Luận văn mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

Chuyên đề nghiên cứu Mômen từ dị thường của electron và điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học, cập nhật xu hướng mới, giá trị tham khảo cao

• Tác giả: Phạm Thị Thuận
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Xuân Hãn
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
• Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
• Đề tài: Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ khoa học
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON
• 1.1. Phương trình Pauli
• 1.2. Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính
• 1.3. Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON
• 2.1. S-ma trận
• 3. CHƯƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• DANH MỤC HÌNH VẼ

Tóm tắt

I. Phương trình Pauli và mômen từ của electron

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin 1/2 chuyển động trong trường điện từ ngoài. Nó được xây dựng từ phương trình Schrödinger, với số hạng tương tác giữa mômen từ của electron và trường điện từ. Mômen từ của electron được xác định bởi magneton Bohr, và khi electron tương tác với trường điện từ, năng lượng tương tác phụ được thêm vào Hamiltonian. Phương trình Dirac cho electron trong trường điện từ ngoài cũng dẫn đến mômen từ, nhưng với độ chính xác cao hơn. Việc nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli là cần thiết để hiểu rõ hơn về mômen từ dị thường của electron. Các bổ chính này được thực hiện thông qua phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen, cho phép chéo hóa toán tử Hamilton đến bậc cao hơn. Điều này giúp giải thích các hiện tượng vật lý liên quan đến mômen từ của electron trong các trường hợp khác nhau.

1.1 Phương trình Dirac cho electron

Phương trình Dirac mô tả electron trong trường điện từ ngoài, cho phép nghiên cứu các hiệu ứng tương tác giữa electron và từ trường. Khi áp dụng giới hạn phi tương đối tính, phương trình này dẫn đến các kết quả tương tự như phương trình Pauli, nhưng với độ chính xác cao hơn. Các nghiệm dương và âm của phương trình Dirac cho thấy sự phân ly giữa các trạng thái spin của electron. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về mômen từ của electron và các hiện tượng liên quan đến spin trong vật lý hạt. Việc áp dụng các bổ chính tương đối tính cho phương trình Dirac cũng giúp cải thiện độ chính xác của các tính toán liên quan đến mômen từ dị thường.

II. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường của electron

Giản đồ Feynman là công cụ quan trọng trong lý thuyết điện động lực học lượng tử (QED) để mô tả các quá trình tán xạ của electron trong trường điện từ. Các giản đồ này cho phép tính toán các đóng góp vào mômen từ dị thường của electron thông qua các bậc khác nhau của lý thuyết nhiễu loạn. Trong gần đúng một vòng, các giản đồ Feynman mô tả sự tương tác giữa electron và trường điện từ, cho phép xác định các yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ. Việc phân tích các giản đồ này giúp hiểu rõ hơn về các hiệu ứng vật lý liên quan đến mômen từ dị thường, cũng như các bổ chính cần thiết để đạt được độ chính xác cao trong các tính toán. Các giản đồ Feynman không chỉ cung cấp cái nhìn sâu sắc về các tương tác cơ bản mà còn giúp phát triển các lý thuyết mới trong vật lý hạt.

2.1 S ma trận và quá trình tán xạ

S-ma trận là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết lượng tử, mô tả quá trình tán xạ của các hạt. Trong trường hợp của electron tương tác với trường điện từ, S-ma trận cho phép tính toán xác suất tán xạ và các yếu tố ma trận liên quan. Các giản đồ Feynman được sử dụng để biểu diễn các quá trình này, cho phép phân tích các bậc khác nhau của lý thuyết nhiễu loạn. Việc sử dụng S-ma trận giúp đơn giản hóa các tính toán phức tạp và cung cấp cái nhìn rõ ràng về các tương tác giữa electron và trường điện từ. Điều này không chỉ quan trọng trong việc hiểu rõ mômen từ dị thường mà còn trong việc phát triển các lý thuyết mới trong vật lý hạt.

III. Bổ chính cho mômen từ dị thường

Bổ chính cho mômen từ dị thường của electron là một phần quan trọng trong nghiên cứu điện động lực học lượng tử. Việc tính toán bổ chính này thường được thực hiện trong gần đúng một vòng, nơi mà các hiệu ứng phân kỳ được tách biệt và xử lý. Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên được sử dụng để loại bỏ các phân kỳ không mong muốn trong quá trình tính toán. Điều này cho phép đạt được các kết quả chính xác hơn cho mômen từ dị thường của electron. Các bổ chính này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác của các tính toán lý thuyết mà còn có ý nghĩa quan trọng trong việc so sánh với các kết quả thực nghiệm. Việc hiểu rõ các bổ chính này cũng giúp mở rộng kiến thức về các hiện tượng vật lý liên quan đến mômen từ và spin của electron.

3.1 Mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng

Trong gần đúng một vòng, mômen từ dị thường của electron được tính toán bằng cách sử dụng các giản đồ Feynman và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho phép đạt được các kết quả chính xác hơn. Các tính toán này thường phức tạp và yêu cầu sự chú ý đến nhiều yếu tố khác nhau, bao gồm khối lượng photon và các tương tác với trường điện từ. Kết quả thu được từ các tính toán này không chỉ quan trọng trong việc hiểu rõ mômen từ dị thường mà còn có ý nghĩa trong việc phát triển các lý thuyết mới trong vật lý hạt. Việc so sánh các kết quả lý thuyết với thực nghiệm cũng giúp xác nhận tính chính xác của các mô hình lý thuyết hiện có.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Mômen từ dị thường của electron là một trong những hiện tượng vật lý quan trọng trong lĩnh vực điện động lực học lượng tử (QED), phản ánh sự tương tác phức tạp giữa electron và chân không vật lý của trường điện từ. Theo các số liệu thực nghiệm, mômen từ của electron không hoàn toàn trùng khớp với giá trị dự đoán từ phương trình Dirac, mà có một phần dị thường nhỏ nhưng có ý nghĩa lớn về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Mục tiêu của luận văn là tính toán bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron trong QED bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, nhằm loại bỏ các phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman. Nghiên cứu được thực hiện trong phạm vi lý thuyết lượng tử phi tương đối tính và tương đối tính, tập trung vào các giản đồ Feynman bậc thấp nhất và gần đúng một vòng, với dữ liệu và phương pháp phân tích dựa trên lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc nâng cao độ chính xác trong dự đoán mômen từ dị thường, góp phần củng cố nền tảng lý thuyết cho các mô hình vật lý hạt cơ bản và mở rộng ứng dụng trong các lý thuyết trường phức tạp hơn như mô hình chuẩn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai khung lý thuyết chính: phương trình Pauli và phương trình Dirac trong điện động lực học lượng tử. Phương trình Pauli mô tả chuyển động của hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài, bao gồm số hạng tương tác mômen từ với trường ngoài, được xây dựng từ phương trình Schrödinger mở rộng với spin. Phương trình Dirac cung cấp mô tả tương đối tính cho electron, trong đó phép gần đúng phi tương đối tính dẫn đến phương trình Pauli với các bổ chính tương đối tính được xử lý qua phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen. Các khái niệm chính bao gồm mômen từ electron, mômen từ dị thường, giản đồ Feynman, hệ số dạng điện từ, và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên để khử phân kỳ trong tính toán. Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến được sử dụng để phân tích các quá trình tán xạ electron với trường điện từ ngoài, trong đó các giản đồ Feynman bậc thấp nhất và gần đúng một vòng đóng vai trò chủ đạo.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chủ yếu là các biểu thức toán học và công thức vật lý được xây dựng từ lý thuyết QED, kết hợp với các số liệu thực nghiệm về mômen từ dị thường của electron. Phương pháp phân tích chính là tính toán bổ chính cho mômen từ dị thường thông qua giản đồ Feynman, sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên để tách phần phân kỳ và phần hữu hạn của các tích phân vòng. Cỡ mẫu ở đây là tập hợp các giản đồ Feynman bậc thấp nhất và gần đúng một vòng, được chọn vì chúng chiếm đóng góp chủ yếu và có thể xử lý được về mặt toán học. Timeline nghiên cứu bao gồm việc xây dựng khung lý thuyết, phân tích các giản đồ Feynman, áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, và so sánh kết quả với số liệu thực nghiệm. Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên được lựa chọn do tính phổ biến và hiệu quả trong việc xử lý phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phương trình Pauli và mômen từ electron: Phương trình Pauli với số hạng tương tác mômen từ electron với trường điện từ ngoài được thu nhận bằng hai cách: tổng quát hóa phương trình Schrödinger và gần đúng phi tương đối tính từ phương trình Dirac. Việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen cho phép tính các bổ chính tương đối tính đến bậc cao hơn, giúp mô tả chính xác hơn mômen từ của electron.

2. Đóng góp của giản đồ Feynman vào mômen từ dị thường: Các giản đồ Feynman bậc thấp nhất và gần đúng một vòng được phân tích chi tiết, trong đó giản đồ đỉnh Feynman đóng góp chủ yếu vào mômen từ dị thường. Việc bỏ qua các giản đồ liên quan đến tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích và hàm sóng giúp tập trung vào phần đóng góp chính. Số liệu cho thấy mômen từ dị thường được tính toán phù hợp với thực nghiệm với sai số tính toán khoảng 0.1%.

3. Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong khử phân kỳ: Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên được áp dụng thành công để tách phần phân kỳ loga tử ngoại và phần hữu hạn trong các tích phân vòng. Kết quả tính toán bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron đạt được giá trị phù hợp với số liệu thực nghiệm, xác nhận tính hiệu quả của phương pháp.

4. Mômen từ dị thường và các bổ chính lượng tử cao hơn: Mômen từ dị thường của electron được tính đến bậc sáu trong lý thuyết QED, bao gồm các tương tác yếu và các giản đồ Feynman phức tạp hơn. Kết quả lý thuyết trùng khớp với số liệu thực nghiệm với độ chính xác cao, thể hiện qua giá trị hằng số cấu trúc tinh tế và các bổ chính Schwinger.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của mômen từ dị thường là do tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ, điều mà cơ học lượng tử cổ điển không thể giải thích. Việc sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên giúp xử lý hiệu quả các phân kỳ trong tính toán, đồng thời giữ lại phần hữu hạn có ý nghĩa vật lý. So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả luận văn phù hợp với các tính toán của Schwinger và các nhà vật lý khác, đồng thời mở rộng bằng cách áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong bối cảnh lý thuyết trường hiện đại. Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ so sánh giá trị mômen từ dị thường tính toán và thực nghiệm, cũng như bảng tổng hợp các bổ chính từ các giản đồ Feynman khác nhau, giúp minh họa rõ ràng sự phù hợp và tiến bộ của phương pháp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Mở rộng tính toán mômen từ dị thường cho các hạt cơ bản khác: Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên để tính bổ chính mômen từ dị thường cho proton, neutron và các hạt cơ bản khác, nhằm nâng cao độ chính xác dự đoán trong vật lý hạt cơ bản. Thời gian thực hiện dự kiến trong vòng 2-3 năm, do các hạt này có tương tác mạnh phức tạp hơn.

2. Phát triển phần mềm tính toán tự động giản đồ Feynman: Xây dựng công cụ tính toán tự động các giản đồ Feynman bậc cao sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, giúp giảm thiểu sai sót và tăng hiệu quả nghiên cứu. Chủ thể thực hiện là các nhóm nghiên cứu vật lý lý thuyết và công nghệ thông tin trong 1-2 năm.

3. Nghiên cứu ảnh hưởng của tương tác yếu và sắc động học lượng tử: Mở rộng mô hình để bao gồm các tương tác yếu và sắc động học lượng tử, nhằm hoàn thiện mô hình chuẩn và dự đoán các hiệu ứng mới. Khuyến nghị thực hiện trong giai đoạn 3-5 năm với sự phối hợp đa ngành.

4. Tăng cường hợp tác quốc tế trong nghiên cứu lý thuyết trường lượng tử: Thúc đẩy hợp tác với các trung tâm nghiên cứu quốc tế để trao đổi phương pháp và số liệu, nâng cao chất lượng và tầm ảnh hưởng của nghiên cứu. Chủ thể là các viện nghiên cứu và trường đại học, thực hiện liên tục.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh vật lý lý thuyết: Luận văn cung cấp nền tảng vững chắc về phương trình Dirac, Pauli và các phương pháp tính toán mômen từ dị thường, hỗ trợ học tập và nghiên cứu chuyên sâu.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản: Tài liệu chi tiết về phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và giản đồ Feynman giúp phát triển các nghiên cứu mới và giảng dạy nâng cao.

3. Chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng vật lý lượng tử: Các công thức và phương pháp tính toán trong luận văn là cơ sở để xây dựng các thuật toán mô phỏng chính xác các hiện tượng lượng tử.

4. Các nhà khoa học làm việc trong lĩnh vực mô hình chuẩn và lý thuyết trường lượng tử: Luận văn cung cấp dữ liệu và phương pháp để mở rộng nghiên cứu về tương tác điện từ, yếu và mạnh trong mô hình chuẩn.

Câu hỏi thường gặp

1. Mômen từ dị thường của electron là gì?
   Mômen từ dị thường là phần chênh lệch giữa mômen từ thực tế của electron và giá trị dự đoán từ phương trình Dirac, do tương tác với chân không vật lý của trường điện từ gây ra. Ví dụ, giá trị thực nghiệm lớn hơn giá trị lý thuyết ban đầu khoảng 0.00116.

2. Tại sao phải sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên?
   Phương pháp này giúp loại bỏ các phân kỳ trong tích phân vòng của giản đồ Feynman một cách hiệu quả và duy trì tính bất biến thứ nguyên, rất quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại.

3. Phương trình Pauli và Dirac khác nhau như thế nào trong nghiên cứu này?
   Phương trình Dirac mô tả electron tương đối tính đầy đủ, trong khi phương trình Pauli là gần đúng phi tương đối tính, được suy ra từ Dirac bằng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen, giúp tính toán mômen từ dễ dàng hơn trong giới hạn vận tốc thấp.

4. Các giản đồ Feynman đóng góp như thế nào vào mômen từ dị thường?
   Các giản đồ Feynman bậc thấp nhất và gần đúng một vòng mô tả các tương tác của electron với chân không vật lý, trong đó giản đồ đỉnh Feynman đóng vai trò chủ đạo trong việc tạo ra mômen từ dị thường.

5. Kết quả tính toán có phù hợp với thực nghiệm không?
   Kết quả tính toán sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phù hợp rất tốt với số liệu thực nghiệm, với sai số tính toán chỉ khoảng 0.1%, khẳng định độ chính xác và hiệu quả của phương pháp.

Kết luận

• Phương trình Pauli với số hạng tương tác mômen từ electron được xây dựng từ phương trình Schrödinger và gần đúng phi tương đối tính của phương trình Dirac.
• Mômen từ dị thường xuất hiện do tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ, được mô tả qua giản đồ Feynman trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
• Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên hiệu quả trong việc khử phân kỳ và tách phần hữu hạn của bổ chính mômen từ dị thường, cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.
• Kết quả nghiên cứu là cơ sở để mở rộng tính toán mômen từ cho các hạt cơ bản khác và phát triển các lý thuyết trường phức tạp hơn.
• Khuyến nghị tiếp tục nghiên cứu mở rộng, phát triển công cụ tính toán và tăng cường hợp tác quốc tế để nâng cao chất lượng nghiên cứu trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON 8 Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của mômen từ với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc ta có phương trình Pauli cho electron với mômen từ. Nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen.1 Phương trình Pauli Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là. Kết quả để cho hàm sóng là một spinor hai thành phần (1.1) Vì hạt có spin nên nó có mômen từ.

Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của hạt với spin bằng .2) - là magneton Bohr, còn là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ.3) Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng 9 (1.4) Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây trong phương trình Schrodinger (1.5) Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ. Kết quả ta thu được phương trình (1.6) ở đây , là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình (1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có: (1.7) Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần (1.8) Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình (1.9) 10 Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần dưới).10) Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+) (1.11) Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-) (1.12) Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor liên hệ với và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor liên hệ với thừa số .12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta có (1.13) Và để cho nghiệm âm (1.14) Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau , (1.15) 11 Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac (1.16) đúng đến bậc cùng với toán tử và tự liên hợp.

Nếu chúng ta giới hạn ở nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính xác trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn (thừa số Lande) (1.17) Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”. Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai. Rõ ràng trong những trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính với các mômen từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng mômen.(xem them bài tập 11 và 22) 12 Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác .18) Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục và trong trường hợp nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương đối tính.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc và sai sót trong Hamilton ở bậc.

Trong giới hạn này là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn toàn “phân ly ”. Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phương trình Dirac. Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc và phương trình Dirac ở dạng (1.21) ở đây và là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp với mục đích là 13 thay đổi các biểu diễn mới trong đó cao hơn và cao hơn bậc sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc.

Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được (1.23) Và phép biến đổi thứ hai ta có (1.25) và tiếp tục.Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là (1.26) Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng như công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán cho việc tính toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến (1.29) 14 Như ta đã thấy bây giờ đã nâng lên hai bậc Từ đây chúng ta nhận được toán tử đúng đến bậc , đúng trong phương trình Pauli (1.16) Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với cùng (1.30) Từ đây suy ra (1.33) Bỏ qua tất cả các số hạng (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn (1.34) Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac (1.35) Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau 15 (1.36) Tiếp theo ta tính giao hoán tử 16 (1.37) Khi tính các công thức (1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau (1.38) Đúng đắn đến bậc với việc chéo hóa Hamilton (1.39) Và ta có hàm sóng (1.40) Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những bậc cao hơn có thể thực hiện Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây - Khi các là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung bình như phép biến đổi - Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa khi sự biến đổi (1.41) tương đương với (1.42) - Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép biến đổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phương pháp 17 Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt.

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ. - Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.43) Cùng với các toán tử chẵn , và toán tử lẻ lặp lại các hệ thức này theo (1.46) Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó (1.47) Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt và phản hạt và đúng cho bậc.

-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phương trình (2. Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện (1.48) Trong trường hợp này ta có (1.49) 18 Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tương ứng (1.50) Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron.

Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số 1. Trong trường hợp của thế Coulomb hai thành phần cuối cùng là và (1.51) Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s-trạng thái. Tổng kết - Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối tính của phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp.

Từ đây suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng nhất cho phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½. - Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ là gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy – Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao hơn. Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu , mà từ đây ta thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.

1 Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau: Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.