Chương 1. KIEN THÚC CHUAN BỊ 1. PHÉP TÍNH Vĩ PHAN Ll. DINH NGHĨA I Cho U la một tap mởtrong #ˆ va F:U — RTM la một anh xạ khả vi.
Với mỗi điểm psU. lấy vecto bất ky weR" vả đường khả vì œ:(-e. Khi đó đường Ø=Fsz:(-£. Vị phân dF: &" -› RTM cia F tại p là ánh xạ tuyến tính xác định bởi dF, (w):= 8'(0).
ĐỊNH LÝ ANH XA NGƯỢC Cho U là một tập mở trong RB" và F:U -+ R" là một ánh xạ khả vi. Giả sử tại điểm pe U, vi phân dF, : R" —» R” là đẳng cảu. Khi đỏ tồn tại một lin cận V của p trong U và một lần cận W của F(p) trong £” sao cho ánh xạ F:V +H có ánh xạ ngược E`:W WV khả vi. Một ánh xạ khả vi F`:V —y W.
trong đó V và W là hai tập mở trong R" , được gọi là ví phói nếu F có ánh xạ ngược kha vi. Dinh lý ánh xạ ngược khẳng định rằng néw tại điềm peU ảnh xạ dF, là đẳng cấu thì F là vị phôi ( địa phương) trong Ian cận của p. DINH NGHĨA ANH XA DANG CU VÀ DANG Cl’ DJA PHƯƠNG Xét hai mặt chính quy S và S, Một vi phôi ø:S + F được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với mọi pe S, và mọi cặp w,,w, € 7, (S), chúng ta đều cỏ (TM,. Mộ, X (de, (%;)-4ø,(»;))op) Khi đó hai mặt S và Š được gọi là đẳng cự với nhau.
TS Lé Anh Vi SVD Nguyễn Thanh Tùng Trang 2 Nhap môn hink foc vi phan toàn cục Ánh xạ ø:V +S từ một lin cin V của điểm pe § được gọi là một đẳng cự địa phương nếu tổn tại một lân cận V cia (p)< Š sao cho ø(V)= và ø:V —>P là một ding cự. Nếu tồn tại đẳng cự địa phương @:¥ -> Š tại mọi điểm pe S thì ta nói hai mặt $ và Š được gọi là đẳng cydia phương với nhau. Rồ ràng là nếu @:S —> Š là một vi phỏi đẳng thời là mội đẳng cư địa phương thi @ là một dang cự (toàn cục). ANH XA GAUSS IL1.
DJNH NGHĨA I Cho Sc #” là mặt định hướng và A là trường chuẩn Gauss trên S. Như vậy, ánh xạ W:S—> R? nhận giá trị trong mat cầu đơn viS? =|(x.y,z)e R;|x? + y +27 =I}, đặt mỗi điểm pe S với vectơ pháp tuyển đơn vị N(p) của mặt S tại điểm p. Ta có thé xem W: $ -+ S? và nó gọi là ánh xạ Gauss của mặt S. Hiển nhiên N khả vi.
MỆNH DE 1 Vi phân dv, :T,(S)—+T, (S?) của ánh xạ Gauss là ánh xạ tuyến tinh tự liên hợp. Đ/NH NGHĨA 2 Dạng toàn phương //„.v}, gọi là dang toàn phương cơ bản 2 của S tại điểm p. ĐỊNH NGHĨA 3 Cho C là đường chính qui trên S đi qua điểm pe S, k là độ cong của C tại p, va cosØ =(n,N), trong đó n là pháp vecto đơn vị của C tại p và N là vecto pháp tuyến đơn vị của S tại p. Số &, = &cosØ được gọi là độ cong pháp dạng của CoS, tại p.
MENH DE 2( Meusnier) Mọi đường cong trên mặt S mả có chung tiếp tuyến tại điểm peS, thì sẽ có độ cong pháp dạng băng nhau. Hơn nữa, độ cong pháp dạng chung đó bằng tl,(v). với v là vecta chỉ phương don vị của tiếp tuyến chung. Do dé ta thay độ cong pháp dang tại một điểm khong phụ thuộc vào đường cong mà chỉ phụ thưộc vào phương của tiếp tuyến GVHD: PGS.
TS Lé Anh Vi SUDE Nguyễn Thank Tùng Trang 3 Nip môn kink foc vi phan toản cục Với mỗi p€S. tồn tại một cơ sở trực chudn {e,e,}của T,(S) sao cho AN, (em) = =ke,:đN„ (e;) = =kạe,. hơn nữa ky, k, lắm lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của dang toàn phương cơ bản hai I, han chế lên đường tròn đơn vị của T, (S). nghĩa là chúng là các cực trị của dé cong pháp dạng tại điểm p.
ĐỊNH NGHĨA 4 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất É,.k, của độ cong pháp dang tại điểm p được gọi là độ cong chính tại điểm p. Các phương tương ứng với chúng, tức là các phương cho bởi các vectơ riêng e,,e; được gọi là các phương chính tại điểm p. ĐỊNH NGHĨA 5 Một cung chính quy liên thông C trên S được gọi là đường chính khúc nếu tiếp tuyển của C tại mọi điểm p € đều có phương chỉnh tại điểm p. đổi với mọi phép tham số hóa œ(¿) của C, trong đó N(1)=Noa(r) và A(/) là hàm khả vi theo t.
Trong trường hợp này, ~4(2)là 46 cong chính theo phương xác định bởi Z'(?). DINH NGHĨA 6 Cho pe Š, và dN, :T,(S)-»T,(S*) là vi phân của ánh xạ Gauss. Định thức của vi phân dN, được gọi là độ cong Gauss K của S tại điểm p; -sr(4,) (Tr(A) ta vắt của ma trận 4) là được gọi là độ cong trung binh của S tại điểm p. Hơn nữa ta có K=kk,, noth 2 11.
DJNH NGHĨA 7 Một điểm của mặt S được gọi là - Điểm elliptic nếu det(dv,) > 0. - Điểm hyperbolic nếu det(4N - Điểm parabolic nếu det(dv,) = 0 và dN, #0. - Điểm phẳng (hay det) néu dN’, =0 GUD: PGS. TS Lé Anh Vi ST Nguyen Thanh Tùng Trang 4 Nixip môn hink foc vi phân toàn đục 1.
DINH NGHĨA 8 Nếu tại pe S, &, =k. thi p được gọi la điểm ron của S. Đặc biệt, mỗi điểm det (k, = &, = 0) là một điểm rồn, 11. MENH DE 4 Nếu mọi điểm của mặt liên thông S đều là điểm rốn, thì hoặc S chứa trong mặt cầu hoặc S chứa trong mặt phẳng.
DINH NGHĨA 9 Lấy điểm pe Š, một phương tiệm cận của S tại p là một phương của 7„ (S) mà độ cong pháp dạng bằng 0. Một đường tiệm cận của Š là một đường chính quy, lién thông C sao cho tiếp tuyến của C tại mọi điểm pe C luôn cỏ phương tiệm cận. MENH DE $ Cho pe S không phải là điểm rốn của S. Trong lin cận của p ta có thé tham số hoá mặt S sao cho các đường toạ độ của phép tham số hóa này là đường chính khúc của S.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN ĐƯỜNG TIỆM CAN Gia sử x(w,v)là một phép tham sd hóa của S trong lân cận điểm peS mà x(0.8(u,v) = ø là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai I\ trong phép tham số hóa này. Giá sử C là một đường chính quy, liên thông trên S cho bởi phép tham số hóa œ : | -» S,œ(t) = x(w{(t),v(t)). Khi đó, C là đường tiệm cận khí và chi khi 1I(ø'(t))=0 se(u')” +2fu'v't g(v} =0, teT. Bởi thế, phương trình trên gọi là phương trình vi phản của đường tiệm cận.
Ki HIỆU CHRISTOFFEL - ĐỊNH LÝ GAUSS IIL.ĐƒNH NGHĨA Cho mặt S chính quy, được định hướng và x:U c R* +S là phép tham số hod của S. Tại mỗi điểm của x(U) đo tỉnh chính qui của S nên hệ {x,.x,,N} là một cơ sở của E. Ta biểu diễn đạo hàm của x,.x, theo cơ sở nay. Sr emer aera GVHD: PGS.
TS Lé Anh Vii SVIX: Nguyen Thank Ting Trang 5 Ni<ip món hink foc vi phân toàn đục X„ =T x, +0 x, HEN By gt, +E + lạM LG “T% Px, +bN “Wy Ky =U yx, +P yr, + lạN Ni, = 9 5X, #25), N, = 47%, +4y%, Các hệ số Tỳ:¡, j,k = Ì,2 được gọi là ki hiệu Christoffel của S với tham sé hod x. Ta có ad = ca, = ; Ey | rị£+rG =({x,,,4,) = c “3% | PLE +T AF = (x08) =58, ' (2) mF +0},G = (x,,+%,) = 7% PRE+ThF =(x„.x)=26, o,* 2 | o, = 2£-& F - và =I, L=eL, =L,=f:L=8 Trong dé E, E,G là hệ số của dang toàn phương cơ bản thứ nhất: E=(x,.x,) và e, /,£ là các hệ số của dang toàn phương cơ bản thứ hai: c=-(N,. TS Lé Ank Vii SVT: Nguyen Thanh Tùng Trang 6 Mixip môn hink ñọC vi phân toàn đục Ta chú ý rằng những phương trình ở (2) được nhỏm thành ba hệ phương trình theo Gn là các kí hiệu Christoffel, có dink thức bảng BG-F? #0, nên ta có thé tính các kí hiệu Christoffel theo các hệ sé của dạng toàn phương cơ bản thứ nhát va các đạo hàm của chúng. Mà ta có các hệ số của dạng toàn phương cơ bản thứ nhất và thứ hai thi bat biển qua ánh xạ đẳng cự.
Do đó chúng ta có nhận xét: tất cả các khái niệm hình học và tính chất phat biếu dựa theo các kí hiệu Christoffel cũng bắt biến qua ánh xạ đằng cự. BINH LÝ EGREGIUM (Gauss) Độ cong Gauss bat biến qua anh xạ đăng cự địa phương. BIEU THỨC CUA ĐỘ CONG THEO KỈ HIỆU CHRISTOFFEL (ris), -(rï), +fi;Ti +0 Pi Pig = EK (3) (r 2), -()) +Tầh -TẬT); =FK (4) 111. PHƯƠNG TRÌNH MAINARDI-CODAZZI %~#, = e[3; + (0, -Ty)-al (6) Khi lân cận của p trong S không cỏ điểm rón và các đường cong tog độ là đường chỉnh kh (F =úc / = 0).
Thì phương trình Mainurdi-Codazzi (5) và (6) có dạng: +, =eTi,~~gli eg, = gil, -ef},. Xét (2) với F =0, ta được: - ead rị te 2G 75° er ar 1G, 1G, 2 2G Khi đó phương trình Mainardi-Codazzi có dang c= {E+8) Q = 2(£'$) (8) Với F =0 ta có nes ral a) + fie) & GUO: PGS. TS Lé Anh Vi SUT: Nguyen Thank Tùng Trang 7 Whip mon hink fgc vi phan toàn đục 1⁄.PHÉP CHUYEN DỊCH SONG SONG - DUONG TRAC ĐỊA.ĐỊNH NGHĨA I Cho w là trường vectơ khả vị trong một tập mở UcS và peU. Xét đường tham số hóa œ :(~£,£)~»U với a({0)= p và œ'(0)= y.
là hạn chế của trường vectơ w lên đường a. Hinh chiếu trực giao của (dw/dr)(0) lên mặt phẳng 7, (S) được gọi là đạo ham hiệp biến tại điểm p của trưởng vectơ w theo vectơ y.v())x, =a(t)x, +8(t)x, là biểu thức của w(t) theo tham số x(u. Khi đó Dw ai (a+rlau'+FLew+Ft.bu'+F1bvÌx, yOu Fh QV +ì ý ‡ ° + (bP H gue P?22v '+TỆti bu'+ 2nov’)bv") x,x, (0) 1V. BINH NGHĨA 2 Cho a: / —> S là đường tham số trong S.
Một trường vectơ w dọc theo œ lả một ánh xạ đặt tương img mỗi £€ /với một vectơ w(t) «Ty, (S). Trường vectơ w được gọi là khả vi tại ¿„/, nếu với mỗi tham số hod x(u. là hàm khá vi theo t tại /,. Trường vectơ w được gọi là kha vi nếu nó khả vi với mọi se /.ĐỊNH NGHĨA 3 Cho w là trường vectơ doc theo đường œ:/->§$, Khi đó biểu thức (!) của (Dw! #)(t).t e 7 được xác định va được gọi là đạo ham hiệp biến của w tại t.