Luận án tiến sĩ: Nghiên cứu định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương

Khám phá luận án tiến sĩ về các vấn đề định tính trong lớp phương trình vi phân không địa phương, cung cấp cái nhìn sâu sắc và phân tích chi tiết.

• Tác giả: Lâm Trần Phương Thủy
• Người hướng dẫn: PGS. Trần Đình Kế
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
• Đề tài: Một Số Vấn Đề Định Tính Đối Với Lớp Phương Trình Vi Phân Không Địa Phương
• Loại tài liệu: luận án
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 2. CHƯƠNG 2: TÍNH CHÍNH QUY VÀ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
• 3. CHƯƠNG 3: TÍNH TIÊU HAO VÀ ỔN ĐỊNH CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CÓ TRỄ HỮU HẠN
• 4. CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG NỬA TUYẾN TÍNH
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương trình vi phân không địa phương

Phương trình vi phân không địa phương là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học ứng dụng. Phương trình vi phân này có đặc điểm là đạo hàm của hàm trạng thái không được xác định tại từng điểm mà thông qua một công thức tích phân. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các quá trình khuếch tán dị thường, một chủ đề đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Các phương trình này có thể mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp, như khuếch tán chậm hoặc siêu chậm. Nghiên cứu về phương trình vi phân không địa phương không chỉ giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng tự nhiên mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, hóa học và sinh học.

1.1 Định nghĩa và ứng dụng

Định nghĩa về phương trình vi phân không địa phương được đưa ra như sau: đạo hàm của hàm trạng thái được xác định thông qua một công thức tích phân. Điều này cho phép mô hình hóa các hiện tượng mà trong đó thông tin từ các điểm khác nhau trong không gian có thể ảnh hưởng đến giá trị tại một điểm cụ thể. Các ứng dụng của loại phương trình này rất đa dạng, từ mô hình hóa sự khuếch tán trong vật liệu đến các mô hình sinh học phức tạp. Việc nghiên cứu các phương trình vi phân này không chỉ giúp phát triển lý thuyết mà còn cung cấp các công cụ hữu ích cho việc giải quyết các bài toán thực tiễn.

II. Tính chính quy và ổn định của nghiệm

Tính chính quy và ổn định của nghiệm là hai yếu tố quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân không địa phương. Tính chính quy đề cập đến khả năng tồn tại nghiệm trong không gian các hàm có tính chất nhất định, trong khi tính ổn định liên quan đến việc nghiệm có thể duy trì các đặc tính của nó khi có sự thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, để đảm bảo tính chính quy, cần có các điều kiện nhất định về các tham số trong phương trình. Hơn nữa, tính ổn định của nghiệm cũng phụ thuộc vào các yếu tố như cấu trúc của phương trình và các điều kiện biên. Việc thiết lập các điều kiện đủ cho tính chính quy và ổn định là một trong những mục tiêu chính của nghiên cứu này.

2.1 Các điều kiện cần thiết

Để đảm bảo tính chính quy và ổn định của nghiệm cho phương trình vi phân không địa phương, cần thiết phải xác định các điều kiện cần thiết cho các tham số trong phương trình. Các điều kiện này thường liên quan đến tính chất của hàm ngoại lực và các điều kiện biên. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng, nếu các tham số được chọn phù hợp, nghiệm sẽ tồn tại và có tính ổn định. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như xử lý tín hiệu và mô hình hóa các quá trình vật lý.

III. Bài toán giá trị cuối

Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương là một trong những chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Bài toán này liên quan đến việc xác định trạng thái của hệ thống tại một thời điểm cụ thể dựa trên các điều kiện ban đầu và các thông tin bổ sung. Việc giải quyết bài toán này thường phức tạp hơn so với bài toán giá trị đầu, do sự phụ thuộc vào các điều kiện biên và các tham số không xác định. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng, để giải quyết bài toán giá trị cuối, cần áp dụng các phương pháp giải tích và lý thuyết hàm hoàn toàn dương. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.

3.1 Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương, các phương pháp giải tích và lý thuyết hàm hoàn toàn dương được sử dụng. Các phương pháp này cho phép xác định nghiệm trong các trường hợp khác nhau, bao gồm cả khi dữ kiện không chính quy. Việc áp dụng các kỹ thuật này giúp mở rộng khả năng giải quyết các bài toán phức tạp, đồng thời cung cấp các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính quy và ổn định của nghiệm. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ vật lý đến sinh học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. Trần Đình Kế Hà Nội - 2020 luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. Trần Đình Kế. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Nghiên cứu sinh Lâm Trần Phương Thủy luan an LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. Trần Đình Kế. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với Thầy, PGS. Trần Đình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận án này. Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả không những hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiên cứu tiếp theo. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Điện lực đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả luan an 3 Mục lục Lời cam đoan . KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . CÁC KHÔNG GIAN HÀM . Các không gian hàm quan trọng . Định lí Arzelà-Ascoli . TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN . LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH . Toán tử tuyến tính đóng . Toán tử tự liên hợp . Lũy thừa của toán tử . MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG . Nguyên lý ánh xạ co . Nguyên lý điểm bất động Schauder . Nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén . TOÁN TỬ ĐẠO HÀM KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG . Giới thiệu toán tử đạo hàm không địa phương . Nhân hoàn toàn đơn điệu và cặp nhân Sonine . Một số ví dụ điển hình . PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÔ HƯỚNG 26 luan an 4 1. Phương trình Volterra vô hướng . Tính chất nghiệm của phương trình Volterra . TOÁN TỬ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 30 1. Biểu diễn nghiệm . Tính chính quy của toán tử S(t) và R(t) . TÍNH CHÍNH QUY VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG 40 2. ĐẶT BÀI TOÁN . SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH . Tính giải được . Tính chính quy nghiệm . TÍNH GIẢI ĐƯỢC, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CHO BÀI TOÁN NỬA TUYẾN TÍNH . Tính giải được . Tính ổn định nghiệm . Tính liên tục Hölder của nghiệm nhẹ . TÍNH TIÊU HAO VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CÓ TRỄ HỮU HẠN . ĐẶT BÀI TOÁN . TÍNH GIẢI ĐƯỢC . TÍNH TIÊU HAO, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH YẾU CỦA NGHIỆM . Bất đẳng thức kiểu Halanay . Tính tiêu hao . Tính ổn định tiệm cận của nghiệm . Tính ổn định yếu của nghiệm . BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG NỬA TUYẾN TÍNH . ĐẶT BÀI TOÁN . BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI . Công thức nghiệm của bài toán tuyến tính . Tính chất toán tử . Định nghĩa nghiệm nhẹ . SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY . TÍNH GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐIỀU KIỆN KHÔNG CHÍNH QUY 87 4. 93 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 100 luan an 6 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân không địa phương” (nonlocal differential equation) dùng để chỉ những phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của hàm trạng thái không xác định tại từng điểm mà xác định thông qua một công thức tích phân (gọi là đạo hàm “có nhớ”). Lớp phương trình không địa phương tiêu biểu sau đây mô tả các quá trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u, (1) trong đó u = u(t, x) là hàm trạng thái, k là một hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ là ký hiệu tích chập Laplace, ∆ là toán tử Laplace theo biến không gian. Lớp phương trình này được nghiên cứu gần đây trong các công trình của Zacher và các cộng sự [26, 49]. Đặc biệt, khi t−α k(t) = g1−α (t) = , 0 < α < 1, (2) Γ(1 − α) thì phương trình trên là phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mô tả quá trình dưới khuếch tán (subdiffusion), là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong hai thập kỷ qua. Phương trình (1) với nhân k được cho bởi (2) chính là phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo. Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ là mô hình tiêu biểu của phương trình vi phân không địa phương, hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Các kết quả về tính ổn định Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ có thể tìm thấy trong các công trình [2, 11, 32, 43] và các tài liệu tham khảo trong đó. Liên quan đến tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho các hệ vi phân phân thứ, có thể kể đến các kết quả gần đây trong các công trình [31, 33, 58]. Với các hệ vi phân phân thứ trong không gian vô hạn chiều, một số kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu đã được thiết lập trong các công trình [7, 19, 23]. Trong công trình [49], các tác giả đã xem xét các trường hợp khác nhau của phương trình (1) khi thay nhân k bởi các hàm khả tích, từ đó dẫn đến luan an 7 các mô hình khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) và ý nghĩa vật lý của chúng. Những kết quả này gợi ý cho chúng ta những vấn đề nghiên cứu mới, trong đó đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân không địa phương nửa tuyến tính tổng quát trong các không gian Banach hoặc Hilbert dạng d [k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u), (3) dt với A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, f là một hàm phi tuyến cho trước. Theo khảo sát của chúng tôi, những kết quả nghiên cứu định tính cho phương trình (3) chưa được biết đến nhiều, các kết quả đã biết chủ yếu thiết lập cho trường hợp cụ thể khi A là toán tử elliptic mạnh. Những vấn đề cần nghiên cứu đối với lớp phương trình (3) bao gồm: • Tính giải được và tính chính quy của nghiệm; • Sự tồn tại các lớp nghiệm tuần hoàn, nghiệm tiêu hao; • Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu; • Tính ổn định/tính hút trong thời gian hữu hạn; • Bài toán giá trị cuối. Chú ý rằng ánh xạ nghiệm của (3) nói chung không có tính chất nửa nhóm nên việc sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm là không khả thi. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov cũng rất khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm do không gian pha (nói chung) là không gian vô hạn chiều và việc tính đạo hàm có nhớ trên phiếm hàm Lyapunov rất khó thực hiện. Đặc biệt, nếu trong (3) có sự xuất hiện của trễ thời gian sẽ dẫn đến nhiều khó khăn trong nghiên cứu tính ổn định của nghiệm. Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm những cách tiếp cận mới. Bên cạnh đó, bài toán ngược cho phương trình vi phân không địa phương cũng là một nội dung mới mẻ và có nhiều khía cạnh lí thú. Trên thực tế, khi mô hình hoá một bài toán bởi một hệ phương trình tiến hoá, có hai tình huống được xem xét. Tình huống đầu tiên là ta có thể xác định được các hệ số và dữ kiện ban đầu của hệ phương trình. Khi đó ta có thể giải hệ hoặc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm bằng các công cụ giải tích. Bài toán ứng với tình huống này gọi là bài toán thuận (forward luan an 8 problem). Tình huống thứ hai xảy ra khi ta không xác định được đầy đủ các hệ số trong phương trình hoặc không đo được dữ kiện ban đầu. Khi đó cùng lúc ta phải xác định các hệ số hoặc dữ kiện và nghiệm tương ứng của hệ dựa vào những ‘đo đạc’ bổ sung. Lúc này ta có bài toán ngược (inverse problem). Cần nhấn mạnh rằng, khác với bài toán thuận, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao và cần có cách tiếp cận phù hợp với từng trường hợp cụ thể. Chính vì vậy, các phương pháp giải bài toán ngược rất phong phú. Trong một thập kỷ qua, bài toán ngược đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán xác định ngoại lực trong phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đã được đề cập trong nhiều bài báo, tiêu biểu là các kết quả trong [4, 14, 27, 40, 53, 59], ở đó phương pháp khai triển Fourier được sử dụng. So với trường hợp tuyến tính, bài toán xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều và các kết quả liên quan còn ít được biết đến.