Nghiên Cứu Dáng Điệu Tiệm Cận Của Nghiệm Phương Trình Navier-Stokes Trên Đa Tạp Riemann Với Độ Cong Ricci Âm

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

1. MỞ ĐẦU

1.1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

1.2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.3. Phương pháp nghiên cứu

1.4. Kết quả của luận án

1.5. Cấu trúc của luận án

1.6. Kiến thức chuẩn bị

1.6.1. Giới thiệu hình học Riemann

1.6.1.1. Đa tạp khả vi, đa tạp Riemann

1.6.1.2. Đạo hàm hiệp biến, liên thông Levi-Civita

1.6.1.3. Metric và các toán tử Laplace trên trường ten-xơ

1.6.1.4. Các loại độ cong và phân loại đa tạp không compact

1.6.2. Không gian hàm và phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann

1.6.2.1. Không gian hàm và không gian Sobolev

1.6.2.2. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính

1.6.2.3. Phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact

1.6.2.4. Các ước lượng Lp − Lq cho nửa nhóm trên đa tạp Riemann không compact với độ cong âm

1.6.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình tiến hoá trên đa tạp Einstein không compact và ứng dụng

2. PHƯƠNG PHÁP MASSERA VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM

2.1. Phương pháp Massera cho phương trình tuyến tính

2.1.1. Nghiệm tuần hoàn

2.1.2. Nghiệm hầu tuần hoàn

2.1.3. Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận

2.2. Sự tồn tại và tính ổn định mũ của các loại nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

2.2.1. Sự tồn tại của các loại nghiệm

2.2.2. Tính ổn định mũ của các loại nghiệm

2.2.2.1. Phương trình Navier-Stokes

2.2.2.2. Phương trình truyền nhiệt dạng vectơ

2.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact

3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

3.1. Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Stokes theo phương pháp Massera

3.2. Sự tồn tại và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes nửa tuyến tính

3.2.1. Sự tồn tại của nghiệm

3.2.2. Tính ổn định mũ của nghiệm

3.2.3. Định lí kiểu Serrin trên đa tạp Riemann: Tính ổn định kéo theo tính tuần hoàn

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Những kết quả đã đạt được

2. Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo

Danh mục các công trình đã công bố của luận án

Tài liệu tham khảo

I. Tổng quan về nghiên cứu phương trình Navier Stokes trên đa tạp Riemann

Phương trình Navier-Stokes là một trong những phương trình quan trọng trong động lực học chất lỏng. Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình này trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Đề tài này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của nghiệm mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng.

1.1. Lý do chọn đề tài nghiên cứu phương trình Navier Stokes

Lý do chọn đề tài này xuất phát từ tầm quan trọng của phương trình Navier-Stokes trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý thực tiễn. Nghiên cứu trên đa tạp Riemann giúp phản ánh chính xác hơn các chuyển động của dòng chảy trong không gian có độ cong khác không.

1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

Mục tiêu chính của nghiên cứu là xác định sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm. Phạm vi nghiên cứu sẽ tập trung vào các nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn.

II. Thách thức trong nghiên cứu nghiệm phương trình Navier Stokes

Nghiên cứu nghiệm của phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không phải là điều dễ dàng. Các thách thức chính bao gồm việc xác định tính ổn định của nghiệm và sự tồn tại của nghiệm trong các điều kiện khác nhau. Đặc biệt, độ cong Ricci âm có thể ảnh hưởng lớn đến tính chất của nghiệm.

2.1. Các vấn đề tồn tại nghiệm trong không gian không compact

Trong không gian không compact, việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm là một thách thức lớn. Các phương pháp hiện tại như phương pháp Serrin và nguyên lý Massera cần được áp dụng một cách linh hoạt để đạt được kết quả mong muốn.

2.2. Tính ổn định của nghiệm trong điều kiện Ricci âm

Tính ổn định của nghiệm trong điều kiện độ cong Ricci âm là một vấn đề phức tạp. Cần phải sử dụng các kỹ thuật phân tích hàm và lý thuyết không gian Banach để chứng minh tính ổn định mũ của nghiệm.

III. Phương pháp nghiên cứu nghiệm phương trình Navier Stokes

Để nghiên cứu nghiệm của phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann, một số phương pháp chính được áp dụng. Các phương pháp này bao gồm việc sử dụng lý thuyết về hàm tuần hoàn, nửa nhóm nhiệt dạng vectơ và các ước lượng Lp − Lq.

3.1. Phương pháp Massera trong nghiên cứu nghiệm

Phương pháp Massera được sử dụng để chứng minh sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm tuần hoàn. Phương pháp này cho phép xác định các điều kiện cần thiết để nghiệm tồn tại trong không gian không compact.

3.2. Các ước lượng Lp Lq cho nửa nhóm Stokes

Các ước lượng Lp − Lq là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu nghiệm của phương trình Navier-Stokes. Chúng giúp xác định tính ổn định và sự tồn tại của nghiệm trong các không gian khác nhau.

IV. Ứng dụng thực tiễn của nghiên cứu nghiệm Navier Stokes

Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong lĩnh vực động lực học chất lỏng, mô hình hóa dòng chảy và các hiện tượng vật lý khác.

4.1. Ứng dụng trong mô hình hóa dòng chảy

Các kết quả từ nghiên cứu có thể được áp dụng để mô hình hóa các dòng chảy trong thực tế, như dòng hải lưu và luồng không khí. Điều này giúp cải thiện độ chính xác trong các mô hình dự báo thời tiết và khí hậu.

4.2. Ứng dụng trong nghiên cứu vật lý chất lỏng

Nghiên cứu nghiệm của phương trình Navier-Stokes cũng có thể hỗ trợ trong việc hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý trong chất lỏng, từ đó phát triển các công nghệ mới trong ngành công nghiệp.

V. Kết luận và hướng nghiên cứu tương lai

Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.

5.1. Tóm tắt các kết quả nghiên cứu

Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các điều kiện khác nhau. Điều này khẳng định tầm quan trọng của phương trình Navier-Stokes trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý.

5.2. Đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo

Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các phương pháp hiện tại để áp dụng cho các loại phương trình khác, cũng như nghiên cứu sâu hơn về tính chất của nghiệm trong các điều kiện phức tạp hơn.

Dáng Điệu Tiệm Cận Của Nghiệm Phương Trình Navier-Stokes Trên Đa Tạp Riemann Với Độ Cong Ricci Âm