Chương I1: KHOANG CACH HAUSDORFF VA TINH DEU HAUSDORFF 1. Không gian các tập con đóng của một không gian mêtric Trong tất ca phần này, ta ký hiệu X là không gian metric với metric đ. Ta không giả sử đ(+, y)< œ. Cho A,ð là hai tập hợp con của X, độ dôi (excess) của A trên được xác định như sau: e(A, B) =sup{d(x, B)/ x € A} (supremum nhan gia tri trong [0,00], va sup@ =0) Khoang cach Hausdorff cua A va B là h(A, B) = max {e(A, B), e(B, A)} = max{supd(x,B),supd(y, A)} xeA yeB trong dé d(x,B) =inf d(x, y).
Những tính chất cơ bản. Do đó 7,(X), tập tất cả các tập con đóng của X, với khoảng cách Hausdorff trở thành một không gian metric. Trong tập 7,(X), Ø là điểm cô lập. Nếu đ bị chặn, thì w cũng bị chặn trên 7.
Nếu A, —> A trong không gian metric P,(X), khi do J A, = NU BA, 2) = f1 Uf1W(A/) n mền WeW n m2n A=] Trong do B(A,,¢) ={xe X/d(x,A,) <e}, va W la tap tat ca cdc 1an c4n cia cau tric déu cia X va W(A,)={y eX / dre A, sao cho (x,y) EW}. Cho e>0,neÑ,xeA thì tồn tại m>m sao cho: n mền W(A,, A) <é, suy ra d(x,A„) <£ và tồn tại x„e A„ sao cho đ(x,x„) <2£. Do đó xe LJ A„ với mỗi øÑ. Điều này chứng tỏ AC B.
Gia su xe B, ta chung minh A, > AU {x} (điều này sẽ chứng tỏ 8 c A). Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra e(At2{x). Điều này đúng nếu chứng minh được đ(+,A,)—>0. Cho peÑ sao cho m,n> p thì h(A,,A„)<e.
Từ xe suy Ta ton tai m= p sao cho dđ(x,A,)<e, do đó néu n= p thi d(x,A,) <d(x,A,) +h(A,,A,) S26. Nếu xe A, và đ(x,A,)—>0, dễ thấy xe B. £50 0 men Đảo lại, nếu xe, với e>0,3neÑ sao cho Vm=n, d(x,A,)<e, do dé e(AU {x},A,) 30. Va dé thay e(A,,AU{x}) 90.
Vay h(A,, AU{x}) 30 va A=AU{x} > xEA. 3) Đẳng thức thứ ba là hiển nhiên vì một cơ sở lân cận là họ W, ={(x, y)/d(x, y) <e}(e >0) va W(A,) C BIA, €) CW,,(A,). Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì P,(X) là không gian metric đầy đủ. Giả sử (A,) là dấy Cauchy trong 7.
1) Trước hết để ý rằng có N sao cho n=>N,m=N kéo theo h(A,,A„) <1. Khi đó, hoặc A,=OVn=N hoặc A #@ðZVn>N. Trong trường hợp thứ nhất dãy (A,) hội tụ về Ø. Giả sử chúng ta có trường hợp thứ hai.
2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ƒU A„ # Ø. Cho £>0, chọn £ =l là đủ. Với mỗi k EN t6n tai N, sao cho m,n>N, thic6 A(A,,A,)<2“e. Gia str (m,) là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho ø, > W,.
Cho x, <A, , giả sử chúng ta đã chọn được x,,x,,.x, với tính chất x, € A, 4% 5X41) <2‘e. Khi dé x,,, được chọn trong A, thỏa d(x, ,%¿¡)<2*“£ (điều này có thể được bởi vì d(x,,A, )<MA,,. Day (x,) la diy cauchy trong khéng gian metric day du X , (x,) hdi tu đến x. Khi đó xe NU,.
3) Điểm x thu duge ở phần 2) thoa man d(x,,x) <2£. Do đó: voi moi n, = N, va x,€A, ton tai xe A(A=MUA,) sao cho d(x, 0? n m2n x)<2e. Vi vay e(A, A) < 28, Vn, 2 N,. 4) Bay giờ chúng ta ching minh e(A,A,) +0.
Khi d6 theo phan 3) sé chứng tỏ được h(A,,A) 0. Giả sử € >0 va N sao cho n,m>N thicé h(A,,A,)<é. Khi do xe UA,. Tontai n,>N và yeA, sao cho đ(x,y)<£.
Cho m>N thì có mềN m d(x,A,) <d(x,A, )+h(A, ,A,,) S2e. Cho 7,(X) là tập hợp tất cả các tập con đóng hoàn toàn bị chặn của X. Cho £>0 tồn tại n sao cho e(A,A,)<£ và X,,.,x, sao cho họ các quả cầu tâm x,, bán kính £ phủ A,. Khi đó họ các quả cầu tâm x,, bán kính 2£ phủ A.
Do dé AeP,(X). Chúng ta có thê dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thi 7,(X) hoàn toàn bị chặn. Thật vậy với >0 cho trước, giả sử xị,.,x„ thỏa mãn họ các quả cầu mở tâm +,, bán kính £ phủ X. Giả sử Ae7?.
Khi đó tập B={x,/¡e1} có tinh chat h(A,B)<e. Tập các tập con của tập {+x;.x„} là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ 7,(X) hoàn toàn bị chặn. Do đó nếu X compact thì P,(X) compact.
Nếu X day du, P(X), tập tất cả các tập con compact của X cũng đầy đủ. Điều này hiển nhiên theo định lý 1. Topo Hausdorff trên không gian của tất cả các tập con compact cua X, P,(X), duge sinh ra bởi các tập {Ke72(X)/KCU) (U mỏ) và {K€ P(X)/K AV #4} (V mo). Co so lân cận của K, bao gồm các tập {K/ K CU, KOV, #©,.V, là mở) chứa K,.
1) Chúng ta sẽ chứng minh Q={K e72(X)/KCU) là mở. Do K, la tap compact, ¢=inf{d(x,y)/xeEK,,yeX—U}>0. Khi đó h(K,K,)<e—=c(K,K ,)<e—=KCU, nghĩa là K eQ. Chung ta chung minh U={K €R(X)/KAV 4} lamo.
Gia su K, EU. Tén tai một qua cau mé tam x, EK, OV, bán kính ¢ chira trong V. Khi do nếu h(K,K,)<£, thì KB(x,£)#ø. Do đó KV #Ø và K cử.
2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu K_c72(X) và ¿>0 cho trước, quả cầu tâm K, và bán kính £ chứa tập: (K/KCU)}f\{K/KV,zØ}í1\.(\(K/ KV, Ø} tập này chứa K,. Thật vậy, chọn U ={x/d(x,K ,)<£} và Vị.V, là các quả cầu mở bán kính 2'e phi K,. Khi dé néu K CU thi e(K,K,)<e, néu K gap V,,. Néu T 1 không gian topo, I`, là hàm đa trị từ 7 đến BCX), 1a liên tục nếu và chỉ nếu nó n.
Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất ca cac tap con compact của X ,71(X) , chỉ phụ thuộc vào topo cua X (không phụ thuộc metric). Nếu X là không gian metric khả ly, thì P(X) 1a không gian metric khả ly. Gia sur (x,) la day tru mat trong X. Gia su K là tập hợp tất cả các tập hữu hạn {x,.
Khi đó K là một phần đếm được của 7?(X), và dễ kiểm tra rằng K là tập trù mat trong P(X) (theo định lý 1. Nếu X là một không gian Polish, khi đó 7?(X) với topo được mô tả trong định lý 1. Nếu X là không gian metric khả ly, thì ơ -đại số Borel trên P(X) (với topo Hausdorff được sinh bởi các tập {Kce7(X)/KCU) (U m0) va cting duge sinh boi cac tap {K € P,(X)/ K AV # ©} (V mo). 1) Xét tập {K/ KV #zØ}.
ằ : 1 Chu y rang V =UF, voi F, ={x/d(x,X-V)=-}. 7 n Khi dé {K/ K AV #2} =U{K/ KF, 4} =U[R(X)-{K/KCX-F}]. Do vay o -dai số sinh bởi tất cả các tập {K/ KV #Ø?) là bao ham o - đại sỐ sinh bởi tất cả các tập [K/K cU). 2) Xét tap {K/K CU}.
Chúng ta kiểm chứng K¬(X —U)#@©Vn,K ©V, #@. Chiều thuận là hiển nhiên. Dao lai néu KAV, #@ Vn, gia str x, EK OV,. Khi do diém tu của day (+x„) thuộc vào K và X—U.
Do đó P,(X)-{K1K CU}=MKIK OV, #2}. Diéu do chimg to rang o-dai sé sinh béi tat ca cdc tap {K/K CU} 1a bao hàm ơ -đại số sinh bởi tất cả các tap {K/ K AV #@}. 3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở @C 7(X) thuộc về ơ- đại số sinh bởi tất cả các tập {K/K CŨ) và {K/K V #Ø). Thật vậy Q là hợp của một họ .4 của giao hữu hạn cua cac tap {K/K CU} va {K/ KV zØ?) (định lý 1.
Nhưng vì 72(X) khả ly (định lý 1.8) nên Q cũng là hợp của một họ con đếm được của A. Trường hợp của không gian đều, tính đều Hausdorff Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được xác định bởi họ lọc của các nửa khoảng cách (đ,),. Họ {ñ,} là lọc. Chứng mình ba tính chất cuối.
I) Trước tiên <© là hiển nhiên. Ngược lại, nếu Vi,e,(A,B) =0 va néu øeA, ta có Vi,đ,(a,B)=0. Khi đó mọi đ,-quả cầu bán kính dương và tâm z có phần chung với 8. Do đó mọi lân cận của ø có phần chung với B.
Vi vay aeB. 2) Tinh chat cuối cùng được suy ra từ tương ứng đ > ñ là tăng. Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đều trong 7,Œ'). Giả sử }VW là cơ sở lân cận của cấu trúc đều của X.
Nếu W e}⁄V ta định nghĩa W bởi W ={(A,B) c<7?(X)/AcW(),B eW(A)} Với W(B)={yeX/3xeB:(x,y)ceW)} L] Định lý 1. Với những kí hiệu ở trên , tập W cua tat ca W 1a co so lân cận trong ?,(X). Nó xác định cùng cấu trúc đều như họ của các nửa khoảng cách (h,). Trước hết ánh xạ W L>W là tăng.
Khi đó nếu }⁄42 là một cơ sở lân cận khác của X, mỗi W c}/ chứa một W e}W và ngược lại. Bây giờ ta xem xét }4j tập của tất cả U,„ ={(x,y)e X”/d,(x, y) < £}(e >0,¡ ]) Khiđó ø(A,B)<£—=ACU,,(B)—>e(A,B)<2z và h(A,B)<é= ACU,,(B) vaB CU, (A) > h(A,B) <2. Điều đó chứng tỏ }4_ là một cơ sở của cau trúc đều xác định bởi họ (/,). 1) Nếu X là một nhóm topo abel, giả sử ' là một cơ sở lân cận của 0.
Nếu X là không gian Fréchet thì P,(X) là khả metric, nhưng nó có thể tương thích hơn để định nghĩa tính đều Haudroff bởi tập của các lân cận {(A,B)/AC B+V,BC A+V)} với V là lân cận lồi đóng của 0(hoặc lân cận lồi mở). Cho X là một không gian đều Hausdorff. Topo Hausdorff trong 7„(X) được sinh ra bởi nhiing tap {K € P,(X)/K CU} (U md) va {K/ K AV #2} (V mở). Chứng minh van dung, str dung ho (d,),(e,),(h,), ngoai trừ lý luận đầu tiên.
Nó phải được thay thế bởi chứng minh Q={K/KCU)} là mở. Tén tại một lân cận W sao cho W(K )CU. Do đó có ¡e7 và e>0 sao cho {x/d,(x,K,)<ée}cU Khi dé h(K,K,)<e=>e(K,K,)<e=>K CU, nghiala KeQ. Không gian các tập con lồi đóng của không gian lồi địa phương Cho E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff.
Giả sử (p,),„ là lọc iel của nửa chuẩn xác định bởi topo của E. Khi đó đ,(x,y)= p,(x— y) là nửa khoảng cách, và áp dụng mục 1.2 vào E với họ (đ,) iel * Định ly 1., la day suy rộng những tập con đóng của E. Giả sử {Ƒ} hội tụ đến Ƒ đối với topo được xác định ở mục 1. Khi do nếu tất ca ƑF„ là lỗi thì Ƒ là lỗi, nếu tat ca F, bi chan thi F bi chan.
1) Giả sử Ƒ„ là lỗi. Với mỗi lân cận lỗi của 0, V, ton tạ ø sao cho cho /j@>øđ thì FcF,+V vaF,cF+tV. Do dé FU{z}CF,+V vaF, C(FU{z}))+V. Cho nên #\+J{z} cũng là giới hạn của (F; ).
Điều đó chứng tỏ rằng z6 Ƒ. 2) Giả sử các ÈF„ là bị chặn. Với mỗi lân cận lồi của 0, V, tồn tại œ sao cho FCF,+V. Ma F, la bị chặn nên có >0 sao cho FC 2V, do đó Fc(2+IV, và F 1a bi chan.