MỞ ĐẦU Giải tích phân thứ là lĩnh vực toán học liên quan đến sự nghiên cứu và ứng dụng của đạo hàm và tích phân với bậc không nguyên. Trong thời gian gần đây, giải tích phân thứ và những ứng dụng tiềm năng của nó đã nhận được sự quan tâm và nghiên cứu của nhiều nhà khoa học bởi vì khả năng của nó trong việc mô hình hoá hiệu quả bằng toán học các hệ động lực chịu nhiều tác động của môi trường bên ngoài, hệ động lực phức tạp mà không thể biểu diễn được dưới dạng bậc nguyên. Một trong những tài liệu nghiên cứu có tầm ảnh hưởng lớn trong lĩnh vực này là quyển sách chuyên khảo của Podlubny [66] và cong trình của Kilbas cùng đồng nghiệp [38]. Toán tử tích phân và vi phân phân thứ thường được sử dụng để mô hình hóa bằng toán học các hiện tượng diễn tả các đáng điệu của hệ động lực không chuẩn liên quan đến bộ nhớ lâu và ảnh hưởng di truyền.
Tức là, trạng thái tương lai của hệ động lực với vi phân bậc nguyên thì phụ thuộc vào trạng thái hiện tại. Tuy nhiên, đối với hệ động lực bậc phân thứ thì trạng thái hiện tại của hệ thống phụ thuộc vào toàn bộ tiến trình trong quá khứ. Những ứng dụng hiện nay của tiếp cận này được trình bày trong các mô hình toán học được mô tả bởi phương trình vi phân với đạo hàm phân thứ như sau: phương trình bảo toàn khối lượng (được đề xuất bởi Wheatcraft và Meerschaert [76]), mô hình giảm chấn kết cấu [50], phương trình sóng âm trong môi trường phức tap (Holm và Nasholm (33]), phương trình Schrédinger trong lý thuyết lượng tử (Laskin [40]) và phương trình Schrédinger phan thứ bậc biến theo biến không gian (Bhrawy [11]). Nhìn chung, những kết quả nghiên cứu trên được khảo sát thông qua các loại đạo hàm phân thứ phổ biến hiện nay như Riemann-Liouville, Caputo, Hadamard, Caputo-Fabrizio và Riesz (xem Podlubny [66]).
Yếu tố không chắc chắn xuất hiện trong các mô hình hệ động lực hoặc trong động học do sai số của thiết bị trong thiết kế, ảnh hưởng của môi trường đối với vật liệu, sự nhiễu loạn trong quá trình vận hành của hệ thống tại một thời điểm và vị trí nào đó trong hệ thống hoặc cũng do lỗi của độ đo đầu vào và các độ đo tương ứng khác của hệ thống. Những yếu tố này ảnh hưởng rất lớn đến quá trình vận hành của hệ thống và đầu ra của hệ thống (xem Hình 1). Dau vào Dau ra Hệ thống quan sát được Dau vào không quan sát được Hình 1: Mô tả hệ thong đơn giản. Hiện nay, các hướng nghiên cứu về hệ động lực khi được nhúng vào môi trường có các yếu tố không chắc chắn đang là vấn đề mới và phát triển mạnh mẽ cả về phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng.
Có ba hướng tiếp cận phổ biến để diễn đạt lý thuyết không chắc chắn bao gồm: (1) Cách tiếp cận đầu tiên được sử dụng rộng rai nhất là lý thuyết sác suất để xử lý những tham số không chắc chắn của hệ thống như các biến ngẫu nhiên hoặc các trường dữ liệu ngẫu nhiên. Mặc dù đạt được những thành công to lớn nhưng hướng tiếp cận này chỉ cho kết quả đáng tin cậy khi và chỉ khi có đầy đủ di liệu thực nghiệm để xác định hàm mật độ phân phối xác suất của các tham số ngẫu nhiên; (2) Gần đây, việc xây dựng và phát triển lý thuyết diễn tả sự không chắc chắn mà không phụ thuộc vào tính đầy đủ của dữ liệu đang được quan tâm. Do đó, hướng tiếp cận thứ hai được đề suất dựa uào khái niệm của tập mờ bằng việc sử dung hàm thuộc để mô tả mức độ thuộc của các tham số không chắc chắn; (3) Cách tiếp cận thứ ba, giải tích khoảng, được xem như là trường hợp riêng của giải tích tập nói riêng tà giải tích mờ nói chưng và cách tiếp cận này có thể được xem là công cu diễn đạt được chấp nhận rộng rãi nhất trong số những tiếp cận không mang tính xác suất. Trong những năm gan day, giải tích không chắc chắn được diễn đạt dưới khái niệm mờ và khoảng đang dần trở thành một chủ đề hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu bởi vì nó có khả năng mô hình hoá bằng toán học các hệ thống động lực chịu nhiều tác động của môi trường bên ngoài, hệ động lực phức tạp mà không thể biểu diễn được dưới dạng quá trình thực.
Ly thuyết không chắc chắn được diễn dat bằng các tập mờ đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để giải tích mờ ngày càng trở thành một lý thuyết chặt chẽ về mặt toán học và hiệu quả về mặt ứng dụng thực tiễn. Vào những thập niên 70-80, Zadeh cùng với các cộng sự như Chang [15], Heilpern [25], Dubois và Prade [21] đã có những nghiên cứu đặt nền móng cho các phép toán giải tích mờ như tính khả vi, tính đo được và tính khả tích của các ánh xạ đa trị và các ánh xạ giá trị mờ. Về sau, giải tích mờ tiếp tục được nghiên cứu và hoàn thiện bởi các công trình có giá trị của Bede và Stefanini [10], Chalco-Cano và các cộng sự [13], Diamond và Kloeden [17], Lakshmikantham và Mohapatra [39]. Theo tiến trình phát triển của giải tích mờ, việc nghiên cứu hệ động lực mờ và phương trình vi phân mờ đã được Kaleva [36] đề xuất dựa trên khái niệm đạo hàm Hukuhara.
Kaleva đã thiết lập những khái niệm cơ bản, chứng minh được sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1 dưới điều kiện Lipschitz, đặt nền móng cho các nghiên cứu về sau. Trong gần một thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực hệ động lực mờ và phương trình vi phân mờ đã phát triển hết sức mạnh mẽ, thu hút được nhiều nhà khoa học trên thế giới. Một số nhóm nghiên cứu tiêu biểu về phương trình vi phân mờ có thể kể đến là các nhóm nghiên cứu của Bede va Stefanini [10], Chalco-Cano [13], Nieto [37], Long và Son [44], Lupulescu [47], Hoa [26]. Ly thuyết không chắc chắn được dién dat dưới khái niệm các biến khoảng trong đường thẳng thực được Moore đề xuất năm 1966 (xem [ðð, 56), là sự mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải quyết những bài toán kết cấu trong cơ học chịu ảnh hưởng của sai số đo đạc và nhiễu của môi trường [57].
Trong [56, 57], tác giả đã giới thiệu các khái niệm cơ bản về các phép toán đại số khoảng và các bài toán ứng dụng liên quan. Bên cạnh đó, mối liên hệ giữa giải tích mờ và giải tích khoảng được trình bày bởi Pedrycz và Gomide [61]. Các tác giả đã chứng minh một tập mờ có thể được biểu diễn bởi các biến và vóctơ khoảng thông qua tập mức thể hện mức độ thuộc của tập mờ. Do đó, trong một thập niên trở lại đây, bằng việc sử dụng các kết quả của giải tích mờ, việc nghiên cứu và xây dựng các phép toán giải tích cho hàm khoảng nhằm ứng dụng cho việc khảo sát các lớp phương trình vi phân khoảng và các bài toán liên quan đến hệ động lực cũng đã thu hút nhiều nhóm nghiên cứu của các nhà khoa, học trong và ngoài nước.
Một số nhóm nghiên cứu tiêu biểu gần đây về giải tích khoảng và phương trình vi phân khoảng có thể kể đến là các nhóm nghiên cứu của Chalco-Cano và các cộng sự [14], Lupulescu [48], Malinowski [51] và Hoa (27, 49]. Trong thập kỷ vừa qua, giải tích phân thứ không chắc chắn, hệ động lực và phương trình vi phân không chắc chắn với khái niệm khả vi phân thứ trong không gian các hàm mờ đã có những phát triển nổi bật. Hầu hết, các kết quả nghiên cứu xoay quanh bốn hướng tiếp cận chính của khái niệm khả vi các hàm mờ, bao gồm: (1) Khái niệm khả vi dựa vào hiệu Hukuhara tổng quát giữa các tập mờ, như đã được đề xuất trong nghiên cứu của Bede va Stefanini [10]; (2) Tiếp cận dựa vào hiệu của các tập mờ dưới khái niệm tập mờ tương quan tuyến tính. Khái niệm này được đề xuất trong nghiên cứu của Esmi cùng đồng nghiệp {23, 67]; (3) Tiếp cận dựa vào hiệu giữa những khoảng mờ dưới khái niệm đại số mờ ràng buộc, như đã được đề xuất và thảo luận trong các nghiên cứu của Lodwick và Untiedt [43], Fortin, Dubois, Fargier, và Prade [24]; (4) Khái niệm khả vi dựa vào hiệu giữa các tập mờ dưới biểu diễn hàm thuộc (thành viên) ngang trong không gian đại số mờ đa chiều.
Phương pháp này đã được đề xuất trong nghiên cứu của Piegat [64] và phát triển cho lý thuyết giải tích mờ trong công trình của Mazandarani [54], Hoa cùng các đồng nghiệp [72]. Nhìn chung, các phương pháp tiếp cận nói trên đã có những đóng góp đáng kể cho việc nghiên cứu liên tục về lý thuyết hệ động lực và phương trình vi phân mờ. Chúng cung cấp một loạt các quan điểm và phương pháp giúp giải quyết những yếu tố không chắc chắn gặp phải trong các hệ động lực phân thứ. Tiếp cận dựa uào hiệu Hukuhara giữa các tập mờ trong việc đề xuất khái niệm khả vi phân thứ Riemann-Liouville mờ đã được đề xuất bởi nhóm tác giả Lakshmikantham và các cộng sự [3].
Tiếp cận này tiếp tục được sử dung để xây dựng lý thuyết giải tích phân thứ (xem Lupulescu (48]), nghiên cứu về lý thuyết định tính cùng phương pháp giải các bài toán của phương trình vi phân mờ với nhiều loại đạo ham phân thứ khác nhau như Caputo (xem Allahviranloo cùng các cộng sự [5], Hoa cùng các cộng sự [6, 26, 28, 30, 31, 63, 71], Long cùng các cộng sự [45], và Mazandarani cùng các cộng sự [53]), Caputo-Katugampola (xem Hoa cùng các cộng sự [32, 73]), và Caputo tổng quát (xem An cùng các cộng sự [7]). Mặc dù tiếp cận này đã thu hút sự quan tâm của một số lượng lớn nhà nghiên cứu trong lĩnh vực nhưng nó vẫn đối mặt với nhiều nhược điểm khi áp dụng trong thực tế. Một trong những nhược điểm là phép hiệu Hukuhara tổng quát không luôn tồn tại và điều này gây khó khăn trong việc hoàn thiện đạo hàm mờ. Sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán cũng là một điểm yếu lớn dưới tiếp cận này.
Những hạn chế này đã được thảo luận chỉ tiết trong các nghiên cứu của Mazandarani và đồng nghiệp [54], cũng như của Hoa và đồng nghiệp [7]. Trong những nghiên cứu nay, các tác giả đã xác định it nhất sáu hạn chế của tiệc nghiên cứu phương trình vi phân mờ thông qua tiếp cận hiệu Hukuhara.