phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, phụ lục và tài liệu tham khảo, nội dung ch nh của luận văn gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1. Tổng quan về hiện tƣợng định xứ Anderson Chƣơng 2. Định xứ bất thƣờng trong hệ mất trật tự thấp chiều Chƣơng 3. Định xứ Anderson trong hệ giả một chiều – Biểu thức gần đúng đối với độ dài định xứ trong giới hạn mất trật tự yếu e 4 CHƢƠNG 1.
TỔNG QUAN VỀ HIỆN TƢỢNG ĐỊNH XỨ ANDERSON 1. Định xứ Anderson 1. Tính mất trật tự - Định xứ Anderson Một trong những vấn đề cơ bản nhất của vật lý chất đậm đặc là nghiên cứu độ dẫn điện trong chất rắn. Vì trong các tinh thể hoàn toàn tuần hoàn, các điện tử có thể chuyển động tự do theo đƣờng đạn đạo, một câu hỏi tự nhiên đƣợc nêu ra: Điều gì sẽ xảy khi trong tinh thể tồn tại mất trật tự do sự có mặt của tạp chất hoặc các khiếm khuyết mạng? Câu hỏi tiếp theo: Sự gia tăng mức độ mất trật tự có làm giảm độ dẫn điện hay không? Những câu hỏi này lần đầu tiên đƣợc trả lời trong một bài báo có tầm ảnh hƣởng mạnh về sau bởi P.
Trong nghiên cứu này, ông đã chỉ ra rằng khi tinh thể là tuần hoàn, trạng thái riêng của điện tử là trạng thái Bloch, độ dẫn là đạn đạo. Nếu mất trật tự xuất hiện trong tinh thể và ở mức độ yếu, độ dẫn trở thành khuếch tán do sự tán xạ. Tuy nhiên, nếu mất trật tự đủ lớn, nó có thể bẫy các điện tử nhờ tán xạ nhiều lần, dẫn tới không còn sự dẫn điện nữa. Bằng cách nhƣ vậy, mất trật tự có thể tạo nên chuyển pha kim loại - điện môi, và nó đƣợc gọi là chuyển pha kim loại - điện môi Anderson hay là định xứ Anderson.
Lƣu ý rằng chuyển pha này hoàn toàn khác với chuyển pha kim loại - điện môi Mott, loại chuyển pha đƣợc tạo nên bởi tƣơng quan điện tử - điện tử. Vì rằng các điện tử là các sóng lƣợng tử, sẽ thích hợp khi cho rằng định xứ Anderson là một hiệu ứng giao thoa hơn là một sự va chạm nhiều lần giữa các hạt. Chúng ta cũng có nhận xét thêm rằng cách thức bên trên có thể đƣợc áp dụng không chỉ cho các điện tử mà còn cho bất kỳ một loại sóng khác, nhƣ sóng ánh sáng, sóng điện từ, sóng âm, sóng spin… Và điều này đã đƣợc rất nhiều thực nghiệm xác nhận. Mô hình định xứ Anderson một chiều Các nghiên cứu giải t ch hoặc nghiên cứu số về hiện tƣợng định xứ thƣờng đƣợc bắt đầu với mô hình Anderson - một mô hình liên kết chặt với t nh mất trật tự đƣợc phân bố trên thế nút mạng.
Trong phạm vi gần đúng lân cận gần nhất, trong trƣờng hợp một chiều, mô hình này đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình Schrödinger phụ thuộc thời gian: n i n n J( n 1 n 1 ) (1.1) t Ở đây { n } là năng lƣợng trên nút, có giá trị ngẫu nhiên tuân theo hàm phân bố đồng nhất trên đoạn [ ], trong đó đặc trƣng cho độ mạnh mất trật tự; và J mô tả độ mạnh các tƣơng tác lân cận gần nhất. Hàm sóng phức gắn với nút mạng thứ có thể đƣợc viết dƣới dạng. Khi đó, phƣơng trình (1.1) đƣợc viết thành: E n n n J( n 1 n 1 ) (1.2) Để cho thuận tiện trong việc t nh toán, thông thƣờng chúng ta đặt nhƣng vẫn không làm mất đi t nh tổng quát của bài toán. Nghiệm của phƣơng trình trị riêng (1.2) bao gồm một tập hợp các trạng thái riêng thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ∑ | | , và một tập hợp các trị riêng E [( W / 2) 2,(W / 2) 2].
Hàm sóng của trạng thái riêng định xứ theo hàm mũ quanh tâm đƣợc biểu diễn dƣới dạng: 2 n n0 n A exp (1.3) trong đó ( E ) là độ dài đặc trƣng phụ thuộc năng lƣợng, đƣợc gọi là độ dài định xứ (xem hình 1. Một cách rất tự nhiên, chúng ta có thể đoán nhận rằng khi , trạng thái riêng trở thành trạng thái lan truyền (không định xứ) (xem hình 1. Do vậy, dựa vào giá trị của độ dài định xứ chúng ta có e 6 thể nhận biết đƣợc một trạng thái riêng là định xứ hay lan truyền. (a) Sóng lan truyền (b) Sóng định xứ Độ dài định xứ Hình 1.
Mô tả cách hành xử của sóng tán xạ khi lan truyền trong môi trường. Nếu môi trường là có trật tự (tuần hoàn) thì sóng là lan truyền (a); nếu môi trường là mất trật tự thì sóng định xứ theo dạng hàm mũ với độ dài đặc trưng, được gọi là độ dài định xứ (b). Một số đại lượng đặc trưng của hiện tượng định xứ Nhƣ đã đƣợc đề cập ở bên trên, độ dài định xứ là một trong những đại lƣợng đƣợc sử dụng phổ biến nhất để phân biệt trạng thái định xứ ( hữu hạn) với trạng thái lan truyền ( ). Có nhiều phƣơng pháp khác nhau để đánh giá bao gồm phƣơng pháp ma trận chuyển, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên và các kỹ thuật khai triển gần đúng nhiễu loạn [3].
Đối với hệ một chiều mất trật tự không tƣơng quan, trong giới hạn mất trật tự yếu ( và các trị riêng gần với tâm vùng năng lƣợng thì biểu thức độ dài định xứ đƣợc cho bởi 96 24 E 2 (E) (1.4) cho thấy rằng độ dài định xứ đạt giá trị lớn nhất, tức là trạng e 7 thái định xứ yếu nhất, tại tâm vùng năng lƣợng ứng với (0) 96 / W 2. Ngƣợc lại, trong giới hạn mất trật tự mạnh, lý thuyết nhiễu loạn chỉ ra rằng độ 1 dài định xứ tại tâm vùng năng lƣợng có giá trị xấp xỉ bằng (0) ln(W / 2e ). Một đại lƣợng đặc trƣng quan trọng khác mô tả chuyển pha định xứ và đƣợc sử dụng một cách rộng rãi trong việc khảo sát bài toán định xứ ngang đó là số tham gia. Đối với một trạng thái riêng chuẩn hóa thì đại lƣợng này đƣợc ký hiệu và định nghĩa nhƣ sau: 1 P 4 (1.5) n n Giá trị cho chúng ta biết số nút mạng đƣợc lấp đầy bởi hàm sóng của trạng thái riêng đang khảo sát.
Cụ thể, đối với trạng thái lan truyền thì P N, trong khi P 1 đối với trạng thái định xứ. Ngoài hai đại lƣợng đƣợc sử dụng thƣờng xuyên nhƣ độ dài định xứ và số tham gia P thì một đại lƣợng khác, có tên gọi là mômen bậc hai, cũng đƣợc sử dụng khá phổ biến trong việc phân biệt trạng thái định xứ với trạng thái lan truyền. Đại lƣợng này đƣợc ký hiệu và định nghĩa nhƣ sau: 2 2 2 m2 n2 n n n (1.6) n Trong một số công trình nghiên cứu, thay vì sử dụng trực tiếp đại lƣợng , các tác giả lại dùng một đại lƣợng tƣơng đƣơng khác đƣợc gọi là thể t ch định xứ, V 12m2 1. Đại lƣợng này chính là khoảng cách hiệu dụng giữa 2 cái đuôi của hàm mũ mô tả trạng thái định xứ, nghĩa là V P.
Tuy nhiên, trong giới hạn mất trật tự yếu thì giá trị của số tham gia đƣợc cho thấy là nhỏ hơn giá trị của thể t ch định xứ. Khi độ mạnh mất trật tự đủ lớn thì cả V 1 và P 1. Những điều này đƣợc minh họa trên hình 1. Thể t ch định xứ [đƣờng màu đỏ], số tham gia [đƣờng màu xanh lá cây] và độ dài định xứ [đƣờng màu xanh da trời] đƣợc lấy trung bình đối với các trạng thái riêng ứng với trị riêng gần tâm vùng năng lƣợng.
Các đƣờng nét đứt mô tả lời giải tiệm cận với V 330 W 2 và 100 / W 2. Quan sát thực nghiệm về hiện tƣợng định xứ Anderson Việc quan sát thực nghiệm về hiện tƣợng định xứ Anderson không hề dễ dàng từ sau khi dự đoán lý thuyết về sự tồn tại của hiện tƣợng này đƣợc P. Điều này xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau, chẳng hạn nhƣ do sự có mặt của tƣơng tác điện tử - điện tử trong các thí nghiệm về định xứ đối với hệ điện tử, hoặc rất khó phân biệt sự suy giảm cƣờng độ sóng trong quá trình lan truyền trong môi trƣờng là do định xứ hay do sự hấp thụ photon trong các th nghiệm đối với hệ quang học. Những nỗ lực bền bỉ nhằm mục đ ch quan sát trực tiếp định xứ Anderson đã đƣợc t ch lũy trong hàng loạt các công trình thực nghiệm.
Cho đến nay, việc quan sát hiện tƣợng định xứ Anderson đã đƣợc thực hiện trong nhiều hệ vật lý cũng nhƣ nhiều loại sóng khác nhau. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả e 9 nghiên cứu nổi bật ứng với các trƣờng hợp hệ một chiều, hai chiều và ba chiều. Hệ một chiều Hiện tƣợng định xứ Anderson lần đầu tiên đƣợc quan sát trong hệ mất trật tự một chiều bởi Lahini và các đồng nghiệp [5]. Cụ thể, nhóm nghiên cứu đã tiến hành quan sát quá trình mở rộng của bó sóng khi nó đƣợc đƣa vào mạng một chiều đƣợc tạo bởi các ống dẫn sóng quang học liên kết với nhau nhƣ đƣợc mô tả trên hình 1.
Ánh sáng đƣợc đƣa vào một hoặc một vài ống dẫn sóng ở đầu vào (đƣợc chỉ bởi mũi tên màu đỏ) và nó có thể chui hầm kết hợp giữa các ống dẫn sóng lân cận nhau khi nó lan truyền dọc theo trục. Quan sát kết quả đƣợc cho trên các hình 1.3(b)-(d), chúng ta thấy rằng chùm sáng mở rộng trên toàn bộ mạng ống dẫn sóng trong trƣờng hợp mạng là tuần hoàn. Sự mở rộng này sẽ giảm dần khi mất trật tự đƣợc đƣa vào mạng và tăng dần cƣờng độ của nó. Cuối cùng, khi độ mạnh mất trật tự đủ lớn thì cƣờng độ chùm sáng bị giam cầm trong một hoặc một vài ống dẫn sóng trong suốt quá trình lan truyền theo trục.
Định xứ Anderson của ánh sáng trong mạng tinh thể ống dẫn sóng mất trật tự một chiều. (a) Hình phát họa mẫu đƣợc sử dụng trong th nghiệm. Mũi tên màu đỏ cho biết vị tr của chùm ánh sáng ở đầu vào. (b)-(d) Sự phân bố cƣờng độ ánh sáng ở đầu ra lần lƣợt trong trƣờng hợp mạng tuần hoàn mạng mất trật tự yếu và mạng mất trật tự mạnh.
(e) Sự phân bố cƣờng độ ánh sáng trong các ống dẫn sóng đƣợc cho thấy giảm dần theo hàm mũ khi ra xa ống dẫn sóng trung tâm đƣợc xem nhƣ là dấu hiệu của định xứ Anderson. [5] e 10 Đây ch nh là dấu hiệu của định xứ Anderson.