Mở đầu Lý thuyết tập mờ được đề xuất bởi L. Zadeh năm 1965, và có lẽ đến nay thuật ngữ “fuzzy” trở nên rõ ràng đối với các nhà nghiên cứu và các kỹ sư. Nó đã và đang được tiếp tục nghiên cứu rất mạnh mẽ. Bằng các phương pháp tiếp cận khác nhau, các nhà nghiên cứu như Dubois, Prade, Mamdani, Tagaki, Sugeno,… đã đưa ra những kết quả cả về lý thuyết và ứng dụng trong các bài toán điều khiển mờ, khai phá dữ liệu mờ, cơ sở dữ liệu mờ, các hệ hỗ trợ và quyết định.
Hệ suy diễn mờ áp dụng cho lập luận xấp xỉ được phát triển dựa trên lý thuyết tập mờ, với những ràng buộc nhất định, được xem như là một bộ xấp xỉ vạn năng. Hơn nữa, thế mạnh của hệ mờ là có thể xấp xỉ các hành vi hệ thống mà ở đó các hàm giải tích hoặc các quan hệ dạng số không tồn tại. Vì vậy, hệ mờ có tiềm năng to lớn để ứng dụng giải quyết các hệ thống phức tạp như hệ sinh học, hệ xã hội, hệ kinh tế và hệ thống chính trị. Mặt khác, hệ mờ còn có thể ứng dụng trong các hệ thống ít phức tạp, ở đó không cần một giải pháp chính xác mà chỉ cần một giải pháp xấp xỉ nhưng nhanh hơn, hiệu quả hơn khi giảm chi phí tính toán.
Kiến thức cơ sở về tập mờ Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L. Zadeh đã có rất nhiều nghiên cứu mở đường cho sự phát triển và ứng dụng. Ý tưởng nổi bật của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ-già, nhanh-chậm, cao-thấp,… Ông đã tìm cách biểu diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ và được định nghĩa như sau. Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi x, U={x}.
Một tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm A(x) mà nó liên kết mỗi phần tử xU với một số thực trong đoạn [0,1]. Giá trị hàm A(x) biểu 4 diễn mức độ thuộc của x trong A. A(x) là một ánh xạ từ U vào [0,1] và được gọi là hàm thuộc của tập mờ A. Như vậy, giá trị hàm A(x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong A càng cao.
Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, A(x), chỉ nhận 2 giá trị 1 hoặc 0, tương ứng với x có nằm trong A hay không. Rõ ràng, tập mờ là sự mở rộng của khái niệm tập hợp kinh điển. Các khái niệm, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ. Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào đoạn [0,1], tức là F (U ,[0,1]) = {A : U[0,1]}, một không gian tương đối giàu về cấu trúc tính toán mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô phỏng các phương pháp suy luận của con người.
Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục: - Trường hợp U hữu hạn, U={ui : 1i n}, ta có thể viết A = A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + … + A(un)/un = 1i nA(ui)/ui - Trường hợp U vô hạn đếm được, U={ui : i=1,2,… }, ta viết A = 1i <A(ui)/ui - Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết b A = A (u ) / u a Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ. Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và [0,1]. Tập lát cắt của A là một tập kinh điển, ký hiệu A, được xác định như sau : A = {u U : A(u)}. Tập A còn gọi là tập mức của A.
Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U, i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó A(u)0, tức là support(A) = {u U : A(u)0}. 5 ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm thuộc A(u) trên U, tức là high(A) = sup{A(u) : uU}. iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1. Ngược lại gọi là tập mờ dưới chuẩn.
iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được xác định như sau: core(A) = {uU: A(u) = high(A)}. Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U, i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A), được xác định là: count(A) = uUA(u), nếu U là hữu hạn hay đếm được, = UA(u)du, nếu U là vô hạn liên tục. ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau: card(A) = Ncard(A)(n)dn trong đó, card(A)(n) được xác định theo công thức sau, với |A| là lực lượng tập mức A, card(A)(n) = sup{t[0,1] : |A| = n}. Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0u 120}, A là một tập mờ chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau [2] (hình 1.1): 0 u [0, 60] old (u ) u 60 2 1 (1 ( 6 ) ) u [61,120] Khi đó tập mức =0.1: Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old) Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các phép này làm cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ và lập luận xấp xỉ sau này.
Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm thuộc tương ứng là A vàB, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ và lấy phần bù của tập mờ A là một tập mờ C, được viết là C = AB, hoặc C = AB, hoặc C = A~ với hàm thuộc được xác định như sau: AB(u) = max(A(u), B(u)), uU, AB(u) = min(A(u), B(u)), uU, A~(u) = 1- A(u), uU. Hay viết ở dạng thu gọn là AB(u) = A(u)B(u)), AB(u) = A(u) B(u)). Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh. Hai tập mờ G và K tương ứng là hai khái niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm thuộc được cho dưới dạng bảng như sau: uU 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G(u) 0.0 7 Ta có kết quả của các phép toán trên hai tập mờ này với hàm thuộc thể hiện trong bảng sau: uU 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GK(u) 0.0 Một lớp đặc biệt các tập mờ là lớp các quan hệ mờ, chúng là các tập mờ trên không gian tích Đề-các các miền cơ sở.
Như tên gọi, quan hệ mờ mô tả mối quan hệ mờ giữa các đối tượng trong miền cơ sở. Về mặt hình thức chúng ta định nghĩa quan hệ mờ như sau. Cho U là tích Đề-các của n miền cơ sở Ui, i=1, ,…, n. Khi đó mỗi một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi và được kí hiệu là R, gọi là tên của quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng công thức sau: R (u1 ,.U n Trong đó (u1,…,un) là hàm thuộc của tập mờ R.
Dấu biểu diễn hình thức của hàm thuộc, có thể một trong ba trường hợp là hữu hạn hoặc đếm được hoặc liên tục. Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân nó cũng là tập mờ. Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà trên tập mờ không có, đó là phép hợp thành dưới đây. Cho R là một quan hệ mờ trên UV và S là quan hệ mờ trên VW.
Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ trên UW, được ký hiệu là RS và được định nghĩa như sau: RS = vV [R(u,v)S(v,w)]/(u,w) trong đó là một phép tính 2-ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép max . Nếu là phép min , thì ta có phép hợp thành max-min, nếu là phép nhân số học thì ta có phép hợp thành max-product. Cho U = {u1, u2, u3}, V = {v1, v2} và W = {w1, w2}, với quan hệ mờ R trên UV và S trên VW được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận v1 v2 w1 w2 u1 0.7 1 khi đó phép hợp thành max-min là R o S u2 0.32 và max-product là R o S u2 0.56 Phép hợp thành các quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong quá trình lập luận xấp xỉ sau này. Trong hầu hết các ứng dụng, tri thức được biểu diễn dưới dạng luật “if-then” và mỗi luật được xem như một quan hệ mờ Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của con người.
Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó. Biến ngôn ngữ L. Zadeh đã viết “Khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài của những vấn đề phức tạp cố hữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. Động lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ở chỗ đặc trưng ngôn ngữ của các từ và các câu thường ít xác định cụ thể hơn của các số”, và ông đã đưa ra một lớp khái niệm rộng hơn có thể mô hình qua các tập mờ, đó là biến ngôn ngữ.
Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X,T(X),U,R,M), trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu hay còn gọi là miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc ký pháp sinh các giá 9 trị ngôn ngữ cho T(X), M là quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ trên U cho các từ ngôn ngữ trong T(X). Cho X là biến ngôn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X là U=[0,120]. Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE)={very old, old, possible old, less old, less young, quite young, more young,…}. Chẳng hạn với giá trị ngôn ngữ old, quy tắc gán ngữ nghĩa M cho old bằng tập mờ cho bởi ví dụ 1.
Chúng ta thấy rằng một biến ngôn ngữ được cấu trúc theo hướng mà trong đó có hai quy tắc cơ bản.