Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học đề tài "Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Dương Xuân Giáp, chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học (mã số: 62.46.01.06), dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn Văn Quảng và GS. TSKH. Charles Castaing tại Trường Đại học Vinh (năm 2016).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết ergodic và luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên đa trị (biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập hợp) là hướng nghiên cứu mở rộng từ lý thuyết xác suất của phần tử ngẫu nhiên đơn trị sang không gian các tập con của không gian Banach. Hướng nghiên cứu này gắn liền với các bài toán tối ưu ngẫu nhiên, thống kê, toán kinh tế và giải tích đa trị.

Trong thực tế toán học, việc chuyển từ dãy một chiều sang mảng nhiều chiều ($\mathbb{N}^d$) hoặc mảng tam giác làm nảy sinh các khó khăn về mặt giải tích, do quan hệ thứ tự trên tập chỉ số nhiều chiều không có tính chất tuyến tính. Khi xét các giới hạn khi $n_{\max} \to \infty$ hoặc $n_{\min} \to \infty$, nhiều tính chất hội tụ thông thường của dãy không còn được bảo toàn. Trước thời điểm luận án thực hiện, phần lớn các công trình về định lý ergodic Birkhoff đa trị và luật số lớn đa trị chỉ tập trung vào dãy biến ngẫu nhiên một chiều ($d=1$), hoặc giới hạn ở các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là tập compact lồi, hoặc đòi hỏi giả thiết độc lập cùng phân phối. Khoảng trống đặt ra là cần thiết lập các định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều, luật số lớn cho mảng hai chỉ số và mảng tam giác nhận giá trị là các tập con đóng (có thể không bị chặn) trên không gian Banach thực, khả ly, dưới các tôpô hội tụ tập hợp yếu hơn như hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman, đồng thời nới lỏng giả thiết độc lập sang độc lập đôi một hoặc phụ thuộc 2-hoán đổi được.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án bao gồm:

  1. Mở rộng các tính chất về hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều chỉ số đối với các tập con đóng và mảng biến ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach thực, khả ly.
  2. Thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị (dạng hai chiều và nhiều chiều) và biến ngẫu nhiên mờ nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly.
  3. Thiết lập luật số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị theo các loại hội tụ Mosco và Wijsman khi $m \vee n \to \infty$ dưới các điều kiện: độc lập đôi một cùng phân phối, độc lập trên không gian Rademacher dạng $p$, hoặc phụ thuộc 2-hoán đổi được.
  4. Thiết lập dạng định lý Stolz cho mảng tam giác và chứng minh luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng trên không gian Rademacher dạng $p$ theo các loại hội tụ Mosco và Wijsman.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị và biến ngẫu nhiên mờ.
  • Phạm vi nghiên cứu:
    • Không gian nền: Không gian Banach thực, khả ly $(X, |\cdot|)$ và không gian Rademacher dạng $p$ ($p \in [1, 2]$).
    • Không gian giá trị: Không gian các tập con đóng, khác rỗng $c(X)$ của $X$, cùng không gian các tập mờ $\mathcal{F}(X)$.
    • Cấu trúc chỉ số: Mảng nhiều chiều $\mathbb{N}^d$ ($n_{\max} \to \infty$, $n_{\min} \to \infty$), mảng hai chiều ($m \vee n \to \infty$, $m \wedge n \to \infty$) và mảng tam giác ${F_{ni} : 1 \le i \le k_n, n \ge 1}$.
    • Tôpô hội tụ: Hội tụ Mosco ($M$-$\lim$) và hội tụ Wijsman ($Wijs$-$\lim$).
    • Cấu trúc phụ thuộc: Độc lập, độc lập đôi một, phụ thuộc hoán đổi được, phụ thuộc 2-hoán đổi được, và các họ phép biến đổi bảo toàn độ đo giao hoán.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được luận án điểm lại

Luận án hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu tiền đề theo hai mạch lý thuyết chính:

  1. Lý thuyết ergodic Birkhoff:

    • Khởi đầu cổ điển: G. D. Birkhoff (1931–1932) thiết lập định lý ergodic cho hàm khả tích một chiều; H. Robbins (1951) đặt bài toán mở rộng cho trường hợp hai chiều.
    • Mở rộng nhiều chiều và toán tử: A. Zygmund (1951) thiết lập định lý ergodic Birkhoff cho họ không giao hoán các phép biến đổi bảo toàn độ đo rời rạc và liên tục; N. A. Fava (1972) tổng quát hóa cho trường hợp toán tử co; R. Sato, M. Akcoglu nghiên cứu dạng tổng có trọng số; N. Dunford chứng minh cho trường hợp hàm thực nhiều chiều.
    • Mở rộng cho hàm đa trị và tập mờ: J. Bán (1991) thiết lập định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact hoặc giá trị mờ theo khoảng cách Hausdorff; I. Fazekas (1992); Y. Seri (1995) thu được định lý ergodic cho biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập lồi theo hội tụ Kuratowski; H. Ziat (1997) chứng minh định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên đa trị theo các hội tụ Mosco, Wijsman và Slice.

  2. Luật số lớn đối với biến ngẫu nhiên đa trị:

    • Trường hợp tập compact: Z. Artstein và R. A. Vitale (1975) chứng minh luật số lớn đầu tiên cho biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhận giá trị tập con compact của $\mathbb{R}^d$ theo khoảng cách Hausdorff. Các mở rộng tiếp theo trên không gian Banach được thực hiện bởi N. López-Díaz, J. A. Domínguez-Menchero, M. Raynaud de Fitte, P. Terán. Tại Việt Nam, hướng nghiên cứu này được phát triển bởi Nguyễn Văn Quảng và Nguyễn Trần Thuận (2008, 2011).
    • Trường hợp tập đóng (có thể không bị chặn): Z. Artstein và S. Hart (1981) thiết lập luật số lớn theo hội tụ Kuratowski cho biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhận giá trị trong các tập con đóng của $\mathbb{R}^d$. F. Hiai (1984, 1985) mở rộng cho không gian Banach vô hạn chiều và không gian Rademacher dạng $p$ theo hội tụ Mosco. C. Hess (1991, 1996) độc lập chứng minh luật số lớn theo hội tụ Mosco, Wijsman và Slice cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối.
    • Cấu trúc phụ thuộc: N. Herrndorf (1980), D. Landers và L. Rogge (1987) nghiên cứu tính 2-hoán đổi được cho biến ngẫu nhiên thực; E. Taylor (1985) nghiên cứu cho phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Từ tổng quan tài liệu, luận án xác định các khoảng trống chưa được giải quyết:

  • Định lý ergodic Birkhoff đa trị dạng nhiều chiều (đặc biệt là dạng hai chiều và cho biến ngẫu nhiên mờ) theo các tôpô hội tụ Mosco và Wijsman trên không gian Banach thực, khả ly chưa được thiết lập đồng bộ với trường hợp hàm đơn trị mang điều kiện tích phân logarit.
  • Luật số lớn đối với mảng hai chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng khi $m \vee n \to \infty$ chưa được mở rộng đầy đủ cho các trường hợp độc lập đôi một, không gian Rademacher dạng $p$, và họ biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được theo tôpô Mosco và Wijsman.
  • Thiếu vắng các kết quả luật số lớn đối với cấu trúc mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và các khái niệm sử dụng

  • Không gian Banach và không gian tập con: Cho $(X, |\cdot|)$ là không gian Banach thực, khả ly; $X^$ là không gian đối ngẫu; $B^ = {x^* \in X^* : |x^| \le 1}$ và $S^ = {x^* \in X^* : |x^*| = 1}$. Không gian $c(X)$ gồm các tập con đóng, khác rỗng của $X$; $ck(X)$ gồm các tập compact lồi khác rỗng. $\mathcal{B}_{c(X)}$ là $\sigma$-đại số Effrös sinh bởi các tập $U^- = {C \in c(X) : C \cap U \neq \emptyset}$ với $U$ mở trong $X$.
  • Hàm đặc trưng tập hợp: Hàm khoảng cách $d(x, A) = \inf{|x - y| : y \in A}$, khoảng cách Hausdorff $d_H(A, B) = \max{\sup_{x \in A} d(x, B), \sup_{y \in B} d(y, A)}$, hàm tựa $s(x^, A) = \sup{\langle x^, y \rangle : y \in A}$.
  • Biến ngẫu nhiên đa trị và tích phân: Ánh xạ $F: \Omega \to c(X)$ đo được tương đương với việc tồn tại biểu diễn Castaing ${f_n : n \ge 1} \subset L^0(X)$ sao cho $F(\omega) = \mathrm{cl}{f_n(\omega) : n \ge 1}$. Kỳ vọng Aumann của $F$ khả tích được định nghĩa bởi $EF = {Ef : f \in S_F^1}$, trong đó $S_F^1 = {f \in L^1(\Omega, \mathcal{A}, P; X) : f(\omega) \in F(\omega) \text{ h.c.}}$.
  • Không gian Rademacher dạng $p$ ($p \in [1, 2]$): Không gian $X$ thỏa mãn tồn tại hằng số $C > 0$ sao cho với mọi dãy biến ngẫu nhiên độc lập ${f_j}{j=1}^n$ có kỳ vọng 0 và thuộc $L^p(X)$, bất đẳng thức $\mathbb{E}|\sum{j=1}^n f_j|^p \le C \sum_{j=1}^n \mathbb{E}|f_j|^p$ được nghiệm đúng.
  • Biến ngẫu nhiên mờ: Ánh xạ $u: X \to [0, 1]$ chuẩn tắc và nửa liên tục trên; $L_\alpha u = {x \in X : u(x) \ge \alpha}$ ($\alpha \in (0, 1]$) là tập $\alpha$-mức. Kỳ vọng biến ngẫu nhiên mờ $\tilde{F}$ thỏa mãn $L_\alpha E\tilde{F} = E(L_\alpha \tilde{F})$.
Mối quan hệ giữa các điều kiện phụ thuộc của biến ngẫu nhiên đa trị:
  • Các kiểu hội tụ đối với mảng ${A_n : n \in \mathbb{N}^d} \subset c(X)$:
    • Hội tụ Mosco ($M$-$\lim A_n = A$): $w\text{-}\limsup A_n = s\text{-}\liminf A_n = A$.
    • Hội tụ Wijsman ($Wijs$-$\lim A_n = A$): $\lim_{n_{\max} \to \infty} d(x, A_n) = d(x, A), \forall x \in X$.
    • Hội tụ Kuratowski ($t$-$\lim A_n = A$): $t\text{-}\limsup A_n = t\text{-}\liminf A_n = A$ (với $t \in {s, w}$).

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp toán học thuần lý thuyết:

  • Kỹ thuật lồi hóa (Convexification technique): Xây dựng các lát cắt Castaing tuần hoàn, chia lưới chỉ số thành các khối kích thước cố định kết hợp phần dư để xấp xỉ bao lồi đóng của kỳ vọng. Luận án phát triển kỹ thuật này cho cấu trúc mảng hai chỉ số và mảng tam giác.
  • Phương pháp giải tích hàm và giải tích lồi: Ứng dụng định lý tách Hahn-Banach để tách các tập lồi đóng và thiết lập hệ phiếm hàm đếm được trên mặt cầu đơn vị $S^*$; sử dụng tính chất Lipschitz của hàm khoảng cách và tính chất đối ngẫu của hàm tựa.
  • Phương pháp giải tích thực và lý thuyết ergodic: Thiết lập và sử dụng các định lý dạng Stolz cho mảng hai chiều và mảng tam giác; kỹ thuật xấp xỉ phần tử ngẫu nhiên bằng dãy hàm đơn giản và đánh giá tính khả tích đều trong $L^1(X)$.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số tính chất về hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman

Chương 1 xây dựng hệ thống bổ đề và định lý nền tảng về tính chất tôpô của mảng các tập con đóng và mảng các biến ngẫu nhiên đa trị trên không gian Banach thực, khả ly $X$.

  • Mục 1.1 (Kiến thức chuẩn bị): Định nghĩa các ký hiệu cho mảng chỉ số $\mathbb{N}^d$ ($n_{\max}, n_{\min}, |n|$), định nghĩa $\sigma$-đại số Effrös $\mathcal{B}_{c(X)}$, biểu diễn Castaing, kỳ vọng Aumann $EF$, không gian Rademacher dạng $p$, và tính khả tích đều của họ biến ngẫu nhiên trong $L^r(X)$.
  • Mục 1.2 (Tính chất hội tụ đối với mảng các tập con đóng):
    • Mệnh đề 1.3: Chứng minh bằng phản chứng rằng nếu ${A_n : n \in \mathbb{N}^d} \subset c(X)$ và $s\text{-}\liminf_{n_{\max} \to \infty} A_n \neq \emptyset$ thì $s\text{-}\liminf_{n_{\max} \to \infty} A_n \in c(X)$.
    • Bổ đề 1.4 & Định lý 1.5: Dựa trên định lý tách Hahn-Banach, chứng minh tồn tại tập con đếm được $D^* \subset S^$ sao cho $x \in \mathrm{co}A \iff \langle x^, x \rangle \le s(x^, A), \forall x^ \in D^$. Từ đó suy ra nếu $\limsup_{n_{\max} \to \infty} s(x^, A_n) \le s(x^, A)$ với mọi $x^ \in D^*$ thì $w\text{-}\limsup_{n_{\max} \to \infty} A_n \subset \mathrm{co}A$.
    • Định lý 1.6 & Định lý 1.7: Chứng minh tính chất chuyển tiếp của hàm khoảng cách $d(x, A)$ từ tập trù mật $D \subset X$ ra toàn không gian $X$, và thiết lập liên hệ: nếu $\limsup s(x^, A_n) \le s(x^, A)$ trên tập đếm được $D^* \subset B^*$ thì $\liminf d(x, A_n) \ge d(x, \mathrm{co}A)$.
    • Định lý 1.8: Khẳng định mối quan hệ giữa hội tụ Wijsman và Kuratowski mạnh: $Wijs\text{-}\lim A_n = A \implies s\text{-}\lim A_n = A$.
  • Mục 1.3 (Tính chất hội tụ đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị):
    • Định lý 1.2: Thiết lập điều kiện để $A \subset s\text{-}\liminf_{n_{\max} \to \infty} F_n(\omega)$ h.c. dựa trên việc xấp xỉ các điểm trên tập trù mật đếm được.
    • Định lý 1.3, 1.4, 1.5: Chứng minh điều kiện tương đương cho hội tụ Wijsman hầu chắc chắn của mảng ${F_n : n \in \mathbb{N}^d}$ thông qua sự hội tụ khoảng cách $d(x, F_n(\omega)) \to d(x, F(\omega))$ trên tập trù mật đếm được $D \subset X$.

Chương 2. Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều

Chương 2 thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho các phần tử ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị và biến ngẫu nhiên mờ.

  • Mục 2.1 (Kiến thức chuẩn bị): Trình bày khái niệm phép biến đổi bảo toàn độ đo $T$, $\sigma$-đại số các tập bất biến $\mathcal{I}_T$, tính ergodic, tập mờ $\mathcal{F}(X)$, tập $\alpha$-mức và kỳ vọng biến ngẫu nhiên mờ.
  • Mục 2.2 (Định lý ergodic Birkhoff nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên Banach):
    • Bổ đề 2.1: Chứng minh họ trung bình cộng $A_{n_1, \dots, n_d} f = \frac{1}{|n|} \sum_{i_1=0}^{n_1-1} \dots \sum_{i_d=0}^{n_d-1} f(T_1^{i_1} \dots T_d^{i_d}(\omega))$ là khả tích đều trong $L^1$ nếu $f \in L^1$.
    • Định lý 2.2: Giả sử $T_1, \dots, T_d$ là các phép biến đổi bảo toàn độ đo giao hoán trên $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ và $f: \Omega \to X$ là phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện moment $\mathbb{E}(|f| (\log^+ |f|)^{d-1}) < \infty$. Khi đó: $$\lim_{n_{\min} \to \infty} \frac{1}{|n|} \sum_{i_1=0}^{n_1-1} \dots \sum_{i_d=0}^{n_d-1} f(T_1^{i_1} \dots T_d^{i_d}(\omega)) = \mathbb{E}(f|\mathcal{I}) \quad \text{h.c. và trong } L^1(X),$$ trong đó $\mathcal{I} = \bigcap_{i=1}^d \mathcal{I}_{T_i}$. Nếu tồn tại $T_s$ ergodic thì giới hạn bằng $\mathbb{E}f$.
  • Mục 2.3 (Định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị):
    • Bổ đề 2.2 & 2.3: Chứng minh tính chất lồi hóa hữu hạn: với mọi $x \in \mathrm{co}A$ và $\varepsilon > 0$, tồn tại các điểm $x_1, \dots, x_k \in A$ sao cho $|\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i - x| < \varepsilon$; và $s(x^, \mathrm{co}A) = s(x^, A)$.
    • Mệnh đề 2.4: Áp dụng kỹ thuật lồi hóa hai chiều để chứng minh: $$\mathrm{co}EF \subset s\text{-}\liminf_{m \wedge n \to \infty} \frac{1}{mn} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \mathrm{cl}F(T_1^i T_2^j(\omega)) \quad \text{h.c.}$$ khi $\mathbb{E}(|F|\log^+ |F|) < \infty$ và $T_1^s, T_2^s$ ergodic với mọi $s \ge 1$.
    • Định lý 2.3 & 2.4: Thiết lập định lý ergodic Birkhoff hai chiều theo hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman tới $\mathrm{co}EF$. Luận án cũng mở rộng cho trường hợp họ phép biến đổi không thỏa mãn tính ergodic, khi đó giới hạn là bao lồi đóng của kỳ vọng có điều kiện $\mathrm{clco}\mathbb{E}(F|\mathcal{I})$.
  • Mục 2.4 (Định lý ergodic Birkhoff hai chiều cho biến ngẫu nhiên mờ):
    • Định lý 2.5: Mở rộng kết quả sang không gian biến ngẫu nhiên mờ $\mathcal{F}(X)$, chứng minh trung bình ergodic của biến ngẫu nhiên mờ $\tilde{F}$ hội tụ Mosco hầu chắc chắn tới bao lồi đóng $\mathrm{co}E\tilde{F}$ thông qua hội tụ trên từng tập $\alpha$-mức $L_\alpha \tilde{F}$.

Chương 3. Luật số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị

Chương 3 giải quyết bài toán luật số lớn cho mảng hai chỉ số ${F_{ij} : i \ge 1, j \ge 1}$ nhận giá trị trong $c(X)$ khi $m \vee n = \max(m, n) \to \infty$.

  • Mục 3.1 (Kết quả bổ trợ):
    • Thiết lập dạng định lý Stolz cho mảng hai chỉ số thực ${a_{mn}}$ và ${b_{mn}}$ thỏa mãn điều kiện đơn điệu nhiều chiều.
    • Xây dựng kỹ thuật lồi hóa cho mảng hai chỉ số khi $m \vee n \to \infty$.
  • Mục 3.2 (Các định lý luật số lớn hai chiều):
    • Trường hợp độc lập đôi một cùng phân phối (Định lý 3.1): Nếu ${F_{mn}}$ độc lập đôi một, cùng phân phối và $\mathbb{E}|F_{11}| < \infty$, thì khi $m \vee n \to \infty$: $$\frac{1}{mn} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \mathrm{cl}F_{ij}(\omega) \xrightarrow{\text{Mosco, Wijsman}} \mathrm{co}EF_{11} \quad \text{h.c.}$$
    • Trường hợp độc lập trong không gian Rademacher dạng $p$ (Định lý 3.2): Giả sử $X$ là không gian Rademacher dạng $p$ ($p \in (1, 2]$), ${F_{mn}}$ độc lập thỏa mãn điều kiện moment $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty (mn)^{-p} \mathbb{E}|F_{mn}|^p < \infty$. Khi đó, dưới các điều kiện bao hàm của giới hạn dưới và tiệm cận hàm tựa, xảy ra luật số lớn theo hội tụ Mosco và Wijsman tới $\mathrm{co}X_0$ (với $X_0 \in c(X)$ thích hợp).
    • Trường hợp phụ thuộc 2-hoán đổi được (Định lý 3.3): Mở rộng luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn tính chất 2-hoán đổi được và 2-hoán đổi được đến moment bậc 2.

Chương 4. Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị

Chương 4 khảo sát mảng tam giác ${F_{ni} : 1 \le i \le k_n, n \ge 1} \subset c(X)$ với ${k_n}$ là dãy số nguyên dương tăng ngặt ra vô hạn.

  • Mục 4.1 (Dạng định lý Stolz cho mảng tam giác): Thiết lập định lý giải tích dạng Stolz cho mảng tam giác các số thực để làm công cụ chuyển đổi giới hạn của các tổng có trọng số.
  • Mục 4.2 (Luật số lớn đối với mảng tam giác đa trị):
    • Thiết lập kỹ thuật lồi hóa thích ứng với cấu trúc mảng tam giác.
    • Định lý 4.1 & Định lý 4.2: Giả sử $X$ là không gian Rademacher dạng $p$ ($p \in (1, 2]$) và mảng ${F_{ni} : 1 \le i \le k_n, n \ge 1}$ độc lập theo từng hàng (độc lập đối với chỉ số $i$ trong mỗi hàng $n$), thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và chặn moment dạng $\sum_{n=1}^\infty \sum_{i=1}^{k_n} b_{ni}^p \mathbb{E}|F_{ni}|^p < \infty$ với ma trận trọng số ${b_{ni}}$. Chứng minh tổng chuẩn hóa: $$\mathrm{cl}\left( \sum_{i=1}^{k_n} a_{ni} F_{ni}(\omega) \right) \xrightarrow{\text{Mosco, Wijsman}} \mathrm{co}X_0 \quad \text{h.c. khi } n \to \infty.$$

Bảng tổng hợp các kết quả chính của luận án theo cấu trúc chương

Chương Cấu trúc chỉ số Không gian / Đối tượng Giả thiết phân phối & Moment Loại hội tụ & Giới hạn
Chương 1 Mảng $\mathbb{N}^d$ ($n_{\max} \to \infty$) Tập con đóng $c(X)$, Biến ngẫu nhiên đa trị Đo được theo $\sigma$-đại số Effrös Đặc trưng tương đương hội tụ Mosco và Wijsman
Chương 2 Mảng $\mathbb{N}^d$, Mảng 2 chiều ($m \wedge n \to \infty$) Phần tử ngẫu nhiên Banach, BNN đa trị, BNN mờ Biến đổi bảo toàn độ đo giao hoán; $\mathbb{E}(|f|(\log^+|f|)^{d-1}) < \infty$ Mosco, Wijsman h.c. tới $\mathbb{E}(f|\mathcal{I})$, $\mathrm{co}EF$, $\mathrm{co}E\tilde{F}$
Chương 3 Mảng 2 chiều ($m \vee n \to \infty$) BNN đa trị trong $c(X)$ và Rademacher dạng $p$ (1) Độc lập đôi một cùng phân phối; (2) Độc lập, moment cấp $p$; (3) 2-hoán đổi được Mosco, Wijsman h.c. tới $\mathrm{co}EF_{11}$ hoặc $\mathrm{co}X_0$
Chương 4 Mảng tam giác ($n \to \infty$) BNN đa trị trong Rademacher dạng $p$ Độc lập theo từng hàng, điều kiện chuẩn hóa moment Mosco, Wijsman h.c. tới $\mathrm{co}X_0$

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả khoa học cụ thể sau:

  1. Về mặt lý thuyết tôpô tập đóng đa trị:

    • Mở rộng có hệ thống các tính chất giải tích của hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman từ dãy sang mảng nhiều chỉ số các tập con đóng và mảng các biến ngẫu nhiên đa trị trên không gian Banach thực, khả ly.
    • Chứng minh tính đóng của giới hạn dưới $s\text{-}\liminf A_n$ cho mảng nhiều chiều và thiết lập các tiêu chuẩn kiểm tra hội tụ hầu chắc chắn thông qua tập trù mật đếm được.

  2. Về định lý ergodic Birkhoff:

    • Thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả ly với điều kiện tích phân logarit tổng quát, chứng minh tường minh hàm giới hạn là kỳ vọng có điều kiện đối với $\sigma$-đại số các tập bất biến chung.
    • Chứng minh định lý ergodic Birkhoff hai chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị và biến ngẫu nhiên mờ theo hội tụ Mosco và Wijsman.

  3. Về luật số lớn đa trị hai chiều và mảng tam giác:

    • Thiết lập luật số lớn theo hội tụ Mosco và Wijsman cho mảng hai chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị khi $m \vee n \to \infty$ cho ba lớp mô hình: độc lập đôi một cùng phân phối, độc lập trên không gian Rademacher dạng $p$, và phụ thuộc 2-hoán đổi được.
    • Thiết lập công cụ giải tích dạng định lý Stolz cho mảng tam giác và chứng minh luật số lớn cho mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị độc lập theo hàng trong không gian Rademacher dạng $p$.

  4. Đóng góp về phương pháp luận:

    • Phát triển hoàn thiện kỹ thuật lồi hóa đa trị (convexification technique) cho cấu trúc hai chiều và mảng tam giác, tạo công cụ giải tích hữu hiệu để xử lý phần giới hạn dưới ($s\text{-}\liminf$) của hội tụ Mosco và Wijsman.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và nội dung được trình bày trong văn bản luận án:

  • Hạn chế:

    • Định lý ergodic Birkhoff đa trị mới chỉ được chứng minh trọn vẹn ở dạng hai chiều ($d=2$) và một số trường hợp cụ thể, chưa mở rộng trực tiếp cho mảng $d$ chiều tổng quát ($d \ge 3$) với đầy đủ các dạng toán tử tổng quát.
    • Luật số lớn cho mảng tam giác mới chỉ khảo sát cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập theo từng hàng trên không gian Rademacher dạng $p$; chưa mở rộng cho các điều kiện phụ thuộc (như dãy martingale đa trị mảng tam giác hoặc phụ thuộc hoán đổi được).
    • Nghiên cứu giới hạn trong phạm vi không gian Banach thực, khả ly; chưa xét trên các không gian mêtric tổng quát không có cấu trúc tuyến tính (như không gian Hadamard hay đa tạp Riemannian).

  • Hướng nghiên cứu tiếp:

    • Mở rộng định lý ergodic Birkhoff cho mảng $d$ chiều ($d \ge 3$) các biến ngẫu nhiên đa trị và biến ngẫu nhiên mờ.
    • Nghiên cứu luật số lớn cho mảng tam giác và mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên đa trị dưới các cấu trúc phụ thuộc yếu khác (mixing, martingale differences, mảng phụ thuộc 2-hoán đổi được tam giác).
    • Khảo sát các dạng hội tụ khác trên không gian tập đóng như hội tụ Slice hoặc hội tụ theo khoảng cách Hausdorff mở rộng.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học, Toán giải tích: Cung cấp tài liệu hệ thống về giải tích đa trị, lý thuyết độ đo tập đóng, và các kỹ thuật chứng minh định lý giới hạn.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu: Có thể tham khảo phương pháp xử lý kỹ thuật lồi hóa (Chương 2, Chương 3), cách sử dụng hình học không gian Banach (không gian Rademacher dạng $p$), và các dạng định lý Stolz cho mảng nhiều chỉ số (Chương 3, Chương 4) để áp dụng vào các bài toán xác suất hiện đại và tối ưu hóa ngẫu nhiên.

Câu hỏi thường gặp

1. Không gian Rademacher dạng $p$ ($p \in [1, 2]$) đóng vai trò gì trong các định lý luật số lớn của luận án?

Không gian Rademacher dạng $p$ là một cấu trúc hình học của không gian Banach cho phép kiểm soát độ tăng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập thông qua bất đẳng thức moment dạng $\mathbb{E}|\sum_{j=1}^n f_j|^p \le C \sum_{j=1}^n \mathbb{E}|f_j|^p$. Trong luận án, cấu trúc này (với $p \in (1, 2]$) là điều kiện cốt lõi để thiết lập luật số lớn cho mảng hai chiều (Định lý 3.2) và mảng tam giác (Định lý 4.2) khi các biến ngẫu nhiên đa trị không cùng phân phối, cho phép thay thế điều kiện bị chặn đều bằng điều kiện khả tích moment bậc $p$. Mọi không gian Hilbert và không gian hữu hạn chiều đều là không gian Rademacher dạng 2.

2. Kỹ thuật lồi hóa (convexification technique) được triển khai như thế nào để chứng minh định lý ergodic đa trị?

Để chứng minh phần bao hàm thức giới hạn dưới $\mathrm{co}EF \subset s\text{-}\liminf \frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \mathrm{cl}F(T_1^i T_2^j(\omega))$, kỹ thuật lồi hóa hoạt động theo các bước:

  1. Xấp xỉ điểm $x \in \mathrm{co}EF$ bằng trung bình cộng hữu hạn của $k$ lát cắt khả tích $f_1, \dots, f_k \in S_F^1$.
  2. Xây dựng mảng lát cắt tuần hoàn hai chiều $f_{ij}$ kích thước $k \times k$.
  3. Chia mảng kích thước $m \times n$ thành $s_m \times t_n$ khối kích thước $k \times k$ và các phần biên dư.
  4. Áp dụng định lý ergodic Birkhoff đơn trị cho từng khối và chứng minh phần biên dư triệt tiêu khi $m \wedge n \to \infty$.

3. Sự khác nhau giữa hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman trên không gian các tập con đóng của không gian Banach là gì?

  • Hội tụ Mosco ($M$-$\lim$): Đòi hỏi $w\text{-}\limsup A_n \subset A \subset s\text{-}\liminf A_n$. Loại hội tụ này sử dụng đồng thời tôpô yếu ($w$) cho giới hạn trên và tôpô mạnh theo chuẩn ($s$) cho giới hạn dưới, phù hợp với các không gian Banach phản xạ và bài toán biến phân lồi.
  • Hội tụ Wijsman ($Wijs$-$\lim$): Được định nghĩa thông qua sự hội tụ điểm của hàm khoảng cách: $\lim d(x, A_n) = d(x, A)$ với mọi $x \in X$. Hội tụ Wijsman phù hợp cho cả các không gian không phản xạ, thuận tiện cho việc đánh giá tốc độ hội tụ và làm việc trên các tập trù mật đếm được.

4. Khái niệm họ biến ngẫu nhiên đa trị 2-hoán đổi được có ý nghĩa gì so với tính độc lập?

Họ biến ngẫu nhiên đa trị ${F_i : i \in I}$ được gọi là 2-hoán đổi được nếu với mọi cặp chỉ số phân biệt $(i_1, i_2)$ và $(j_1, j_2)$ cùng mọi tập $B_1, B_2 \in \mathcal{B}{c(X)}$, ta luôn có $P(F{i_1} \in B_1, F_{i_2} \in B_2) = P(F_{j_1} \in B_1, F_{j_2} \in B_2)$. Đây là cấu trúc phụ thuộc đối xứng yếu hơn tính độc lập cùng phân phối và tính hoán đổi được toàn phần. Việc thiết lập luật số lớn cho họ 2-hoán đổi được (Định lý 3.3) giúp nới lỏng giả thiết thực tế khi các biến ngẫu nhiên có sự tương quan cặp tương đương nhau.

5. Điều kiện tích phân $\mathbb{E}(|f| (\log^+ |f|)^{d-1}) < \infty$ trong Định lý 2.2 có vai trò gì?

Điều kiện này (với $\log^+ a = \log_2(a \vee 1)$) là điều kiện biên moment cổ điển kiểu Zygmund đối với định lý ergodic nhiều chiều cho $d$ phép biến đổi bảo toàn độ đo. Điều kiện này đảm bảo họ các trung bình cộng ergodic nhiều chiều ${A_{n_1, \dots, n_d} f}$ có tính khả tích đều trong $L^1(X)$, ngăn ngừa sự phân kỳ do tích lũy sai số trên $d$ chiều chỉ số khi $n_{\min} \to \infty$, từ đó bảo đảm sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ trong chuẩn $L^1(X)$ về kỳ vọng có điều kiện $\mathbb{E}(f|\mathcal{I})$.

Kết luận

Luận án của tác giả Dương Xuân Giáp đã giải quyết một cách hệ thống các bài toán giới hạn trong xác suất đa trị đối với cấu trúc mảng nhiều chỉ số và mảng tam giác trên không gian Banach thực, khả ly. Bằng việc kết hợp các công cụ giải tích lồi, giải tích hàm và lý thuyết ergodic, công trình đã thiết lập thành công định lý ergodic Birkhoff nhiều chiều cũng như luật số lớn theo các tôpô hội tụ Mosco và Wijsman dưới các điều kiện độc lập, độc lập đôi một, phụ thuộc 2-hoán đổi được và trong không gian Rademacher dạng $p$. Các kết quả đạt được và kỹ thuật lồi hóa được phát triển trong luận án cung cấp cơ sở lý thuyết chuẩn xác cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập hợp.