I. Tổng Quan Hệ Phương Trình g Navier Stokes Hai Chiều 2D
Hệ phương trình và các phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của chất lỏng và khí, ví dụ như nước, không khí, dầu mỏ, dưới các điều kiện tương đối tổng quát. Các phương trình này được sử dụng để nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong các lĩnh vực như khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ và vật lý plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng như được đề cập trong [58, 59]. Vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết.
1.1. Ứng Dụng Phương Trình Navier Stokes Trong Vật Lý Kỹ Thuật
Các ứng dụng Navier-Stokes rất rộng rãi, bao gồm mô hình hóa dòng chảy trong đường ống, dự đoán thời tiết, thiết kế máy bay và tàu thủy, cũng như nghiên cứu các hiện tượng vật lý phức tạp như sự hình thành của các đám mây và dòng chảy rối. Việc giải quyết các phương trình Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng trong việc tối ưu hóa hiệu suất và độ an toàn của các hệ thống kỹ thuật. Các mô hình hóa chất lỏng được xây dựng dựa trên các phương trình này giúp dự đoán và điều khiển các quá trình, đóng góp vào sự phát triển của công nghệ và khoa học.
1.2. Hệ g Navier Stokes Mở Rộng Tổng Quát Hóa Navier Stokes
Hệ phương trình g-Navier-Stokes được xem như một dạng tổng quát hóa của hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Khi g = const, ta thu được hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Do đó, nếu có một kết quả đối với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes. Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học lí thú.
II. Thách Thức Nghiên Cứu Nghiệm Hệ g Navier Stokes 2D
Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu về hệ phương trình Navier-Stokes, những hiểu biết về nghiệm của hệ phương trình này còn hạn chế. Cụ thể, đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn. Các vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng bao gồm: Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm (nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh). Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Xấp xỉ nghiệm và bài toán điều khiển.
2.1. Tính Chính Quy Nghiệm Yếu Tố Quan Trọng Trong Giải Tích
Tính chính quy nghiệm có thể là tính chính quy theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính quy theo biến không gian (tính chính quy Hilbert, tính chính quy Hölder, mô tả tập điểm kì dị). Các phương pháp giải tích hàm được sử dụng để nghiên cứu các tính chất này, bao gồm không gian Sobolev và các kỹ thuật ước lượng năng lượng. Mục tiêu là xác định tính chất mượt mà của nghiệm và sự tồn tại của các điểm kỳ dị.
2.2. Dáng Điệu Tiệm Cận Dự Đoán Xu Hướng Hệ g Navier Stokes
Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t tiến đến vô cùng. Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng.
2.3. Xấp Xỉ Nghiệm Bài Toán Thực Tế Trong Mô Hình Hóa
Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần cả những mô tả định tính và định lượng của nghiệm, nói riêng là việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình. Việc xấp xỉ nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng thời gian hữu hạn hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm là những vấn đề hết sức quan trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Các lược đồ xấp xỉ nghiệm cần phải ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình.
III. Phương Pháp Nghiên Cứu Tính Tồn Tại Nghiệm Yếu g Navier Stokes
Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, luận án này sử dụng các phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến. Cụ thể, các phương pháp sau được áp dụng: phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ đề compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến. Ngoài ra, khi ngoại lực phụ thuộc trễ thì việc chuyển qua giới hạn số hạng chứa trễ cũng là một trở ngại lớn cần phải vượt qua. Để khắc phục điều này, các kĩ thuật của lí thuyết phương trình đạo hàm riêng có trễ được sử dụng.
3.1. Phương Pháp Galerkin Xây Dựng Nghiệm Gần Đúng Liên Tục
Phương pháp Galerkin là một phương pháp số mạnh mẽ để giải các phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình đạo hàm riêng. Nó dựa trên việc xấp xỉ nghiệm bằng một tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở, và sau đó áp đặt điều kiện để sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm thực tế là nhỏ nhất có thể. Phương pháp này thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu cho các phương trình như g-Navier-Stokes, và nó cung cấp một cách tiếp cận hệ thống để xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm.
3.2. Bổ Đề Compact Chứng Minh Sự Hội Tụ Của Nghiệm
Các bổ đề compact đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự hội tụ của các nghiệm xấp xỉ trong giải tích phi tuyến. Chúng cho phép ta kết luận rằng một dãy các hàm bị chặn trong một không gian hàm nhất định phải chứa một dãy con hội tụ. Điều này rất hữu ích khi chứng minh sự tồn tại của nghiệm cho các phương trình vi phân, vì nó cho phép ta chuyển qua giới hạn trên các nghiệm xấp xỉ để thu được nghiệm chính xác.
3.3. Xử Lý Số Hạng Phi Tuyến Trong Phương Trình g Navier Stokes
Các số hạng phi tuyến trong phương trình g-Navier-Stokes thường gây khó khăn trong việc giải tích. Việc xử lý các số hạng này đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt, chẳng hạn như sử dụng các bất đẳng thức Sobolev và các phương pháp nội suy. Mục tiêu là để kiểm soát độ lớn của các số hạng phi tuyến và chứng minh rằng chúng không gây ra sự không ổn định trong nghiệm.
IV. Nghiên Cứu Dáng Điệu Tiệm Cận Lý Thuyết Hệ Động Lực
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, luận án sử dụng các công cụ và phương pháp của lý thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Cụ thể khi ngoại lực f "lớn" và phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi. Trong trường hợp ngoại lực f "lớn" và không phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục. Còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng.
4.1. Tập Hút Toàn Cục Đặc Trưng Cho Dáng Điệu Dài Hạn
Tập hút toàn cục là một tập compact bất biến trong không gian pha của hệ động lực, và nó có tính chất là hút tất cả các tập bị chặn. Điều này có nghĩa là, bất kỳ quỹ đạo nào của hệ động lực, bắt đầu từ một điểm bất kỳ trong không gian pha, sẽ tiến dần đến tập hút toàn cục khi thời gian tiến đến vô cùng. Tập hút toàn cục chứa đựng nhiều thông tin quan trọng về dáng điệu dài hạn của hệ động lực, và nó cho phép ta dự đoán xu hướng phát triển của hệ trong tương lai.
4.2. Tập Hút Lùi Nghiên Cứu Hệ Khi Ngoại Lực Phụ Thuộc Thời Gian
Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, việc nghiên cứu tập hút lùi trở nên quan trọng. Tập hút lùi mô tả sự hội tụ ngược thời gian của các quỹ đạo, giúp hiểu rõ hơn về sự phụ thuộc của hệ vào các điều kiện ban đầu và ngoại lực thay đổi theo thời gian. Nghiên cứu này có ý nghĩa trong việc dự đoán và kiểm soát các hệ thống phức tạp.
4.3. Nghiệm Dừng Trạng Thái Cân Bằng Của Hệ Thống
Nghiệm dừng là một nghiệm không đổi theo thời gian của phương trình vi phân. Trong bối cảnh của hệ g-Navier-Stokes, nghiệm dừng tương ứng với trạng thái cân bằng của dòng chảy chất lỏng. Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng là quan trọng vì nó cho phép ta hiểu được các trạng thái ổn định của hệ thống.
V. Xấp Xỉ Nghiệm Mạnh Hệ g Navier Stokes Hai Chiều 2D
Luận án nghiên cứu các lược đồ phù hợp rời rạc hóa không gian và thời gian để xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán. Chứng minh lược đồ này ổn định, điều này dẫn đến dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm đúng của bài toán. Đây là một vấn đề quan trọng và có nhiều ý nghĩa trong các áp dụng thực tế.
5.1. Ứng Dụng Phương Pháp Rời Rạc Hóa Để Xây Dựng Nghiệm Xấp Xỉ
Phương pháp rời rạc hóa không gian và thời gian là một kỹ thuật quan trọng trong giải tích số, được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của các phương trình vi phân bằng cách thay thế chúng bằng các phương trình đại số. Điều này cho phép ta tính toán nghiệm gần đúng bằng cách sử dụng máy tính. Việc lựa chọn phương pháp rời rạc hóa phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo tính ổn định và hội tụ của nghiệm.
5.2. Chứng Minh Tính Ổn Định Của Lược Đồ Xấp Xỉ
Tính ổn định của lược đồ xấp xỉ là một yếu tố then chốt để đảm bảo rằng nghiệm gần đúng không bị sai lệch quá nhiều so với nghiệm chính xác. Một lược đồ ổn định đảm bảo rằng các sai số nhỏ trong tính toán không bị khuếch đại theo thời gian. Việc chứng minh tính ổn định thường đòi hỏi các kỹ thuật phân tích phức tạp.
5.3. Nghiên Cứu Sự Hội Tụ Về Nghiệm Đúng
Chứng minh rằng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm đúng của bài toán là bước cuối cùng và quan trọng nhất trong quá trình xây dựng lược đồ xấp xỉ. Điều này đảm bảo rằng, khi ta tăng độ chính xác của phép rời rạc hóa (ví dụ, bằng cách giảm kích thước bước thời gian hoặc không gian), nghiệm gần đúng sẽ tiến gần hơn đến nghiệm chính xác.
VI. Kết Quả Chính và Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo g Navier Stokes
Luận án đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán hệ g-Navier-Stokes hai chiều. Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi; sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu. Luận án cũng chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh, sự tồn tại tập hút toàn cục và sự tồn tại, tính ổn định của nghiệm dừng mạnh. Các kết quả về xấp xỉ nghiệm mạnh cũng được trình bày. Ngoài ra, luận án còn nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn; sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu.
6.1. Ứng Dụng Các Kết Quả Trong Thực Tiễn
Các kết quả của luận án có thể được áp dụng để mô hình hóa và dự đoán các hiện tượng trong cơ học chất lỏng, chẳng hạn như dòng chảy trong ống dẫn, sự lan truyền của các chất ô nhiễm trong môi trường, và các quá trình truyền nhiệt trong các thiết bị công nghiệp. Chúng cũng có thể được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển dòng chảy hiệu quả hơn.
6.2. Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng Trong Tương Lai
Nghiên cứu tiếp tục có thể tập trung vào việc phát triển các lược đồ xấp xỉ nghiệm mạnh hiệu quả hơn, cũng như việc nghiên cứu các tính chất khác của nghiệm, chẳng hạn như tính chính quy và tính ổn định theo các nhiễu loạn. Ngoài ra, việc mở rộng các kết quả cho các lớp phương trình khác trong cơ học chất lỏng, chẳng hạn như các phương trình Navier-Stokes-Voigt hoặc các phương trình Brinkman-Forchheimer, cũng là một hướng đi hứa hẹn.
