Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Chu Trọng Kính, thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 (năm 2018), tập trung giải quyết các bài toán định tính và điều khiển đối với các hệ phương trình vi phân bậc phân số.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Giải tích bậc phân số và phương trình vi-tích phân bậc phân số có lịch sử phát triển lâu dài trong toán học thuần túy và ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong việc mô hình hóa các quá trình vật lý, cơ học, hóa học, sinh thái học, mạng truyền thông và trí tuệ nhân tạo. Đối với các hệ phương trình vi phân bậc nguyên, lý thuyết định tính và lý thuyết ổn định nghiệm đã đạt được nhiều thành tựu hoàn chỉnh. Tuy nhiên, đối với hệ vi phân bậc phân số, các kết quả nghiên cứu về tính ổn định, dáng điệu tiệm cận của nghiệm và thiết kế điều khiển còn khiêm tốn. Khó khăn cốt lõi xuất phát từ việc các công cụ giải tích truyền thống phát triển cho hệ bậc nguyên không còn hiệu lực trực tiếp trên hệ bậc phân số, đặc biệt là khi mở rộng sang không gian vô hạn chiều và khi thực hiện các phép ước lượng đạo hàm phân số.

Trong bối cảnh đó, luận án xác định ba khoảng trống nghiên cứu cụ thể:

  1. Tính ổn định và đồng bộ của các mạng nơron bậc phân số có hệ số biến thiên chứa trễ tỉ lệ (loại trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng theo thời gian).
  2. Dáng điệu tiệm cận và cấu trúc tập nghiệm hút toàn cục của bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev có xung và điều kiện không cục bộ trong không gian Banach vô hạn chiều, nơi toán tử nghiệm không còn thỏa mãn tính chất nửa nhóm.
  3. Vấn đề thiết kế bộ điều khiển phản hồi phân quyền để ổn định hóa các hệ dương tuyến tính bậc phân số dạng kết nối (kể cả trường hợp có trễ và tham số không chắc chắn) thông qua công cụ giải số hiệu quả như quy hoạch tuyến tính thay vì các hệ bất đẳng thức ma trận phi tuyến phức tạp.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định các mục tiêu cụ thể sau:

  1. Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa cấp $\alpha$ cho mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất.
  2. Chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân trên khoảng thời gian hữu hạn và sự tồn tại của tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev có xung và điều kiện đầu không cục bộ trong không gian Banach.
  3. Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho tính dương, tính ổn định tiệm cận và thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái phân quyền ổn định hóa bền vững cho các hệ dương bậc phân số dạng kết nối thông qua bài toán quy hoạch tuyến tính (LP).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu:
    • Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số có hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ: $$D_t^\alpha x_i(t) = -d_i(t)x_i(t) + \sum_{j=1}^n a_{ij}(t)f_j(x_j(t)) + \sum_{j=1}^n b_{ij}(t)g_j(x_j(q_{ij}t)) + I_i(t)$$
    • Lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach: $$D_t^\alpha B u(t) \in A u(t) + F(t, u(t)), \quad t \neq t_k$$ với điều kiện xung $\Delta B u(t_k) = I_k(u(t_k))$ và điều kiện không cục bộ $u(0) = g(u)$.
    • Hai lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối (hệ không trễ và hệ có trễ không đồng nhất kèm nhiễu tham số dạng khoảng).
  • Phạm vi nghiên cứu:
    • Về mặt toán học: Đạo hàm bậc phân số $\alpha \in (0, 1)$ theo nghĩa Caputo và Riemann-Liouville.
    • Về không gian: Không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$ và không gian Banach vô hạn chiều $X$.
    • Về thời gian: Khoảng thời gian hữu hạn $[0, T]$ và khoảng vô hạn $[0, +\infty)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tiến hành điểm luận có hệ thống các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến các chủ đề nghiên cứu:

Hướng nghiên cứu Các công trình được điểm lại trong văn bản Trọng tâm và giới hạn của các công trình trước
Ứng dụng & Giải tích phân số Kilbas et al. [42], Podlubny [54], Diethelm [32], Lakshmikantham et al. [46] Thiết lập cơ sở giải tích, định nghĩa đạo hàm Caputo, Riemann-Liouville và biến đổi Laplace; áp dụng mô tả các quá trình cơ học, vật lý.
Lý thuyết định tính & Điều khiển hệ vi phân phân số Agarwal et al. [2], Li et al. [49, 50], N'Guérékata [51], Zhou et al. [83] Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, nghiệm phân rã tích phân [2, 40, 41], tính điều khiển được [44, 70, 71] và ổn định trong không gian hữu hạn chiều [5, 15, 74].
Mạng nơron & Hệ có trễ Hale & Verduyn Lunel [31], Niculescu [59], Richard [65], Chen et al. [17, 18], Rakkiyappan et al. [67] Nghiên cứu ảnh hưởng của trễ đến tính ổn định; các kết quả đồng bộ mạng nơron phân số hầu hết chỉ giới hạn ở trọng số hằng và trễ bị chặn [17, 67, 69, 76].
Hệ mạng có trễ tỉ lệ Carr & Dyson [14], Derfel & Iserles [30], Zhou et al. [80], Zhang et al. [81] Trễ tỉ lệ $q t$ ($0 < q < 1$) là trễ biến thiên không bị chặn; Zhou et al. [80] nghiên cứu tính ổn định mạng bậc nguyên; chưa có công trình nào giải quyết tính đồng bộ mạng phân số với trễ tỉ lệ.
Bao hàm thức vi phân & Phương trình Sobolev Aubin & Cellina [3], Deimling [21], Kamenskii et al. [39], Barenblatt et al. [7], Fečkan et al. [34] Barenblatt et al. [7] đề xuất mô hình Sobolev mô tả chất lỏng trong khe nứt; Burton & Furumochi [11, 12] đề xuất hướng tiếp cận điểm bất động; lý thuyết tập hút toàn cục [16] không áp dụng được do mất tính nửa nhóm.
Hệ kết nối & Điều khiển phân quyền Bakule [4], Mahmoud [60], Li & Sheng [47], Nguang et al. [53] Điều khiển phân quyền hiệu quả hơn điều khiển trung tâm cho hệ quy mô lớn; các nghiên cứu trước dùng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) cho hệ tổng quát nhưng chưa tối ưu cho hệ dương.

Vị trí và giải pháp của luận án

Luận án định vị nghiên cứu của mình vào việc giải quyết trực tiếp các bài toán chưa có lời giải trong các tài liệu trên:

  • Luận án là công trình đầu tiên nghiên cứu tính đồng bộ với tốc độ hội tụ kiểu lũy thừa (đa thức) cho mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số có hệ số biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ không đồng nhất.
  • Luận án khắc phục rào cản mất tính chất nửa nhóm trong bao hàm thức vi phân phân số kiểu Sobolev bằng cách xây dựng độ đo không compact chính quy trên không gian $PC_0$ và kết hợp với lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén.
  • Luận án khai thác triệt để tính đơn điệu cảm sinh từ tính dương của hệ để chuyển đổi bài toán phân tích ổn định và thiết kế điều khiển phân quyền từ dạng LMIs phức tạp sang dạng quy hoạch tuyến tính (LP) có thể giải chính xác và nhanh chóng bằng các thuật toán tối ưu lồi.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án xây dựng trên nền tảng các lý thuyết toán học chuyên sâu thuộc chuyên ngành Toán giải tích:

  • Lý thuyết M-ma trận và ma trận Metzler: Ma trận $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ là Metzler nếu các phần tử ngoài đường chéo không âm ($a_{ij} \ge 0, \forall i \neq j$). Ma trận $A$ là M-ma trận nếu $a_{ij} \le 0$ với mọi $i \neq j$ và các phần tử trên đường chéo chính là dương. Luận án sử dụng tiêu chuẩn tương đương: tồn tại vector $v > 0$ sao cho $A v > 0$.
  • Giải tích bậc phân số:
    • Tích phân Bochner bậc $\alpha > 0$: $I^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} f(s) ds$.
    • Đạo hàm Caputo bậc $\alpha \in (0, 1)$: $D_t^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t (t-s)^{-\alpha} f'(s) ds$.
    • Đạo hàm Riemann-Liouville: ${}^{RL}D_t^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac{d}{dt} \int_0^t (t-s)^{-\alpha} f(s) ds$.
    • Mối liên hệ: $D_t^\alpha f(t) = {}^{RL}D_t^\alpha [f(t) - f(0)]$.
    • Hàm Mittag-Leffler: $E_\alpha(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k + 1)}$ và dạng hai tham số $E_{\alpha, \beta}(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k + \beta)}$.
  • Lý thuyết nửa nhóm toán tử: $C_0$-nửa nhóm ${S(t)}_{t \ge 0}$ trên không gian Banach $X$, toán tử sinh $A$, các khái niệm nửa nhóm liên tục theo chuẩn, nửa nhóm compact và tính ổn định mũ $|S(t)| \le M e^{-\omega t}$ ($\omega > 0$).
  • Giải tích đa trị và độ đo không compact (MNC): Độ đo không compact Hausdorff $\chi(Q) = \inf{\varepsilon > 0 \mid Q \text{ được phủ bởi một } \varepsilon\text{-lưới hữu hạn}}$, các tính chất đơn điệu, không suy biến, bất biến compact, nửa cộng tính dưới và tính chính quy ($\chi(Q) = 0 \Leftrightarrow Q$ compact tương đối). Khái niệm ánh xạ đa trị $\psi$-nén và định lý điểm bất động cho ánh xạ $\psi$-nén trên tập lồi đóng bị chặn.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án kết hợp các phương pháp định tính và công cụ giải tích hiện đại:

  1. Phương pháp Lyapunov-Razumikhin suy rộng: Kết hợp với quy tắc Leibniz mở rộng cho đạo hàm bậc phân số để ước lượng đạo hàm phân số của phiếm hàm Lyapunov có trọng $V(t) = (t+r)^\sigma |x(t)|_{1, v}$, thiết lập nguyên lý so sánh phục vụ chứng minh tính đồng bộ nghiệm.
  2. Phương pháp toán tử giải và biểu diễn nghiệm: Biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân phân số thông qua tích phân xác suất với hàm mật độ Mainardi $\phi_\alpha(\theta)$ và toán tử giải $S_\alpha(t), P_\alpha(t)$.
  3. Phương pháp điểm bất động tôpô: Sử dụng độ đo không compact chính quy $\chi^*$ trên không gian hàm liên tục từng khúc $PC_0$ để chứng minh sự tồn tại nghiệm và tập nghiệm hút toàn cục.
  4. Kỹ thuật tối ưu hóa và đại số tuyến tính: Ứng dụng lý thuyết ma trận không âm, M-ma trận và bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) để nhận được các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương kết nối.

Nguồn tư liệu nghiên cứu

Nguồn tư liệu nghiên cứu là các hệ phương trình vi phân và bao hàm thức vi phân trừu tượng, dữ liệu kiểm chứng được xây dựng thông qua các mô hình mô phỏng số học trên máy tính.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa toàn bộ các công cụ giải tích và bổ đề nền tảng:

  • Trình bày định nghĩa và đặc trưng của ma trận Metzler, ma trận Hurwitz và M-ma trận không suy biến.
  • Định nghĩa các không gian hàm cơ bản: không gian khả tích $L^p(\Omega)$, $L^p_{loc}(\Omega)$, không gian hàm liên tục $C([a, b]; X)$, không gian hàm liên tục từng khúc $PC([0, T]; X)$ và không gian $PC_0 = {u \in PC([0, \infty); X) \mid \lim_{t \to \infty} u(t) = 0}$ với chuẩn supremum.
  • Thiết lập các định lý về $C_0$-nửa nhóm, điều kiện Hille-Yosida, các lớp nửa nhóm liên tục theo chuẩn, nửa nhóm khả vi và nửa nhóm compact.
  • Giới thiệu quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouville (Bổ đề 1.8): $${}^{RL}D_t^\alpha (\varphi(t) f(t)) = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} \frac{d^k \varphi(t)}{dt^k} {}^{RL}D_t^{\alpha-k} f(t) - R_\alpha(t, \varphi, f)$$
  • Định nghĩa độ đo không compact Hausdorff $\chi$, độ đo $\chi_0$ trên họ tập con không quá đếm được, các tính chất của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, đóng, tựa compact và định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị $\psi$-nén.

Chương 2: Sự đồng bộ của mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

Chương 2 nghiên cứu tính đồng bộ nghiệm của mạng nơron Hopfield bậc phân số chứa đa trễ tỉ lệ: $$D_t^\alpha x_i(t) = -d_i(t)x_i(t) + \sum_{j=1}^n a_{ij}(t) f_j(x_j(t)) + \sum_{j=1}^n b_{ij}(t) g_j(x_j(q_{ij}t)) + I_i(t), \quad i \in [n], t > 0$$ trong đó $q_{ij} \in (0, 1)$ là các hệ số trễ tỉ lệ không đồng nhất, các hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục với các hằng số $l_{fj}, l_{gj}$.

Các giả thiết và định lý chính của Chương 2:
- Giả thiết (A1): f_j(0) = g_j(0) = 0; |f_j(a) - f_j(b)| <= l_{fj}|a - b|; |g_j(a) - g_j(b)| <= l_{gj}|a - b|
- Điều kiện (C1): Tồn tại r > 0 và vector v > 0 thỏa mãn hệ bất đẳng thức phi tuyến
- Định lý 2.1: Chứng minh hai nghiệm bất kỳ x_1(t), x_2(t) thỏa mãn đánh giá đồng bộ:
  ||x_1(t) - x_2(t)||_{1, v} <= C_{v, r} (1 + t)^{-r} ||x_1^0 - x_2^0||_{1, v}, với mọi t > 0
- Hệ quả 2.2: Với hệ số bị chặn (A2), điều kiện đồng bộ quy về: tồn tại v > 0 sao cho M v < 0,
  với M = L_f A* + L_g B* - D (tương đương -M là M-ma trận không suy biến).

Chương 2 minh họa lý thuyết qua 2 ví dụ số:

  • Ví dụ 2.1: Mạng 4 nơron bậc phân số với nhiễu tham số $\theta(t) = \exp(-3\sin^2(40t))$, ma trận hệ số $D = \text{diag}{3, 4, 3, 4}$, tính toán kiểm tra định thức con chính khẳng định $-M$ là M-ma trận không suy biến, kết quả mô phỏng số xác nhận các quỹ đạo trạng thái đồng bộ với tốc độ lũy thừa.
  • Ví dụ 2.2: Mạng 2 nơron bậc phân số so sánh trực tiếp với tiêu chuẩn ổn định bậc nguyên của Zhou et al. (2014) [80]. Luận án chứng minh rằng tiêu chuẩn trong [80] đòi hỏi bán kính phổ $\rho(K) < 1$ (không thỏa mãn với mọi $q \in (0, 1)$), trong khi tiêu chuẩn Hệ quả 2.2 của luận án vẫn nghiệm đúng khi $q^\sigma > 0.5$, khẳng định tính hiệu quả của phương pháp tiếp cận mới.

Chương 3: Nghiệm hút toàn cục của bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach

Chương 3 khảo sát bài toán Cauchy suy rộng cho bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều $X$: $$D_t^\alpha B u(t) \in A u(t) + F(t, u(t)), \quad t \neq t_k, t_k \in (0, +\infty), k \in \Lambda$$ với điều kiện xung $\Delta B u(t_k) = B u(t_k^+) - B u(t_k^-) = I_k(u(t_k))$ và điều kiện không cục bộ $u(0) = g(u)$.

Các nội dung phát triển chính:

  1. Toán tử giải: Xây dựng hai họ toán tử giải $S_\alpha(t)$ và $P_\alpha(t)$ thông qua nửa nhóm $C_0$ sinh bởi $A B^{-1}$ và hàm mật độ Mainardi $\phi_\alpha(\theta)$: $$S_\alpha(t) = \int_0^\infty \phi_\alpha(\theta) T(t^\alpha \theta) d\theta, \quad P_\alpha(t) = \int_0^\infty \alpha \theta \phi_\alpha(\theta) T(t^\alpha \theta) d\theta$$ Chứng minh Bổ đề 3.1: Nếu nửa nhóm $T(t)$ liên tục theo chuẩn thì $S_\alpha(t)$ và $P_\alpha(t)$ liên tục theo chuẩn; nếu $B^{-1}$ hoặc $T(t)$ compact thì các toán tử giải cũng compact.
  2. Nghiệm trên khoảng hữu hạn $[0, T]$: Định nghĩa toán tử nghiệm $\mathcal{F}$ trên $PC([0, T]; X)$. Chứng minh $\mathcal{F}$ là ánh xạ nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi compact và thỏa mãn tính chất $\chi_{PC}$-nén (Bổ đề 3.5). Từ đó chứng minh Định lý 3.6 về sự tồn tại của ít nhất một nghiệm tích phân.
  3. Tập nghiệm hút toàn cục trên $[0, +\infty)$: Luận án định nghĩa độ đo không compact mới $\chi^$ trên không gian $PC_0$: $$\chi^(D) = \sup_{T > 0} \chi_{PC}(\pi_T(D)) + \lim_{T \to \infty} \sup_{u \in D} \sup_{t \ge T} |u(t)|_X$$ Chứng minh Bổ đề 3.10 khẳng định $\chi^$ là một MNC chính quy. Dựa trên tính chất co nén theo độ đo $\chi^$, Định lý 3.12 chứng minh sự tồn tại của một tập compact khác rỗng chứa toàn bộ các nghiệm hút toàn cục của bài toán.

Chương 4: Ổn định hóa một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối bằng điều khiển phân quyền

Chương 4 giải quyết bài toán điều khiển cho hệ quy mô lớn dạng kết nối gồm $N$ hệ địa phương:

  1. Hệ dương không trễ: $$D^\alpha x_i(t) = A_{ii} x_i(t) + \sum_{j=1, j \neq i}^N A_{ij} x_j(t) + B_i u_i(t), \quad i \in [N], t > 0$$

    • Luận án thiết lập điều kiện cần và đủ để hệ là hệ dương: các ma trận khối thỏa mãn cấu trúc Metzler và ma trận điều khiển $B_i$ có dạng thích hợp.
    • Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái phân quyền $u_i(t) = K_i x_i(t)$ để hệ kín ổn định tiệm cận.
    • Chuyển đổi toàn bộ điều kiện ổn định hóa thành bài toán quy hoạch tuyến tính (LP), cho phép giải bằng thuật toán Simplex hoặc thuật toán điểm trong (Interior Point Method).

  2. Hệ dương có trễ và nhiễu tham số dạng khoảng: $$D^\alpha x_i(t) = A_{ii} x_i(t) + \sum_{j=1, j \neq i}^N A_{ij} x_j(t) + \sum_{j=1}^N G_{ij} x_j(t - \tau_{ij}(t)) + B_i u_i(t)$$

    • Độ trễ trạng thái $\tau_{ij}(t)$ không đồng nhất và bị chặn bởi $\tau_{ij}^*$.
    • Tham số ma trận không chắc chắn dạng khoảng: $\underline{A}{ij} \le A{ij} \le \overline{A}{ij}$, $\underline{G}{ij} \le G_{ij} \le \overline{G}_{ij}$.
    • Dựa trên tính đơn điệu của quỹ đạo trạng thái hệ dương, luận án thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính ổn định vững và thuật toán thiết kế bộ điều khiển phân quyền vững thông qua giải bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng.

Kết quả và những đóng góp mới

Căn cứ theo công bố và nội dung toàn văn, luận án đạt được 3 đóng góp khoa học mới cơ bản:

Tóm tắt các đóng góp mới của luận án:
1. Đóng góp về Mạng nơron phân số có trễ:
   - Thiết lập điều kiện đủ cho tính đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa cấp \alpha của mạng Hopfield hệ số biến thiên với trễ tỉ lệ.
   - Thiết lập tiêu chuẩn M-ma trận thuận tiện cho việc kiểm tra số học.
2. Đóng góp về Bao hàm thức vi phân Sobolev vô hạn chiều:
   - Chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân có xung và điều kiện không cục bộ trong không gian Banach.
   - Xây dựng độ đo không compact chính quy \chi* trên PC_0 và chứng minh sự tồn tại tập compact nghiệm hút toàn cục khi không có tính chất nửa nhóm.
3. Đóng góp về Điều khiển hệ dương phân số dạng kết nối:
   - Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính dương, tính ổn định và ổn định hóa phân quyền của hệ kết nối có trễ và nhiễu khoảng.
   - Quy đổi hoàn toàn các điều kiện ổn định hóa sang bài toán quy hoạch tuyến tính (LP).

Toàn bộ các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 công trình khoa học trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI và được báo cáo tại các xemina chuyên ngành tại Trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2, Trường ĐH Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học (Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi nghiên cứu được tác giả trình bày trong luận án:

  • Hạn chế:
    • Lớp trễ trong mô hình mạng nơron Hopfield mới chỉ tập trung vào trễ tỉ lệ dạng $q_{ij} t$ ($0 < q_{ij} < 1$), chưa bao hàm các dạng trễ phi tuyến tổng quát hoặc trễ phân bố phức tạp.
    • Mô hình bao hàm thức Sobolev trong không gian Banach đòi hỏi toán tử $B$ phải là song ánh và có toán tử nghịch đảo $B^{-1}$ bị chặn, chưa xét trường hợp $B$ là toán tử suy biến.
    • Bài toán điều khiển hệ dương phân số dạng kết nối giới hạn ở dạng phản hồi trạng thái phân quyền tuyến tính, chưa xét đến phản hồi đầu ra hoặc điều khiển thích nghi.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng nghiên cứu tính ổn định và đồng bộ cho các hệ phương trình vi phân phân số với toán tử đạo hàm dạng Caputo-Fabrizio hoặc Atangana-Baleanu.
    • Nghiên cứu bao hàm thức vi phân kiểu Sobolev suy biến trong không gian vô hạn chiều.
    • Phát triển các thuật toán điều khiển phân quyền thích nghi và điều khiển tối ưu $H_\infty$ cho các hệ động lực phân số quy mô lớn trong kỹ thuật viễn thông và lưới điện thông minh.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị khoa học và giá trị tham khảo chuyên môn cao:

  • Đối tượng thụ hưởng:
    • Nghiên cứu sinh, học viên cao học, giảng viên và các nhà nghiên cứu thuộc các chuyên ngành Toán giải tích, Phương trình vi phân và tích phân, Lý thuyết điều khiển hệ thống và Toán ứng dụng.
  • Phần giá trị tham khảo chuyên sâu:
    • Chương 1 và Chương 3: Là tài liệu tham khảo giá trị về kỹ thuyết nửa nhóm toán tử, giải tích đa trị, kỹ thuật sử dụng độ đo không compact và định lý điểm bất động để xử lý các phương trình tiến hóa trong không gian Banach.
    • Chương 2: Cung cấp phương pháp luận chi tiết về việc áp dụng quy tắc Leibniz và phương pháp Lyapunov-Razumikhin suy rộng cho các hệ động lực bậc phân số có trễ không bị chặn.
    • Chương 4: Cung cấp công cụ tính toán số học tường minh (quy hoạch tuyến tính LP) hỗ trợ các kỹ sư điều khiển và nhà toán học ứng dụng trong thiết kế hệ thống điều khiển kết nối quy mô lớn.

Câu hỏi thường gặp

1. Sự khác biệt cốt lõi giữa mô hình mạng nơron trong Chương 2 của luận án và các mô hình mạng nơron đã công bố trước đó là gì?

Các công trình trước đây chủ yếu nghiên cứu mạng nơron bậc phân số với trọng số kết nối hằng số và trễ thời gian bị chặn. Mô hình của luận án mở rộng cho trường hợp hệ số kết nối biến thiên theo thời gian ($a_{ij}(t), b_{ij}(t), d_i(t)$) và chứa trễ tỉ lệ không đồng nhất ($q_{ij} t$). Trễ tỉ lệ là trễ biến thiên không bị chặn và tăng trưởng theo thời gian, khiến không gian pha trở nên phức tạp và các kỹ thuật đánh giá tiệm cận thông thường không áp dụng được.

2. Tại sao lý thuyết tập hút toàn cục cổ điển không thể áp dụng cho bao hàm thức Sobolev trong Chương 3?

Lý thuyết tập hút toàn cục cổ điển (như của Hale et al. [16]) xây dựng dựa trên cấu trúc nửa nhóm của toán tử nghiệm ($S(t+s) = S(t)S(s)$). Đối với bài toán bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev có xung và điều kiện không cục bộ, toán tử nghiệm không còn tính chất nửa nhóm. Do đó, tác giả phải sử dụng cách tiếp cận điểm bất động tôpô dựa trên độ đo không compact chính quy $\chi^*$ trên không gian $PC_0$.

3. Ưu điểm của việc đưa điều kiện ổn định hóa hệ dương phân số về bài toán Quy hoạch tuyến tính (LP) ở Chương 4 là gì?

Đối với hệ tổng quát, điều kiện ổn định hóa thường được đưa về bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) hoặc phi tuyến (BMIs). Tuy nhiên, đối với hệ dương, nhờ tính đơn điệu của quỹ đạo trạng thái, luận án đưa ra các điều kiện cần và đủ dưới dạng bài toán Quy hoạch tuyến tính (LP). Bài toán LP có độ phức tạp tính toán thấp hơn nhiều so với LMIs, tránh được các khó khăn phi tuyến và có thể giải chính xác bằng các thuật toán tối ưu lồi tiêu chuẩn cho các hệ thống quy mô lớn.

4. Tốc độ đồng bộ lũy thừa cấp $\alpha$ trong Chương 2 được hiểu và định nghĩa như thế nào?

Tính đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa cấp $\alpha$ (hay $O(t^{-r})$ ổn định) nghĩa là khoảng cách giữa hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ $x_1(t)$ và $x_2(t)$ xuất phát từ hai điều kiện ban đầu khác nhau $x_1^0, x_2^0$ thỏa mãn bất đẳng thức: $$|x_1(t) - x_2(t)|\infty \le \frac{C}{(1+t)^r} |x_1^0 - x_2^0|\infty, \quad \forall t \ge 0$$ với $r \in (0, \alpha]$ và $C > 0$ là các hằng số xác định.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Chu Trọng Kính đã giải quyết một cách hệ thống và chặt chẽ các bài toán về tính đồng bộ, nghiệm hút toàn cục và điều khiển ổn định hóa phân quyền cho các lớp phương trình và hệ phương trình vi phân bậc phân số. Bằng việc kết hợp sáng tạo giữa giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết nửa nhóm toán tử, độ đo không compact và lý thuyết hệ dương, công trình đã lấp đầy nhiều khoảng trống lý thuyết quan trọng đối với các hệ động lực bậc phân số trong không gian hữu hạn và vô hạn chiều. Các kết quả lý thuyết được công bố trên 04 bài báo quốc tế chuẩn ISI cùng các ví dụ mô phỏng số học tường minh đã khẳng định tính chính xác và giá trị học thuật của luận án.