Chương 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thang R, (xem [20]), không gian giảm nhớ (fading memory space), tính nhị phân mũ của họ tiễn hoá và đa tạp ổn định địa phương của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân ~ nu 1.1 Nua nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1. Cho không gian Banach X, họ (T(t))is0 C £(X) gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (i) T(it+s) =T(t)T(s), Vt,s > 0. (ii) T(0) = 7 toán tử đồng nhất. Toán tử A: D(A) C X > X xác định bởi Av = lim —(T(h)x — 2) h->0T trên miền xác định D(A) = Ề EX: lim +(7(h)z — z) tồn tại \ goi h-0* h là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)):s0 trên không gian Banach X.
Đối vdi toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục manh (i) A: D(A) CX — X là toán tủ tuyến tính; (ii) Nếu x € D(A) thi T(t)x € D(A) va £T(t)x = T() A+ = AT(t)x, Vt > 0; ! (itt) Với moit > 0,4 € X ta có | T(s)ads € D(A); 0 (iv) Với moit > 0 ta có t T)z—# = A | T(s)0ds nếu z€ X 0 t = [T594 nếu x € D(A). Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Ba- nach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là p(A) = {Ace€Œ|(AT-— A) là song ánh }. khi đó R(A, A) := (AIT — A), € p(A) là giải thức của A, ơ(4) := C\ p(A) gọi là tập phổ của A.
Cho (T7 (f));¿>o là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X, lay hằng số w € R, M > 1 sao cho ||T(t)|| < Me“, Vt > 0. Khi đó uới toán tử sinh (A, D(A)) của nita nhóm (T(t))is0 ta có các tính chất sau: CO (i) Nếu X €C sao cho R(A)x := f eT (t)xds ton tai, Vx € X thà 0 A € p(A) va RA, A) = RA). (iit) ||R(A, A)|| < po VReA > we. +00 Chú ú rằng, cong thúc R(A, A)z = [ e **T(s)zds gọi là biểu diễn 0 tích phân cua giải thúc.
Tích phân ở đâu là tích phân Riemann suy rộng +00 t la.2 Tính ốn định và nhị phân mũ Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính on định và nhị phân của nửa nhóm (xem[12]). Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều: Định nghĩa 1. Nửa nhóm liên tục mạnh (7 (f));»ọ với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại c > 0 sao cho lim e“||T(#)|| = 0. t00 Tiếp theo là khái niệm nhị phan mũ của nửa nhóm.
Nửa nhóm (7 '(£));>o trên không gian Banach X được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) néu X có thể viết thành tổng trực tiếp X = X, @® X,, các không gian con đóng X,, X„ bất biến đối với (7(£));¿>g sao cho hạn chế của (7;(£));xọ trên X,, và (7/(£));>o trên X„ thỏa mãn các điều kiện: (i) Nửa nhóm (7;(£));»o là ổn định mũ đều trên X;; (ii) Nửa nhóm (7„());>ọ có nghịch đảo trên X, và (7„() !);so ổn định mũ đều trên X,,. Dé xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau day. Cho A: D(A) C X > X là toán tử đóng trên không gian Banach X. Khi đó s(4) := sup{ReÀ : A € z(4)} được gọi là cận phổ của A.
Cho nửa nhóm liên tuc mạnh 7 = (7 (f));>o với toán tử sinh (A, D(4)). Khi đó, số thực Wa := Wo(T) := œ0) = nf clR: 3A/ > 1 sao cho ||T(t)|| < Me", Vt > o| được gọi la cận tăng của 7. Nửa nhóm (7(t));s9 ổn định mũ đều khi và chỉ khi Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có thể xác định cụ thể. Dé làm điều đó ta cần đến khái niệm "Dinh lý Ánh xạ phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau day.
Nửa nhóm liên tục mạnh (7 (f));»ọ với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Dinh lý Ánh xạ phổ (SMT) nếu: o(T(t))\{0} =e với t > 0. (SMT) Lưu ý: trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (7));¿>o sinh bởi A (chang hạn xem [10, Ví dụ 1. Tuy nhiên, nếu (72));-o thỏa mãn Dịnh lý Ánh xạ phổ thì ta có đặc trưng sau: (7@));¿so ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0. Dể đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây (xem Định lí 1.
Đối oới mửa nhóm liên tục manh (T(t))is0, các mệnh dé sau là tương đương: (i) (T(t))es0 có nhị phân mi; (ii) ø(T())ñnD = O uới một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn don vi. 13 Trường hợp (T(t));¿xo thỏa mãn. Dinh lý Anh xạ phổ (SMT) va A là toán tủ sinh của nó, thà ta có các mệnh đề trên tương đương tới (iti) ơ(A) n8 = 0. Trong định lý trên, lưu ý rang giả thiết (7(£));¿xọ thỏa mãn Dinh lý Ánh xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: ơ(4) và o(T(t)) thỏa mãn o(T(t)) C Die?’ := f1z.2 Không gian ham Banach chấp nhận được và không gian giam nhớ 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được Định nghĩa 1.
Một không gian vector E gồm các hàm thực do được Borel trên R được gọi là không gian ham Banach trên (R,, B, À), trong đó B là đại số Borel và À là độ do Lebesgue trên R,, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) # là dan Banach với chuẩn|| - |Ìz, tức là, (#, || - ||z) là không gian Banach, nêu ¿ € #, là hàm thực đo được Borel sao cho |w(-)| < Iz(-)|,A-hầu khắp nơi thì ý € , |/||z < ll||z: (2) hàm đặc trưng xa € # với mọi A € B có độ đo hữu han và 5UIĐ¿>0 llxz+alÌz < 00, inl;>g llxtr¿+lÌE > 0; (3) => Lytoc(R+), tức là với mọi đoạn compact J C R, ton tại 8; >0 sao cho | |f(t)|dt < 8;|fllz với mọi ƒ € E. Không gian hàm Banach # được gọi là chấp nhận được néu nó thoa mãn các điêu kiện sau: (i) Ton tại hằng số M > 1 sao cho moi [a,b] C Ry và mọi y € E ta “ CO [ied < PHÙ — Di ote. Hơn nữa ton tại N,, No > 0 sao cho ||7 || z < M, |TƑ lÌp < No VỚI moi 7 € Ry. Không gian L„(R„), 1 < p < ©, va không gian t+l M := ¢ f € Li toc(R+) ap fie )|dr < co (1.1) ¿>0 ttl với chuẩn ||ƒ|lw := supyso f [f(7)|dr là các không gian ham Ba- t nach chấp nhận được.
Ngoài ra, một số các không gian ham trong lý thuyết nội suy như là không gian Lorentz Ly 4, 1<p<o, 1<q<o cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được. Nếu 7# là không gian hàm Banach chấp nhận được thì ⁄ <>M. 15 Dưới đây là một số tính chất của không gian ham Banach chap nhận được. /18] Cho E là không gian ham Banach chấp nhận được.
Ta có các khang định sau: (a) Cho @ € Ly toe(R+) sao chop => 0 va Ap € E. Với mọt ơ > 0 ta xác định A,p va Aj như sau: Khi đó, A uà Mvp € E. Hơn nữa, nếu yp € M (điều nay được thoả man nếu @ € E (xem Chú g 1.2) thi A, va Aly bị chặn va ta có đánh gia AI No IAz#lx <1 — c5 WAIT ello, ||A, ello < l-—e? Ar y|[o(1-2) trong đó Ay,T;F va N,, No được xác định trong Dinh nghĩa 1. (b) Với moia>0,e “EF.
Dễ thay rằng St là không gian Banach. Cho 7# là không gian hàm Banach chấp nhận được và E7 không gian liên kết của nó. Khi đó, từ |9, Chương.| ta có Bất đắng thức Hölder: / le(0)0())|ät < llellzllblle với mọi pe B, 0e. Giá sử E là không gian ham Banach chấp nhận được sao cho không gian liên kết E' của nó cũng là không gian ham Banach chấp nhận được.
Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng E' chúa hàm E-bat biến ma, nghia là uới ham p > 0 uà > 0 cỗ định hàm h, được xác định bởi h(t) := lle" ple vit eR, (15) thuộc H.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) Định nghĩa 1. Cho X là không gian Banach. Không gian giảm nhớ là không gian Banach (T; ||: lÍr) gồm tập các hàm từ (—oo, 0] vào X thỏa mãn các tiên đề sau (xem |7, §Ì): AI) Ton tại hằng số dương H, các hàm liên tục không âm bị chặn địa phương K(-) và M(-) trên [0,0o) và hàm u : (—oo,a) > X liên tục thỏa mãn øơ < a,u„ € T. Khi đó, với mọi t € |ơ,øa) ta có (ii) u, liên tục theo £ (đối với chuẩn || - |), (iii) H|u0)1| < lllr < A (t—-o) supz<;«<¿ ||u(s)|[+-M (t-o) ||Uellr.
A2) Nêu {¢x}, de € T, hội tu đều đến hàm ở trên tập compact thuộc (—oo, 0], {ø¿} là dãy Cauchy trong Ï, thì ¿ € Ï' và ¢ > ở trong I’, khi & > o. (xem [8, Chương 5]) Với hàm h : (—oo, 0] > (0,00), cho Ch := {ø :@€Cvà s->—œ lim TÔ h(s = 0} với chuan —œ<s<0 h(s) Trong trường hợp đặc biệt h(s) = e ”*, chúng ta có ví du sau. Không gian Cy = {6 :€CCvà lim lots) = 0}. trong đó v > 0 s>-—o e 5 với chuẩn Jø(s)Ì elle, == sup e Vs —œ<s<0 thỏa mãn các tiên đề trên với K(t) = 1, M(t) =e", t > 0.
Vậy C, là không gian giảm nhớ. Xét x(-) là hàm xác định và liên tục trên R lay giá tri trong X sao cho #(-)|g, € Œ;(R_, X) và x € C, với mọi t > 0. Khi đó, ta có z;lle, = supe” x(t + 8)|| = e ”“sup #”lz(9)| 60<0 0<t —v_n max foup 2 ll2(8)||, sup e“Iz(9I} 0<0 0<0<t - max |e", sup en e(@)i\ O0<é<t < max {jo sup Iz(9I} 0<0<t < e "lzoll„ + sup ||z(Ø)|| với mọi t > 0.3 Bat dang thức nón Định nghĩa 1. Một tap đóng K trong không gian Banach W được gọi là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) œ€K thì Ax € K với mọi A > 0, (ii) #1,za EK thì z¡ + za € K, (iii) ta € K thì z =0.
