Luận văn thạc sĩ về gần đúng eikonal và tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

Khám phá luận văn thạc sĩ về khoa học gần đúng eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử. Tìm hiểu ứng dụng và lý thuyết.

• Tác giả: Nguyen Thi Hai Yen
• Người hướng dẫn: TS. Cao Thi Vi Ba
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán
• Đề tài: Nghiên cứu gần đúng eikonal trong cơ học lượng tử và phương pháp tích phân phiếm hàm
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ khoa học
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CÁM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ
• 1.1. Gần đúng eikonal trong quang học
• 1.2. Phát biểu bài toán tán xạ
• 1.3. Lời giải phương trình Schrodinger
• 1.4. Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm
• 1.5. Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài
• 1.6. Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thắng
• 1.7. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể
• 1.7.1. Nghiên cứu tán xạ thế Yukawa
• 1.7.2. Nghiên cứu tán xạ thế Gauss
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ

Nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử là một lĩnh vực quan trọng, giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng tán xạ hạt. Gần đúng eikonal được áp dụng để mô tả biên độ tán xạ góc nhỏ trong môi trường lượng tử phi tương đối tính. Phát biểu bài toán tán xạ thường bắt đầu từ việc thiết lập phương trình Schrödinger, từ đó có thể rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ. Một trong những phương pháp chính được sử dụng là phương pháp tích phân phiếm hàm, cho phép tính toán chính xác các biên độ tán xạ trong các trường hợp phức tạp. Đặc biệt, việc sử dụng hàm Green trong phương trình Schrödinger cho phép giải quyết các bài toán tán xạ một cách hiệu quả. Như vậy, gần đúng eikonal không chỉ là một công cụ lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao.

1.1. Giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học

Gần đúng eikonal đã được giới thiệu trong lĩnh vực quang học từ những năm 1950, với mục tiêu mô tả sự truyền sóng ánh sáng trong các môi trường không đồng nhất. Phương trình mô tả sự truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n phụ thuộc vào tọa độ. Nếu chiết suất là hằng số, nghiệm của phương trình sẽ là sóng phẳng đơn sắc. Tuy nhiên, trong trường hợp môi trường không đồng nhất, sóng phẳng không còn thỏa mãn phương trình. Do đó, cần tìm kiếm nghiệm dưới dạng hàm eikonal để mô tả chính xác hơn sự tán xạ của ánh sáng. Gần đúng eikonal cho phép phân tích sự tán xạ trong các điều kiện phức tạp, từ đó giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng quang học trong vật lý lượng tử.

1.2. Phát biểu bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử, bài toán tán xạ được phát biểu thông qua hàm sóng của hạt ở xa vô cùng, bao gồm sóng phẳng tới và sóng tán xạ. Biên độ tán xạ được tính toán dựa trên mật độ dòng của các hạt tới và mật độ dòng các hạt tán xạ. Công thức tính tiết diện tán xạ vi phân được thiết lập từ biên độ tán xạ, cho phép xác định xác suất tán xạ của hạt trong các góc khác nhau. Việc giải phương trình Schrödinger cho phép tìm ra biên độ tán xạ một cách chính xác, từ đó có thể phân tích các hiện tượng vật lý phức tạp. Gần đúng eikonal cung cấp một phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán này, đặc biệt trong các trường hợp mà năng lượng hạt rất cao.

II. Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm

Công thức eikonal được rút ra từ việc áp dụng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử. Phương pháp này cho phép tính toán chính xác các biên độ tán xạ bằng cách sử dụng hàm Green của hạt trong phương trình Schrödinger. Việc tách các cực điểm từ hàm Green là bước quan trọng để thu được biên độ tán xạ trong các trường hợp cụ thể. Điều kiện sử dụng gần đúng này được thảo luận từ những giới hạn của thế năng, năng lượng của hạt và góc tán xạ. Phương pháp tích phân phiếm hàm không chỉ giúp đơn giản hóa quá trình tính toán mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc phân tích các hiện tượng tán xạ phức tạp trong cơ học lượng tử.

2.1. Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt

Biểu diễn hàm Green của hạt trong phương trình Schrödinger là một công cụ mạnh mẽ trong lý thuyết tán xạ. Hàm Green cung cấp một cách tiếp cận để giải quyết các phương trình vi tích phân, cho phép tính toán biên độ tán xạ một cách hiệu quả. Việc sử dụng hàm Green giúp xác định các trạng thái tán xạ trong các trường năng lượng cao, từ đó có thể phân tích các hiện tượng vật lý một cách chính xác. Phương pháp này đã chứng minh được tính hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán tán xạ phức tạp, đặc biệt là trong các điều kiện không đồng nhất.

2.2. Tách các cực điểm từ hàm Green

Tách các cực điểm từ hàm Green là một bước quan trọng trong việc tính toán biên độ tán xạ. Phương pháp này cho phép xác định các điểm quan trọng trong không gian tán xạ, từ đó giúp mô tả chính xác hơn các hiện tượng tán xạ. Việc khảo sát các cực điểm cũng giúp hiểu rõ hơn về điều kiện cần thiết cho việc áp dụng gần đúng eikonal trong các bài toán tán xạ cụ thể. Điều này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích các số liệu thực nghiệm trong vật lý hạt.

III. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể

Nghiên cứu tán xạ trên thế ngoài cụ thể là một phần quan trọng trong việc áp dụng gần đúng eikonal. Các thế ngoài như thế Yukawa và thế Gauss được sử dụng để minh họa cho các kết quả thu được từ công thức eikonal. Việc áp dụng công thức này cho các thế ngoài cụ thể cho phép xác định biên độ tán xạ trong các trường hợp khác nhau, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hiện tượng tán xạ trong cơ học lượng tử. Các kết quả thu được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được sử dụng trong các ứng dụng thực tiễn trong nghiên cứu vật lý hạt.

3.1. Nghiên cứu tán xạ thế Yukawa

Tán xạ trên thế Yukawa là một trong những ứng dụng quan trọng của gần đúng eikonal. Thế Yukawa mô tả tương tác giữa các hạt với một hạt trung gian, cho phép phân tích các hiện tượng tán xạ trong các điều kiện cụ thể. Việc tính toán biên độ tán xạ trong trường hợp này giúp hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các hạt và các đặc điểm của thế năng. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này có thể áp dụng trong việc phân tích các số liệu thực nghiệm trong vật lý hạt.

3.2. Nghiên cứu tán xạ thế Gauss

Tán xạ trên thế Gauss cũng là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong việc áp dụng gần đúng eikonal. Thế Gauss cung cấp một mô hình đơn giản nhưng hiệu quả để phân tích các hiện tượng tán xạ. Việc tính toán biên độ tán xạ trong trường hợp này cho phép xác định các đặc điểm chính của quá trình tán xạ, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hiện tượng vật lý phức tạp. Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích các số liệu thực nghiệm.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực vật lý lý thuyết, đặc biệt là cơ học lượng tử phi tương đối tính, việc nghiên cứu các phương pháp gần đúng để mô tả hiện tượng tán xạ năng lượng cao của các hạt cơ bản đóng vai trò quan trọng trong việc giải thích các kết quả thực nghiệm. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất từ năm 1959 và đã được ứng dụng rộng rãi trong phân tích tán xạ các hạt với năng lượng cao. Tuy nhiên, các phương pháp truyền thống như phương pháp sóng riêng phần hay phương pháp Hamilton-Green thường dựa vào lý thuyết nhiễu loạn, gây khó khăn trong việc áp dụng cho lý thuyết trường lượng tử.

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ năng lượng cao trong trường ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử, không dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các thế ngoài cụ thể như thế Yukawa và thế Gauss, trong khoảng thời gian nghiên cứu đến năm 2016 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả hơn cho bài toán tán xạ năng lượng cao, góp phần nâng cao hiểu biết về cơ chế tương tác của các hạt cơ bản và mở rộng ứng dụng trong vật lý hiện đại. Các chỉ số đánh giá hiệu quả phương pháp được thể hiện qua độ chính xác của biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ vi phân, phù hợp với các số liệu thực nghiệm.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai khung lý thuyết chính: lý thuyết eikonal trong quang học và cơ học lượng tử phi tương đối tính.

• Lý thuyết eikonal trong quang học: Mô tả sự truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến đổi, trong đó hàm eikonal biểu diễn pha sóng và các tia sáng tương ứng với quỹ đạo của hạt trong trường thế ngoài. Phương trình Hamilton-Jacobi được sử dụng để liên hệ giữa pha eikonal và ham tác dụng trong cơ học cổ điển, từ đó mở rộng sang cơ học lượng tử.

• Phương pháp tích phân phiếm hàm (Feynman path integral): Đây là phương pháp giải phương trình Schrödinger bằng cách biểu diễn hàm Green dưới dạng tích phân theo tất cả các quỹ đạo có thể của hạt trong không gian pha. Phương pháp này cho phép tính biên độ tán xạ mà không cần dựa vào lý thuyết nhiễu loạn, phù hợp với các bài toán tán xạ năng lượng cao.

Các khái niệm chính bao gồm: biên độ tán xạ, tiết diện tán xạ vi phân, hàm Green của phương trình Schrödinger, pha eikonal, và gần đúng quỹ đạo thắng (stationary phase approximation).

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chủ yếu là các biểu thức toán học và mô hình lý thuyết được xây dựng dựa trên phương trình Schrödinger với thế ngoài cụ thể (Yukawa và Gauss). Phương pháp phân tích bao gồm:

• Giải phương trình Schrödinger dừng với thế ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm.
• Sử dụng gần đúng eikonal để rút ra biểu thức biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ.
• Áp dụng gần đúng quỹ đạo thắng để tính gần đúng tích phân phiếm hàm.
• So sánh kết quả với các biểu diễn eikonal truyền thống và các phương pháp khác như phương pháp sóng riêng phần.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các trường hợp thế ngoài cụ thể, với giả thiết năng lượng hạt cao và góc tán xạ nhỏ, phù hợp với điều kiện áp dụng gần đúng eikonal. Timeline nghiên cứu kéo dài trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ, hoàn thành năm 2016.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ: Luận văn đã thành công trong việc rút ra công thức biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ bằng phương pháp tích phân phiếm hàm, không dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Biên độ tán xạ được biểu diễn dưới dạng tích phân theo quỹ đạo thẳng, phù hợp với điều kiện năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ.

2. Điều kiện áp dụng gần đúng eikonal: Nghiên cứu xác định rõ các điều kiện về thế năng, năng lượng hạt và góc tán xạ để đảm bảo tính hợp lệ của gần đúng eikonal. Cụ thể, năng lượng hạt phải đủ lớn sao cho các số hạng đạo hàm bậc hai của pha eikonal có thể bỏ qua, và góc tán xạ phải nhỏ để khai triển cosθ thành chuỗi Taylor.

3. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể: Áp dụng công thức eikonal cho thế Yukawa và thế Gauss, luận văn đã tính được biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ vi phân. Ví dụ, với thế Yukawa, biên độ tán xạ được biểu diễn qua hàm Bessel cải biến K0, và tiết diện tán xạ toàn phần được tính chính xác với các tích phân đặc trưng. Tương tự, thế Gauss cũng cho kết quả phù hợp với mô hình lý thuyết.

4. Định lý quang học được chứng minh: Luận văn đã chứng minh định lý quang học liên hệ giữa tiết diện tán xạ toàn phần và phần ảo của biên độ tán xạ, khẳng định tính nhất quán của phương pháp nghiên cứu.

Thảo luận kết quả

Các kết quả thu được cho thấy phương pháp tích phân phiếm hàm là công cụ hiệu quả để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao trong cơ học lượng tử phi tương đối tính. Việc rút ra biểu diễn eikonal không dựa vào lý thuyết nhiễu loạn giúp mở rộng phạm vi ứng dụng, đặc biệt trong các trường hợp thế năng phức tạp hoặc hấp thụ.

So sánh với các nghiên cứu trước đây sử dụng phương pháp sóng riêng phần, phương pháp này giảm thiểu đáng kể độ phức tạp tính toán khi năng lượng hạt tăng cao, do không cần tính nhiều sóng riêng phần. Kết quả cũng phù hợp với các số liệu thực nghiệm về tán xạ hạt năng lượng cao, thể hiện qua các biểu đồ tiết diện tán xạ vi phân theo góc tán xạ.

Ngoài ra, việc áp dụng cho các thế ngoài cụ thể như Yukawa và Gauss giúp minh họa rõ ràng tính ứng dụng của phương pháp, đồng thời cung cấp cơ sở để phát triển các mô hình tương tác phức tạp hơn trong vật lý hạt nhân và vật lý hạt cơ bản.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển mô hình tán xạ với thế năng phức: Nghiên cứu nên mở rộng áp dụng phương pháp tích phân phiếm hàm cho các thế năng phức mô tả tương tác hấp thụ, nhằm mô phỏng chính xác hơn các quá trình tán xạ thực tế trong vật lý hạt nhân.

2. Tối ưu hóa thuật toán tính tích phân phiếm hàm: Đề xuất xây dựng các thuật toán số học hiệu quả để tính toán tích phân phiếm hàm trong không gian pha, giảm thiểu thời gian tính toán và tăng độ chính xác, đặc biệt khi áp dụng cho các hệ phức tạp.

3. Mở rộng phạm vi nghiên cứu về năng lượng và góc tán xạ: Khuyến nghị nghiên cứu các trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc góc tán xạ lớn hơn để đánh giá giới hạn và hiệu quả của gần đúng eikonal, từ đó phát triển các phương pháp gần đúng bổ sung.

4. Ứng dụng trong mô phỏng tương tác hạt cơ bản: Đề xuất phối hợp với các nhóm nghiên cứu thực nghiệm để áp dụng kết quả luận văn vào mô phỏng các quá trình tán xạ trong máy gia tốc hạt, hỗ trợ phân tích dữ liệu và dự đoán hiện tượng mới.

Các giải pháp trên nên được thực hiện trong vòng 3-5 năm tới, với sự phối hợp giữa các nhà vật lý lý thuyết, chuyên gia tính toán và nhóm thực nghiệm. Chủ thể thực hiện bao gồm các viện nghiên cứu vật lý hạt nhân, trường đại học chuyên ngành vật lý lý thuyết và các trung tâm tính toán khoa học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh vật lý lý thuyết: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp tính toán hiện đại về tán xạ trong cơ học lượng tử, giúp nâng cao kiến thức chuyên sâu và kỹ năng nghiên cứu.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu vật lý hạt nhân: Các kết quả và phương pháp trong luận văn hỗ trợ phát triển bài giảng, đề xuất hướng nghiên cứu mới và ứng dụng trong phân tích dữ liệu thực nghiệm.

3. Chuyên gia mô phỏng và tính toán khoa học: Phương pháp tích phân phiếm hàm và biểu diễn eikonal là công cụ quan trọng trong mô phỏng các quá trình vật lý phức tạp, giúp tối ưu hóa thuật toán và nâng cao hiệu quả tính toán.

4. Nhà khoa học làm việc tại các trung tâm nghiên cứu hạt nhân và vật lý hạt cơ bản: Luận văn cung cấp cơ sở lý thuyết và công cụ tính toán để phân tích các hiện tượng tán xạ năng lượng cao, hỗ trợ nghiên cứu và phát triển công nghệ mới.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp tích phân phiếm hàm có ưu điểm gì so với phương pháp sóng riêng phần?
   Phương pháp tích phân phiếm hàm không dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và không yêu cầu tính nhiều sóng riêng phần khi năng lượng hạt cao, giúp giảm độ phức tạp tính toán và mở rộng phạm vi ứng dụng cho các thế năng phức tạp.

2. Điều kiện nào đảm bảo gần đúng eikonal có thể áp dụng?
   Gần đúng eikonal áp dụng khi năng lượng hạt đủ lớn để bỏ qua các số hạng đạo hàm bậc hai của pha eikonal, và góc tán xạ nhỏ sao cho khai triển cosθ thành chuỗi Taylor là hợp lệ.

3. Phương pháp này có thể áp dụng cho các thế năng hấp thụ không?
   Có thể, tuy nhiên cần mở rộng nghiên cứu để xử lý thế năng phức mô tả tương tác hấp thụ, vì trong trường hợp này mật độ dòng xác suất không bảo toàn và pha eikonal trở thành số phức.

4. Kết quả nghiên cứu có thể hỗ trợ gì cho thực nghiệm?
   Kết quả cung cấp biểu thức biên độ và tiết diện tán xạ chính xác, giúp mô phỏng và phân tích dữ liệu tán xạ hạt năng lượng cao, từ đó dự đoán và giải thích các hiện tượng vật lý mới.

5. Có thể áp dụng phương pháp này cho các hệ nhiều hạt không?
   Phương pháp có thể mở rộng cho các hệ nhiều hạt, nhưng đòi hỏi phát triển thêm các kỹ thuật tính toán và mô hình hóa phức tạp hơn để xử lý tương tác đa hạt và hiệu ứng lượng tử.

Kết luận

• Luận văn đã phát triển thành công biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tính bằng phương pháp tích phân phiếm hàm, không dựa vào lý thuyết nhiễu loạn.
• Xác định rõ các điều kiện về năng lượng và góc tán xạ để áp dụng gần đúng eikonal, đảm bảo tính chính xác của phương pháp.
• Áp dụng thành công cho các thế ngoài cụ thể như Yukawa và Gauss, tính được biên độ và tiết diện tán xạ phù hợp với lý thuyết và thực nghiệm.
• Chứng minh định lý quang học liên quan đến biên độ và tiết diện tán xạ, khẳng định tính nhất quán của phương pháp nghiên cứu.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm mở rộng cho thế năng phức, tối ưu thuật toán tính tích phân phiếm hàm và ứng dụng trong mô phỏng tương tác hạt cơ bản.

Tiếp theo, cần triển khai các giải pháp đề xuất trong vòng 3-5 năm tới để nâng cao hiệu quả và phạm vi ứng dụng của phương pháp. Các nhà nghiên cứu và chuyên gia trong lĩnh vực vật lý lý thuyết được khuyến khích tham khảo và phát triển thêm dựa trên kết quả này.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1.Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế ngoài.1:Giới thiệu van tắt gần đúng eikonal được sử dụng trong quang học.2: Phát biéubai toán tán xạ trong cơ học lượng tử.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngoài ở xa vô cùng, từ đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tan xa.Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm. Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.2: Tach các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài dé thu được biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phân phiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thăng và khảo sát đáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Điều kiện sử dụng gần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt và góc tán xạ.Tan xạ trên thế ngoài cụ thể. Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thé.1: Nghiên cứu tán xạ thé Yukawa.2: Nghiên cứu tan xạ thế Gauss.

Phan kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướng nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới. Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ don vi nguyên tử #=c=1 va metric Feynman. Vớivéctơ tọa độ phản biến là xt (x° tx! =x,x =y,x° z) (t,x) thì các véctơ tọa độ hiệp biến là X„ Sux (x t,x, X,X; },X; z) (t, x), trong đótensor metric có dang 10 00 — „|0 =1 0 0 gwF lo 9 -1 0 00 0 -1 1 Chuong GAN DUNG EIKONAL CHO BAI TOÁN TAN XẠ|4] 1. Gan đúng eikonal trong quang hoc Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học.

Phương trình mô tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n mà trong trường hop tổng quát là hàm số của tọa độ n(7) và có dạng ở đây là thành phan bat kỳ của các vectơ E và 7. Nếu ø là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc vane (kor (1.2) Sô song k = lk , tan sô @ và bước sóng 4 liên hệ với nhau bang hệ thức @o 2z k=n—=—.3 Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phang trong toàn không gian là không đồi. Nếu môi trường không đồng nhất thì n(7) sẽ là hàm của tọa độ và sóng phăng (1.2) với vecto sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1. Tuy nhiên, nếu bước sóng 4 nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d, mà ở đó chiết suất n(7) thay đổi đáng ké, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là sóng phăng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng.

Các hướng như vậy được gọi là tia. Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng y = dể”.4) Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm ø được gọi là eikonal. Ta có thể khai triển nó thành chuỗi ph r7Vprr (1.5) Vi ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi m6,y có thé coi là sóng phẳng nên so sánh (1.2) chúng ta tìm được k=Vộ, Am.7) trong đó A(ae”)= V(V(ae"*)) = V(Vae* +iae”Vø) = V?ae" + Vaie®V $+ iVae*V 6 + iae"iV pV $+ iae”V°?ó : .8) =[V7a+2iVaV 9+ iaV7—a(V 9) |e” Tương tự ta có 6”, „y |Ca. PP (ô66Ý|„ ap (ae )= my 2i OP ar ia a a P e (1.7) ta được Aa+i2u8/+nAg-a( 90) ~” 7) TH 6 +g $a $0) |-acuo 2s 2 2 2 Phương trình (1.10) là phương trình chính xác, hoàn toàn tương đương với phương trình (1.

Giả thiệt rang a và ø là các hàm biên đôi chậm của tọa độ và thời gian, bỏ qua các sô - - &a Od Ga og hang chứa Aa, Ag, Va.10), chung ta thu dugc phuong ang a, Ag, VaVó or’ ô ` Ot at trinh eikonal cho ¢ (va) -(22) (%).11) ta duoc Các phương trình (1.12) được gọi là các phương trình eikonal. Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các mặt V(F,f)= const, (1.13) còn các tia được hướng theo k = Vợ. Lưu ý sự tương tu ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.12) với phương trình Hamilton-Jacobi, ma trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong trường thế ngoài'. Trong trường hợp khi ham Hamilton # (7,p) không phụ thuộc tường minh vào thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng a(n), (1.14) ở đây E là năng lượng cua hạt, S(7,r)=5,(7)—£r là ham tac dụng.

Xung lượng của hạt bằng p=VS(7,t)=VS,(7).15) Theo Vat ly cô điền, chuyền động của hạt trong hình thức luận Hamilton-Jacobi có thể so với các mặt sóng mà nó được xác định bằng phương trình S(¥,t) =const.16) Quỹ dao của hạt, như ta có thé suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này”. Đối với hạt chuyên động trong trường thế r(r) thì xung lượng của hạtđược xácđịnh bởi p°=2m(E—VŒ)).18) 'Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton thiết lập vào năm 1834. ? Lưu ý, tốc độ dịch chuyền của mặt Š (7.2) = cons¿ trong không gian không trùng với tốc - ¬ Ty. E độ v của hạt và liên hệ với vbang hệ thức u =——.

mv Kết hop (1.18) ta thay phương trình (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học cô điển, ham tác dụng s(z,:) chính là eikonal ø(z,:) trong quang hình học và đại lượng 2z(E—V (7)) tương tự với tổ hợp các đại lượng quang học Onl? ). Cc Như vậy, các tia sáng trong môi trường với chiết suất n(7) trùng với quỹ dao của hat 2 @ ^ A trong trường thế v(#) mà đối với nó đại lượng 2m(E-V(F)) tylévoi —-n’ (7). Hệ sô c 2 Cc ty lệ liên hệ giữa n?(7#)va 2m| E-V (7)|—, 2 là một đại lượng có thứ nguyên và không @ thé xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cô điển. Nếu sử dụng sự tương tự này gitta quang hoc sóng và cơ học cô điên thi ta có thê viet 2 ()= zL£=Y(Z)]Ss.

Phat biếu bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử Trước tiên, chúng ta xem xét gan đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát biêu bài toán tán xa. Nêusự tán xạ xảy ra trong thê năng có đôi xứng câu thi ham sóng ở xa vô cùng gôm sóng phăng tới và sóng câu tán xạ có dạng ikF y(7)~e*+ f(Aa)—, (1.21) r trong đó, hàm sé f(@) được gọi là biên độ tan xa. Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độ dòng các hạt tán xạ theo công thức tổng quát j= -[w'9w-w§w' ].(122) xe và lưu ý very = Ze (1.23) Mật độ dong của các hạt tới Ji => [vivy, -v Vy; | ao = h 2mi vie, ft We, a | ô Oz - dy, Oz =—— h —ikz > ikz ikz mm.24) =- 2q), _ =ve,=V, 2mi m trong đó, é, là véc tơ đơn vi theo trục z, ý là van tốc của hạt tới. Như vậy, mật độ dòng tới 7, có độ lớn là j, =v(1.25) Mật độ dong của các hạt tan xa ¬ h fe =| 2mi VV Ve (Vv) un | 1-26) trong đó cử v= =f(0 /(9).

elf Vv, =f (9) : = ikF lữ \ = (1.27) vy = HT pains -5 or r r ro |r VW, =f of ik 2 Ee. ; củ elt 7 r r r Thay (1.0 2| <5 1 tưng In ror 2mi =|/()jƑ (4 +) h r 2mi (1.9) Xác suất để cho hạt tán xạ rơi vào góc khối dQ , bang 7„d§ = jyr?dQ=|f (A) vdQ.30) Ty lệ giữa xác suât hat tan xa rơi vào góc khôi dQ va mật độ dong xác suat của các hat tớiđược gọi là tiết điện tán xạ vi phân J„ do= dS (1.31), ta được 10 dơ =|7(ø) dQ.32) Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi do_ 3a 7 (9) 33) Nhu vay, viéc xac dinh tiết diện tán xa hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiễn hành như sau: Tim nghiệm của phương trình Schrodinger cho chuyên động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại các khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.Khi đó Z(ø) là biên độ cần tìm.

Dé tìm biên độ tán xạ / (0), ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger SyA+£-f0)]fz)=00139 2m Khi r >othiy(7)co dạng tiệm cận (1. Trong nhiều trường hợp ta có thé kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điều kiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân. Điều này có thê thực hiện được nếu ta sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do G, (7, 7), mà nó thỏa mãn phương trình (E-H, tứ)@ (R7 )=[E+#TAxie ]@(n7)=ð{r=r}(138) Ta cho AG, (7.7) , rồi thế vào (1.35) ta được lãi 3 om (27) (1.36) Khi đó hàm G, (7, 7) có dạng G, (7,7) =(E-H, +ie)` 1 el) 2m 1 oil") = 3| 22 q= 2 dq 3Ỉ q dq (2z) gE" q +ie A (2z) Bem sie (1.37) 2m h 2m ( dg eat?) ¬ 1 2m c#Œ-? ñ° J(2Zz)` k-q +iò 4a |7-T!'| Wk 2m ( 2m ° ir 2) E = › Ò=— Nhờ có G, (F fF ) phương trình (1.34) sẽ chuyên thành phương trình tích phân vy; (7)=9; (7)+[G (77 )V (Fy; (7 Jar, (1.38) ở đây ø, (z) là nghiệm bat kỳ của phương trình Schrodinger tự do,vi dụ: ø; (7) = ef Bay giờ, ta chứng minh y, (7) được xác định bằng phương trình (1.38) khi z->œ có dang tiệm cận (1.38) ta được F te (1.39) 12 Khi lấy tích phân theo df’ ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng r{r) (xem hình 1). Khi r > cta có thé tính gần đúng như sau ự,(z)=e# 2 1 2m e"V(F ly, (7 ar.41) Dai lượng k = k— là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho r hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.21), chúng ta thu được biéu thức cho biên độ tán xạ f(9)= nh? ——T ƒ < “ r ữ } w ; ( ) œ .42) cho ta biên độ tán xạ f (8), nếu biết nghiệm của phương trình Schrodinger ự„ (z').

Lưu ý, trong biểu thức (1.42) ta cần hiểu y, (z') không phải toàn bộ không gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế V(F'). Lời giải của phương trình Schrodinger trong gần đúng eikonal Chúng ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.34) có dạng song phang mà trong quá trình tương tác với thé năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bésung z(7). Ta thu được ự()=e”z), (1.34), ta có phương trình chính xác cho y rổ2m ays”2m [2Sy +(92) |+yŒ)=0 (1.