Nghiên Cứu Mối Quan Hệ Giữa Hệ Số Hilbert và Mô Đun Cohen-Macaulay

• Tác giả: Nguyễn Tuấn Long
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Tự Cường
• Trường học: Viện Toán học
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Nghiên Cứu Mô Đun Cohen-Macaulay và Hệ Số Hilbert
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHUẨN BỊ
• 1.1. Lọc chiều, hệ tham số tốt và hệ tham số tách biệt
• 1.2. Môđun Cohen-Macaulay dãy
• 1.3. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
• 1.4. Hệ số Hilbert
• 2. CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ CHÍNH QUY CHO MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG DÃY
• 2.1. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy
• 2.2. Chặn đều chỉ số chính quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy
• 3. VỀ MỘT HIỆU CHỈNH CỦA HÀM HILBERT-SAMUEL
• 3.1. Bậc số học
• 3.2. Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel
• 3.3. Tính không âm của hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel trong môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy
• 4. HỆ SỐ HILBERT VÀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG DÃY
• 4.1. Đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel
• 4.2. Tính hữu hạn của tập đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel trong môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy
• 4.3. Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Nghiên Cứu Tổng Quan Về Mô Đun Cohen Macaulay Khái Niệm

Mô đun Cohen-Macaulay là đối tượng nghiên cứu trung tâm của Đại số giao hoán. Một trong những mở rộng đầu tiên của lớp mô đun này là lớp mô đun Buchsbaum. Mô đun M được gọi là Buchsbaum nếu tồn tại một hằng số C sao cho ℓ(M/xM) = e(x; M) + C với mọi hệ tham số x, trong đó ℓ(•) là hàm độ dài và e(x; M) là số bội của M đối với hệ tham số x. Trung đã đưa ra khái niệm mô đun Cohen-Macaulay suy rộng, thỏa mãn tính chất tồn tại hằng số C sao cho ℓ(M/xM) ≤ e(x; M)+C với mọi hệ tham số x. Nghiên cứu về mô đun Cohen-Macaulay cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc và tính chất của vành giao hoán địa phương. Mục tiêu là đặc trưng cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy thông qua các hệ số Hilbert.

1.1. Định Nghĩa Mô Đun Cohen Macaulay Cơ Bản

Mô đun Cohen-Macaulay được định nghĩa dựa trên so sánh giữa độ dài của mô đun thương và số bội của nó đối với hệ tham số. Nếu độ dài này bằng số bội với mọi hệ tham số (hoặc tồn tại một hệ tham số như vậy), mô đun được coi là Cohen-Macaulay. Đây là một khái niệm then chốt trong đại số giao hoán, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kết quả sâu sắc hơn. Theo Vasconcelos, cho M là một mô đun không trộn lẫn (unmixed). Khi đó, mô đun M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e1 (q; M) = 0 với mọi (hoặc với một) iđêan tham số q của M.

1.2. Phân Loại và Mở Rộng Của Mô Đun Cohen Macaulay

Ngoài mô đun Cohen-Macaulay cơ bản, có nhiều loại mô đun mở rộng khác như mô đun Buchsbaum và mô đun Cohen-Macaulay suy rộng. Mô đun Buchsbaum có tính chất độ dài sai khác một hằng số so với số bội, trong khi mô đun Cohen-Macaulay suy rộng có độ dài bị chặn trên bởi số bội cộng một hằng số. Các mở rộng này cho phép nghiên cứu các lớp vành và mô đun phức tạp hơn. Cường trong [6] và [7] dùng sự sai khác giữa độ dài của môđun M/xM và số bội của các môđun trong một lọc các môđun con của M để đặc trưng môđun Cohen- Macaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy.

II. Hệ Số Hilbert Công Cụ Phân Tích Mô Đun Cohen Macaulay

Các hệ số Hilbert là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu cấu trúc của mô đun. Với một iđêan m-nguyên sơ I, ta có thể biểu diễn độ dài của mô đun thương M/I^nM dưới dạng một đa thức với các hệ số ei(I; M). Hệ số e0(I; M) chính là số bội của mô đun M đối với iđêan I. Vasconcelos đã sử dụng hệ số Hilbert để đặc trưng cho mô đun Cohen-Macaulay. Ozeki [16] đã đưa ra một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng thông qua các hệ số Hilbert như sau: M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tập các hệ số Hilbert ∧i (M) = {ei (q; M)}, trong đó q chạy trên tập các iđêan tham số của M với mọi i = 1, ., d, là hữu hạn.

2.1. Định Nghĩa và Ý Nghĩa Của Hệ Số Hilbert

Hệ số Hilbert được định nghĩa thông qua đa thức Hilbert-Samuel, biểu diễn độ dài của mô đun thương M/I^nM khi n đủ lớn. Các hệ số này chứa thông tin quan trọng về cấu trúc của mô đun M và iđêan I. Trong đó, hệ số e0(I; M) đặc biệt quan trọng vì nó chính là số bội của M đối với I. Vasconcelos [14] đã đưa ra một đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay qua hệ số Hilbert.

2.2. Ứng Dụng Hệ Số Hilbert Trong Đặc Trưng Mô Đun

Hệ số Hilbert được sử dụng để đặc trưng các loại mô đun khác nhau, bao gồm cả mô đun Cohen-Macaulay và mô đun Cohen-Macaulay suy rộng. Ví dụ, mô đun M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi hệ số e1(q; M) bằng 0 với mọi iđêan tham số q của M. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa hệ số Hilbert và cấu trúc của mô đun. Mục tiêu của luận án là nghiên cứu các hệ số Hilbert của M, từ đó đặc trưng cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.

III. Iđêan Tham Số Tách Biệt Yếu Tố Quan Trọng Trong Nghiên Cứu

Iđêan tham số tách biệt đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Schenzel [31], một hệ tham số x1 , ., xd được gọi là hệ tham số tách biệt (distinguished) của M nếu (xdi +1 , ., xd )Di = 0 với mọi i = 1, ., t và iđêan tham số q của M được gọi là iđêan tham số tách biệt nếu q sinh bởi một hệ tham số tách biệt. Các iđêan tham số tách biệt giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và phân tích hệ số Hilbert. Nghiên cứu này tập trung vào mối quan hệ giữa hệ số Hilbert và cấu trúc của mô đun thông qua trung gian là các iđêan tham số tách biệt.

3.1. Định Nghĩa Và Tính Chất Của Iđêan Tham Số Tách Biệt

Iđêan tham số tách biệt được định nghĩa liên quan đến một lọc chiều của mô đun. Một hệ tham số được gọi là tách biệt nếu nó thỏa mãn một điều kiện nhất định liên quan đến các thành phần của lọc chiều. Điều này giúp ta kiểm soát được hành vi của mô đun và đơn giản hóa việc tính toán các hệ số Hilbert. Một hệ tham số x = x1 , ., xd được gọi là hệ tham số tốt nếu (xdi +1 , ., xd )M ∩ Di = 0 với mọi i = 0, .

3.2. Vai Trò Của Iđêan Tham Số Tách Biệt Trong Tính Toán Hệ Số Hilbert

Sử dụng iđêan tham số tách biệt cho phép ta tính toán các hệ số Hilbert một cách hiệu quả hơn. Trong nhiều trường hợp, việc tính toán trực tiếp các hệ số này là rất khó khăn. Tuy nhiên, với iđêan tham số tách biệt, ta có thể đơn giản hóa các công thức và thu được kết quả chính xác. Trường [9] đã đưa ra đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay dãy thông qua hệ số Hilbert và bậc số học.

IV. Hàm Hiệu Chỉnh Hilbert Samuel Góc Nhìn Mới Về Mô Đun

Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel là hiệu giữa độ dài của mô đun thương và bậc số học của nó, xét như một hàm số theo biến n. Với n đủ lớn, hàm này trở thành một đa thức. Việc nghiên cứu hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel cung cấp một góc nhìn mới về cấu trúc của mô đun. Nghiên cứu này sử dụng hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel để đặc trưng cho mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Chúng tôi xét hiệu d ! ad X n + i Hq,M (n) = ℓ(M/qn+1 M) − adegi (q; M) i=0 i như một hàm số với biến n và được gọi là hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel của M đối với iđêan q.

4.1. Định Nghĩa Và Tính Chất Của Hàm Hiệu Chỉnh Hilbert Samuel

Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel đo lường sự sai khác giữa độ dài của mô đun thương và bậc số học của nó. Hàm này có tính chất là trở thành một đa thức khi n đủ lớn. Việc nghiên cứu các tính chất của đa thức này, đặc biệt là các hệ số của nó, cung cấp thông tin quan trọng về cấu trúc của mô đun. Schenzel [31], một hệ tham số x1 , ., xd được gọi là hệ tham số tách biệt (distinguished) của M nếu (xdi +1 , ., xd )Di = 0 với mọi i = 1, ., t và iđêan tham số q của M được gọi là iđêan tham số tách biệt nếu q sinh bởi một hệ tham số tách biệt.

4.2. Liên Hệ Giữa Hàm Hiệu Chỉnh Hilbert Samuel Và Mô Đun Cohen Macaulay

Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel được sử dụng để đặc trưng cho mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Cụ thể, tập các đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel tương ứng với các iđêan tham số tách biệt là hữu hạn khi và chỉ khi mô đun là Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Đây là một kết quả quan trọng, liên kết hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel với cấu trúc của mô đun. Trường [9], chúng tôi xét hiệu d ! ad X n + i Hq,M (n) = ℓ(M/qn+1 M) − adegi (q; M) i=0 i như một hàm số với biến n và được gọi là hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel của M đối với iđêan q.

V. Đặc Trưng Mô Đun Cohen Macaulay Suy Rộng Dãy Qua Hệ Số Hilbert

Luận án này tập trung vào việc đặc trưng mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy thông qua các hệ số Hilbert. Kết quả chính của luận án là chứng minh rằng mô đun M là Cohen-Macaulay suy rộng dãy khi và chỉ khi tập các đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel là hữu hạn. Kết quả này mở rộng kết quả của N. Cường và cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Để chứng minh điều kiện cần của Định lý chính, trước hết chúng tôi xét tập ∨i (M) = {(−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) | q chạy trên tập các hệ tham số tách biệt}.

5.1. Phát Biểu Định Lý Đặc Trưng Chính Về Mô Đun

Định lý chính của luận án phát biểu rằng mô đun M là Cohen-Macaulay suy rộng dãy khi và chỉ khi tập các đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel là hữu hạn. Điều này có nghĩa là, nếu ta tính toán các đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel tương ứng với các iđêan tham số tách biệt và thấy rằng chỉ có một số hữu hạn các đa thức khác nhau, thì mô đun đó là Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Định lý quan trọng nhất của luận án là một mở rộng của kết quả trên và được phát biểu như sau. Định lý chính. Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó, M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy khi và chỉ khi tập các đa thức PD (M) là hữu hạn.

5.2. Ý Nghĩa Của Định Lý Và So Sánh Với Các Kết Quả Trước Đây

Định lý này mở rộng kết quả của N. Cường, người đã chứng minh rằng mô đun là Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tập các đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel chỉ chứa một phần tử duy nhất (đa thức 0). Định lý mới cung cấp một đặc trưng tổng quát hơn cho lớp mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, một lớp rộng hơn so với lớp mô đun Cohen-Macaulay dãy. Trước hết, cho I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Khi đó, với n đủ lớn tồn tại các số nguyên ei (I; M) sao cho d ! n+1 X i n+d−i ℓ(M/I M) = (−1) ei (I; M) .

VI. Kết Luận Và Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng Trong Tương Lai

Luận án này đã thành công trong việc đặc trưng mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy thông qua các hệ số Hilbert. Kết quả này mở ra nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai. Cụ thể, có thể nghiên cứu các bất biến khác của mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, hoặc tìm kiếm các ứng dụng của kết quả này trong các lĩnh vực khác của đại số giao hoán. Nghiên cứu có thể được tiếp tục bằng cách tìm kiếm các ví dụ cụ thể về mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy và tính toán các hệ số Hilbert của chúng.

6.1. Tóm Tắt Những Đóng Góp Chính Của Luận Án

Luận án đã đóng góp vào lý thuyết về mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy bằng cách cung cấp một đặc trưng mới thông qua các hệ số Hilbert. Kết quả này không chỉ mở rộng các kết quả trước đây mà còn cung cấp một công cụ hữu ích cho việc nghiên cứu các lớp mô đun liên quan. Các kết quả của luận án được trình bày trong Chương 2, Chương 3 và Chương 4 dựa theo các bài báo [10], [11], [26].

6.2. Các Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Và Ứng Dụng Tiềm Năng

Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc tìm kiếm các ứng dụng của kết quả này trong các lĩnh vực khác của đại số giao hoán, chẳng hạn như lý thuyết vành Cohen-Macaulay và lý thuyết giao điểm. Ngoài ra, có thể nghiên cứu các bất biến khác của mô đun Cohen-Macaulay suy rộng dãy để hiểu rõ hơn về cấu trúc của chúng. Kết quả chính trong [9] có thể được phát biểu lại như sau: Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó, môđun M là Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi PD (M) = {0}.