Một Số Định Lý Giới Hạn Trong Lý Thuyết Martingale

Trong không gian xác suất (Ω, F , P ), một biến ngẫu nhiên X được gọi là tương thích với σ-trường con G ⊂ F nếu X là G -đo được (X ∈ G ). Một dãy tăng các σ-trường là Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , ∀n. Dãy các biến ngẫu nhiên (Xn ) tương thích với dãy Fn nếu Xn ∈ Fn với mọi n. (Xn ) thuộc Lp nếu E|Xn |p < ∞ với mọi n. Dãy Xn ∈ L1 là một martingale đối với dãy Fn nếu nó tương thích với Fn và E(Xn |Fm ) = Xm với mọi m < n ({Xn , Fn }). Theo luận văn gốc, điều kiện E(Xn |Fm ) = Xm tương đương với E(Xn+1 |Fn ) = Xn do Fn ⊂ Fn+1. Các tổng riêng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 0 lập thành martingale.

Nếu {Zn , Fn , n ≥ 1} là một martingale dưới L1 -bị chặn, tồn tại biến ngẫu nhiên Z sao cho limn→∞ Zn = Z hầu chắc chắn và E|Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞. Martingale khả tích đều hội tụ tới Z trong L1, và martingale L2 -bị chặn hội tụ tới Z trong L2. Nếu (Xn ) là martingale đối với Fn và Φ là hàm lồi sao cho Φ(Xn ) ∈ L1, thì (Φ(Xn )) là một submartingale đối với Fn (theo bất đẳng thức Jensen). Kỳ vọng EXn của martingale là một hằng số. Kỳ vọng an = EXn của submartingale là dãy không giảm theo n.

Ký hiệu v = v(a, b, n) là số lần vượt qua từ một giá trị ≤ a tới một giá trị > b của dãy {Si , 1 6 i 6 n}, khi đó v là số lần cắt đoạn [a, b] bởi dãy {Si }. Bất đẳng thức cắt ngang: Số lần cắt đoạn compact [a, b] bởi submartingale {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} thỏa mãn bE(v) ≤ E(Sn − S1 ). Theo luận văn gốc, chứng minh dựa trên việc xét martingale dưới không âm {(Si − a)+ = max(Si − a, 0), Fi , 1 ≤ i ≤ n} và số lần cắt đoạn [0, b − a]. Dãy τi, 1 ≤ i ≤ n, là dãy không giảm các điểm dừng đối với σ-trường Fi.

Bất đẳng thức hàm bình phương được phát triển bởi Burkholder. Cho {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một Martingale L1 -bị chặn hoặc submartingale không âm. Với λ > 0 xác định thời điểm dừng τ bởi τ = min{i ≤ n | |Si | > λ} hoặc n + 1 nếu tập này rỗng. Khi đó E[∑ Xi2 + E(Sτ2−1 )] ≤ 2λE|Sn |. Bất đẳng thức này đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các bất đẳng thức quan trọng khác, ví dụ như bất đẳng thức Burkholder và bất đẳng thức Rosenthal.

Các định lý hội tụ Martingale là trung tâm của chương này. Phần lớn các chứng minh dựa trên một số mở rộng của các bất đẳng thức. Điều kiện hội tụ đóng vai trò quyết định sự hội tụ của Martingale.

Trong chương này, tác giả áp dụng các công cụ cơ bản để chứng minh luật số lớn. Luật số lớn cho Martingale có những điểm khác biệt so với luật số lớn thông thường trong lý thuyết xác suất, thể hiện qua ngôn ngữ Martingale.

Hội tụ L1 - yếu và hội tụ ổn định là các khái niệm quan trọng liên quan đến định lý giới hạn trung tâm cho Martingale.

Chương này đề cập đến tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm. Việc đánh giá tốc độ hội tụ cho phép ta ước lượng sai số khi sử dụng định lý giới hạn trung tâm để xấp xỉ phân phối của các biến ngẫu nhiên.

Luận văn đã trình bày và chứng minh một số định lý giới hạn quan trọng trong lý thuyết Martingale, bao gồm các bất đẳng thức cơ bản, luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm.

Với tính ứng dụng cao, Martingale là một mảng rất đáng được quan tâm nghiên cứu và phát triển sâu rộng hơn nữa trong các lĩnh vực như tài chính, kinh tế, và khoa học kỹ thuật.