Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách Chương này sẽ trình bày những vấn đề cơ bản có liên quan trực tiếp tới các nghiên cứu ở các chương tiếp theo, bao gồm những nội dung chính như sau: Tổng quan về BEC; Lý thuyết GP và phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn; Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng; Năng lượng dư (excess energy) trên mặt phân cách của hệ BECs trong GCE và CE. Trong đó trọng tâm là GPEs và phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein 1. Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein Trong hệ khí boson lý tưởng (không tương tác) gồm N hạt có spin nguyên chiếm thể tích V và tuân theo quy luật thống kê Bose-Einstein, số hạt có năng lượng từ εk đến εk + dε là dN (εk ) = n̄(εk )ρ(εk )dε, trong đó 1 n̄(εk ) = εk −µ (1.1) e kB T −1 là công thức thống kê Bose-Einstein xác định số hạt trung bình lấp đầy các mức năng lượng trong khoảng (εk , εk + dε), gV (2m)3/2 1/2 ρ(εk ) = εk .2) 4π 2 ~3 Ở đây, µ là thế hóa học, kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ, g là bội suy biến (phụ thuộc vào spin) của năng lượng εk , m là khối lượng của hạt, ~ là hằng số Planck rút gọn.
Vì N hạt chiếm tất cả các mức năng lượng có thể có nên số hạt của hệ được xác định bởi Z+∞ Z+∞ Z+∞ gV (2m)3/2 ε1/2 N= dN (ε) = n̄(ε)ρ(ε)dε = ε−µ dε.3) 4π 2 ~3 e kB T − 1 0 0 0 Sử dụng (1.3) ta tính được tổng số hạt của hệ theo nhiệt độ tới hạn Tc (nhiệt độ tại đó µ = 0) g(mkB Tc )3/2 V N = 2.4) 2π 2 ~3 và nhiệt độ tới hạn theo mật độ hạt ~2 n2/3 Tc ≈ 3.5) g mkB với n = N/V là mật độ hạt. 8 Trong khoảng nhiệt độ 0 ≤ T ≤ Tc , số hạt có năng lượng ε > 0 của hệ được xác định tương tự như (1.6) 2π 2 ~3 Năng lượng của hạt không thể âm nên số hạt còn lại tồn tại ở trạng thái ε = 0, số hạt này là h T 3/2 i N (ε = 0) = N − N (ε > 0) = N 1 − .7) Tc Nếu nhiệt độ của hệ hạt boson nhỏ hơn nhiệt độ mà tại đó thế hóa học bằng 0 (T < Tc ) thì phần lớn số hạt trong hệ cùng chiếm trạng thái có mức năng lượng thấp nhất. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein. BEC cũng xảy ra đối với những hạt fermion trong trường hợp chúng kết cặp với nhau tạo thành các hạt "giả" boson [45].5) ta ước lượng được nhiệt độ xuất hiện chuyển pha BEC là rất nhỏ, dưới 10−3 (K), tương đương với nhiệt độ của những nguyên tử lạnh nhất trong vũ trụ.
Các thí nghiệm đầu tiên đã xác nhận nhiệt độ của BEC cỡ 10−4 (K). Vì boson là những hạt có spin nguyên, số hạt cùng chiếm một trạng thái lượng tử không bị khống chế bởi nguyên lý loại trừ Pauli, nên số hạt ngưng tụ càng lớn nếu tổng số hạt (N ) của hệ càng nhiều và nhiệt độ (T ) của hệ càng nhỏ so với nhiệt độ tới hạn Tc , tất cả các hạt của hệ cùng ở trạng thái ngưng tụ tại T = 0(K), không có hạt nào ở trạng thái ngưng tụ nếu T > Tc. Bước sóng de Broglie của vi hạt được xác định thông qua nhiệt độ của hệ s 2π ~2 λT = , (1.8) mkB T bước sóng này cùng cỡ với khoảng cách trung bình giữa các hạt ở trạng thái ngưng tụ. Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ động lực học của hàm sóng ngưng tụ a.
Phương trình Gross-Pitaevskii Để mô tả trạng thái ngưng tụ của hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE trong MFA từ Lagrangian L = Ld~x [65, 66].10) 2m 2 là mật độ Hamiltonian, U (~x) là mật độ thế ngoài, G = 4π ~2 a/m là cường độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering length) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy, a < 0 ứng với tương tác hút). Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = L dt. Trong phép biến đổi R trường ψ → ψ + δψ , tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS. Các biến đổi này phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ δS = 0, biến đổi của tác dụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0.
Từ đây ta có phương trình Euler-Lagrange ∂L ∂L − ∂ν = 0, (1.11) tìm được phương trình ~2 2 i~ ∂ t ψ = − ∇ ψ + U (~x)ψ + G|ψ|2 ψ (1.12) 2m gọi là GPE phụ thuộc thời gian. Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng ψ = Ψ(~x)e−iµt/~ , Ψ(~x) là hàm thực, thì (1.13) 2m 10 Phương trình (1.13) có dạng của phương trình Schrödinger dừng, trong đó mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (~x) và thành phần phi tuyến G|Ψ(~x)|2 , được gọi là GPE không phụ thuộc thời gian. Lời giải của (1.13) cho biết hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt boson. Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ Nhân hai vế (1.12) với liên hợp phức của hàm sóng ψ ∗ rồi trừ đi kết quả nhân liên hợp phức của nó với ψ và thực hiện một vài biến đổi toán học ta thu được h i~ i 2 ∂t |ψ| + ∇ ∗ ψ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ =0 (1.15) trong đó n = |ψ|2 , ~v = 2mn i~ ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là vận tốc của ngưng tụ, ~j = i~ ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ là mật độ động lượng của ngưng tụ.
Phương trình 2 (1.15) được gọi là phương trình liên tục của ngưng tụ. Một cách đơn giản, biểu thức của hàm sóng được viết dưới dạng hai thành phần gồm biên độ và pha của nó là ψ = ψ0 eiφ .12) rồi tách riêng phần thực - phần ảo ta thu được ~ ∂t |ψ0 |2 = − ∇(|ψ0 |2 ∇φ) (1.17) m là phương trình chuyển động của biên độ, 1 δE ∂t φ = − (1.18) ~ δn là phương trình chuyển động của pha.18) cho thấy ta có thể nghiên cứu các hệ ở trạng thái BEC trên quan điểm xem chúng như các chất lỏng lượng tử. Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn Sau đây, bằng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta sẽ thiết lập GPEs cho hệ BECs từ mật độ Lagrangian trong MFA. Mật độ Lagrangian của hệ BECs trong trường hợp tác dụng của thế ngoài bị triệt tiêu là 2 i~ (1.20a) X Hb = ψj∗ − ∇ ψj + V(ψ1 , ψ2 ) j=1 2mj là mật độ Hamiltonian trong pha khối, 2 gjj (1.
Hàm sóng của thành phần j(j = 1, 2) ψj = ψj (~x, t), với ~x = (x, y, z̃), đóng vai trò là tham số trật tự, mj là khối lượng hạt. Cường độ tương tác đẩy giữa hai hạt cùng loại là gjj = 4π ~2 ajj /mj > 0, giữa hai hạt khác loại là gjj ′ = 2π ~2 (1/mj + 1/mj ′ )ajj ′ > 0, ajj và ajj ′ là độ dài tán xạ sóng s. Điều kiện để hệ ở trạng thái phân tách là g12 2 − g11 g22 > 0 [2]. Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta tìm được phương trình Euler- Lagrange cho mỗi thành phần ∂L ∂L − ∂ν = 0, (1.21) ∂ψj ∂(∂ν ψj ) từ đây tìm được GPEs phụ thuộc thời gian ∂ψj h ~2 2 i i~ = − 2 2 ∇ + gjj |ψj | + gjj ′ |ψj ′ | ψj .22) ∂t 2mj 12 Nếu hàm sóng của mỗi thành phần được viết dưới dạng ψj (~x, t) = Ψj (~x)e−iµj t/~ , trong đó Ψj = Ψj (~x) là các hàm thực, µj là thế hóa học của thành phần j , với giả thiết hàm sóng ở trạng thái cơ bản Ψj (~x) không phụ thuộc vào các tọa độ (x, y), Ψj (~x) ≡ Ψj (z̃), thì mật độ Hamiltonian (1.20a) và mật độ thế tương tác (1.23a) X Hb = Ψ∗j − ∂ Ψj + V(Ψ1 , Ψ2 ), j=1 2mj z̃ 2 h gjj i |Ψj | + g12 |Ψ1 |2 |Ψ2 |2 , (1.24b) 2m2 √ Sử dụng các đại lượng z = z̃/ξ1 , φj = Ψj / nj0 = φj (z), ξ = ξ2 /ξ1 , K = √ g12 / g11 g22 > 1, P = µ2j /2gjj = gjj n2j0 /2, (1.24) được viết dưới dạng 2 Hb X ξj2 2 Ĥb = = φj − 2 ∂z φj + V̂(φ1 , φ2 ), (1.26b) Hệ phương trình (1.24) được gọi là TIGPEs, ở dạng không thứ nguyên là (1.26), nghiệm của nó cho biết trạng thái cơ bản của hệ BECs với mặt phân cách giữa hai thành phần là mặt phẳng nằm tại z̃0.
Do tính chất đối xứng vô hạn của hệ dọc theo trục Oz̃ , ta luôn có z̃0 = 0. 13 Đại lượng nj0 là hằng số xác định mật độ hạt của thành phần j tại những vùng không gian đủ xa các biên sao cho ngưng tụ tại đó ở trạng thái đồng nhất (homogeneous state). P là áp suất của ngưng tụ có độ lớn như nhau trong cả hai thành phần khi chúng cùng ở pha cân bằng [41]. Độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ, ξj = ~/ 2mj gjj nj0 , là khoảng p cách trên đó hàm sóng ngưng tụ tăng từ 0 đến giá trị cực đại.
K là đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tách của hệ BECs. Trong khuôn khổ luận án này, ta chỉ nghiên cứu hệ BECs ở trạng thái không trộn lẫn (K > 1) và trạng thái demixing (K = 1). Với K > 1 và hữu hạn, hai thành phần không phân tách hoàn toàn mà chúng thâm nhập lẫn nhau. Nói cách khác là chúng chồng lấn lên nhau ở vùng giáp danh với mặt phân cách.
Độ sâu thâm nhập (hay độ rộng của vùng không gian chồng lấn) giữa hai thành phần phụ thuộc vào cường độ tương tác giữa các hạt (K ) và độ dài hồi phục của các hàm sóng ngưng tụ (ξ ). Các hàm sóng ngưng tụ và đạo hàm bậc nhất của nó theo tọa độ z là các hàm liên tục. Do đó, mật độ thế tương tác (1.25b) cũng là hàm liên tục theo tọa độ. Lấy đạo hàm của (1.25b) theo các tham số trật tự φj rồi so sánh kết quả với (1.