Mở đầu phần hình học, thể chế dạy học toán 6 đã đề cập Mỗi hình phẳng là một tập hợp điểm của mặt phẳng […] (M 6 , tập 1, tr. 102) Hay Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp điểm. 103) Là một thuận lợi cho việc sử dụng những kí hiệu của lí thuyết tập hợp vào diễn đạt các quan hệ hình học như: quan hệ “Thuộc”, quan hệ “bao hàm”, chẳng hạn: Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu là A ∈ d; điểm B không thuộc đường thẳng d kí hiệu là B ∉ d. 104) Ngoài ra: Cần rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các cách diễn đạt trực quan “nằm trên”, “nằm ngoài”, “đi qua”, “không đi qua”, “chứa”, “không chứa”.
136) Nhưng, chúng tôi không thấy thể chế dạy học toán 6 sử dụng kí hiệu toán học để thay thế những thuật ngữ trên. Phải chăng thể chế dạy học toán 6 ngầm ủy thác cho GV làm công việc này khi giảng dạy? Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học … 18 Theo M 6 , tập 1, trang 103 thì “Người ta thường dùng các chữ cái thường a, b,…, m, p,…để đặt tên cho các đường thẳng”. Đối với đường thẳng đi qua hai điểm, chẳng hạn A, B thì không kí hiệu là AB mà luôn có cụm từ “Đường thẳng” đứng trước nó, chẳng hạn: Ta gọi đường thẳng đi qua hai điểm A và B là đường thẳng AB hoặc đường thẳng BA. 108) Cũng tương tự như vậy đối với kí hiệu của một “Tia”, chẳng hạn: Tia Ax (M 6 , tập 1, tr.
111) Kí hiệu của “Đoạn thẳng” vẫn còn ngầm ẩn thông qua độ dài của nó, như đã phân tích ở các lớp tiểu học, chẳng hạn: Ta nói độ dài đoạn thẳng AB bằng 17 mm và kí hiệu AB = 17mm. 117) Kí hiệu “∠” hoặc “∧”, thay cho từ “Góc” khi diễn đạt góc tạo bởi hai tia hay góc trong tam giác, chẳng hạn: , Góc xOy, hoặc yOx, hoặc góc O. Các kí hiệu tương ứng là: xOy . Cũng còn yOx, O kí hiệu là ∠xOy, ∠yOx, ∠O.
74) Tuy nhiên, kí hiệu “∠” thể chế dạy học toán 6 không ưu tiên sử dụng. Kí hiệu số đo của góc trùng với kí hiệu của góc tương ứng, chẳng hạn: là xOy Ta cũng kí hiệu số đo của góc xOy . 77) Kí hiệu “R” thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn. Như chúng tôi đã phân tích, ở lớp 5, kí hiệu “r” cũng thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn.
Như vậy, đã có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu bán kính của đường tròn. Kí hiệu “∆” thay cho cụm từ “tam giác” khi diễn đạt tên gọi một tam giác, chẳng hạn: Tam giác ABC được kí hiệu là ∆ABC.94) Tuy nhiên, nó không đứng độc lập khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn ta không thể ghi: Vẽ ∆ biết độ dài ba cạnh […]? Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học … 19 Đối với hai kí hiệu: “{” và “}”. Chúng tôi thống kê như sau: Kí Thay thế cho Giá trị công cụ Ví dụ minh họa hiệu “từ” diễn đạt “và” Có M là trung điểm của AB}⇔ MA = MB = hoặc không AB/2 } thay thế cho Không (G 6 , tập 1, tr. 168) từ nào cả MA + MB = AB MA = MB { “và” Có (G 6 , tập 1, tr.
168) Hầu hết các nhận xét, quy tắc đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường hoặc kết hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn: + Nhận xét: Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy . Ngược lại, yOz = xOz + nếu xOy thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz. 81) yOz = xOz Từ những ghi nhận trên cho thấy, thể chế dạy học toán 6 coi trọng việc diễn đạt nội dung bài học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Theo G 6 , tập 1, trang 3 thì cần: Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí & hợp logic […], rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác […], diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác.
3) Tuy nhiên, vẫn còn nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu “bán kính” đường tròn. Lớp 7 Chúng tôi chọn bộ sách toán 7 hiện hành của Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – 2006 – NXBGD để phân tích. Phần Đại Số Trong phần này, học sinh được làm quen với “Số hữu tỉ, số thực”, “Hàm số và đồ thị”, “Thống kê” và “Biểu thức đại số”. Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học … 20 Vậy có những kí hiệu nào được cung cấp, hình thức diễn đạt nội dung bài học có tính đến vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học? Kí hiệu “≈” thay cho cụm từ “gần bằng” hoặc “xấp xỉ” khi làm tròn các số thập phân, chẳng hạn: 4,9 ≈ 5 (M 7 , tập 1, tr.
35) Kí hiệu “√” thay cho cụm từ “căn bậc hai” khi diễn đạt căn bậc hai của một số dương, chẳng hạn: √4 = 2 (M 7 , tập 1, tr. 41) Kí hiệu “⇒” và “⇔” tiếp tục xuất hiện với vai trò “công cụ”, chẳng hạn: x + y = xy ⇒ x = xy – y = y(x – 1) ⇒ x : y = x – 1. Phần Hình Học Giai đoạn lớp 7, là giai đoạn HS bắt đầu làm quen với phương pháp suy luận toán học. Đây là một bước ngoặt đầy khó khăn của HS.
Làm thế nào để HS nắm vững nội dung bài học (định lí, định nghĩa, chứng minh và giải toán)? Có tính đến vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học? Xuất hiện kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “Vuông góc” khi diễn đạt quan hệ vuông góc của hai đường thẳng, chẳng hạn: Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xx’ ⊥ yy’. 84) Hai đường thẳng vuông góc thì chúng phải cắt nhau. Theo G 7 , tập 1, trang 87 thì: yêu cầu “cắt nhau” là thừa nhưng cần phát biểu như vậy để bảo đảm tính trực quan. 87) Ngoài ra, nó còn được dùng để diễn đạt quan hệ vuông góc giữa “đường thẳng với đoạn thẳng”, “đoạn thẳng với đoạn thẳng”, “hai tia với nhau”, “tia với đoạn thẳng”, “tia với đường thẳng”, chẳng hạn: Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học … 21 OA ⊥ AB (M 7 , tập 1, tr.
109) Theo G 7 , tập 1, trang 88, 89 giải thích: Trong SGK không có định nghĩa tường minh khái niệm “đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng” […] Đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng AB tại I (đường thẳng xy vuông góc với đoạn thẳng AB tại I). Cũng thế, các khái niệm “hai tia vuông góc với nhau” (hai cạnh góc vuông), “hai đoạn thẳng vuông góc với nhau”(trong tam giác vuông),…không được định nghĩa trong SGK (để tránh phức tạp) nhưng vẫn được sử dụng khi cần thiết. 88, 89) Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song của hai đường thẳng, chẳng hạn: Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // b. 90) Và nó cũng được dùng để diễn đạt quan hệ song song của “hai tia”, “đường thẳng với đoạn thẳng”, “hai đoạn thẳng”, “tia với đoạn thẳng”, “tia với đường thẳng”, chẳng hạn: O’x’ // Ox (M 7 , tập 1, tr.
92) Cũng tương tự, theo G 7 , tập 1, trang 94 thì mặc dù: Trong SGK không có các khái niệm “hai đoạn thẳng song song” (trong hình bình hành), “hai tia song song” (hai góc có cạnh tương ứng song song),…nhưng các khái niệm đó vẫn được sử dụng khi cần thiết. 94) Trong đoạn trích trên còn cho thấy không còn xuất hiện từ “tia” khi diễn đạt một tia cho trước. Như vậy, thể chế dạy học toán 7 đã ngầm bỏ đi từ “tia” trước kí hiệu của nó. Đặc biệt, ở đây có sự đồng nhất giữa khái niệm “Đoạn thẳng” với “Đường thẳng”, chẳng hạn: Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc […] (M 7 , tập 2, tr.
57) Đây là một khác biệt so với các lớp dưới. Liệu có gây ra sự nhập nhằng nào cho HS khi giải toán? Để trả lời cho câu hỏi này, theo G 7 , tập 2, trang 64 thì […] lưu ý rằng ta đã coi các đoạn thẳng là đường và đôi khi cũng xét cả các đường thẳng chứa các đoạn thẳng này. Tùy từng tình huống cụ thể mà GV yêu cầu HS xét đường thẳng hay đoạn thẳng. Hay, Tùy từng tình huống mà GV nhắc nhở HS khỏi lầm lẫn.
72) Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học … 22 Kí hiệu “⇔” còn xuất hiện thay cho cụm từ “khi và chỉ khi” khi diễn đạt nội dung định lí, chẳng hạn: =C Với mọi ∆ABC: AB = AC ⇔ B . 128) Kí hiệu “≡” thay cho cụm từ “Trùng nhau” hay từ “Trùng”, khi diễn đạt vị trí tương đối của hai điểm cho trước, chẳng hạn: M ≡ O. 70) Kí hiệu “≠” và kí hiệu “≢” cùng thay thế cụm từ “không trùng nhau” hoặc “khác nhau”, khi diễn đạt hai điểm khác nhau, chẳng hạn: C’ ≠ C. 78) Ngoài ra, kí hiệu “≢” còn thay cho cụm từ “phân biệt” khi diễn đạt hai đường thẳng phân biệt, chẳng hạn: A’B’ ≢ AB.
76) Kí hiệu “∀” thay cho cụm từ “với mọi” trong diễn đạt các tính chất hình học, chẳng hạn: Nếu a > b thì a + c > b + c; ∀ a, b, c ∈ R. 80) Kí hiệu “r” còn được thay cho cụm từ “Bán kính đường tròn nội tiếp” của một tam giác, chẳng hạn: Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r […] (G 7 , tập 2, tr. 99) Lại có sự chồng chéo liên quan đến kí hiệu ‘r”. Vậy liệu có gây ra khó khăn gì cho HS, khi sử dụng chúng trong giải toán? Tất cả những định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường.
Có khi có mặt kí hiệu toán học, chẳng hạn: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. 85) Riêng chương II: Tam giác, hầu hết các định lí có diễn đạt lại bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, theo các cấu trúc logic như: “A ⇒ B”, “Nếu…thì…”, “A ⇔ B”. Chẳng hạn: Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học … 23 ∆ABC , A= 900 ⇒ B +C = 900 .