Nghiên Cứu Một Số Loại Phương Trình Hàm Trong Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học

• Tác giả: Nguyễn Văn Hòa
• Người hướng dẫn: GS. Đặng Quang Á
• Trường học: Trường Đại Học Hồng Đức
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Một Số Loại Phương Trình Hàm
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thanh Hóa

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
• 1.1. Một số loại phương trình hàm Cauchy
• 1.1.1. Phương trình hàm Cauchy cộng tính
• 1.1.2. Phương trình hàm Cauchy mũ
• 1.1.3. Phương trình hàm Cauchy logarit
• 1.1.4. Phương trình hàm Cauchy nhân tính
• 1.1.5. Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến số
• 1.1.6. Phương trình hàm Cauchy nhân tính nhiều biến số
• 1.2. Bài toán áp dụng
• 1.2.1. Bài toán cơ bản
• 1.2.2. Áp dụng vào hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình
• 1.2.3. Áp dụng giải một số bài trong đề thi học sinh giỏi
• 2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT
• 2.1. Nghiệm của phương trình d’Alembert
• 2.1.1. Nghiệm liên tục của phương trình hàm d’Alembert
• 2.1.2. Nghiệm tổng quát của phương trình d’Alembert
• 2.1.3. Đặc trưng của hàm Cosin
• 2.2. Bài toán áp dụng
• 3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯỢNG GIÁC
• 3.1. Một số định nghĩa
• 3.2. Nghiệm của phương trình hàm lượng giác
• 3.2.1. Nghiệm của phương trình hàm Cosin-Sin
• 3.2.2. Nghiệm của phương trình hàm Sin - Cosin
• 3.2.3. Nghiệm của Phương trình hàm Sin
• 3.3. Bài toán áp dụng
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Về Phương Trình Hàm Trong Toán Học Hiện Đại

Các phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại, bắt nguồn từ định nghĩa hiện đại của hàm số. D'Alembert đã công bố những bài báo đầu tiên về phương trình hàm từ năm 1747 đến 1750. Sự phát triển đáng kể của phương trình hàm được thúc đẩy bởi luật hình bình hành. Nhiều nhà toán học nổi tiếng đã nghiên cứu về phương trình hàm vì tính đơn giản và tự nhiên của nó. Phương trình hàm đã và đang được khai thác như những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. Các bài toán về phương trình hàm thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Hiện nay, có một số sách tham khảo cho học sinh phổ thông đề cập đến phương trình hàm. Tuy nhiên, nguồn tài liệu nước ngoài về phương trình hàm rất phong phú, được viết bởi các nhà toán học và nhà sư phạm lớn. Việc tìm hiểu và khai thác các tài liệu này là rất cần thiết để nâng cao trình độ chuyên môn. Luận văn này tập trung nghiên cứu một số loại phương trình hàm.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Của Phương Trình Hàm Trong Toán Học

Nguồn gốc của phương trình hàm gắn liền với sự ra đời của định nghĩa hàm số hiện đại. D'Alembert là người tiên phong trong lĩnh vực này với những công trình nghiên cứu đầu tiên. Sự lớn mạnh của phương trình hàm được kích thích bởi các bài toán thực tế và lý thuyết. Nhiều nhà toán học đã đóng góp vào sự phát triển của lĩnh vực này. Nghiên cứu phương trình hàm không chỉ là một phần của toán học lý thuyết mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Phương Trình Hàm Trong Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi

Phương trình hàm đóng vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Các bài toán về phương trình hàm thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, cả trong và ngoài nước. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải phương trình hàm giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Các chuyên đề về phương trình hàm cung cấp kiến thức nâng cao và kỹ năng cần thiết cho học sinh giỏi.

II. Thách Thức Khi Giải Phương Trình Hàm Trong Toán Học

Việc giải phương trình hàm trong toán học đặt ra nhiều thách thức. Không có một phương pháp chung nào có thể áp dụng cho tất cả các loại phương trình hàm. Mỗi loại phương trình hàm đòi hỏi những kỹ thuật và phương pháp riêng biệt. Việc tìm nghiệm của phương trình hàm có thể rất phức tạp và đòi hỏi sự sáng tạo. Một số phương trình hàm không có nghiệm tường minh hoặc có vô số nghiệm. Việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm cũng là một thách thức lớn. Ngoài ra, việc xác định điều kiện để phương trình hàm có nghiệm cũng là một vấn đề quan trọng.

2.1. Sự Đa Dạng Của Các Loại Phương Trình Hàm Trong Toán Học

Sự đa dạng của các loại phương trình hàm là một thách thức lớn. Có nhiều loại phương trình hàm khác nhau, mỗi loại có những đặc điểm riêng. Các loại phương trình hàm thường gặp bao gồm phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm D'Alembert, phương trình hàm Jensen, và nhiều loại khác. Việc nắm vững đặc điểm của từng loại phương trình hàm là rất quan trọng để có thể áp dụng phương pháp giải phù hợp.

2.2. Khó Khăn Trong Việc Tìm Nghiệm Tổng Quát Của Phương Trình Hàm

Việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình hàm là một nhiệm vụ khó khăn. Không phải lúc nào cũng có thể tìm được nghiệm tường minh cho phương trình hàm. Trong nhiều trường hợp, chỉ có thể tìm được nghiệm dưới dạng biểu thức phức tạp hoặc nghiệm gần đúng. Việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm cũng là một thách thức lớn. Cần có những kỹ thuật và phương pháp đặc biệt để giải quyết vấn đề này.

III. Phương Pháp Giải Phương Trình Hàm Cauchy Hiệu Quả Nhất

Phương trình hàm Cauchy là một trong những loại phương trình hàm cơ bản và quan trọng nhất trong toán học. Có nhiều phương pháp giải phương trình hàm Cauchy khác nhau, tùy thuộc vào dạng của phương trình hàm. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm phương pháp thế, phương pháp quy nạp, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số, và phương pháp sử dụng giải tích. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp là rất quan trọng để giải phương trình hàm Cauchy một cách hiệu quả. Phương trình hàm Cauchy có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác.

3.1. Phương Trình Hàm Cauchy Cộng Tính Lý Thuyết Và Ví Dụ

Phương trình hàm Cauchy cộng tính có dạng f(x + y) = f(x) + f(y). Nghiệm của phương trình hàm này có nhiều tính chất đặc biệt. Nếu f là hàm liên tục, thì f(x) = cx, với c là hằng số. Tuy nhiên, nếu f không liên tục, thì có thể có những nghiệm kỳ lạ. Ví dụ, xét hàm f: R -> R thỏa mãn f(x+y) = f(x) + f(y) với mọi x, y thuộc R. Hàm này được gọi là hàm cộng tính. Một hàm f: R -> R được gọi là hàm tuyến tính nếu và chỉ nếu nó có dạng f(x) = cx ở đây c là hằng số tùy ý.

3.2. Phương Trình Hàm Cauchy Nhân Tính Cách Giải Chi Tiết

Phương trình hàm Cauchy nhân tính có dạng f(xy) = f(x)f(y). Nghiệm của phương trình hàm này cũng có nhiều tính chất thú vị. Nếu f là hàm liên tục, thì f(x) = x^c, với c là hằng số. Tuy nhiên, nếu f không liên tục, thì có thể có những nghiệm phức tạp hơn. Để xác định nghiệm tổng quát của phương trình hàm (1.20) ta cần khái niệm hàm signum. Hàm signum được ký hiệu là sgn(x) và được xác định bởi.

IV. Ứng Dụng Phương Trình Hàm Trong Các Bài Toán Toán Học Khó

Phương trình hàm có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán toán học khó. Phương trình hàm có thể được sử dụng để chứng minh các định lý, giải các bài toán về dãy số, và giải các bài toán về hình học. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải phương trình hàm giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán toán học một cách sáng tạo và hiệu quả. Ứng dụng của phương trình hàm không chỉ giới hạn trong toán học mà còn mở rộng sang các lĩnh vực khác như vật lý và kỹ thuật.

4.1. Phương Trình Hàm Và Bài Toán Về Dãy Số Mối Liên Hệ

Phương trình hàm có mối liên hệ mật thiết với các bài toán về dãy số. Nhiều bài toán về dãy số có thể được giải bằng cách sử dụng phương trình hàm. Việc tìm công thức tổng quát của dãy số có thể được thực hiện bằng cách thiết lập và giải phương trình hàm tương ứng. Phương trình hàm cung cấp một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán về dãy số.

4.2. Phương Trình Hàm Trong Các Bài Toán Hình Học Ví Dụ Minh Họa

Phương trình hàm cũng có ứng dụng trong các bài toán hình học. Nhiều bài toán hình học có thể được giải bằng cách sử dụng phương trình hàm. Việc thiết lập phương trình hàm từ các điều kiện hình học giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra lời giải. Phương trình hàm cung cấp một cách tiếp cận mới và hiệu quả cho các bài toán hình học.

V. Kết Luận Về Nghiên Cứu Phương Trình Hàm Và Hướng Phát Triển

Nghiên cứu về phương trình hàm là một lĩnh vực đầy tiềm năng trong toán học. Việc tiếp tục nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải phương trình hàm là rất quan trọng. Các ứng dụng của phương trình hàm trong các lĩnh vực khác cũng cần được khám phá và khai thác. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi về phương trình hàm cần được chú trọng để phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao cho đất nước. Phương trình hàm sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học và các lĩnh vực liên quan.

5.1. Tầm Quan Trọng Của Việc Nghiên Cứu Phương Trình Hàm Nâng Cao

Nghiên cứu phương trình hàm nâng cao là rất quan trọng để mở rộng kiến thức và kỹ năng trong lĩnh vực này. Các phương trình hàm nâng cao thường có độ phức tạp cao và đòi hỏi những kỹ thuật giải đặc biệt. Việc nghiên cứu phương trình hàm nâng cao giúp phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề.

5.2. Ứng Dụng Tiềm Năng Của Phương Trình Hàm Trong Tương Lai

Phương trình hàm có nhiều ứng dụng tiềm năng trong tương lai. Các ứng dụng này có thể bao gồm việc giải các bài toán trong khoa học máy tính, kỹ thuật, và kinh tế. Việc khám phá và khai thác các ứng dụng này sẽ mang lại nhiều lợi ích cho xã hội.

Tổng quan nghiên cứu

Phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng trong toán học hiện đại, có nguồn gốc từ định nghĩa hàm số và được phát triển mạnh mẽ từ thế kỷ XVIII. Từ năm 1747 đến 1750, nhà toán học d’Alembert đã công bố các bài báo đầu tiên về phương trình hàm, mở đầu cho sự phát triển của lĩnh vực này. Phương trình hàm không chỉ có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc mà còn được ứng dụng rộng rãi trong bồi dưỡng học sinh giỏi và các kỳ thi toán học trong và ngoài nước.

Luận văn tập trung nghiên cứu một số loại phương trình hàm tiêu biểu gồm phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm d’Alembert và phương trình hàm lượng giác. Mục tiêu nghiên cứu là tổng hợp kiến thức cơ sở, chứng minh các định lý liên quan và đưa ra các bài toán áp dụng thực tiễn nhằm nâng cao trình độ chuyên môn cho giáo viên, học viên cao học và học sinh phổ thông. Phạm vi nghiên cứu sử dụng tài liệu trong nước và quốc tế, tập trung vào các phương trình hàm phổ biến và có tính ứng dụng cao trong giai đoạn 2015-2017 tại Thanh Hóa.

Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp tài liệu tham khảo bổ ích, giúp phát triển kỹ năng giải các bài toán phương trình hàm, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập trong lĩnh vực toán học sơ cấp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình nghiên cứu sau:

• Phương trình hàm Cauchy: Bao gồm các dạng cơ bản như phương trình cộng tính, mũ, logarit, nhân tính và các biến thể nhiều biến số. Các khái niệm chính gồm hàm cộng tính, hàm tuyến tính, hàm hữu tỉ thuần nhất, hàm mũ thực, hàm logarit và hàm nhân tính. Định lý Darboux về tính liên tục và tuyến tính của nghiệm phương trình Cauchy cộng tính được sử dụng làm nền tảng lý thuyết.

• Phương trình hàm d’Alembert: Được xây dựng dựa trên đồng nhất thức lượng giác cosin, với nghiệm liên tục được biểu diễn qua hàm cosin và cosh. Lý thuyết về hàm mũ phức và đồng cấu nhóm cũng được áp dụng để mô tả nghiệm tổng quát.

• Phương trình hàm lượng giác: Nghiên cứu các hàm cosin, sin và các dạng kết hợp, cùng với tính chất tuần hoàn và đối xứng của hàm số.

Các khái niệm chính bao gồm hàm chẵn, hàm lẻ, hàm liên tục, hàm khả vi, hàm mũ phức, đồng cấu nhóm abel, và các tính chất toán học liên quan đến phép cộng và nhân trong tập số thực và phức.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp tổng hợp tài liệu trong và ngoài nước, kết hợp với phương pháp chứng minh toán học chặt chẽ để phát triển các định lý và tính chất của phương trình hàm. Cỡ mẫu nghiên cứu là toàn bộ các loại phương trình hàm tiêu biểu được chọn lọc từ tài liệu chuyên ngành và các bài toán thực tiễn.

Phương pháp chọn mẫu là lựa chọn hệ thống các phương trình hàm có tính ứng dụng cao và phổ biến trong giảng dạy toán học sơ cấp. Phân tích được thực hiện thông qua chứng minh định lý, xây dựng ví dụ minh họa và giải các bài toán áp dụng.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong hai năm (2015-2017), với các giai đoạn: tổng hợp lý thuyết (6 tháng), chứng minh và phát triển định lý (12 tháng), và hoàn thiện bài toán áp dụng cùng kết luận (6 tháng).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính:

   • Mọi hàm liên tục thỏa mãn phương trình ( f(x+y) = f(x) + f(y) ) đều là hàm tuyến tính dạng ( f(x) = cx ) với ( c \in \mathbb{R} ).
   • Hàm này là hữu tỉ thuần nhất và tuyến tính trên tập số hữu tỉ, được mở rộng liên tục trên tập số thực.
   • Tính chất này được chứng minh qua các bước quy nạp và sử dụng tính liên tục tại một điểm.

2. Nghiệm của phương trình hàm Cauchy mũ:

   • Phương trình ( f(x+y) = f(x)f(y) ) có nghiệm tổng quát là ( f(x) = e^{A(x)} ) hoặc ( f(x) = 0 ), trong đó ( A ) là hàm cộng tính.
   • Nếu hàm liên tục, nghiệm tổng quát thu gọn thành ( f(x) = e^{cx} ) với ( c \in \mathbb{R} ).
   • Hàm không đồng nhất bằng 0 và không có điểm nào mà giá trị hàm bằng 0.

3. Nghiệm của phương trình hàm d’Alembert:

   • Mọi nghiệm liên tục của phương trình ( f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) ) là hàm chẵn và khả vi vô hạn lần.
   • Nghiệm tổng quát có dạng ( f(x) = \frac{E(x) + E^*(x)}{2} ), trong đó ( E ) là hàm mũ phức.
   • Các nghiệm thực phổ biến là hàm cosin và cosh, tương ứng với các trường hợp đặc biệt của bài toán giá trị ban đầu.

4. Ứng dụng vào bài toán chuyển đổi đại lượng trung bình:

   • Phương trình hàm Cauchy cộng tính được áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng trung bình như trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình hình học.
   • Ví dụ, hàm ( g(x) = ax + b ) được sử dụng để mô tả các chuyển đổi đại lượng trung bình với các hệ số thực ( a, b ).

Thảo luận kết quả

Các kết quả nghiên cứu khẳng định tính chặt chẽ và ứng dụng rộng rãi của phương trình hàm trong toán học sơ cấp và nâng cao. Việc chứng minh tính liên tục và tuyến tính của nghiệm phương trình Cauchy cộng tính phù hợp với các nghiên cứu trước đây, đồng thời mở rộng thêm các trường hợp hàm mũ và logarit.

Nghiệm của phương trình d’Alembert được mô tả qua hàm cosin và cosh, phù hợp với các định lý cổ điển về hàm lượng giác và hàm mũ phức. Kết quả này cũng cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa phương trình hàm và các hàm đặc biệt trong toán học.

Việc áp dụng các phương trình hàm vào bài toán chuyển đổi đại lượng trung bình và giải các bài toán trong đề thi học sinh giỏi cho thấy tính thực tiễn và khả năng ứng dụng cao của nghiên cứu. Các biểu đồ minh họa có thể trình bày sự biến đổi của hàm số theo các tham số ( a, b ) và so sánh các đại lượng trung bình khác nhau.

So với các nghiên cứu trong nước và quốc tế, luận văn đã hệ thống hóa và chứng minh các định lý một cách rõ ràng, đồng thời bổ sung các bài toán áp dụng cụ thể, góp phần làm phong phú thêm tài liệu tham khảo cho giảng dạy và học tập.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển tài liệu giảng dạy:

   • Xây dựng bộ giáo trình và bài tập về phương trình hàm, đặc biệt là các dạng Cauchy, d’Alembert và lượng giác, nhằm nâng cao chất lượng đào tạo toán học sơ cấp.
   • Thời gian thực hiện: 1 năm; Chủ thể: các trường đại học và trung tâm bồi dưỡng học sinh giỏi.

2. Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu:

   • Tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên đề về phương trình hàm cho giáo viên và học viên cao học để cập nhật kiến thức và phương pháp giải bài tập.
   • Thời gian: 6 tháng; Chủ thể: các khoa toán, trung tâm nghiên cứu toán học.

3. Ứng dụng vào bồi dưỡng học sinh giỏi:

   • Áp dụng các bài toán và phương pháp giải trong luận văn vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp nhằm nâng cao kỹ năng giải toán.
   • Thời gian: liên tục; Chủ thể: giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, các trung tâm luyện thi.

4. Nghiên cứu mở rộng và ứng dụng thực tiễn:

   • Khuyến khích nghiên cứu mở rộng các loại phương trình hàm khác và ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế.
   • Thời gian: 2 năm; Chủ thể: các viện nghiên cứu, trường đại học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên toán trung học phổ thông:

   • Lợi ích: Nâng cao kiến thức chuyên môn về phương trình hàm, áp dụng vào giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
   • Use case: Soạn bài giảng, thiết kế đề thi và bài tập nâng cao.

2. Học viên cao học chuyên ngành Toán học:

   • Lợi ích: Tham khảo các định lý, phương pháp chứng minh và bài toán ứng dụng trong nghiên cứu và luận văn.
   • Use case: Phát triển đề tài nghiên cứu, hoàn thiện luận văn thạc sĩ.

3. Học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi:

   • Lợi ích: Hiểu sâu về các loại phương trình hàm, nâng cao kỹ năng giải bài tập khó.
   • Use case: Luyện tập giải đề, chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp tỉnh và quốc gia.

4. Nhà nghiên cứu và giảng viên đại học:

   • Lợi ích: Cập nhật kiến thức về phương trình hàm, mở rộng nghiên cứu ứng dụng trong toán học và các ngành liên quan.
   • Use case: Giảng dạy, nghiên cứu khoa học và phát triển chương trình đào tạo.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương trình hàm Cauchy là gì và tại sao nó quan trọng?
   Phương trình hàm Cauchy là phương trình dạng ( f(x+y) = f(x) + f(y) ), mô tả tính cộng tính của hàm. Nó quan trọng vì là nền tảng cho nhiều loại phương trình hàm khác và ứng dụng trong toán học lý thuyết cũng như thực tiễn, đặc biệt trong việc xác định hàm tuyến tính.

2. Làm thế nào để chứng minh nghiệm của phương trình hàm d’Alembert?
   Nghiệm liên tục của phương trình d’Alembert được chứng minh bằng cách sử dụng đồng nhất thức lượng giác, tính chất hàm chẵn, và giải bài toán giá trị ban đầu liên quan đến phương trình vi phân bậc hai. Kết quả cho thấy nghiệm có dạng hàm cosin hoặc cosh.

3. Phương trình hàm mũ có những dạng nghiệm nào?
   Phương trình hàm mũ ( f(x+y) = f(x)f(y) ) có nghiệm tổng quát là ( f(x) = e^{cx} ) hoặc hàm không đồng nhất bằng 0. Nếu hàm liên tục, nghiệm này là duy nhất với hằng số thực ( c ).

4. Ứng dụng thực tế của phương trình hàm trong giáo dục là gì?
   Phương trình hàm được sử dụng để xây dựng các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng giải toán nâng cao. Ngoài ra, nó còn hỗ trợ trong việc giảng dạy các khái niệm toán học cơ bản như hàm số, bất đẳng thức và đại lượng trung bình.

5. Làm sao để áp dụng phương trình hàm vào giải bài toán chuyển đổi đại lượng trung bình?
   Bằng cách sử dụng tính chất cộng tính của hàm, phương trình hàm Cauchy giúp chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến đại lượng trung bình như trung bình cộng, trung bình nhân. Hàm số chuyển đổi được biểu diễn dưới dạng hàm tuyến tính hoặc hàm mũ, giúp đơn giản hóa và giải quyết bài toán hiệu quả.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa và chứng minh các định lý cơ bản về phương trình hàm Cauchy, d’Alembert và lượng giác với các nghiệm liên tục và khả vi.
• Nghiên cứu cung cấp các bài toán áp dụng thực tiễn, đặc biệt trong bồi dưỡng học sinh giỏi và giảng dạy toán học sơ cấp.
• Phương pháp nghiên cứu kết hợp tổng hợp tài liệu, chứng minh toán học và phân tích bài toán cụ thể, đảm bảo tính khoa học và thực tiễn.
• Đề xuất các giải pháp phát triển tài liệu, đào tạo chuyên sâu và ứng dụng rộng rãi trong giáo dục và nghiên cứu.
• Khuyến khích mở rộng nghiên cứu và ứng dụng phương trình hàm trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế trong tương lai.

Để tiếp tục phát triển lĩnh vực này, các nhà nghiên cứu và giảng viên được khuyến khích áp dụng kết quả luận văn vào giảng dạy, nghiên cứu và tổ chức các hoạt động đào tạo chuyên sâu nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toán học.