phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Chỉ mục, để tài nghiên cứu được chia thành hai chương như sau: ° Chương [1| Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này dành để liệt kê một số kiến thức chuẩn bị cho đề tài, bao gồm lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, không gian Hölder, không gian Sobolev và lý thuyết nửa nhóm toán tử. ° Chuong|2| Điều khiển phản hôi hữu hạn chiều của một lớp hệ phản ting-khuéch tán thông qua lý thuyết đa tạp quán tính. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chính quy của đa tạp quán tính đối với phương trình tiền hóa parabolic trong không gian hàm chấp nhận được và ứng dụng của nó trong việc thiết kế một bộ điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp hệ phản ứng-khuếch tán dưới những điều kiện tổng quát.
10 CHƯƠNG Ì MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho đề tài nghiên cứu, bao gồm không gian hàm chấp nhận được, không gian Sobolev và lý thuyết nửa nhóm toán tử. 11 ˆ Không gian hàm 1.1 Không gian hàm chấp nhận được Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm Banach và trọng tâm là khái niệm chấp nhận được của các không gian hàm. Những phép chứng minh chỉ tiết hoặc các thảo luận khác, cũng như các ứng dụng cụ thể có thể được tham khảo trong [5 [10 |13]. Kí hiệu Ø và Â lần lượt là đại số Borel và độ đo Lebesgue trên đường thẳng thực IR.
Không gian 7¡ ioe(IR) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương trên IR (đồng nhất các hàm bằng nhau Ä-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian Eréchet với các nửa chuẩn p„(ƒ) = J), |ƒ(Œ)|dr trong đó J; = [n,n+ I] với mỗi n € Z. Chúng ta định nghĩa không gian hàm Banach như sau: Định nghĩa 1. Không gian tuyến tính E tất cả những hàm thực đo được Borel trên (R,Z,^) (đồng nhất các hàm bằng nhau Â-hầu khắp nơi) được gọi là một không gian ham Banach trên (R, B,^) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) E 1a một dan Banach với chuẩn || - ||z, tức là (E, || - ||z) là một không gian Banach, va néu @ € E, w là một hàm thực đo được Borel sao cho Iø(-)| <|W(-)|_ 3-hầu khắp nơi thi yw € E va ||ylle < |I9lle. Chu y rang diéu kién 3) trong Định nghia|1.1]co nghĩa là với mỗi khoảng com- pact J C TR, tồn tại một số ; > 0 sao cho [\flolat <Biliflle voimoi fee.
J Tiếp theo chúng ta giới thiệu khái niệm chấp nhận được (của không gian hàm) như trong định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nêu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) Tén tai hang s6 M > 1 sao cho véi méi khoang compact [a,b] C R ta cd —8) )\dt << ———— ; 1.1 _ )| Tes ille lPlle ( ) (2) Với ø € E thì hàm Atø(t)= [ ø(e)ár (12) t-1 thuộc E, (3) Không gian E là 7¿'-bất biến và 7z -bất biến, trong do T;* va T; được định nghĩa như sau với mỗi 7 € R: _0(f):= @(f—1r) với mọi£€R, (1.4) Hơn nữa, tồn tại các hằng số NỊ và M; sao cho ITS < MN, va. ITE <Np vớimoireR. Bên cạnh các không gian L„(R) với l < p < œ, và không gian M(R) = 4 ƒ€ Lijoc(Ñ) : sup [f(t)|dt <0 te t—1 được trang bị chuẩn I/ll := sụp J |/(z)|dz với mọi ƒ€ M(R), teR t—1 nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy, chẳng hạn, không gian Lorentz Lypq vi 1 < p<, 1 <q <», và, tổng quát hơn, lớp các không gian hàm bắt biến sắp xếp lại trên (IR, #2, Â) là chấp nhận được.
Nếu E là một không gian hàm chấp nhận được thì ta có £ => M(R). Ta có một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trong mệnh dé sau đây : Mệnh đề 1. Giả sứ E là một không gian hàm chấp nhận được. Khi đó ta có các khẳng định sau: (1) Cho @ € Li Joc(R) sao cho @ 3 0 và Ai0 € E, trong đó Ai được xác định trong (1-2).
Với só y > 0 ta xác định hàm Ay@ và Ay@ bỏi t A Q(t) = / e WI (s)ds, (1.6) t Khi do, Ay0 va AY y0 thuộc không gian E. Đặc biệt, nếu t sup | 9(t)dt < ©, teR t—1 thì A' yf va AY y0 là bị chặn. Ngoài ra, ta có đánh giá _ IAy@ll<< -——yllAi9ll<. [Aolo <2 Age (18) trong đó Nị và Na được xác định như trong Định nghĩa|T.2| (2) Không gian E chứa những hàm suy thoái cdp mii w(t) = e~*"'| voit ER va hằng số œ > 0.
(3) Không gian E không chứa những hàm tăng trưởng cắp mũ ƒ(t) = e°! với + CT và hằng số b > 0. Để thiết lập đa tạp quán tính đối với phương trình .7), ta cần tính chất ø- Lipschitz của số hạng phi tuyến như trong định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1. Cho # là một không gian hàm chấp nhận được trên R va ¢ 1a mot hàm dương thuộc #. Khi đó, một hàm ƒ: R x Xg > X được gọi là @-Lischifz nêu ƒ thỏa mãn các tính chất: @) lJ#ứ,x)ll< @ứ)(1+||A#x||) với hầu khắp nơi t € R và với mọi x € Xz, (2) || F(t,"1) — F(t,x2) || < @(2)||AẼ (xị — xa)|| với hầu khắp nơi t € R và với mọi XI, X2 € Xp.2 Khong gian Holder Giả sử © € R* là một tập hợp mở và v € (0, 1].
e Hàm số uv: Q > R duoc goi 1a lién tuc Hélder néu tn tai một hằng số Œ > 0 sao cho |u(x) — „(y)| < Clx—y||” với mọi x, y€ Q. Khi v = 1, hàm số được gọi là liên tuc Lipschitz. e Nếu hàm số uw: © —› ïR bị chặn và liên tục, ta định nghĩa Ielcœj:=supls0)|: xeO 14 © Nửa chuẩn Hölder bậc V của hàm số w: Ô — TR là [“|co»/g) := Sup (HH x„eo Ll|x—zllY x#y và chuẩn Hölder bậc v là ll#llco»¿ø := ll#lÍcœay + [“lcox(@i: Định nghĩa 1. Không gian Hölder CSY(Ô) là không gian bao gồm các hàm số u€ C*(Q), ma chuan ||| ck @) = Y || Dull c@) + Y [D“u]cox(@) |œ|<k |œ|=k là hữu hạn.
Như vậy, không gian Hölder C*Y(Ø) gồm tất cả các hàm số w sao cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục Hölder bậc v. Không gian Hölder CY(Q) la một không gian Banach với chuẩn |: llc.3 Khong gian Sobolev Giả sử © € IR# là một tập hợp mở. Giả sử X là một không gian tôpô. Nếu supp(ƒ) là một tap hop compact trong X thì hàm số ƒ được gọi là hàm số có giá compact.
Gia stfu, v € Ly joc(Q) va mot da chỉ số œ = (ơi,. Hàm số v được gọi là đạo hàm yếu cắp œ cua u nêu [unt oas =(-I)! J v9ax đúng với mọi hàm thử ø € Cợ(©). Q Š Đạo hàm yếu như trên được kí hiệu là D#„ = v, trong đó ally D*y = ——_— a On? OX)!. Đạo hàm yếu cắp œ của u nếu tôn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác một tập hợp có độ ão không).
Cổ định 1 < p < œ và k là một số nguyên không âm. Khdng gian Sobolev, ki hiéu 1a W*? (Q), 1a tap hợp hàm số w: © — IR khả tích tích địa phương sao cho với mỗi đa chỉ số œ mà |œ| < k, đạo hàm yếu D*„ tồn tại và thuộc vào không gian L„(©). Giả sử u € W%P(O), ta định nghĩa chuẩn của nó là Pp ` JIp*altaas néu 1 < p<», Il“ ll wera) = elS*6 3` csssup|DZu| nếu p = œ. laj<k 9 Nếu p =2 ta có HỶ := W*2 với k = 0,1,.
là không gian Hilbert. m— oo Kí hiệu là ư„ —> ¡ trong W&?P(©). e Ta nói Um —> u trong We"? (Q) néu Um — u trong WE? (Q’) với @' CC ©. Ta coi W*?(O) như là tập hợp những hàm W*(©) sao cho “D5, = 0 trên dQ” với mọi |ơ| <k— I.
Ta kí hiệu HE(Q) = w'2(Q). Gid situ, v € W*?(Q) va da chỉ số œ thỏa mãn |œ| < k. Khi đó (a) D%u c WX#-l#l:P(Q) và DB(D#u) = D%(DÊu) = D%+Öụ với mọi đa chỉ số œ và 8 mà |ơ| + |B| < k. (d) Néu € € CH(Q) thi Cu € WE? (Q) và ta có công thức Leibnitz D*(§w)= Ð (§)PPED* ®u, Bsa (§)“ma=pr 1⁄2 Toán tử tuyến tính và Nửa nhóm trong đó Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày những khái niệm cơ sở nhất về nửa nhóm toán tử và toán tử sinh của chúng.
Tài liệu tham khảo chính là cuốn chuyên khảo [4]. Giả sử X là một không gian Banach. Họ các toán tử tuyến tính bị chặn (7());>o trên không gian X được gọi là một nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục mạnh, hay ngắn gọn là Cg-nửa nhóm nêu (S1) 7T(0) =1 (với 7 là toán tử đồng nhất); (S2) Tứ +s) = T()T(s) với mọi f, s > 0; (S3) lim 7(?)x = 7(0)x với mọi x € X. Giả sử (7(7));>o là một Co-nửa nhóm trên không gian Banach X.
¡0> f được gọi là oán fử sinh của nửa nhóm (7());>o. Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm (7(7));>o thì ta cũng có thể nói (7());>o là nửa nhóm sửnh ra bởi A. Một nửa nhóm như vậy, thay vì được kí hiệu (7(?));>o. người ta còn dùng kí hiệu thông dụng hơn là (e2) ,.
Giả sử A là toán tử sinh của nữa nhóm (e'^);>o trên một không gian Banach X. Cho (A,D(A)) là một toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải thức) của A, kí hiệu là p(4), là tất cả những số phức  sao cho AJ— A 1a song ánh. Khi đó R(Â,4) := (Â!—A)~! với  € p(A) được gọi là giải thức hay toán tử giải của A.
Phần bù của tập giải thức trên mặt phẳng phức (4) := C\p(A) được gọi là phổ của A. Đối với nửa nhóm giải tích (e!?) poo? Côn tăng trưởng của nó là số Gy := inf {y ER: tén tai M > 0 sao cho ||'”||< Me”, ¡ > 0}. Đối với toán tử B, biên phổ của nó là số s(B) := sup { Re2 : Â € 7()}. Tiếp theo, ta xét một công thức quan trọng biểu diễn giải thức ®(Â, 8) như sau.
Giả sử B: D(B) CX + X là một toán tử quạt. Với mỗi À € mà Red > @ ta cé R(A,B) = / eM eB at.9) 0 Giả sử H là một không gian Hilbert tách được với tích vô hướng (-,-) và chuẩn || - ||.