I. Nghiên cứu đa tạp bất biến
Nghiên cứu đa tạp bất biến là một trong những vấn đề trọng tâm của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Đa tạp bất biến là tập hợp các nghiệm của phương trình tiến hóa mà khi thời gian tiến đến vô cùng, các nghiệm này hội tụ về một không gian con ổn định. Trong đề tài này, đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định được nghiên cứu trong bối cảnh phương trình tiến hóa nửa tuyến tính chứa trễ vô hạn. Điều kiện tồn tại của đa tạp này phụ thuộc vào tính nhị phân mũ của phần tuyến tính và điều kiện Lipschitz của phần phi tuyến. Các kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đây về đa tạp bất biến trong không gian hữu hạn chiều sang không gian vô hạn chiều.
1.1. Lý thuyết đa tạp bất biến
Lý thuyết đa tạp bất biến đã được phát triển từ các công trình của Hadamard, Perron, và Bogoliubov. Các nghiên cứu này tập trung vào việc xác định điều kiện tồn tại của đa tạp tích phân trong không gian R^n. Trong không gian Banach, Daleckii và Krein đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp khi phần tuyến tính là toán tử tuyến tính bị chặn. Henry mở rộng kết quả này cho toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Phương pháp Lyapunov-Perron được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu định tính nghiệm của phương trình vi phân.
1.2. Đa tạp bất biến trong phương trình tiến hóa
Trong phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, đa tạp bất biến được xác định thông qua tính nhị phân mũ của họ tiến hóa và điều kiện Lipschitz của phần phi tuyến. Đề tài này tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định trong lớp phương trình tiến hóa chứa trễ vô hạn. Các đánh giá bất đẳng thức Holder và tính chất hút nghiệm được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của đa tạp.
II. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính là một lớp phương trình vi phân quan trọng trong nghiên cứu các hệ thống tự nhiên và kỹ thuật. Phương trình này thường có dạng u'(t) = A(t)u(t) + f(t, u_t), trong đó A(t) là toán tử tuyến tính và f là toán tử phi tuyến. Trong đề tài này, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính chứa trễ vô hạn được nghiên cứu với mục đích tìm hiểu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm.
2.1. Phương trình tiến hóa chứa trễ
Phương trình tiến hóa chứa trễ mô tả các hệ thống mà sự phát triển của chúng phụ thuộc vào trạng thái trong quá khứ. Trong trường hợp trễ vô hạn, khoảng thời gian quan sát trong quá khứ là vô hạn, điều này làm tăng độ phức tạp của bài toán. Đề tài này sử dụng không gian giảm nhớ (fading memory space) để xử lý các vấn đề liên quan đến trễ vô hạn.
2.2. Phương trình tiến hóa phi tuyến
Phương trình tiến hóa phi tuyến thường xuất hiện trong các mô hình thực tế như hệ sinh thái, hệ khuếch tán, và hệ xử lý tín hiệu. Phần phi tuyến của phương trình thường không thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều, điều này đòi hỏi các phương pháp nghiên cứu phức tạp hơn. Đề tài này đưa ra điều kiện tồn tại nghiệm và đa tạp bất biến trong trường hợp phần phi tuyến có hệ số Lipschitz phụ thuộc thời gian.
III. Ổn định trong phương trình tiến hóa
Ổn định trong phương trình tiến hóa là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Tính ổn định của nghiệm được xác định thông qua sự hội tụ của nghiệm về một không gian con ổn định khi thời gian tiến đến vô cùng. Trong đề tài này, tính ổn định của nghiệm được nghiên cứu thông qua sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định.
3.1. Phương trình tiến hóa ổn định
Phương trình tiến hóa ổn định là phương trình mà nghiệm của nó hội tụ về một không gian con ổn định khi thời gian tiến đến vô cùng. Điều kiện để phương trình tiến hóa ổn định phụ thuộc vào tính nhị phân mũ của họ tiến hóa và điều kiện Lipschitz của phần phi tuyến. Đề tài này đưa ra các điều kiện cụ thể để đảm bảo tính ổn định của nghiệm.
3.2. Phương trình tiến hóa bất biến
Phương trình tiến hóa bất biến là phương trình mà nghiệm của nó không thay đổi theo thời gian. Đa tạp bất biến là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tính bất biến của nghiệm. Đề tài này tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định trong lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính chứa trễ vô hạn.
