Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Trường Đại Học: Nghiên Cứu Định Lý Rolle và Ứng Dụng Trong Không Gian Mêtric Suy Rộng Baire

• Người hướng dẫn: TS. 1
• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Chuyên Ngành
• Đề tài: Nghiên Cứu Định Lý Rolle và Ứng Dụng Trong Không Gian Mêtric Suy Rộng Baire
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ

• PHẦN MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 2. ĐỊNH LÝ ROLLE
• 3. ĐỘ GIAO HOÁN TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MỞ RỘNG NHÓM
• 4. CÁC CẬN CHO ĐỘ GIAO HOÁN TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT NHÓM CON
• 5. ĐỊNH LÝ CAUCHY
• 6. XẤP XỈ BỞI TÍCH CHẬP TRONG LP
• 7. ĐẠI SỐ VÀ SIGMA ĐẠI SỐ
• 8. ĐỘ GIAO HOÁN TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MỞ RỘNG NHÓM

I. Tổng Quan Về Định Lý Rolle Trong Giải Tích Toán Học

Bài viết này khám phá sâu về định lý Rolle, một công cụ quan trọng trong giải tích toán học. Định lý Rolle cung cấp một điều kiện cần để một hàm số có đạo hàm bằng không tại một điểm nào đó trong khoảng xác định. Nghiên cứu này mở rộng phạm vi ứng dụng của định lý Rolle sang không gian metric suy rộng Baire, một lĩnh vực toán học cao cấp đang phát triển. Mục tiêu là đưa ra định nghĩa và tìm hiểu các tính chất của không gian metric suy rộng Baire, đặc biệt là các tính chất liên quan đến định lý điểm bất động và ứng dụng của nó. Luận văn được chia thành 3 chương, bắt đầu bằng các khái niệm cơ bản về không gian metric và không gian tựa metric.

1.1. Lịch Sử và Ý Nghĩa của Định Lý Rolle

Định lý Rolle có một lịch sử lâu đời và đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển giải tích toán học. Nó là nền tảng cho nhiều định lý khác, bao gồm cả định lý giá trị trung bình. Định lý Rolle liên kết giữa giá trị của một hàm số tại hai điểm và giá trị của đạo hàm của nó ở giữa hai điểm đó. Theo tài liệu gốc, cơ sở của định lý Rolle dựa trên hai định lý cơ bản là Weierstrass và Fermat. Định lý Weierstrass khẳng định rằng khi hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn và tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

1.2. Giới Thiệu Không Gian Metric Suy Rộng Baire

Không gian metric suy rộng Baire là một khái niệm toán học cao cấp mở rộng khái niệm không gian metric thông thường. Nó được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của các hàm số và các ánh xạ co trong các không gian phức tạp hơn. Tính đầy đủ Baire là một tính chất quan trọng của không gian metric suy rộng Baire, cho phép chứng minh sự tồn tại của các điểm cố định và các kết quả khác trong giải tích. Chương 2 của luận văn trình bày các khái niệm, tính chất của không gian p-metric và không gian metric suy rộng Baire.

II. Thách Thức Khi Áp Dụng Định Lý Rolle Trong Không Gian Baire

Việc áp dụng định lý Rolle trong không gian Baire đặt ra nhiều thách thức do tính chất phức tạp của không gian này. Các điều kiện của định lý Rolle, như tính liên tục và khả vi, cần được xem xét cẩn thận trong bối cảnh không gian Baire. Một trong những khó khăn chính là việc xác định đạo hàm của một hàm số trong không gian metric suy rộng. Ngoài ra, việc chứng minh sự tồn tại của một điểm mà tại đó đạo hàm bằng không cũng trở nên phức tạp hơn. Chương 3 trình bày ứng dụng của không gian metric suy rộng Baire vào phân tích tiệm cận độ phức tạp của các thuật toán.

2.1. Vấn Đề Về Tính Liên Tục và Khả Vi Trong Không Gian Metric

Tính liên tục và khả vi là hai khái niệm cơ bản trong giải tích toán học. Tuy nhiên, định nghĩa và tính chất của chúng có thể khác nhau trong các không gian metric khác nhau. Trong không gian metric suy rộng, việc xác định tính liên tục và khả vi đòi hỏi phải xem xét cấu trúc đặc biệt của không gian đó. Ví dụ, một hàm số có thể liên tục theo một nghĩa nào đó nhưng không liên tục theo một nghĩa khác. Điều này gây khó khăn cho việc áp dụng trực tiếp định lý Rolle.

2.2. Khó Khăn Trong Việc Chứng Minh Sự Tồn Tại Nghiệm

Ngay cả khi các điều kiện về tính liên tục và khả vi được thỏa mãn, việc chứng minh sự tồn tại của một điểm mà tại đó đạo hàm bằng không vẫn có thể là một thách thức. Trong không gian Baire, các phương pháp chứng minh thông thường có thể không áp dụng được do tính chất phức tạp của không gian này. Cần phải sử dụng các kỹ thuật toán học cao cấp hơn, chẳng hạn như định lý điểm bất động, để giải quyết vấn đề này.

III. Phương Pháp Mở Rộng Định Lý Rolle Cho Không Gian Baire

Để vượt qua những thách thức trên, cần phải phát triển các phương pháp mở rộng định lý Rolle cho không gian Baire. Một cách tiếp cận là sử dụng khái niệm đạo hàm dưới và đạo hàm trên để thay thế cho đạo hàm thông thường. Một phương pháp khác là sử dụng định lý điểm bất động để chứng minh sự tồn tại của một điểm mà tại đó một hàm số thỏa mãn một điều kiện nhất định. Các phương pháp này cho phép áp dụng định lý Rolle trong các không gian phức tạp hơn, mở rộng phạm vi ứng dụng của nó.

3.1. Sử Dụng Đạo Hàm Dưới và Đạo Hàm Trên

Đạo hàm dưới và đạo hàm trên là các khái niệm tổng quát hơn so với đạo hàm thông thường. Chúng có thể được định nghĩa cho các hàm số không khả vi tại mọi điểm. Bằng cách sử dụng đạo hàm dưới và đạo hàm trên, có thể mở rộng định lý Rolle cho các hàm số không khả vi trong không gian Baire. Điều này cho phép áp dụng định lý Rolle trong nhiều tình huống hơn.

3.2. Áp Dụng Định Lý Điểm Bất Động Trong Chứng Minh Toán Học

Định lý điểm bất động là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích toán học. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại của một điểm mà tại đó một ánh xạ thỏa mãn một điều kiện nhất định. Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động, có thể chứng minh sự tồn tại của một điểm mà tại đó một hàm số thỏa mãn một điều kiện tương tự như điều kiện của định lý Rolle. Điều này cho phép mở rộng định lý Rolle cho các không gian phức tạp hơn.

IV. Ứng Dụng Định Lý Rolle Mở Rộng Trong Tối Ưu Hóa

Định lý Rolle mở rộng có nhiều ứng dụng quan trọng trong tối ưu hóa, xấp xỉ hàm, và các lĩnh vực khác của toán học ứng dụng. Trong tối ưu hóa, nó có thể được sử dụng để tìm các điểm cực trị của một hàm số. Trong xấp xỉ hàm, nó có thể được sử dụng để đánh giá sai số của một phép xấp xỉ. Các ứng dụng này cho thấy tính hữu ích của việc mở rộng định lý Rolle cho không gian Baire.

4.1. Tìm Điểm Cực Trị Trong Bài Toán Tối Ưu Hóa

Trong tối ưu hóa, mục tiêu là tìm các điểm mà tại đó một hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Định lý Rolle mở rộng có thể được sử dụng để tìm các điểm cực trị này. Bằng cách tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng không, có thể xác định các ứng viên cho các điểm cực trị. Sau đó, cần phải kiểm tra thêm để xác định xem các ứng viên này thực sự là các điểm cực trị hay không.

4.2. Đánh Giá Sai Số Trong Xấp Xỉ Hàm

Trong xấp xỉ hàm, mục tiêu là tìm một hàm số đơn giản hơn để xấp xỉ một hàm số phức tạp hơn. Định lý Rolle mở rộng có thể được sử dụng để đánh giá sai số của phép xấp xỉ. Bằng cách sử dụng định lý Rolle, có thể tìm một điểm mà tại đó sai số đạt giá trị lớn nhất. Điều này cho phép đánh giá độ chính xác của phép xấp xỉ.

V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Định Lý Rolle

Nghiên cứu này đã trình bày một cái nhìn tổng quan về định lý Rolle và các phương pháp mở rộng nó cho không gian Baire. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển giải tích toán học và các lĩnh vực toán học ứng dụng. Trong tương lai, có thể tiếp tục nghiên cứu các ứng dụng khác của định lý Rolle mở rộng và phát triển các phương pháp mới để áp dụng nó trong các không gian phức tạp hơn.

5.1. Tổng Kết Các Kết Quả Nghiên Cứu Chính

Nghiên cứu này đã đạt được một số kết quả quan trọng, bao gồm việc phát triển các phương pháp mở rộng định lý Rolle cho không gian Baire và việc xác định các ứng dụng của nó trong tối ưu hóa và xấp xỉ hàm. Các kết quả này đóng góp vào sự phát triển của giải tích toán học và các lĩnh vực toán học ứng dụng.

5.2. Đề Xuất Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Về Định Lý Rolle Mở Rộng

Trong tương lai, có thể tiếp tục nghiên cứu các ứng dụng khác của định lý Rolle mở rộng, chẳng hạn như trong lý thuyết điều khiển và lý thuyết trò chơi. Ngoài ra, có thể phát triển các phương pháp mới để áp dụng định lý Rolle trong các không gian phức tạp hơn, chẳng hạn như không gian Banach và không gian Hilbert. Các nghiên cứu này sẽ mở rộng phạm vi ứng dụng của định lý Rolle và đóng góp vào sự phát triển của toán học.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực đại số và giải tích toán học, việc nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric suy rộng Baire và ứng dụng của chúng vào phân tích thuật toán là một chủ đề quan trọng. Luận văn tập trung vào việc định nghĩa và khám phá các tính chất của không gian mêtric suy rộng Baire, đặc biệt liên quan đến định lý điểm bất động, đồng thời ứng dụng vào phân tích tiệm cận độ phức tạp của các thuật toán. Nghiên cứu được thực hiện trong phạm vi các không gian mêtric, không gian tựa mêtric, không gian p-mêtric và không gian mêtric suy rộng Baire, với mục tiêu làm rõ các tính chất toán học nền tảng và ứng dụng thực tiễn trong lĩnh vực khoa học máy tính và toán ứng dụng.

Phạm vi nghiên cứu bao gồm các khái niệm đại số như nhóm, vành, môđun, cũng như các định lý cơ bản trong giải tích như định lý Rolle, định lý Cauchy, định lý Lagrange và các tính chất của hàm Lipschitz. Nghiên cứu cũng đề cập đến các cấu trúc mở rộng nhóm, tích nửa trực tiếp, và các tính chất của các vành đặc biệt như ∆U -vành. Thời gian nghiên cứu tập trung vào các kết quả toán học hiện đại, có tính ứng dụng cao trong việc phân tích thuật toán và lý thuyết nhóm.

Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các công cụ toán học để đánh giá độ giao hoán tương đối của nhóm con trong nhóm, cũng như các cận trên và cận dưới cho độ giao hoán tương đối, giúp nâng cao hiệu quả phân tích thuật toán và mô hình hóa các hệ thống toán học phức tạp. Các kết quả này có thể được áp dụng trong phát triển thuật toán tối ưu, lý thuyết điều khiển, và các lĩnh vực liên quan đến toán học ứng dụng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nhiều lý thuyết và mô hình nghiên cứu toán học nền tảng:

• Lý thuyết không gian mêtric và không gian mêtric suy rộng Baire: Bao gồm các khái niệm về không gian p-mêtric, không gian tựa mêtric, và các tính chất liên quan đến định lý điểm bất động. Đây là cơ sở để phân tích các tính chất tiệm cận và độ phức tạp của thuật toán.

• Lý thuyết nhóm và đại số trừu tượng: Nghiên cứu về các nhóm con, mở rộng nhóm, tích nửa trực tiếp, và các tính chất của nhóm abel. Các định đề và mệnh đề về độ giao hoán tương đối của nhóm con được áp dụng để đánh giá cấu trúc nhóm.

• Giải tích toán học: Các định lý Rolle, Cauchy, Lagrange được sử dụng để chứng minh các tính chất của hàm số, đặc biệt trong việc phân tích các hàm Lipschitz và các hàm khả vi liên tục. Lý thuyết về mollifiers và tích chập trong không gian Lp cũng được áp dụng để xây dựng các xấp xỉ hàm.

• Lý thuyết vành và môđun: Nghiên cứu các vành đặc biệt như ∆U -vành, UJ -vành, và các tính chất của vành ma trận, mở rộng tầm thường, cũng như Morita context. Đây là nền tảng để phân tích các cấu trúc đại số phức tạp.

Các khái niệm chính bao gồm: độ giao hoán tương đối Pr(H, G), trung tâm của nhóm CG(x), các nhóm con N, H, và các phép toán đóng kín trong đại số.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích lý thuyết kết hợp với chứng minh toán học chặt chẽ. Cụ thể:

• Nguồn dữ liệu: Các định lý, mệnh đề, và bổ đề được trích xuất từ các tài liệu toán học chuyên sâu và các nghiên cứu trước đây về không gian mêtric, nhóm, và vành.

• Phương pháp phân tích: Sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp, quy nạp toán học, và phân tích cấu trúc đại số để thiết lập các mối quan hệ giữa các nhóm con, tính chất của các vành, và các hàm trong không gian Lipschitz.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu tập trung vào các nhóm con và các phần tử trong nhóm G, H, N với số lượng phần tử hữu hạn hoặc vô hạn tùy theo cấu trúc nhóm. Việc lựa chọn các nhóm con đặc biệt như nhóm abel, nhóm xiclíc cấp 2 được thực hiện để minh họa các tính chất đặc biệt.

• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu được thực hiện theo ba chương chính, bắt đầu từ việc xây dựng khung lý thuyết cơ bản, tiếp đến phân tích các tính chất của không gian mêtric suy rộng Baire, và cuối cùng là ứng dụng vào phân tích độ phức tạp thuật toán.

Phương pháp nghiên cứu đảm bảo tính chặt chẽ, logic và có thể áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán học và khoa học máy tính.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Định nghĩa và tính chất của không gian mêtric suy rộng Baire: Luận văn đã làm rõ các tính chất cơ bản của không gian mêtric suy rộng Baire, bao gồm các tính chất liên quan đến định lý điểm bất động. Ví dụ, không gian này cho phép áp dụng các định lý Rolle, Cauchy, và Lagrange trong bối cảnh mở rộng, giúp phân tích các hàm số phức tạp hơn.

2. Độ giao hoán tương đối của nhóm con: Nghiên cứu đã chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến độ giao hoán tương đối Pr(H, G) giữa các nhóm con H, N và nhóm G. Cụ thể, với mọi x thuộc G, ta có bất đẳng thức:

$$ |H_1 : C_{H_1}(x)| \leq |H_2 : C_{H_2}(x)| \leq |G : C_G(x)| $$

và từ đó suy ra các cận trên và dưới cho Pr(H, G). Kết quả này được hỗ trợ bởi các số liệu về kích thước nhóm và trung tâm của các phần tử.

3. Ứng dụng của tích nửa trực tiếp và nhóm abel: Luận văn đã đưa ra công thức tính độ giao hoán tương đối của nhóm abel với tích nửa trực tiếp bởi nhóm xiclíc cấp 2, với biểu thức:

$$ Pr(A, G) = \frac{|A|(|A| + |A^\alpha|)}{2|A|^2} = \frac{1}{2} + \frac{|A^\alpha|}{2|A|} $$

điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc nhóm phức tạp.

4. Tính chất của các vành ∆U -vành: Nghiên cứu đã xác định các tính chất cơ bản của ∆U -vành, bao gồm các điều kiện để một vành là ∆U -vành, mối liên hệ với các vành ma trận, và các mở rộng tầm thường. Ví dụ, vành ma trận Mn(R) là ∆U -vành khi và chỉ khi n=1 và R là ∆U -vành.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa cấu trúc đại số của nhóm và vành với các tính chất giải tích của hàm số trong không gian mêtric. Việc chứng minh các bất đẳng thức về độ giao hoán tương đối giúp làm rõ cách các nhóm con tương tác trong nhóm lớn hơn, từ đó có thể áp dụng vào phân tích thuật toán và mô hình hóa các hệ thống phức tạp.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi áp dụng của các định lý cổ điển như Rolle, Cauchy, Lagrange vào các không gian mêtric suy rộng, đồng thời cung cấp các công thức cụ thể cho các trường hợp tích nửa trực tiếp và các nhóm abel, điều mà ít tài liệu trước đây đề cập chi tiết.

Ý nghĩa của các kết quả này không chỉ nằm trong lý thuyết mà còn có thể được minh họa qua các biểu đồ thể hiện mối quan hệ giữa kích thước nhóm và độ giao hoán tương đối, hoặc bảng so sánh các cận trên và cận dưới của Pr(H, G) trong các trường hợp khác nhau. Điều này giúp người nghiên cứu và ứng dụng dễ dàng hình dung và áp dụng vào thực tế.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các thuật toán phân tích dựa trên không gian mêtric suy rộng Baire: Khuyến nghị xây dựng các thuật toán tối ưu hóa và phân tích độ phức tạp dựa trên các tính chất của không gian mêtric suy rộng Baire, nhằm nâng cao hiệu quả xử lý trong các bài toán lớn và phức tạp. Thời gian thực hiện: 1-2 năm, chủ thể: các nhà nghiên cứu toán học ứng dụng và khoa học máy tính.

2. Mở rộng nghiên cứu về độ giao hoán tương đối trong các nhóm phức tạp hơn: Đề xuất nghiên cứu sâu hơn về các nhóm không giao hoán và các tích nửa trực tiếp phức tạp, nhằm tìm ra các công thức tổng quát hơn cho độ giao hoán tương đối. Thời gian: 2-3 năm, chủ thể: các chuyên gia đại số trừu tượng.

3. Ứng dụng các kết quả về ∆U -vành vào lý thuyết vành ma trận và mô hình hóa hệ thống: Khuyến nghị áp dụng các tính chất của ∆U -vành để phân tích các hệ thống đại số ma trận trong vật lý toán học và kỹ thuật, giúp mô hình hóa chính xác hơn các hiện tượng phức tạp. Thời gian: 1-2 năm, chủ thể: các nhà toán học và kỹ sư.

4. Phát triển phần mềm hỗ trợ tính toán và minh họa các tính chất đại số: Đề xuất xây dựng các công cụ phần mềm để tính toán độ giao hoán tương đối, các tính chất của nhóm và vành, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy. Thời gian: 1 năm, chủ thể: các nhà phát triển phần mềm và toán học ứng dụng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giảng viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học và Toán ứng dụng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết sâu sắc về không gian mêtric, nhóm, và vành, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy các môn học liên quan.

2. Chuyên gia khoa học máy tính và phát triển thuật toán: Các kết quả về phân tích độ phức tạp thuật toán dựa trên không gian mêtric suy rộng Baire giúp cải tiến thuật toán và tối ưu hóa hiệu suất.

3. Nhà nghiên cứu đại số trừu tượng và lý thuyết nhóm: Luận văn cung cấp các công thức và định lý mới về độ giao hoán tương đối, mở rộng hiểu biết về cấu trúc nhóm và các mở rộng nhóm.

4. Kỹ sư và nhà mô hình hóa trong vật lý toán học và kỹ thuật: Các tính chất của vành ∆U -vành và các mở rộng tầm thường có thể ứng dụng trong mô hình hóa các hệ thống phức tạp, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.

Câu hỏi thường gặp

1. Không gian mêtric suy rộng Baire là gì và tại sao nó quan trọng?
   Không gian mêtric suy rộng Baire là một mở rộng của không gian mêtric truyền thống, cho phép áp dụng các định lý điểm bất động và phân tích tiệm cận trong các trường hợp phức tạp hơn. Nó quan trọng vì cung cấp công cụ toán học để phân tích các thuật toán và hàm số trong không gian rộng hơn.

2. Độ giao hoán tương đối Pr(H, G) được định nghĩa như thế nào?
   Độ giao hoán tương đối Pr(H, G) đo lường xác suất một phần tử trong nhóm con H giao hoán với phần tử trong nhóm G. Nó được tính bằng trung bình số lượng phần tử trong trung tâm của các phần tử thuộc H so với kích thước nhóm.

3. Tích nửa trực tiếp của nhóm abel với nhóm xiclíc cấp 2 có ý nghĩa gì?
   Tích nửa trực tiếp này cho phép xây dựng các nhóm phức tạp hơn từ nhóm abel đơn giản và nhóm xiclíc, giúp phân tích cấu trúc nhóm và tính toán độ giao hoán tương đối một cách hiệu quả.

4. Các định lý Rolle, Cauchy, Lagrange được áp dụng như thế nào trong nghiên cứu này?
   Các định lý này được mở rộng và áp dụng trong không gian mêtric suy rộng để chứng minh các tính chất của hàm số và phân tích các thuật toán, đặc biệt trong việc xác định điểm bất động và tính khả vi.

5. ∆U -vành là gì và tại sao nó quan trọng trong đại số?
   ∆U -vành là loại vành có tính chất đặc biệt liên quan đến các phần tử khả nghịch và phần tử lũy đẳng. Nó quan trọng vì giúp phân loại vành, đặc biệt trong việc nghiên cứu các vành ma trận và các mở rộng tầm thường, có ứng dụng trong lý thuyết môđun và đại số trừu tượng.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng và làm rõ các tính chất của không gian mêtric suy rộng Baire, mở rộng ứng dụng của các định lý cổ điển trong giải tích.
• Đã chứng minh các bất đẳng thức và công thức tính độ giao hoán tương đối của nhóm con trong nhóm, đặc biệt với các nhóm abel và tích nửa trực tiếp.
• Phân tích sâu về các vành ∆U -vành và các tính chất liên quan, cung cấp cơ sở cho nghiên cứu và ứng dụng trong đại số và mô hình hóa.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn trong phát triển thuật toán, lý thuyết nhóm, và mô hình hóa hệ thống phức tạp.
• Khuyến khích các nhà nghiên cứu và ứng dụng toán học tiếp tục khai thác các kết quả này để nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các lĩnh vực liên quan.

Tiếp theo, cần triển khai các nghiên cứu thực nghiệm và phát triển công cụ hỗ trợ tính toán để ứng dụng rộng rãi các kết quả lý thuyết đã đạt được. Độc giả và nhà nghiên cứu được khuyến khích tham khảo và áp dụng các kết quả trong luận văn để phát triển các công trình khoa học mới.