Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ "Lý thuyết và ứng dụng của giải tích phân thứ cho hệ động lực mờ" (Theory and Applications of Fractional Calculus to Fuzzy Dynamical Systems) được nghiên cứu sinh Ngô Văn Hòa thực hiện thuộc ngành Toán giải tích (mã số: 9460102), khóa đào tạo 2021 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Đình Phu (hướng dẫn chính) và PGS. Lý Kim Hà (hướng dẫn phụ).

+-------------------------------------------------------------------------------+
|                             THÔNG TIN HỌC THUẬT                               |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Tên đề tài           | Lý thuyết và ứng dụng của giải tích phân thứ cho hệ    |
|                      | động lực mờ                                            |
| Nghiên cứu sinh      | Ngô Văn Hòa                                            |
| Ngành đào tạo        | Toán giải tích (Mã số: 9460102)                        |
| Cơ sở đào tạo        | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM             |
| Người hướng dẫn      | PGS. Nguyễn Đình Phu, PGS. Lý Kim Hà                   |
| Thời gian bảo vệ     | Năm 2024                                               |
+----------------------+--------------------------------------------------------+

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Giải tích phân thứ nghiên cứu đạo hàm và tích phân bậc không nguyên, có khả năng mô hình hóa các quá trình vật lý và kỹ thuật có hiệu ứng nhớ và di truyền mà giải tích bậc nguyên không phản ánh trọn vẹn. Trong thực tế, các hệ thống động lực chịu tác động từ sai số thiết bị, nhiễu môi trường và dữ liệu đo không chính xác. Các tiếp cận mô tả tính không chắc chắn bao gồm lý thuyết xác suất, giải tích khoảng và tập mờ.

Trước đây, nghiên cứu phương trình vi phân mờ chủ yếu dựa trên hiệu Hukuhara và hiệu Hukuhara tổng quát ($gH$-difference). Tuy nhiên, cách tiếp cận này bộc lộ ít nhất sáu hạn chế lớn, điển hình là phép trừ không luôn tồn tại, xuất hiện hiện tượng nghiệm giả và tính chất đại số của tập số thực không được bảo toàn. Việc tiếp cận đạo hàm mờ granular ($gr$-derivative) dựa trên hàm thành viên ngang (Horizontal Membership Function - HMF) trong không gian đại số mờ đa chiều do Piegat, Mazandarani và các cộng sự khởi xướng đã giải quyết được các điểm nghẽn này. Dù vậy, các lý thuyết định tính và bài toán ổn định hóa cho các lớp phương trình vi phân và hệ động lực mờ bậc phân thứ dưới tiếp cận HMF vẫn còn nhiều bài toán chưa được thiết lập.

Mục tiêu nghiên cứu

  1. Xây dựng cơ sở lý thuyết biến đổi Laplace phân thứ mờ và thiết lập nghiệm cho phương trình vi phân mờ nửa tuyến tính với đạo hàm Caputo tổng quát.
  2. Xây dựng các bất đẳng thức giải tích cho đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville và Caputo tổng quát; khảo sát tính ổn định mũ Mittag-Leffler, ổn định tiệm cận và thiết kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính để ổn định hóa hệ động lực mờ (bao gồm cả trường hợp có yếu tố xung tức thời).
  3. Thiết lập các bất đẳng thức cho đạo hàm Caputo tổng quát bậc ngẫu nhiên; khảo sát tính ổn định và ổn định hóa cho hệ động lực mờ bậc ngẫu nhiên.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vi phân mờ và hệ động lực mờ nửa tuyến tính với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville tổng quát, Caputo tổng quát và Caputo bậc ngẫu nhiên; bài toán ổn định hóa trạng thái bằng bộ điều khiển phản hồi tuyến tính.
  • Phạm vi nghiên cứu: Không gian số mờ $\mathcal{F}_R$ và véctơ mờ $\mathcal{F}_R^n$ trên trục thực, lớp đạo hàm bậc $\alpha \in (0, 1)$ và bậc ngẫu nhiên $\alpha_0 + r_x \in (0, 1)$ kết hợp hàm trọng số $\psi(x)$, trên khoảng thời gian xác định $[a, \infty)$ hoặc $(0, \infty)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tổng thuật có hệ thống các công trình nền tảng và hướng nghiên cứu liên quan đến giải tích phân thứ và giải tích mờ:

+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|                              CÁC HƯỚNG TIẾP CẬN VÀ TÁC GIẢ TIÊU BIỂU                              |
+------------------------------------+--------------------------------------------------------------+
| Cơ sở giải tích phân thứ           | Podlubny (1999) [66], Kilbas và cs (2006) [38].             |
| Các mô hình vật lý phân thứ        | Wheatcraft và Meerschaert [76], Holm và Nasholm [33],        |
|                                    | Laskin [40], Bhrawy [11].                                    |
| Cơ sở giải tích mờ và khoảng       | Zadeh (1965) [77], Chang [15], Heilpern [25], Dubois và      |
|                                    | Prade [21, 22], Bede và Stefanini [10], Chalco-Cano [13],    |
|                                    | Diamond và Kloeden [17, 18], Moore [55, 56, 57], Pedrycz    |
|                                    | và Gomide [61], Kaleva (1987) [36].                          |
| Đạo hàm mờ qua hiệu Hukuhara       | Lakshmikantham và cs [3], Lupulescu [47, 48], Allahviranloo  |
|                                    | và cs [5], Hoa và cs [6, 26, 28, 30, 31, 32, 63, 71, 73],   |
|                                    | Long và cs [44, 45], Mazandarani và cs [53], An và cs [7].  |
| Đạo hàm Fréchet tương quan tuyến   | Esmi và cs [23, 67], Son và cs [68].                         |
| tính và đại số ràng buộc           | Lodwick và Untiedt [43], Fortin và cs [24], Cecconello [12]. |
| Tiếp cận hàm thành viên ngang (HMF)| Piegat [64], Mazandarani [54], Hoa và cs [72], Dong [19],    |
| và đạo hàm granular                | Najariyan và cs [58], Phu và Hoa [62].                       |
+------------------------------------+--------------------------------------------------------------+

Bốn hướng tiếp cận chính về khả vi mờ

  1. Hiệu Hukuhara và hiệu Hukuhara tổng quát ($gH$): Tồn tại hạn chế vì phép hiệu không phải lúc nào cũng xác định với hai số mờ bất kỳ (chẳng hạn giữa một số mờ tam giác và một số mờ hình thang), đồng thời dẫn đến hiện tượng đa nghiệm không phản ánh đúng bản chất vật lý.
  2. Tập mờ tương quan tuyến tính (đạo hàm Fréchet mờ): Khắc phục được một số nhược điểm của hiệu Hukuhara nhưng cấu trúc toán học phức tạp, gây trở ngại khi áp dụng vào hệ động lực.
  3. Đại số mờ ràng buộc: Mở rộng đại số khoảng nhằm khôi phục nghịch đảo cộng và nhân, tuy nhiên kết quả tính toán không bảo đảm luôn luôn là một tập mờ chuẩn tắc.
  4. Hàm thành viên ngang (HMF) trong đại số mờ đa chiều: Biểu diễn khoảng mờ dưới dạng hàm thực đa biến phụ thuộc vào mức $\gamma \in [0, 1]$ và biến khoảng cách tương đối $\mu_w \in [0, 1]$. Tiếp cận này bảo toàn đầy đủ các tính chất số học của trường số thực, đưa các phép toán vi tích phân mờ về các phép toán giải tích cổ điển.

Vị trí của luận án

Luận án định vị nghiên cứu theo hướng tiếp cận thứ tư (HMF). Tác giả khai thác biểu diễn granular để vượt qua các rào cản của giải tích mờ truyền thống, thiết lập hệ thống lý thuyết định tính chặt chẽ về sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận và kỹ thuật điều khiển ổn định hóa cho các hệ vi phân mờ phân thứ tổng quát, hệ có xung và hệ có bậc ngẫu nhiên.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và các khái niệm cốt lõi

  • Số mờ và mức $\gamma$: Số mờ $w \in \mathcal{F}_R$ là tập mờ chuẩn, lồi mờ, nửa liên tục trên và có giá compact. Tập mức $\gamma \in (0, 1]$ của $w$ ký hiệu là $[w]^\gamma = [\underline{w}(\gamma), \overline{w}(\gamma)]$. Số mờ tam giác ký hiệu $w = (a, b, c)$, số mờ hình thang ký hiệu $w = (a, b, c, d)$.
  • Hàm thành viên ngang (HMF): Với số mờ $w$, hàm HMF được định nghĩa là ánh xạ: $$w^{gr}(\gamma, \mu_w) = \underline{w}(\gamma) + (\overline{w}(\gamma) - \underline{w}(\gamma))\mu_w, \quad (\gamma, \mu_w) \in [0, 1] \times [0, 1]$$ trong đó $\mu_w \in [0, 1]$ là biến độ đo khoảng cách tương đối (Relative Distance Measure - RDM).
  • Chuyển đổi ngược về hàm thành viên đứng (VMF): $$H^{-1}(w^{gr}(\gamma, \mu_w)) = [w]^\gamma = \left[ \min_{\mu_w \in [0,1]} w^{gr}(\gamma, \mu_w), \max_{\mu_w \in [0,1]} w^{gr}(\gamma, \mu_w) \right]$$
  • Toán tử granular và khoảng cách: Các phép toán đại số granular $\odot_{gr}$ thỏa mãn tính chất $H(v \odot_{gr} w) = H(v) * H(w)$. Khoảng cách granular giữa hai số mờ $v, w \in \mathcal{F}R$ và chuẩn granular trên không gian véctơ mờ $\mathcal{F}R^n$ được xác định bởi: $$D{gr}[v, w] = \sup{\gamma \in [0, 1]} \max_{\mu_v = \mu_w \in [0, 1]} |v^{gr}(\gamma, \mu_v) - w^{gr}(\gamma, \mu_w)|$$ $$|V -{gr} W|{gr} = \sum_{i=1}^n D_{gr}[v_i, w_i]$$
  • Hàm đặc biệt: Hàm Gamma $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t} dt$ và hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số $E_{\alpha, \beta}(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k + \beta)}$.
+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|                                  CÁC KHÔNG GIAN HÀM ĐƯỢC SỬ DỤNG                                  |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+
| $L^1((a, b], \mathcal{F}_R)$ | Không gian các hàm mờ khả tích Lebesgue trên $[a, b]$             |
| $C([a, b], \mathcal{F}_R)$   | Không gian các hàm mờ liên tục trên $[a, b]$                      |
| $AC([a, b], \mathcal{F}_R)$  | Không gian các hàm mờ liên tục tuyệt đối trên $[a, b]$            |
| $C^1([a, b], \mathcal{F}_R)$ | Không gian các hàm mờ $gr$-khả vi liên tục trên $[a, b]$          |
| $\mathcal{K}_\psi$           | Họ các hàm thực $\psi: [a, b] \to \mathbb{R}$ tăng, xác định      |
|                       | dương, $\psi \in C^1$ và $\psi'(x) \neq 0, \forall x \in (a, b)$          |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+

Phương pháp nghiên cứu

  1. Phương pháp định tính giải tích: Sử dụng định lý điểm bất động Banach trong không gian metric đầy đủ để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy phi tuyến.
  2. Phương pháp biến đổi tích phân và giải tích xấp xỉ: Xây dựng phép biến đổi Laplace phân thứ mờ kết hợp phương pháp phân rã Adomian (Adomian Decomposition Method - ADM) để phân rã bài toán phi tuyến thành chuỗi vô hạn của các phương trình tuyến tính hội tụ về nghiệm chính xác.
  3. Phương pháp hàm Lyapunov trực tiếp: Thiết lập các hàm năng lượng dạng toàn phương $V(x, W) = H(W)^T Q H(W)$ (với ma trận đối xứng xác định dương $Q \in \mathcal{Q}$) kết hợp cùng các bất đẳng thức vi phân phân thứ mới để đánh giá tính ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận.
  4. Phương pháp đánh giá trực tiếp: Sử dụng tính bị chặn của hàm Mittag-Leffler, bất đẳng thức Grönwall-Bellman và cấu trúc nghiệm qua biểu diễn toán tử tích phân.
  5. Kỹ thuật điều khiển tự động: Thiết kế luật điều khiển phản hồi tuyến tính $U(x) = K \cdot_{gr} W(x)$ nhằm dịch chuyển phổ của ma trận hệ thống $\sigma(A + B K)$ về miền ổn định.
  6. Mô phỏng số: Tính toán sai số tương đối và sai số tuyệt đối giữa nghiệm giải tích xấp xỉ và nghiệm chính xác, minh họa quỹ đạo nghiệm và trạng thái ổn định hóa trên các bảng biểu và đồ thị.

Nội dung chính theo từng chương

+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|                                   CẤU TRÚC 4 CHƯƠNG CỦA LUẬN ÁN                                   |
+----------+--------------------------------------------------------------------+-------------------+
| Chương   | Tên chương                                                         | Số trang / Vị trí |
+----------+--------------------------------------------------------------------+-------------------+
| Chương 1 | KIẾN THỨC CHUẨN BỊ                                                 | Trang 12 - 48     |
| Chương 2 | PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ VỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ                       | Trang 49 - 73     |
| Chương 3 | HỆ ĐỘNG LỰC MỜ VỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ                               | Trang 74 - 134    |
| Chương 4 | HỆ ĐỘNG LỰC MỜ VỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ NGẪU NHIÊN                     | Trang 135 - 161   |
+----------+--------------------------------------------------------------------+-------------------+

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm toán học nền tảng phục vụ cho ba chương nghiên cứu chuyên sâu:

  • Trình bày định nghĩa tập mờ theo Zadeh, hàm thuộc, lõi, giá của tập mờ; cấu trúc số mờ hình thang $w = (a, b, c, d)$ và số mờ tam giác $w = (a, b, c)$ qua các hàm mức $\underline{w}(\gamma)$ và $\overline{w}(\gamma)$.
  • Phân tích nguyên lý mở rộng Zadeh, các phép toán đại số mờ cổ điển và chỉ rõ các hạn chế (sự thiếu vắng phần tử đối và nghịch đảo, không thỏa mãn luật phân phối).
  • Phân tích định nghĩa hiệu Hukuhara ($v \ominus_H w$), hiệu Hukuhara tổng quát ($v \ominus_{gH} w$) cùng các ví dụ chứng minh sự không tồn tại của hiệu $gH$ khi hai số mờ khác dạng hình học (ví dụ giữa số mờ hình thang $(1, 3, 5, 7)$ và số mờ tam giác $(0, 4, 8)$).
  • Thiết lập chi tiết biểu diễn hàm thành viên ngang HMF $w^{gr}(\gamma, \mu_w)$, chứng minh tính tuyến tính của toán tử $H$, định nghĩa các phép toán đại số granular và khoảng cách $D_{gr}$.
  • Định nghĩa các toán tử giải tích phân thứ mờ tổng quát: tích phân phân thứ mờ ${}^{gr}I^{\alpha, \psi}{a^+} w$, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville mờ ${}^{RL}D^{\alpha, \psi}{a^+} w$, đạo hàm phân thứ Caputo mờ ${}^C D^{\alpha, \psi}{a^+} w$ và đạo hàm Caputo bậc ngẫu nhiên ${}^C D^{(\alpha_0 + r_x), \psi}{a^+} w$ với $r_x$ là biến ngẫu nhiên thỏa mãn mật độ xác suất $p(r_x | 0 < \alpha_0 + r_x < 1) = 1$.
  • So sánh sai số tương đối giữa mô hình bậc nguyên và mô hình bậc phân thứ trên dữ liệu thực tế (Bảng 1.1, Bảng 1.2, Bảng 1.3), minh họa ưu thế của toán tử bậc không nguyên trong việc mô tả dữ liệu thực nghiệm.
+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|                 SO SÁNH PHÉP HIỆU HUKUHARA TỔNG QUÁT VÀ PHÉP HIỆU GRANULAR (HMF)                  |
+-------------------------+------------------------------------+------------------------------------+
| Tiêu chí                | Hiệu Hukuhara tổng quát (gH)       | Hiệu Granular (HMF)                |
+-------------------------+------------------------------------+------------------------------------+
| Điều kiện tồn tại       | Đòi hỏi điều kiện đơn điệu của độ  | Luôn luôn tồn tại với mọi cặp      |
|                         | rộng $d([v]^\gamma)$ và $d([w]^\gamma)$ | số mờ $v, w \in \mathcal{F}_R$     |
| Khác biệt dạng hình học | Thường không xác định khi trừ hai  | Thực hiện trực tiếp trên hàm thực  |
|                         | số mờ khác loại (tam giác - thang) | đa biến $v^{gr}(\gamma, \mu) - w^{gr}(\gamma, \mu)$ |
| Tính chất số học        | Không khôi phục đầy đủ tính chất   | Kế thừa trọn vẹn cấu trúc số học   |
|                         | đối và nghịch đảo như số thực      | của trường số thực $\mathbb{R}$    |
+-------------------------+------------------------------------+------------------------------------+

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ VỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

Chương 2 tập trung giải quyết bài toán phương trình vi phân mờ nửa tuyến tính với đạo hàm Caputo phân thứ tổng quát: $${}^C D^{\alpha, \psi}{0^+} w(x) = A \cdot{gr} w(x) + F(x, w(x)), \quad x \in (0, \infty), \quad w(0) = w_0$$ trong đó $A \neq 0$ là hằng số, $\alpha \in (0, 1)$, $\psi \in \mathcal{K}_\psi$, $F$ là hàm mờ phi tuyến liên tục.

  • Biến đổi Laplace phân thứ mờ: Xây dựng cơ sở lý thuyết biến đổi tích phân $\mathcal{L}_\psi$ trên không gian hàm mờ, thiết lập công thức biến đổi Laplace cho đạo hàm Caputo phân thứ mờ tổng quát.
  • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Áp dụng định lý điểm bất động Banach, tác giả chứng minh bài toán có duy nhất nghiệm liên tục trên miền xác định dưới điều kiện Lipschitz của hàm $F$.
  • Phương pháp xấp xỉ ADM-Laplace: Kết hợp biến đổi Laplace phân thứ và phương pháp phân rã Adomian (ADM), đề xuất thuật toán biểu diễn nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn: $$w(x) = \sum_{n=0}^\infty w_n(x)$$ trong đó mỗi thành phần $w_n(x)$ được giải tuần tự thông qua các phương trình tuyến tính.
  • Đánh giá sai số nghiệm: Luận án trình bày các ví dụ số (Ví dụ 2.1, 2.2), đối chiếu giữa nghiệm giải tích chính xác và nghiệm xấp xỉ $w_{approx}(x)$, lập bảng sai số cụ thể (Bảng 2.1, Bảng 2.2) chứng minh tốc độ hội tụ của chuỗi nghiệm.

Chương 3. HỆ ĐỘNG LỰC MỜ VỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

Chương 3 khảo sát tính ổn định định tính và bài toán ổn định hóa cho hai lớp hệ động lực mờ nhiều chiều trên $\mathcal{F}_R^n$:

1. Hệ động lực mờ với đạo hàm Riemann-Liouville tổng quát

$${}^{RL} D^{\alpha, \psi}{a^+} W(x) = A \cdot{gr} W(x) + F(x, W(x)), \quad x > a, \quad (I^{1-\alpha, \psi}{a^+} W)(x)|{x=a} = W_0$$

  • Luận án xây dựng các bất đẳng thức mới liên quan đến đạo hàm Riemann-Liouville tổng quát của hàm toàn phương: $${}^{RL} D^{\alpha, \psi}{a^+} [H(W(x))^T Q H(W(x))] \le 2 H(W(x))^T Q , {}^{RL} D^{\alpha, \psi}{a^+} H(W(x))$$
  • Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov trực tiếp, thiết lập các điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận của điểm cân bằng.
  • Thiết kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính $U(x) = K \cdot_{gr} W(x)$ để ổn định hóa hệ khi ma trận trạng thái ban đầu $A$ chưa thỏa mãn điều kiện ổn định.

2. Hệ động lực mờ có yếu tố xung tức thời với đạo hàm Caputo tổng quát

$$\begin{cases} {}^C D^{\alpha, \psi}{x_k^+} W(x) = A_k \cdot{gr} W(x) + F(x, W(x)), & x \in [a, \infty) \setminus {x_k}, ; k \in \mathcal{I}0 \ \Delta W(x_k) = J_k \cdot{gr} W(x_k^-), & x = x_k, ; k \in \mathcal{I} = {1, \dots, m} \end{cases}$$

  • Xây dựng bất đẳng thức đạo hàm phân thứ Caputo mờ trên các khoảng con rời rạc $[x_k, x_{k+1})$.
  • Đánh giá ảnh hưởng của các ma trận bước nhảy xung $J_k$ lên tính ổn định của hệ thống; kết hợp phương pháp Lyapunov và bất đẳng thức Grönwall-Bellman để đưa ra chặn trên cho nghiệm.
  • Đưa ra các ví dụ số minh họa: tính toán các điểm cân bằng và trị riêng của ma trận hệ thống (Bảng 3.1), biểu diễn sự biến thiên trạng thái theo thời gian trước và sau khi kích hoạt bộ điều khiển phản hồi (các Hình 3.1 - Hình 3.17).

Chương 4. HỆ ĐỘNG LỰC MỜ VỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ NGẪU NHIÊN

Chương 4 mở rộng lý thuyết sang lớp hệ động lực mờ chịu tác động của nhiễu ngẫu nhiên trực tiếp trong bậc của đạo hàm: $${}^C D^{(\alpha_0 + r_x), \psi}{a^+} W(x) = A \cdot{gr} W(x) + F(x, W(x)), \quad x > a, \quad W(a) = W_0$$ với $p(r_x | 0 < \alpha_0 + r_x < 1) = 1$ và $0 < \alpha_1 \le \alpha_0 + r_x \le \alpha_2 < 1$.

  • Bất đẳng thức đạo hàm phân thứ ngẫu nhiên: Thiết lập các bất đẳng thức vi phân phân thứ đối với toán tử Caputo có bậc chứa thành phần nhiễu ngẫu nhiên $r_x$.
  • Tính ổn định mũ Mittag-Leffler và tiệm cận: Sử dụng phương pháp Lyapunov trực tiếp, chứng minh các điều kiện bảo đảm quỹ đạo nghiệm mờ hội tụ tiệm cận về 0 dưới các phân phối xác suất khác nhau của $r_x$ (phân phối đều và phân phối Gauss).
  • Ổn định hóa hệ ngẫu nhiên: Xây dựng thuật toán xác định ma trận điều khiển phản hồi $K$ để triệt tiêu các trạng thái mất ổn định do nhiễu ngẫu nhiên gây ra.
  • Minh họa số: Phân tích các điểm cân bằng và tập phổ trị riêng (Bảng 4.1, Bảng 4.2), so sánh hành vi trạng thái giữa bậc cố định $\alpha_0$ và bậc ngẫu nhiên $\alpha_0 + r_x$ qua các trường hợp nhiễu phân phối đều và nhiễu Gauss (Hình 4.1 - Hình 4.18).

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả mới mà luận án đã đạt được bao gồm:

+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|                                  CÁC ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN                                     |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+
| Về giải tích phân     | - Xây dựng cơ sở lý thuyết cho phép biến đổi Laplace phân thứ mờ tổng quát.|
| thứ mờ                | - Đề xuất phương pháp kết hợp biến đổi Laplace phân thứ và phân rã        |
|                       |   Adomian (ADM) tìm nghiệm giải tích xấp xỉ cho bài toán phi tuyến.       |
|                       | - Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm qua định lý Banach.       |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+
| Về hệ động lực mờ     | - Thiết lập hệ thống bất đẳng thức giải tích cho đạo hàm Riemann-         |
|                       |   Liouville và Caputo phân thứ tổng quát.                                 |
|                       | - Xác lập điều kiện đủ cho ổn định mũ Mittag-Leffler và ổn định tiệm cận  |
|                       |   của hệ nửa tuyến tính và hệ có xung tức thời hữu hạn điểm.             |
|                       | - Thiết kế thành công bộ điều khiển phản hồi tuyến tính ổn định hóa hệ.   |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+
| Về hệ động lực bậc    | - Xây dựng các bất đẳng thức cho đạo hàm Caputo bậc ngẫu nhiên.           |
| ngẫu nhiên            | - Thiết lập tiêu chuẩn ổn định hóa cho hệ động lực mờ bậc ngẫu nhiên dưới |
|                       |   sự tác động của các hàm mật độ xác suất khác nhau.                      |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+
| Công bố khoa học      | 03 bài báo trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI uy tín:            |
|                       | - 01 bài trên Information Sciences                                        |
|                       | - 02 bài trên Fuzzy Sets and Systems                                      |
+-----------------------+---------------------------------------------------------------------------+

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên các nội dung khoa học đã hoàn thành, luận án xác định hai hướng nghiên cứu mở rộng cần tiếp tục triển khai:

  1. Phát triển lý thuyết giải tích phân thứ mờ bậc cao: Mở rộng toán tử granular và phép biến đổi tích phân cho các bậc đạo hàm lớn hơn 1 ($\alpha > 1$), nhằm phục vụ việc khảo sát các phương trình vi phân và hệ động lực mờ bậc cao xuất hiện trong các bài toán dao động cơ học phức tạp.
  2. Nghiên cứu giải tích phân thứ mờ bậc biến (Variable-order): Xây dựng lý thuyết cho các toán tử có bậc thay đổi liên tục theo thời gian hoặc trạng thái không gian $\alpha(x, t)$. Việc đưa đạo hàm bậc biến vào hệ động lực cho phép mô phỏng chính xác hơn các hệ thống phi tuyến có đặc tính biến đổi theo thời gian, nâng cao hiệu quả trong kỹ thuật xử lý tín hiệu và điều khiển tự động.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng: Cung cấp khung lý thuyết về giải tích mờ granular, các định lý về điểm bất động trong không gian mờ và hệ thống bất đẳng thức vi phân phân thứ.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Điều khiển học và Tự động hóa: Tham khảo phương pháp xây dựng bộ điều khiển phản hồi tuyến tính cho hệ thống có tham số không chắc chắn, hệ có bước nhảy xung và hệ chịu nhiễu ngẫu nhiên.
  • Kỹ sư mô phỏng hệ thống: Ứng dụng phương pháp phân rã Adomian kết hợp biến đổi Laplace để tính toán số và lập trình xấp xỉ nghiệm của các mô hình phi tuyến trong cơ học và truyền dẫn.

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao luận án lựa chọn tiếp cận hàm thành viên ngang (HMF) thay vì hiệu Hukuhara truyền thống?

Phép hiệu Hukuhara và hiệu Hukuhara tổng quát ($gH$) đòi hỏi điều kiện ràng buộc ngặt nghèo về độ rộng khoảng mờ, không xác định được với hai số mờ có dạng hình học khác nhau và thường tạo ra hiện tượng đa nghiệm giả tạo. Tiếp cận HMF chuyển đổi khoảng mờ thành hàm thực hai biến trên $[0, 1] \times [0, 1]$, bảo toàn đầy đủ các tính chất số học của số thực (như tồn tại phần tử đối và nghịch đảo) và luôn xác định với mọi số mờ.

2. Sự kết hợp giữa biến đổi Laplace phân thứ và phương pháp phân rã Adomian (ADM) trong Chương 2 đem lại lợi ích gì?

Phương pháp kết hợp này cho phép phân tách một phương trình vi phân mờ phi tuyến phức tạp thành một chuỗi vô hạn gồm các bài toán tuyến tính đơn giản hơn có thể giải tuần tự. Chuỗi nghiệm thu được hội tụ nhanh về nghiệm giải tích chính xác, giúp thu được nghiệm xấp xỉ dạng giải tích tường minh mà không cần tuyến tính hóa cục bộ.

3. Công cụ toán học trung tâm nào được dùng để chứng minh tính ổn định của các hệ động lực trong luận án?

Luận án kết hợp hai công cụ chính: (1) Phương pháp hàm Lyapunov trực tiếp thông qua việc thiết lập các bất đẳng thức giải tích mới đối với đạo hàm Riemann-Liouville, Caputo và Caputo bậc ngẫu nhiên; (2) Phương pháp đánh giá trực tiếp dựa trên tính chất bị chặn của hàm Mittag-Leffler, biểu diễn tích phân và bất đẳng thức Grönwall-Bellman.

4. Đạo hàm phân thứ bậc ngẫu nhiên trong Chương 4 được xây dựng như thế nào và có ý nghĩa gì?

Bậc của đạo hàm được biểu diễn dưới dạng tổng $\alpha_0 + r_x$, trong đó $\alpha_0 \in (0, 1)$ là bậc danh định và $r_x$ là số hạng nhiễu ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện xác suất $p(r_x | 0 < \alpha_0 + r_x < 1) = 1$. Cách mô hình này giúp nắm bắt chính xác độ bất định trong bộ nhớ và trễ của hệ thống khi môi trường xung quanh biến động ngẫu nhiên theo các quy luật phân phối như Gauss hay phân phối đều.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Ngô Văn Hòa đã hoàn thiện một hệ thống kết quả về giải tích phân thứ mờ dựa trên tiếp cận hàm thành viên ngang HMF. Tác giả đã giải quyết các bài toán về sự tồn tại, tính duy nhất, nghiệm xấp xỉ và tính ổn định mũ Mittag-Leffler cho nhiều lớp phương trình vi phân và hệ động lực mờ phức tạp (hệ nửa tuyến tính, hệ có xung và hệ bậc ngẫu nhiên). Đồng thời, luận án đã đề xuất giải pháp ổn định hóa hệ thống thông qua các bộ điều khiển phản hồi tuyến tính, đóng góp 03 công trình nghiên cứu trên các tạp chí ISI chuyên ngành.