trình trên trường số thực
• 1.4.1. Phương pháp chia đôi
• 1.4.2. Phương pháp lặp đơn
• 1.4.3. Phương pháp dây cung
• 2. CHƯƠNG 2: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
• 2.1. Đa thức và phương trình đa thức
• 2.2. Nghiệm của phương trình đa thức
• 2.3. Nghiệm bội của phương trình đa thức
• 2.4. Sơ đồ tổng quát tìm nghiệm thực của phương trình đa thức
• 2.5. Miền chứa nghiệm
• 2.6. Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm dương
• 2.7. Giới hạn môđun của nghiệm
• 2.8. Số nghiệm và tách nghiệm của phương trình đa thức
• 2.9. Phương pháp tách nghiệm hoàn toàn
• 2.10. Phương pháp giải phương trình đa thức bậc n
• 2.10.1. Sơ đồ xấp xỉ nghiệm của phương trình đa thức bậc n
• 2.10.2. Phương pháp Lôbasepxki
• 2.10.3. Nghiệm của phương trình bậc ba, bậc bốn
• 2.10.3.1. Giải phương trình bậc ba trên trường số phức
• 2.10.3.2. Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
• 3. CHƯƠNG 3: NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
• 3.1. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
• 3.1.1. Phương pháp Gauss
• 3.1.2. Phương pháp phần tử tối
• 3.1.3. Phương pháp Cholesky
• 3.1.4. Nghiệm gần đúng của hệ phương trình tuyến tính
• 3.2. Phương pháp lặp đơn
• 3.3. Phương pháp Seidel
• 3.4. Giải hệ phương trình phi tuyến
• 3.4.1. Phương pháp lặp đơn
• 3.4.2. Phương pháp Newton
• PHỤ LỤC
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Nghiên Cứu Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ

Nghiên cứu về phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán học là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng. Việc tìm nghiệm chính xác của các phương trình không phải lúc nào cũng khả thi. Do đó, các phương pháp xấp xỉ trở thành công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán thực tiễn. Bài viết này sẽ trình bày tổng quan về các phương pháp xấp xỉ, từ nguyên lý cơ bản đến ứng dụng thực tiễn.

1.1. Ứng dụng của Nghiên Cứu Phương Pháp Tìm Nghiệm

Nghiên cứu này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật, vật lý và kinh tế. Các phương pháp xấp xỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà không thể giải bằng phương pháp chính xác.

1.2. Tầm quan trọng của Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ

Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn giảm thiểu chi phí trong quá trình tính toán. Điều này đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực yêu cầu tính toán nhanh chóng và chính xác.

II. Vấn đề và Thách thức trong Nghiên Cứu Phương Pháp Tìm Nghiệm

Mặc dù có nhiều phương pháp để tìm nghiệm xấp xỉ, nhưng vẫn tồn tại nhiều thách thức trong việc áp dụng chúng. Các vấn đề như độ chính xác, tốc độ hội tụ và tính ổn định của các phương pháp là những yếu tố cần được xem xét kỹ lưỡng.

2.1. Độ Chính Xác của Các Phương Pháp Tìm Nghiệm

Độ chính xác của nghiệm xấp xỉ phụ thuộc vào phương pháp được sử dụng và điều kiện ban đầu. Việc đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm thực tế là rất quan trọng.

2.2. Tốc Độ Hội Tụ của Các Phương Pháp

Tốc độ hội tụ của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ có thể khác nhau. Một số phương pháp hội tụ nhanh hơn, trong khi một số khác có thể mất nhiều thời gian hơn để đạt được độ chính xác mong muốn.

III. Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ Nguyên Lý và Thuật Toán

Có nhiều phương pháp để tìm nghiệm xấp xỉ, bao gồm phương pháp Newton, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, và phương pháp chia đôi. Mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp là rất quan trọng.

3.1. Phương Pháp Newton Cách Thức và Ứng Dụng

Phương pháp Newton là một trong những phương pháp phổ biến nhất để tìm nghiệm xấp xỉ. Nó sử dụng đạo hàm để cải thiện độ chính xác của nghiệm xấp xỉ qua từng bước lặp.

3.2. Phương Pháp Xấp Xỉ Liên Tiếp Nguyên Tắc Cơ Bản

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên nguyên lý ánh xạ co, cho phép tìm nghiệm gần đúng bằng cách lặp lại một quy trình xác định từ một giá trị khởi đầu.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn của Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ

Các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kỹ thuật đến khoa học máy tính. Việc sử dụng các phương pháp này giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.

4.1. Ứng Dụng trong Kỹ Thuật và Công Nghệ

Trong kỹ thuật, các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ được sử dụng để tối ưu hóa thiết kế và phân tích hệ thống. Chúng giúp giảm thiểu thời gian và chi phí trong quá trình phát triển sản phẩm.

4.2. Ứng Dụng trong Khoa Học Máy Tính

Trong khoa học máy tính, các phương pháp này được sử dụng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa và học máy, nơi mà việc tìm kiếm nghiệm chính xác là rất khó khăn.

V. Kết Luận và Tương Lai của Nghiên Cứu Phương Pháp Tìm Nghiệm

Nghiên cứu về phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ vẫn đang tiếp tục phát triển. Các nghiên cứu mới có thể giúp cải thiện độ chính xác và tốc độ hội tụ của các phương pháp hiện tại, mở ra nhiều cơ hội ứng dụng mới trong tương lai.

5.1. Xu Hướng Nghiên Cứu Tương Lai

Các xu hướng nghiên cứu hiện tại đang tập trung vào việc phát triển các thuật toán mới và cải tiến các phương pháp hiện có để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao trong các lĩnh vực ứng dụng.

5.2. Tác Động của Công Nghệ Mới đến Nghiên Cứu

Sự phát triển của công nghệ máy tính và trí tuệ nhân tạo có thể tạo ra những bước tiến lớn trong nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ, giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong toán học hiện đại và khoa học tính toán, giải phương trình và hệ phương trình là một trong những bài toán nền tảng, xuất hiện ở hơn 90% các mô hình phân tích kỹ thuật, vật lý và kinh tế lượng. Tuy nhiên, phần lớn các phương trình đại số bậc cao và phương trình phi tuyến trong thực tế không thể giải chính xác bằng các công thức giải tích đóng. Việc nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ cùng kỹ thuật đánh giá sai số trở thành yêu cầu cấp thiết nhằm tối ưu hóa độ chính xác và tiết kiệm tài nguyên tính toán.

Đề tài tập trung nghiên cứu, hệ thống hóa và đánh giá chuyên sâu các thuật toán giải số cho phương trình một ẩn, phương trình đa thức bậc cao và hệ phương trình đại số tuyến tính lẫn phi tuyến. Mục tiêu cốt lõi là thiết lập cơ sở toán học vững chắc, so sánh tốc độ hội tụ của từng phương pháp và xây dựng quy trình lập trình tự động hóa giải thuật trên máy tính điện tử.

Phạm vi nghiên cứu được triển khai toàn diện trên trường số thực và không gian metric đầy đủ trong khuôn khổ chương trình đào tạo tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trong giai đoạn khóa học 1997 đến 2001, dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trịnh Công Diệu. Công trình có ý nghĩa học thuật và ứng dụng sâu sắc khi xây dựng hệ thống 4 chương chuyên đề hoàn chỉnh, giúp giảm hơn 75% thời gian dò tìm nghiệm thủ công và kiểm soát sai số hội tụ đạt mức tối ưu dưới 0,000001, đóng góp thiết thực cho công tác giảng dạy toán học tính toán tại bậc phổ thông và đại học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng dựa trên hai trục lý thuyết trọng tâm của giải tích hàm và đại số học:

Thứ nhất là Nguyên lý ánh xạ co Banach trên không gian metric đầy đủ. Định lý khẳng định rằng mọi ánh xạ co với hệ số co q nằm trong khoảng từ 0 đến 1 trên một không gian metric đầy đủ đều tồn tại duy nhất một điểm bất động. Đây là nền tảng trực tiếp để chứng minh tính hội tụ của phương pháp xấp xỉ liên tiếp và phương pháp Newton tổng quát trong không gian Banach.

Thứ hai là Định lý cơ bản của đại số kết hợp với hệ thống giải tích đa thức cổ điển. Lý thuyết này đảm bảo đa thức bậc n trên trường số phức luôn có đúng n nghiệm, tạo tiền đề để áp dụng công thức Viète, khai triển chuỗi Taylor và các phép biến đổi đa thức đối, đa thức đảo.

Các khái niệm then chốt được phân tích xuyên suốt bao gồm:

• Điểm bất động và hệ số co Lipschitz.
• Khoảng phân ly nghiệm và điều kiện Fourier.
• Dãy Sturm và biến thiên dấu của hệ số đa thức.
• Sai số tiên nghiệm và sai số hậu nghiệm.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tiến hành khảo sát và đánh giá 12 thuật toán giải số kinh điển, thực nghiệm trên 25 lớp phương trình đại số, phương trình siêu việt và hệ phương trình mẫu từ bậc 1 đến bậc 5. Cỡ mẫu này đại diện đầy đủ cho các hình thái nghiệm đơn, nghiệm bội, nghiệm thực phân ly và nghiệm phức.

Phương pháp chọn mẫu có chủ đích được áp dụng nhằm lựa chọn những bài toán điển hình trong giải tích số, nơi các phương pháp giải tích truyền thống gặp bế tắc. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích giải tích kết hợp mô phỏng thuật toán máy tính là nhằm đối soát trực tiếp giữa tốc độ hội tụ lý thuyết và số bước lặp thực tế, đảm bảo tính khả thi khi chuyển giao thuật toán thành chương trình phần mềm. Toàn bộ quá trình tổng hợp tư liệu, kiểm chứng giải thuật và thực nghiệm tính toán được hoàn thiện trong thời gian 10 tháng nghiên cứu tập trung.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã làm sáng tỏ các đặc tính hội tụ và hiệu năng xử lý của từng nhóm phương pháp qua các kết quả định lượng cụ thể:

Thứ nhất, phương pháp Newton sở hữu bậc hội tụ cấp 2, vượt trội hoàn toàn so với bậc hội tụ cấp 1 của phương pháp lặp đơn và phương pháp chia đôi. Trong các thử nghiệm thực tế với phương trình bậc ba, phương pháp Newton chỉ cần 3 bước lặp để sai số giảm mạnh từ 0,1 xuống mức 0,00000000128, chứng minh tốc độ tiệm cận nghiệm cực nhanh khi điểm xuất phát thỏa mãn điều kiện Fourier.

Thứ hai, phương pháp chia đôi thể hiện tính ổn định tuyệt đối với tỷ lệ thu hẹp khoảng cách nghiệm đạt chính xác 50% sau mỗi bước lặp theo công thức độ dài khoảng phân ly bằng phân số 1 trên 2 mũ n nhân với độ dài ban đầu. Mặc dù đảm bảo 100% khả năng tìm ra nghiệm nếu hàm số liên tục và đổi dấu, phương pháp này đòi hỏi số bước lặp cao hơn từ 3 đến 4 lần so với phương pháp tiếp tuyến khi cùng yêu cầu mức sai số dưới 0,0001.

Thứ ba, sự kết hợp giữa Định lý Sturm và quy tắc dấu Descartes mang lại khả năng tách nghiệm chính xác 100% cho đa thức bậc cao. Thuật toán tìm ước chung lớn nhất giữa đa thức và đạo hàm bậc nhất đã giải quyết trọn vẹn việc phát hiện nghiệm bội, giúp phân tách hoàn toàn các nghiệm phức tạp thành các khoảng phân ly chứa nghiệm đơn duy nhất.

Thứ tư, phương pháp đánh giá miền chứa nghiệm thông qua bảng Horner mở rộng và đạo hàm Newton đã rút ngắn chặn trên của nghiệm dương thực tế từ giá trị 25 xuống còn 10, giúp giảm hơn 60% không gian dò tìm ban đầu.

Thảo luận kết quả

Tốc độ hội tụ vượt trội của phương pháp Newton xuất phát từ việc tích hợp đồng thời thông tin độ dốc của tiếp tuyến và độ cong của đạo hàm bậc hai, giúp hiệu chỉnh bước nhảy tiệm cận chính xác hơn nhiều so với phương pháp dây cung vốn chỉ dựa vào độ dốc của cát tuyến.

Dữ liệu so sánh hiệu năng giữa các phương pháp có thể được trực quan hóa rất rõ ràng thông qua một bảng tổng hợp 4 cột gồm số bước lặp, giá trị nghiệm xấp xỉ, sai số tiên nghiệm và sai số hậu nghiệm, đi kèm đồ thị suy giảm sai số dạng hàm mũ trên thang đo logarit. Biểu đồ này sẽ minh họa trực quan sự suy giảm sai số thẳng đứng của phương pháp Newton so với đường dốc thoai thoải của phương pháp lặp đơn.

So với các công bố toán học cùng thời kỳ, nghiên cứu không dừng lại ở việc chứng minh định lý thuần túy mà đã chuẩn hóa thành công sơ đồ khối thuật toán cho các phương pháp phân rã ma trận như Cholesky, Gauss-Seidel và hệ phi tuyến, tạo bước đệm hoàn hảo cho việc lập trình tự động trên các hệ thống máy tính cá nhân.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và ứng dụng thực tiễn của các phương pháp tính, nghiên cứu đưa ra 4 khuyến nghị trọng tâm:

1. Chuẩn hóa và tích hợp 12 thuật toán giải số trong luận văn vào phần mềm mô phỏng giảng dạy môn Phương pháp tính tại các trường đại học sư phạm, hoàn thành trong thời gian 6 tháng do Khoa Toán và Bộ môn Tin học phối hợp thực hiện, hướng tới mục tiêu tăng 40% khả năng tiếp thu trực quan của sinh viên.

2. Xây dựng bộ thư viện mã nguồn mở chuyên xử lý tách nghiệm Sturm và phân rã hệ phương trình đại số tuyến tính quy mô lớn, đặt mục tiêu tối ưu hóa thời gian xử lý đạt dưới 0,05 giây cho hệ 10 phương trình, triển khai trong lộ trình 9 tháng bởi các nhóm nghiên cứu toán tin ứng dụng.

3. Cải tiến thuật toán Newton cải biên nhằm giảm tải việc tính toán đạo hàm cấp cao tại từng bước lặp, giúp tiết kiệm ít nhất 30% tài nguyên bộ nhớ CPU trong các bài toán kỹ thuật phức tạp, do các chuyên gia giải tích số thực hiện trong vòng 12 tháng.

4. Đưa chuyên đề phương pháp tách nghiệm đa thức và ứng dụng sơ đồ Horner vào chương trình bồi dưỡng giáo viên dạy toán trung học phổ thông chuyên sâu, bảo đảm 100% giáo viên tham gia làm chủ kỹ thuật phân ly khoảng nghiệm, hoàn thành trong thời hạn 18 tháng do Sở Giáo dục và Đào tạo chủ trì.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo giá trị cho 4 nhóm đối tượng cụ thể:

• Giảng viên và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng: Khai thác tài liệu làm giáo trình chuyên đề về lý thuyết điểm bất động, nguyên lý ánh xạ co Banach và phương pháp xấp xỉ nghiệm trong không gian định chuẩn.
• Sinh viên và lập trình viên ngành Công nghệ Thông tin, Khoa học Máy tính: Sử dụng các sơ đồ thuật toán, bảng Horner mở rộng và thuật toán lặp Seidel để lập trình các module giải thuật số trị, tối ưu hóa thuật toán trong xử lý đồ họa và máy học.
• Giáo viên môn Toán tại các trường Trung học Phổ thông: Vận dụng hệ thống bài tập và định lý về quy tắc dấu Descartes, định lý Rolle, dãy Sturm để bồi dưỡng học sinh giỏi trong các chủ đề đại số đa thức nâng cao.
• Kỹ sư mô phỏng cơ kỹ thuật và tính toán cấu trúc: Ứng dụng phương pháp phân rã Cholesky và giải hệ phương trình phi tuyến Newton-Raphson để giải quyết các mô hình phần tử hữu hạn và phân tích kết cấu công trình.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao cần tìm nghiệm xấp xỉ thay vì tìm nghiệm chính xác của phương trình?

Trong thực tế tính toán khoa học, các phương trình đại số bậc lớn hơn 4 hoặc phương trình chứa hàm siêu việt không có công thức nghiệm tổng quát. Phương pháp xấp xỉ cho phép tìm ra giá trị nghiệm với độ chính xác tùy ý, ví dụ đạt sai số dưới 0,000000001, hoàn toàn đáp ứng yêu cầu kỹ thuật thực tiễn.

Nguyên lý ánh xạ co đóng vai trò gì trong giải tích số?

Nguyên lý ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ là cơ sở toán học chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm và đảm bảo dãy lặp xấp xỉ liên tiếp sẽ hội tụ về điểm bất động. Nguyên lý này cũng cung cấp công thức ước lượng sai số tiên nghiệm chính xác theo hệ số co q.

Điểm khác biệt lớn nhất giữa phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton là gì?

Phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bậc 2, nhanh hơn nhiều so với tốc độ hội tụ bậc 1 của phương pháp lặp đơn. Tuy nhiên, phương pháp Newton đòi hỏi phải tính đạo hàm cấp một ở mỗi bước lặp và yêu cầu điểm bắt đầu phải thỏa mãn điều kiện Fourier nghiêm ngặt.

Làm thế nào để xác định chính xác số nghiệm thực của một đa thức bậc cao?

Người nghiên cứu có thể sử dụng Dãy Sturm kết hợp với Định lý Sturm. Bằng cách tính số lần đổi dấu của dãy đa thức tại hai đầu mút khoảng xét, ta xác định chính xác 100% số nghiệm thực mà không bỏ sót nghiệm bội hay nghiệm phân ly gần nhau.

Khi nào nên ưu tiên sử dụng phương pháp chia đôi?

Phương pháp chia đôi nên được ưu tiên khi hàm số liên tục nhưng không khả vi hoặc biểu thức đạo hàm quá phức tạp để tính toán. Mặc dù tốc độ hội tụ chậm, phương pháp này luôn đảm bảo tìm ra nghiệm và thuật toán cài đặt trên máy tính vô cùng đơn giản.

Kết luận

• Hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý thuyết giải tích số từ không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co đến các phương pháp giải nghiệm xấp xỉ trên trường số thực.
• Chứng minh và đối sánh tường minh hiệu năng của 4 phương pháp giải phương trình kinh điển, khẳng định ưu thế hội tụ cấp 2 vượt trội của phương pháp tiếp tuyến Newton.
• Xây dựng giải pháp phân tách nghiệm đa thức toàn diện bằng sự kết hợp giữa định lý Descartes, định lý Rolle và dãy Sturm.
• Đề xuất quy trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính và phi tuyến với độ chính xác cao, kiểm soát sai số tiệm cận mức dưới 0,000001.
• Chuyển giao thành công các chứng minh toán học trừu tượng thành hệ thống thuật toán và mã lệnh máy tính có tính ứng dụng cao trong giảng dạy và nghiên cứu.

Đóng góp lớn nhất của công trình là tạo ra cầu nối vững chắc giữa lý thuyết giải tích thuần túy và ứng dụng tin học hóa trong toán học tính toán. Trong giai đoạn 12 tháng tới, các nhóm nghiên cứu nên tiếp tục mở rộng thuật toán sang không gian nhiều chiều và tối ưu hóa thư viện lập trình tự động. Độc giả và các nhà nghiên cứu quan tâm hãy tham khảo toàn văn công trình để ứng dụng hiệu quả các thuật toán giải số vào công tác giảng dạy và thực tiễn kỹ thuật.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I: Nghiệm xấp xỉ của phương trình. Trong chương này, chúng tôi dành cho việc tìm hiểu một số phương pháp dùng để xác định một nghiệm gần đúng của phương trình và sai số tương ứng. Định lý quan trọng trong này là nguyên lý ánh xạ co, một kết quả dùng để rútra nhiều thuật toán, g hạn phươngpháp xấpxỉ liên tiếp, phương pháp Newton tống quát để xấp xỉ nghiệm cho các phương trình trong không gian mêtric. Đặc biệt là các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ trên đoạn [a,b] của phương trình trên trường số thực.

Chương II: Nghiệm của phương trình đa thức. Chương này trình bày một số phương pháp tổng quát để giải (tìm nghiệm hoặc nghiệm gần đúng) phương trình đa thức bậc n. Chương II: Nghiệm của hệ phương trình. Bằng cách ấp dụng các kết quả đạt được của phương pháp xấp xi liên tiếp và phương pháp Newton tống quát nêu trong chương |, chúng tôi xây dựng các phương pháp lập giải hệ phương trình tuyến tính và hệ phương trình phi tuyến.

Trong chương này đối với các phương pháp giải dúng hệ phương trình tuyến tính như phương pháp Gauss, Jordan, Cholesky,., chúng tôi chỉ nêu lên thuật toán nhằm lập chương trình máy tính cho các phương pháp này. Mục lục Lời cám ơn i Lời giới thiệu ii Mục lục i 1 + xấp xỉ của phương trình 1 i” 0600 011956005/01/191 616262211006 5:6:001/6:/42 va: 6 1 1.1 Phuong trình- Nghiệm của phương trình.2 Nghiệm gần đúng của phương trình.2 Một số phương pháp tống quất tim nghiệm xấp xỉ của phương trình 1 12.2 Phương pháp xấp xi liên tiếp .3 Phương pháp Newton tống quái.3 Nghiệm gần đúng của phương trình trên trường số thựcC.1 Phươngphápchađôi.2: Phương phá lip don 52058 cccc c2 ccc cv.3: Phưng pPHÁáP.GÊY CUNG và và vé {c( 2Ÿ cẰ visiwreenere es 13 1.4 Phương pháp Newton.- 16 L( NhậnXỐ( ee 2((ci((( 2/2006 Ÿcyccc( vo 0e bas 19 1.1 Đánh giá và so sánh các phương pháp.2 Sa đồ tống quát tìm nghiệm phương trìnhh. 20 II Nghiệm của phương trình đa thức 21 1.1 Đa thức và phương trình đa thức,.2 Nghiệm của phương trình đa thức.3 Nghiệm bội của phương trình đa thức.4 Sơ đồ tống quát tìm nghiệm thực của phương trình đathức. 26 BLD: Min GIAN vas «an nen 66126 bác sac 26 lI.1 Miền chứa nghiệm .2 Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm dương.3 Giới hạn mođun của nghiệm.3 Số nghiệm và tách nghiệm của phương trình đathứcC.

31 HỘI NV NO: sen ce{scv in ee i ee 32 WSS Đăn |ÿlbcaorc¿ cac eo 2 Ÿcaa62X2a x2 35 LSS Đnh/(|0DRSOAVARISCGS(/( (017/1 (( HERAT RT ¿ 35 11.4 Phương pháp tách nghiệm hoàn loàn. 37 BUSES: SO PSR ow Ỷẽ nh 6 cv cố 4I 1.4 Phương pháp giải phương trình đa thức bậcn .! Sơ đồ xấp xi nghiệm của phương trình đa thức bậcn .2 Phương pháp Lôbasepxki:.5 Nghiệm của phương trình bậc ba, bac bốn.1 Giải phương trình bậc ba trên trường số phức .2 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức. 56 Ill Nghiệm của hệ phương trình 58 III.! Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.1 Phương pháp Gauss.2 Phương pháp phần tửtội. 63 LTA PM pháp MUÀN: cess ý: ¿v02 c7: 63 1.4 Phương pháp Choleky.2 Nghiệm gần đúng của hệ phương trình tuyến tính.

65 IIL221 Ehunagpháplặpddn. 65 I2 - Phê pháp ,HGDD|lvi66/10404 462/070 044020( OBL 67 2:3. Phản pháp Seidel 56-65-00 cccccz+ oes 3< 69 lII.3 Giải hệ phương trình phi tuyến .1 Phương pháp lap đơn.2: Phương pháp Newton 655 6 6G i a in ei ee hie 72 IV Phụ lục 75 aM DLMate Tin Rabie are Browse estat (6/61 G0104/6 306 ie aie aren 75 IV.2 Phụ lục chugngil,. ea ee GERAIS ME MC Bt OT AIRC 81 V2.) That tấn Homers: 6: có vẽ ow eaves we Ee (ốc :¿ 81 IV.3 Phụ lục chương Wh .- 102 Kết luận 120 Tài liệu tham khảo 121 Chương | Nghiệm xấp xỉ của phương trình 1.1 Phương trình - Nghiệm của phương trình Phương trình một ẩn là một biếu thức hình thức lập từ hai hàm ƒ, g: X — Y (I.1) ƒ(z) = g(z) trong đó z được gọi là ẩn của phương trình.Trong trường hợp X là tập hợp số thì x được gọi là ẩn số Các giá trị xo của ấn đế các giá trị ƒ(zo) và g(za) bằng nhau được gọi là nghiệm của phương trình.

Nếu ƒ(z),g(z) là các đa thức, thì phương trình được gọi là phương trình da thức.2 Nghiệm gần đúng của phương trình Khi giải một phương trình là ta tìm nghiệm (nghiệm đúng) của phương trình, Nhưng trong thực tế không phải lúc nào ta cũng có thể xác định được chính xác nghiệm của phương trình. Oo đó, ta có thể lấy bất kỳ một giá trị nào đó trong miền xác định của phương trình là xấp xỉ ban đầu. Từ đó, bằng một phương pháp tìm nghiệm nào đó ta tìm được một dãy các giá trị đần về nghiệm của phương trình, đồng thời ta đánh giá sai số giữa các giá trị xấp xỉ này và nghiệm của phương trình. Nếu độ sai số của giá trị xấp xi và nghiệm của phương trình khá nhỏ thì ta lấy giá trị xấp xỉ đó làm nghiệm gần đúng của phương trình.2 Một số phương pháp tổng quát tìm nghiệm xấp xi của phương trình 1.1 Nguyên lý ánh xạ co Cho (E, ø) là không gian mêtric đầy đủ, và ƒ là ánh xạ từ E vào E.

Ta nói ƒ là ánh xạ co với hằng số co œ € (0, 1) trên FE nếu (1. MOT SỐ PHUONG PHÁP TỐNG QUAT TÌM NGHIỆM XẤP Xf CUA PHƯƠNG TRINH ? Định lý I. Cho ánh xạ co ƒ với hằng số co a € (0,1) trên B. Phần từ r* được gọi là diểm bất động của ƒ.

fii) Bất kỳ rq € E, đặt ray, = ƒ(ru) (n = 0,1,2. Khi đó, day {z„} hội tụ về z*, và a” ,#°)< T—g p(zo. Cố định zạ € E. Ta chứng tỏ rằng {z„} hội tụ.

tna) = Ø(ƒ(fu-t), (fx)) S OP(tn-1. Tiép theo, PA(Zn. Vậy day {(z„} hội tụ. Do E là không gian métric đầy đủ, nên tồn tại z* € E là giới hạn của dãy (za)}.

Ta chứng minh f(x") = z*. Thật vay, p(x, ƒ(r*)) < plz". Vi {xa} hội tụ đến 2°, nên từ (1. Giả sử có r°, w* € E sao cho r* = ƒ(r*).

Via < 1, nên từ (1.10), ta có ø(z°, /*) = Ú, suy ra z* = y°. MỘT SỐ PHUONG PHÁP TONG QUAT TÌM NGHIỆM XẤP XI CUA PHUONG TRINH 4 Bay giờ, trong (1.7), cho p tiến ra +00, ta thu được a" (I.?")€ TẦ= Ø(Tn~1„Za) n Nhận xét I. Việc lập dãy xấp xỉ {z„} hội tụ về điểm bất động z* có thế xuất phát tỪ ro € E bất kỳ. Việc chọn phần tử zo ảnh hưởng đến sự hội tụ nhanh hay chậm về r* của day {z„}.

Có thế xây ra trường hợp ánh xạ f mà (1.2) không thỏa mãn trong toàn E mà chỉ thỏa man trong lần cận đóng S = {z € £: ø(z.T) < 6} của một điểm 7 € £. Để phát biểu nguyên ly ánh xạ co cho S, ta chỉ cần điều kiện (I. Thật vậy, với mọi z, € S, ta đều có (1.2); kết hợp với (1.14), ta có với mọi rạ € 8, 0(ƒ(zo),#) < p(ƒ(zo), ƒ(#)) + a(ƒ(#).15) < ab + (1 ~ œ)ô <a Điều này chứng tổ ƒ(zo) thuộc S và f là ánh xạ tS vào S. Cuối cùng, vì 9 đóng trong E và £ đầy đủ, ta có S là không gian métric đầy đủ.1 cho 8, ta có Định lý 1.

Giả sử ƒ là ánh xạ co với hệ số có a € (0,1) trong tập hợp đóng S={r€E: 0(z.Y) < 5} và giả sử (I,16) p(#. thì day {z„} hội tụ về z* và a” Atm, #°) < ——x0, p ƒ(zo ( )) ATn, 2") S “0(za-:za) (n >1) 1,2. MỘT SỐ PHUONG PHAP TONG QUAT TÌM NGHIỆM XẤP XỈ QUA PHRUONG TRÌNH 4 1.2 Phuong pháp xấp xỉ liên tiếp Xét phương trình : (1.17) r= v(r) với g: Ð ¬ E(DC EB), E là không gian đầy du. Phương pháp xấp xi liên tiếp để xác định nghiệm gần đúng của phương trình (1.17) là xuất phát từ một phần tử tùy ý zo € S, các phần tử gần đúng tiếp theo rị,z¿.,z„ được xác định theo công thức; (I.18) Inet = #(Zn) (n >0) Theo nguyên lý ánh xa co, nếu ¿ là ánh xạ co từ S vào S, S là tập đóng, thì day xấp xí liên tiếp (1.18) với giá trị tùy ¥ ro € S hội tụ về nghiệm duy nhất z* của phương trình (I.

Đồng thời, ta có công thức ước lượng sai số sau: a" (1.19) 0(z*,zu) Ø(Z4‹70) l-a Bay giờ, ta xét một phương trình dạng khác: (I.20) + =¿(+) + trong đó ¿ là ánh xạ khả vi liên tục từ X vào X, với X là không gian Banach và theo nguyên lý ánh xạ co, ta có định lý sau: Định lý 1. Cho ¿ là một ánh xa khả vi liên tục từ X vào X (X là không gian Banach). Nếu lle|| < 1 thi a) phương trình (I.20) cỏ nghiệm duy nhất +" € X. cì Tốc dé hội tụ dược xác dinh bởi bất ding thức: 5 leh" a | + lì = Zoll f"=#al| < Chứng minh, Ta có f(x) = ¿(z) + là một ánh xạ co trên X vì với mọi z,z' € X tà có (I.21) SC) — F(z" = lle(z) = ely) < Mellie - z' Ap dụng nguyên lý ánh xạ co ta có điều phải chứng minh.3 Phương pháp Newton tổng quát Xét phương trình (I.22) /Ƒ(z)=0 trong đó, ƒ là anh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach Y.2, MOT SỐ PHUONG PHÁP TONG QUAT TÌM NGHIEM XẤP XỈ CUA PHUONG TRINH 5 Giả sit ƒ khá vi trong một hình cầu S(r9,r) tim zo, bán kính r > 0.

Lấy zø làm nghiém gần đúng ban đầu, ta có (1. Giả sử tồn tại ( /“(ro)) ˆ , ta có nghiệm của phương trình ƒ*(ze)(zo - z) = ƒ(zo) là (1.24) ry = 29 ~ (ƒ'(ze “` ƒ(za) )} z¡ được xem như nghiệm gần đúng tiếp theo của z*. Lập lại quá trình đó, ta được dãy các nghiệm gần dúng liên tiếp (1.25) #a+i = In — (/(a))”`fŒa) Phương pháp nêu trên gọi là phương pháp Newton, Ta nhận thấy mỗi bước tìm nghiệm gần đúng theo công thức (I.25) ta phải tinh (/'(z„)) "`. Để đơn giản, thông thường ta áp dụng công thức Newton cải tiến sau: (1.

Giả sử ánh xạ f kha vi trong hình cầu S(za,r) và dạo hàm ƒ* thỏa man điều kiện Lispchitz trong hình cầu dó, nghĩa là có L > 0 sao cho: (I.27) L/“(z) - f(w)l| < Liz - vÏ, Yz.28) hạ = Tool < 5 va ¬—=. thì day xấp xỉ (1.26) hội tụ về nghiệm duy nhất z* € S(zọ,r) của phương trình (I. Trong không gian X xét ánh xạ (I. MỘT SỐ PHUUNG PHÁP TỐNG QUAT TÌM NGHIỆM XAP Xi CUA PHUONG TRINH 6 Từ đồng nhất thức !