Nghiên Cứu Ứng Dụng Quan Hệ Thứ Tự và Bậc Tôpô trong Nghiên Cứu Toán Giải Tích

Luận án tiến sĩ khám phá ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu các lớp bao hàm thức, mở ra hướng nghiên cứu mới trong toán học.

• Tác giả: Nguyen Dang Quang
• Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyen Bich Huy
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Nghiên Cứu Ứng Dụng Quan Hệ Thứ Tự và Bậc Tôpô trong Toán Giải Tích
• Loại tài liệu: Luận Án Tiến Sĩ Toán Học
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ
• 1.1. Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi
• 1.1.1. Định nghĩa và các tính chất đặc trưng của bậc tôpô theo nón
• 1.2. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi
• 1.2. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển phản hồi
• 1.2.1. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương
• 1.2.2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển phản hồi
• 1.2.3. Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ LỚP BẢO HÀM THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VỚI ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
• 2.1. Các kết quả chính
• 2.2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi
• 2.3. Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi
• KẾT LUẬN
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới Thiệu Nghiên Cứu Quan Hệ Thứ Tự và Bậc Tôpô 55 ký tự

Nghiên cứu quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong toán giải tích mở ra một hướng tiếp cận mới trong giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Từ việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân đến việc xây dựng các thuật toán tối ưu, hai khái niệm này đóng vai trò then chốt. Bậc tôpô cho phép xác định số lượng nghiệm, trong khi quan hệ thứ tự giúp xác định tính chất của nghiệm, ví dụ như tính đơn điệu hay tính lồi. Nghiên cứu này dựa trên nền tảng lý thuyết vững chắc và mở rộng các ứng dụng thực tiễn của toán giải tích. Các kết quả thu được không chỉ có giá trị về mặt lý thuyết mà còn mang tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1.1. Tổng Quan Ứng Dụng Toán Học Quan Hệ Thứ Tự

Quan hệ thứ tự không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong lý thuyết tập hợp mà còn là công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán trong giải tích hàm. Ví dụ, nó được sử dụng để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn, định lý Tychonoff và định lý Hahn-Banach. Việc áp dụng quan hệ thứ tự giúp chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đồng thời đánh giá các tính chất đặc biệt của nghiệm như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi - những yếu tố quan trọng trong các bài toán mô hình hóa thực tế.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Bậc Tôpô và Ứng Dụng

Lý thuyết bậc tôpô được xây dựng bởi J. Schauder và phát triển bởi M. Krasnoselskii, cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường và đánh giá số nghiệm. Theo như tài liệu gốc, lý thuyết này khắc phục hạn chế của Định lý Schauder khi áp dụng cho quả cầu tâm Ø. Nhờ đó, các bài toán mô tả hiện tượng tự nhiên đã có nghiệm Ø có thể tìm nghiệm khác Ø. Ứng dụng bậc tôpô trong nghiên cứu giải tích hàm giúp đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm, ví dụ như tính liên thông và tính compact.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Bậc Tôpô và Quan Hệ Thứ Tự 58 ký tự

Mặc dù có nhiều ưu điểm, việc ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong toán giải tích vẫn còn gặp nhiều thách thức. Một trong những thách thức lớn nhất là việc xác định một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp, đặc biệt trong nghiên cứu các bao hàm thức. Hơn nữa, việc xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị không lồi cũng là một vấn đề phức tạp, đòi hỏi các phương pháp tiếp cận mới. Việc sử dụng quan hệ thứ tự kết hợp với bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả hai lĩnh vực.

2.1. Hạn Chế Trong Định Nghĩa Thứ Tự Giữa Tập Hợp

Việc áp dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp. Điều này gây khó khăn trong việc xây dựng các công cụ và phương pháp để giải quyết các bài toán liên quan. Do đó, việc nghiên cứu và phát triển các định nghĩa mới về thứ tự giữa tập hợp là một hướng đi quan trọng trong lĩnh vực này.

2.2. Khó Khăn Xây Dựng Bậc Tôpô Cho Ánh Xạ Đa Trị

Việc xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị không lồi là một vấn đề phức tạp, đòi hỏi các phương pháp tiếp cận mới. Theo [2], Bader đã xây dựng bậc tôpô tương đối theo một tập lồi. Tuy nhiên, việc sử dụng bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế và chưa đủ để thu được điểm bất động không tầm thường.

III. Phương Pháp Tính Bậc Tôpô trong Không Gian Banach 59 ký tự

Để vượt qua những thách thức trên, nghiên cứu này tập trung vào việc sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm. Cụ thể, nghiên cứu sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bài toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể. Nghiên cứu cũng mở rộng các định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii và định lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn trị.

3.1. Sử Dụng Toán Tử Giải Để Tính Bậc Tôpô

Nghiên cứu sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị. Phương pháp này cho phép đơn giản hóa quá trình tính toán và thu được các kết quả chính xác hơn. Việc sử dụng toán tử giải cũng giúp nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc của các nghiệm và tính chất của các ánh xạ đa trị.

3.2. Mở Rộng Định Lý Krasnoselskii và Leggett Williams

Nghiên cứu mở rộng các định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii và định lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn trị. Các mở rộng này cho phép áp dụng các định lý này vào các lớp bài toán rộng hơn và thu được các kết quả có ý nghĩa hơn. Việc mở rộng các định lý này cũng góp phần vào sự phát triển của lý thuyết điểm bất động.

IV. Ứng Dụng Nghiên Cứu vào Bao Hàm Thức Vi Phân 52 ký tự

Các kết quả thu được từ nghiên cứu được ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về bao hàm thức vi phân, đặc biệt là các bài toán với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương. Cụ thể, nghiên cứu xét bài toán về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến về ∞. Ngoài ra, nghiên cứu cũng sử dụng phương pháp dãy lặp đơn điệu để chứng minh bài toán có hai nghiệm.

4.1. Giải Bài Toán Bao Hàm Thức Vi Phân Cấp Hai

Nghiên cứu xét bài toán bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương. Theo tài liệu, bài toán này mô tả quá trình truyền nhiệt. Nghiên cứu áp dụng các định lý điểm bất động để chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán, chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán chứa tham số và đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm.

4.2. Nghiên Cứu Phương Trình Logistic với Điều Khiển

Nghiên cứu cũng xem xét phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi. Nghiên cứu cho phép độ tăng trưởng phụ thuộc vào vị trí và mật độ, tạo ra mô tả toán học chính xác hơn về sự phát tán của thú. Sử dụng các kết quả về bậc tôpô, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, nghiên cứu chứng minh bài toán có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường.

V. Kết Quả Nghiên Cứu và Hướng Phát Triển Tương Lai 55 ký tự

Nghiên cứu đã đạt được những kết quả quan trọng trong việc ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong toán giải tích. Các kết quả này không chỉ có giá trị về mặt lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này. Trong tương lai, cần tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính bậc tôpô hiệu quả hơn và mở rộng ứng dụng của quan hệ thứ tự vào các bài toán phức tạp hơn.

5.1. Tổng Kết Các Kết Quả Chính Đạt Được

Nghiên cứu đã xây dựng và ứng dụng thành công lý thuyết bậc tôpô trong nón và quan hệ thứ tự để giải quyết các bài toán về bao hàm thức vi phân và phương trình logistic. Nghiên cứu đã chứng minh sự tồn tại nghiệm và đánh giá các tính chất của nghiệm, đồng thời mở rộng các định lý cổ điển như định lý Krasnoselskii và Leggett-Williams.

5.2. Đề Xuất Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng và Phát Triển

Trong tương lai, cần tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính bậc tôpô hiệu quả hơn và mở rộng ứng dụng của quan hệ thứ tự vào các bài toán phức tạp hơn, ví dụ như các bài toán trong giải tích số và mô hình hóa toán học. Việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị có giá trị không lồi cũng là một hướng đi quan trọng.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức" được nghiên cứu sinh Nguyễn Đăng Quang thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Luận án thuộc chuyên ngành Toán Giải tích, mã số 62 46 01 02, được hoàn thành và bảo vệ vào năm 2024.

Thông tin cơ bản	Chi tiết
Đề tài luận án	Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức
Tác giả	Nguyễn Đăng Quang
Người hướng dẫn khoa học	PGS.TS. Nguyễn Bích Huy
Cơ sở đào tạo	Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán Giải tích
Mã số chuyên ngành	62 46 01 02
Năm hoàn thành	2024

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong giải tích phi tuyến, định lý điểm bất động Banach-Caccioppoli cho phép khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm và thiết lập quy trình lặp hội tụ, trong khi định lý Schauder mở rộng phạm vi sang các phương trình vi phân phi tuyến tổng quát hơn. Tuy nhiên, định lý Schauder bộc lộ hạn chế khi áp dụng trên hình cầu tâm $\theta$ (phần tử không của không gian định chuẩn) vì không thể khẳng định nghiệm tìm được là nghiệm khác $\theta$ (nghiệm không tầm thường), điều rất cần thiết đối với các mô hình thực tế. Hạn chế này được giải quyết thông qua lý thuyết bậc tôpô, công cụ cho phép xác định sự tồn tại nghiệm không tầm thường, ước lượng số nghiệm và phân tích cấu trúc tập nghiệm.

Bên cạnh bậc tôpô, việc kết hợp quan hệ thứ tự trong không gian Banach có nón sinh thứ tự đã mang lại nhiều ưu thế: cho phép tìm nghiệm có tính chất định tính đặc biệt (như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi), xử lý các phương trình có toán tử không liên tục, đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu xấp xỉ từ hai phía.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định bao gồm:

1. Việc áp dụng quan hệ thứ tự vào bài toán bao hàm thức (phương trình chứa ánh xạ đa trị) trước đây còn nhiều hạn chế do thiếu vắng các định nghĩa thứ tự phù hợp giữa hai tập hợp.
2. Lý thuyết bậc tôpô đối với lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi dạng $F = P \circ T$ (do R. Bader khởi xướng) trước đây chủ yếu dừng lại ở việc chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến Schauder trên hình cầu tâm $\theta$, chưa cung cấp đủ công cụ tính toán để xác định các nghiệm không tầm thường hay đa nghiệm trong các bài toán phương trình vi phân cụ thể.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

1. Phát triển và hoàn thiện các kết quả tính bậc tôpô theo nón cho ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi đóng, thiết lập mối liên hệ giữa bậc tôpô của ánh xạ với bậc tôpô của đạo hàm Fréchet theo nón tại $\theta$ và tại $\infty$.
2. Thiết lập các định lý tồn tại một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm không tầm thường và nghiệm của bài toán chứa tham số (bài toán giá trị riêng phi tuyến) thông qua việc kết hợp bậc tôpô và các quan hệ thứ tự giữa các tập hợp.
3. Mở rộng và tính toán bậc tôpô cho lớp ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ có giá trị không lồi tác động trong không gian Banach có thứ tự.
4. Áp dụng các kết quả lý thuyết trừu tượng để giải quyết ba lớp bài toán:
   • Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm chứa số hạng phi địa phương;
   • Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến chứa tham số điều khiển phản hồi phụ thuộc trạng thái;
   • Phương trình logistic suy rộng chứa toán tử $p$-Laplace và điều khiển phản hồi.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Bậc tôpô của ánh xạ đa trị (giá trị lồi và giá trị không lồi) trong không gian Banach có thứ tự; các định lý điểm bất động trong nón; các lớp bao hàm thức vi phân cấp hai, bài toán biên nhiều điểm và phương trình logistic suy rộng có điều khiển phản hồi.
• Phạm vi nghiên cứu: Luận án tiếp cận hoàn toàn theo hướng toán học lý thuyết trừu tượng thuộc chuyên ngành Toán Giải tích, tập trung vào giải tích hàm phi tuyến, giải tích đa trị và lý thuyết định tính phương trình vi phân.

---

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu tiền đề

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành có hệ thống từ thập niên 1940 và phát triển mạnh mẽ trong giai đoạn 1950–1970 qua các công trình của M. A. Krasnoselskii và cộng sự. Các kết quả này gắn liền với các công cụ nền tảng của toán học trừu tượng như bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại, định lý Tychonoff, định lý Hahn-Banach, cũng như các mở rộng của định lý Banach-Caccioppoli, định lý Schauder, bổ đề Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz và bất đẳng thức Ky Fan.

Đối với ánh xạ đa trị, lý thuyết bậc tôpô cho lớp ánh xạ có giá trị lồi tác động trong không gian Banach có thứ tự được P. M. Fitzpatrick và các nhà toán học xây dựng từ thập niên 1970. Trên cơ sở đó, các định lý điểm bất động nén và giãn nón của M. A. Krasnoselskii, định lý Leggett-Williams đã được mở rộng cho ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bao hàm thức vi phân.

Đối với ánh xạ đa trị có giá trị không lồi, R. Bader (trong công trình [2]) đã xây dựng bậc tôpô tương đối theo một tập lồi cho lớp ánh xạ dạng $F = P \circ T$ (với $T$ là ánh xạ đa trị có giá trị lồi và $P$ là ánh xạ đơn trị phi tuyến).

Về mặt mô hình ứng dụng:

• Bài toán truyền nhiệt với phương trình vi phân và số hạng phi địa phương được nghiên cứu trong các công trình như [47] và mở rộng cho bao hàm thức vi phân trong [38].
• Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển $\lambda = 1$ được khảo sát trong [42] bằng bậc tôpô Leray-Schauder và đánh giá tiên nghiệm, hoặc với $\lambda$ là hằng số và sử dụng định lý nén/giãn nón Krasnoselskii.
• Phương trình logistic mô tả trạng thái dừng của sự phát tán quần thể động vật được M. MacCamy đề xuất trong [35], sau đó được mở rộng sang phương trình chứa toán tử Laplace/p-Laplace kết hợp số hạng Kirchhoff hoặc số hạng tích phân phi địa phương trong các công trình [9, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 41, 48, 49, 52, 53].

Vị trí và khoảng trống luận án giải quyết

Luận án của Nguyễn Đăng Quang đặt vị trí tiếp nối và phát triển sâu hơn các hướng nghiên cứu trên bằng cách:

• Sử dụng các dạng quan hệ thứ tự thích hợp giữa hai tập hợp ($\le^{(1)}, \le^{(2)}, \le^{(3)}$) kết hợp với bậc tôpô theo nón để thu được các kết quả tồn tại nghiệm và đa nghiệm cho ánh xạ đa trị có giá trị lồi.
• Hoàn thiện các công thức tính bậc tôpô cho lớp ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ có giá trị không lồi của R. Bader, vượt qua hạn chế của Nguyên lý loại trừ phi tuyến Schauder để tìm nghiệm không tầm thường.
• Ứng dụng các kết quả trừu tượng vào các bài toán vi phân có chứa số hạng phi địa phương và tham số điều khiển phản hồi phụ thuộc cả vị trí không gian lẫn trạng thái/mật độ của hệ thống.

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm cốt lõi

Luận án xây dựng trên nền tảng giải tích phi tuyến và không gian Banach có thứ tự:

1. Không gian Banach có thứ tự: Cặp $(X, K)$ với $X$ là không gian Banach thực và $K \subset X$ là nón (tập đóng, $K+K \subset K$, $\lambda K \subset K$ với mọi $\lambda \ge 0$, và $K \cap (-K) = {\theta}$). Quan hệ thứ tự bộ phận được xác định bởi $x \le y \iff y - x \in K$.
2. Ánh xạ đa trị: Ánh xạ $F: D \subset X \to 2^Y \setminus {\emptyset}$, ký hiệu $cc(K)$ là tập hợp các tập con lồi đóng khác rỗng của $K$. Ánh xạ $F$ là compact nếu biến tập bị chặn thành tập compact tương đối; $F$ là nửa liên tục trên nếu tập nghịch ảnh của tập đóng là tập đóng (hoặc với mọi $x_0 \in D$ và lân cận mở $V$ của $F(x_0)$, tồn tại $r > 0$ để $F(B(x_0, r) \cap D) \subset V$).
3. Bậc tôpô theo nón: Cho $\Omega \subset X$ mở, bị chặn, $A: K \cap \overline{\Omega} \to cc(K)$ compact, nửa liên tục trên, không suy biến trên $K \cap \partial\Omega$ ($x \notin A(x), \forall x \in K \cap \partial\Omega$). Bậc tôpô $i_K(A, \Omega)$ được xác định thông qua ánh xạ đơn trị compact xấp xỉ đồng luân $f: K \cap \overline{\Omega} \to K$ theo công thức $i_K(A, \Omega) = i_K(f, \Omega)$. Bậc này thỏa mãn các tính chất: chuẩn hóa, bất biến qua đồng luân, tính chất Poincaré và tính chất cộng tính.
4. Quan hệ thứ tự giữa hai tập hợp: Với $A, B \subset X$ khác rỗng:
   • $A \le^{(1)} B \iff (\forall x \in A, \exists y \in B: x \le y) \iff A \subset B - K$.
   • $A \le^{(2)} B \iff (\forall y \in B, \exists x \in A: x \le y)$.
   • Ánh xạ $F: D \subset X \to 2^X \setminus {\emptyset}$ được gọi là $(k)$-tăng ($k=1,2,3$) nếu với mọi $x, y \in D$, $x \le y \implies F(x) \le^{(k)} F(y)$.
5. Đạo hàm Fréchet theo nón: Định nghĩa lân cận nón $x + K_r \subset D$. Ánh xạ $A$ khả vi Fréchet theo nón tại $x_0$ (hoặc tại $\infty$) nếu tồn tại ánh xạ đa trị $F$ nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi đóng, thuần nhất dương sao cho giới hạn khoảng cách Hausdorff chuẩn hóa tiến về 0. Ánh xạ $F$ ký hiệu là $A'0$ (hoặc $A'\infty$).
6. Ánh xạ phân tích được có giá trị không lồi: Ánh xạ $F = P \circ T: K \to 2^E \setminus {\emptyset}$, trong đó $T: K \to (K_1, \tau)$ là ánh xạ đa trị có giá trị lồi và $\tau$-compact, nửa liên tục trên; $P: (K_1, \tau) \to K$ là ánh xạ đơn trị liên tục theo dãy; $\tau$ là tôpô cảm sinh của tôpô yếu $\sigma(F, F^)$ hoặc tôpô ()-yếu $\sigma(F, G)$ với $F = G^*$.

Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp bậc tôpô và đồng luân: Xây dựng các ánh xạ đồng luân thích hợp trên biên của miền mở để tính bậc tôpô ($i_K = 1$, $i_K = 0$ hoặc $i_K \ne 0$), từ đó kết luận sự tồn tại và số lượng điểm bất động.
• Phương pháp đánh giá tiên nghiệm: Thiết lập các chặn trên và chặn dưới tiên nghiệm cho nghiệm của các bài toán vi phân và bao hàm thức.
• Phương pháp toán tử tích phân và hàm Green: Chuyển các bài toán phương trình vi phân và bao hàm thức vi phân với các điều kiện biên nhiều điểm hoặc phi địa phương về phương trình điểm bất động của toán tử tích phân trong không gian hàm liên tục $C([0,1])$ hoặc $C^m(J)$.
• Phương pháp dãy lặp đơn điệu: Xây dựng các dãy xấp xỉ đơn điệu không giảm và không tăng hội tụ về nghiệm.

---

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Bậc tôpô của ánh xạ đa trị tác động trong không gian Banach có thứ tự

Chương 1 thiết lập khung lý thuyết toán học trừu tượng, gồm hai mảng nội dung chính: ánh xạ có giá trị lồi và ánh xạ phân tích được có giá trị không lồi.

1. Tính toán bậc tôpô và bậc của ánh xạ khả vi theo nón (Mục 1.1)

• Các mệnh đề tính bậc:
  • Mệnh đề 1.6 & 1.7: Tính bậc trên các tập mở con và nón con $K_1 \subset K$. Nếu $A(K_1 \cap \Omega) \subset K_1$ thì $i_K(A, K_1) = i_K(A, K \cap \Omega) = 1$.
  • Định lý 1.8: Nếu tồn tại tập lồi compact $C \subset K$ sao cho $t(x - u) \notin A(x) - x$ với mọi $t > 0, u \in C, x \in K \cap \partial\Omega$, thì $i_K(A, \Omega) = 1$ khi $C \subset K \cap \Omega$ và $i_K(A, \Omega) = 0$ khi $C \subset K \setminus \overline{\Omega}$.
  • Định lý 1.9 & 1.10: Cho các điều kiện về phần tử riêng và tia rời để $i_K(A, \Omega) = 1$ (khi $\theta \in \Omega$ và $\lambda x \notin A(x), \forall \lambda > 1$) hoặc $i_K(A, \Omega) = 0$ (khi tồn tại $x_0 \in K \setminus {\theta}$ sao cho $x \notin A(x) + \lambda x_0, \forall \lambda > 0$).
  • Định lý 1.11: Nếu tồn tại ánh xạ hoàn toàn liên tục $B$ thỏa mãn $\inf_{x \in K \cap \partial\Omega} |B(x)| > 0$ và $x \notin A(x) + t B(x)$ với mọi $t > 0$, thì $i_K(A, \Omega) = 0$.
• Tính bậc trên các miền xác định bởi hàm lồi và hàm lõm (Mục 1.1.3):
  • Xét các miền $K(\alpha, \beta, \lambda, \mu) = {x \in K: \alpha(x) \le \lambda, \beta(x) \ge \mu}$ với $\alpha$ lồi liên tục, $\beta$ lõm liên tục. Định lý 1.13 và Định lý 1.14 thiết lập các điều kiện để bậc tôpô trên miền này nhận giá trị 1 hoặc 0.
• Bậc tôpô của ánh xạ khả vi theo nón (Mục 1.1.4):
  • Định lý 1.16: Chứng minh rằng nếu ánh xạ đa trị $A$ là compact và khả vi Fréchet theo nón tại $x_0$ (hoặc tại $\infty$) thì đạo hàm theo nón $A'{x_0}$ (hoặc $A'\infty$) cũng là ánh xạ compact trên $K$.
  • Định lý 1.17: Nếu $A(\theta) = {\theta}$ và đạo hàm $A'_0$ không có vectơ riêng trong $K$ ứng với giá trị riêng 1, thì bậc tôpô của $A$ trên hình cầu $B(\theta, \rho)$ với $\rho > 0$ đủ nhỏ trùng với bậc tôpô của đạo hàm: $i_K(A, B(\theta, \rho)) = i_K(A'_0, B(\theta, \rho))$. Kết quả tương tự được thiết lập tại lân cận của $\infty$.

2. Định lý điểm bất động, đa nghiệm và bài toán giá trị riêng (Mục 1.1.5 & 1.1.6)

• Định lý 1.19 & 1.20: Chứng minh sự tồn tại một và hai điểm bất động của ánh xạ đa trị compact trên tập vành $\Omega_2 \setminus \overline{\Omega}_1$ dựa trên quan hệ thứ tự $\le^{(1)}$ và $\le^{(2)}$.
• Định lý 1.21: Mở rộng điều kiện điểm bất động cho nón con $K_u = {x \in K: \exists \lambda > 0, x \ge \lambda u_0}$.
• Định lý 1.22 & 1.23: Thiết lập sự tồn tại một và hai điểm bất động dựa trên chuẩn supremum $|A(x)| = \sup_{y \in A(x)} |y|$ và chuẩn infimum $|A(x)| = \inf_{y \in A(x)} |y|$.
• Định lý 1.24 & 1.25: Mở rộng định lý Leggett-Williams cho ánh xạ đa trị, khẳng định sự tồn tại ít nhất ba điểm bất động trên $K_c$ và ít nhất hai điểm bất động trên $K_c$ dưới các điều kiện hàm lõm $\alpha(x)$.
• Định lý 1.26 & 1.27: Nghiên cứu bài toán giá trị riêng phi tuyến $\mu x_\mu \in A(x_\mu)$, chứng minh sự tồn tại nghiệm với mọi $\mu > 0$ và khảo sát dáng điệu tiệm cận $|x_\mu| \to +\infty$ hoặc $|x_\mu| \to 0$ khi $\mu \to \infty$.

3. Bậc tôpô của lớp ánh xạ có giá trị không lồi (Mục 1.2)

• Xét không gian Banach $E, F$ với nón $K, K_1$ và tôpô $\tau$ (tôpô yếu hoặc (*)-yếu). Ánh xạ hợp $F = P \circ T: K \to 2^E \setminus {\emptyset}$ được gọi là phân tích được nếu $F$ compact, $T: K \to (K_1, \tau)$ nửa liên tục trên có giá trị lồi $\tau$-compact, và $P: (K_1, \tau) \to K$ liên tục theo dãy.
• Mệnh đề 1.2: Chứng minh $P: (K_1, \tau) \to K$ liên tục khi và chỉ khi $P$ liên tục theo dãy.
• Mệnh đề 1.3: Thiết lập các điều kiện để $T$ là ánh xạ compact và nửa liên tục trên với giá trị $\tau$-compact.
• Mệnh đề 1.5, 1.6 & 1.7: Thiết lập các công thức tính bậc tôpô $i_K(F, D) = 1$ hoặc $i_K(F, D) = 0$ cho ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ trên miền $D$, đặc biệt khi miền $D$ được định nghĩa qua phiếm hàm lõm $\alpha(u) = \sup{t \in \mathbb{R}: u \ge t u_0}$ với $u_0 \in \operatorname{int} K$ (Bổ đề 1.8).

---

Chương 2: Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển phản hồi

Chương 2 vận dụng các kết quả lý thuyết của Chương 1 để giải quyết ba bài toán cụ thể.

1. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và số hạng phi địa phương (Mục 2.1)

Xét bài toán: $$-x''(t) \in f(t, x(t)), \quad 0 < t < 1 \tag{1}$$ $$x(0) = u(x), \quad x(1) = \sum_{i=1}^{m-2} a_i x(\xi_i) \quad (m \ge 3) \tag{2}$$ trong đó $u: K \to \mathbb{R}$ là phiếm hàm phi địa phương $u(x) = \int_0^1 x^\alpha(s) ds$ ($0 < \alpha \ne 1$), $K = {x \in C([0,1]): x(t) \ge 0, \forall t \in [0,1]}$, $0 < \xi_1 < \xi_2 < \dots < \xi_{m-2} < 1$, $a_i > 0$ và $\sum_{i=1}^{m-2} a_i < 1$, $\sum_{i=1}^{m-2} a_i \xi_i < 1$. Hàm $f: [0,1] \times \mathbb{R}^+ \to cc(\mathbb{R}^+)$ là hàm Caratheodory trên.

• Toán tử giải: Bài toán (1)–(2) được chuyển về phương trình điểm bất động $x \in T(x)$ của ánh xạ đa trị $T: K \to 2^K \setminus {\emptyset}$ xác định bởi: $$T(x) = \left{ h \in K : \exists y \in F_x, h(t) = \gamma(t) u(x) + \int_0^1 G(t,s) y(s) ds \right}$$ với $G(t,s)$ là hàm Green liên kết và $\gamma(t)$ là hàm trọng số thỏa mãn các điều kiện biên.
• Kết quả chính (Bổ đề 2.3 & Định lý liên quan):
  • Chứng minh $T$ là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và nhận giá trị lồi đóng.
  • Sử dụng định lý điểm bất động trong nón chứng minh sự tồn tại một hoặc nhiều nghiệm không tầm thường của bài toán.
  • Khảo sát sự tồn tại nghiệm và dáng điệu tiệm cận của bài toán khi có tham số $\mu$ tiến tới $\infty$.
  • Ứng dụng phương pháp dãy lặp đơn điệu chứng minh bài toán có ít nhất hai nghiệm.

2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi (Mục 2.2)

Xét hệ vi phân bậc $m$: $$L u(t) = \lambda(t) f(t, u(t), u'(t), \dots, u^{(p)}(t)), \quad t \in J \tag{3}$$ $$u^{(j)}(\xi_i) = 0, \quad 0 \le j \le k_i - 1, \quad i = 1, 2, \dots, k \tag{4}$$ $$\lambda(t) \in F(t, u(t)) \tag{5}$$ với toán tử vi phân $L u = u^{(m)} + p_{m-1} u^{(m-1)} + \dots + p_0 u$, $\sum_{i=1}^k k_i = m$. Tham số điều khiển $\lambda(t)$ đóng vai trò phản hồi phụ thuộc vào trạng thái $u(t)$ của hệ thống tại thời điểm $t$.

• Kết quả chính:
  • Chuyển bài toán (3)–(4)–(5) về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi trong không gian $C^m(J)$.
  • Kết hợp bậc tôpô trong nón, đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự để chứng minh bài toán có một hoặc hai nghiệm không tầm thường thuộc một nón đặc biệt.
  • Xây dựng ví dụ số học/giải tích minh họa cho các giả thiết lý thuyết được đặt ra.

3. Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi (Mục 2.3)

Xét bài toán dừng mô tả mật độ loài thú $u(x)$ với tham số tăng trưởng $\lambda(x)$ phụ thuộc vị trí và mật độ: $$-\Delta_p u = \lambda(x) f(x, u, \nabla u) - g(x, u) \quad \text{trong } \Omega, \quad u = 0 \quad \text{trên } \partial\Omega \tag{8}$$ $$\lambda(x) \in F(x, u(x)) \tag{9}$$ trong đó $-\Delta_p u = -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u)$ là toán tử $p$-Laplace phi tuyến, $f$ thỏa mãn điều kiện tăng bậc $\alpha$, $g$ là hàm đơn trị và $F$ là ánh xạ đa trị.

• Kết quả chính:
  • Chuyển phương trình về dạng điểm bất động của ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ với giá trị không lồi (do toán tử $p$-Laplace phi tuyến sinh ra).
  • Vận dụng lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ phân tích được (xây dựng ở Mục 1.2) cùng với đánh giá tiên nghiệm và lý luận thứ tự.
  • Thiết lập các định lý tồn tại nghiệm dựa trên tương quan giữa số mũ $\alpha$ và $p-1$:
    • Khi $\alpha < p - 1$ và $\alpha = p - 1$: bài toán có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường.
    • Khi $\alpha > p - 1$: bài toán có ít nhất hai nghiệm không âm, không tầm thường.

---

Kết quả và những đóng góp mới

Các đóng góp khoa học chính được luận án tự nêu bao gồm:

1. Phát triển lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị:
   • Hoàn thiện các công thức tính bậc tôpô theo nón cho ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi đóng trên các tập mở tổng quát và trên các miền xác định bởi các phiếm hàm lồi/lõm.
   • Chứng minh đạo hàm Fréchet theo nón của ánh xạ đa trị compact là một ánh xạ compact, đồng thời thiết lập công thức tính bậc tôpô của ánh xạ thông qua bậc tôpô của ánh xạ đạo hàm tại $\theta$ và tại $\infty$.
   • Mở rộng các định lý nén/giãn nón Krasnoselskii và định lý ba điểm bất động Leggett-Williams cho ánh xạ đa trị dựa trên ba quan hệ thứ tự tập hợp ($\le^{(1)}, \le^{(2)}, \le^{(3)}$).
   • Thiết lập các công thức tính bậc tôpô cụ thể cho lớp ánh xạ phân tích được $F = P \circ T$ có giá trị không lồi, mở rộng kết quả của R. Bader phục vụ tìm nghiệm không tầm thường.
2. Giải quyết các lớp bài toán vi phân và bao hàm thức mới:
   • Chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đa nghiệm và phân tích dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến ra vô cùng đối với bao hàm thức vi phân cấp hai có điều kiện biên nhiều điểm và số hạng tích phân phi địa phương.
   • Giải quyết bài toán biên nhiều điểm liên hợp bậc $m$ với tham số điều khiển phản hồi phụ thuộc trạng thái, xác định sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm trong nón.
   • Giải quyết phương trình logistic suy rộng chứa toán tử $p$-Laplace và điều khiển phản hồi đa trị, phân loại số nghiệm (một hoặc hai nghiệm không tầm thường) theo chỉ số tăng trưởng $\alpha$ so với $p-1$.

Công trình công bố của tác giả liên quan đến luận án

Các kết quả nghiên cứu chính trong luận án đã được công bố trong 4 bài báo khoa học (ký hiệu [TG1], [TG2], [TG3], [TG4] trong văn bản) và báo cáo tại các diễn đàn khoa học chuyên ngành:

• Báo cáo tại Hội nghị khoa học của Nghiên cứu sinh, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM.
• Báo cáo tại Hội nghị Toán học miền Trung – Tây Nguyên lần thứ 4 tại Huế (tháng 8 năm 2022).
• Báo cáo tại Hội nghị Toán học Việt Nam lần thứ 10 (tháng 8 năm 2023).

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

• Hạn chế: Luận án tập trung khảo sát trong khuôn khổ không gian Banach có thứ tự với các nón chuẩn quy hoặc nón có phần trong khác rỗng, các ánh xạ thỏa mãn điều kiện compact và liên tục nửa trên dạng Caratheodory. Lớp ánh xạ giá trị không lồi được khảo sát chủ yếu ở dạng phân tích được $F = P \circ T$.
• Hướng nghiên cứu tiếp:
  • Nghiên cứu mở rộng lý thuyết bậc tôpô cho các lớp ánh xạ đa trị tổng quát hơn (như ánh xạ tựa compact, ánh xạ loại đóng ngưng tụ condensing maps) trong các không gian không có tính chất compact mạnh.
  • Khảo sát các hệ bao hàm thức vi phân đạo hàm riêng cấp cao với các điều kiện biên phi tuyến và phi địa phương phức tạp hơn xuất phát từ các mô hình sinh thái học và cơ học môi trường liên tục.

---

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị chuyên môn cao đối với các nhà nghiên cứu, giảng viên, nghiên cứu sinh và học viên cao học trong ngành Toán học.

Nhóm đối tượng	Nội dung tham khảo giá trị
Nghiên cứu sinh, học viên cao học ngành Toán Giải tích	Khung lý thuyết bậc tôpô theo nón, kỹ thuật tính bậc qua đạo hàm Fréchet theo nón, phương pháp sử dụng quan hệ thứ tự giữa các tập hợp.
Nhà nghiên cứu về Phương trình vi phân & Bao hàm thức	Kỹ thuật xây dựng toán tử giải qua hàm Green cho bài toán biên nhiều điểm phi địa phương; phương pháp dãy lặp đơn điệu cho bao hàm thức.
Chuyên gia Lý thuyết Điều khiển & Toán Sinh học	Phương pháp mô hình hóa và xử lý toán học cho hệ thống có tham số điều khiển phản hồi phụ thuộc trạng thái và phương trình logistic suy rộng với toán tử $p$-Laplace.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao luận án phải sử dụng lý thuyết bậc tôpô thay vì định lý điểm bất động Schauder?

Định lý điểm bất động Schauder khi áp dụng cho quả cầu tâm $\theta$ không thể khẳng định điểm bất động tìm được là khác $\theta$. Trong khi đó, các mô hình thực tế (như truyền nhiệt, phát tán sinh học) thường đã có sẵn nghiệm tầm thường $\theta$ và đòi hỏi phải tìm nghiệm thực sự có ý nghĩa vật lý (nghiệm không tầm thường, nghiệm dương). Lý thuyết bậc tôpô cho phép khắc phục hạn chế này, đồng thời cho phép đánh giá số nghiệm và khảo sát cấu trúc của tập nghiệm.

2. Ánh xạ đa trị có giá trị không lồi được xử lý trong luận án có dạng cấu trúc như thế nào?

Ánh xạ có giá trị không lồi được xét dưới dạng ánh xạ hợp phân tích được $F = P \circ T$, trong đó $T: K \to (K_1, \tau)$ là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có giá trị lồi và $\tau$-compact, còn $P: (K_1, \tau) \to K$ là ánh xạ đơn trị liên tục theo dãy. Cấu trúc này do R. Bader đề xuất nhằm xử lý các phương trình chứa toán tử vi phân phi tuyến như $p$-Laplace.

3. Ba quan hệ thứ tự giữa hai tập hợp $\le^{(k)}$ ($k=1,2,3$) được định nghĩa như thế nào?

Cho $A, B$ là các tập con khác rỗng trong không gian Banach có thứ tự $(X, K)$:

• $A \le^{(1)} B \iff (\forall x \in A, \exists y \in B: x \le y) \iff A \subset B - K$.
• $A \le^{(2)} B \iff (\forall y \in B, \exists x \in A: x \le y)$.
• Quan hệ $\le^{(3)}$ là sự kết hợp đồng thời của $\le^{(1)}$ và $\le^{(2)}$. Các quan hệ này trùng với quan hệ thứ tự thông thường khi $A, B$ là các tập đơn tử.

4. Kết quả về số nghiệm của phương trình Logistic suy rộng phụ thuộc vào các tham số nào?

Trong phương trình $-\Delta_p u = \lambda(x) f(x, u, \nabla u) - g(x, u)$, số nghiệm không âm không tầm thường phụ thuộc vào tương quan giữa bậc tăng trưởng $\alpha$ của hàm $f$ và số mũ $p-1$ của toán tử $p$-Laplace:

• Nếu $\alpha < p - 1$ hoặc $\alpha = p - 1$: bài toán có ít nhất một nghiệm không âm không tầm thường.
• Nếu $\alpha > p - 1$: bài toán có ít nhất hai nghiệm không âm không tầm thường.

5. Đạo hàm Fréchet theo nón của ánh xạ đa trị compact có tính chất gì quan trọng?

Luận án chứng minh rằng nếu ánh xạ đa trị $A$ là compact và khả vi Fréchet theo nón tại $\theta$ (hoặc tại $\infty$) thì đạo hàm theo nón $A'0$ (hoặc $A'\infty$) cũng là ánh xạ compact trên nón $K$. Nhờ đó, bậc tôpô của ánh xạ ban đầu trên các lân cận thích hợp có thể được tính toán trực tiếp thông qua bậc tôpô của ánh xạ đạo hàm tuyến tính/thuần nhất tương ứng.

---

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Đăng Quang đã phát triển có hệ thống lý thuyết bậc tôpô cho hai lớp ánh xạ đa trị (giá trị lồi và giá trị không lồi) tác động trong không gian Banach có thứ tự, kết hợp hiệu quả với các quan hệ thứ tự giữa các tập hợp. Các kết quả trừu tượng về bậc tôpô, đạo hàm theo nón và các định lý điểm bất động đã được ứng dụng thành công để giải quyết trọn vẹn bài toán tồn tại nghiệm, đa nghiệm và dáng điệu tiệm cận cho ba lớp bài toán vi phân phi tuyến chứa số hạng phi địa phương và điều khiển phản hồi. Công trình đóng góp những kết quả mới có giá trị học thuật cho chuyên ngành Toán Giải tích và mở ra phương hướng xử lý hiệu quả cho các bài toán bao hàm thức phi tuyến phức tạp.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH NGUYEN ĐĂNG QUANG UNG DUNG QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ BAC TOPO TRONG NGHIEN CUU MOT SO LOP BAO HAM THUC Thanh phố Hồ Chí Minh — Nam 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH NGUYÊN ĐĂNG QUANG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SÓ: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN BICH HUY Thanh phó Hô Chí Minh — Nam 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi đưới sự hưởng dan của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bồ trong bat kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Nguyễn Đăng Quang MỤC LỤC LỚI CAM DOAN .cccsssssssconssssssccssnsssscssnsssecsssnssssessonsssscseansvsesennssssscansnassocssosseseersnsss | MUICILUUEhiioiiioaoiiaiosuiatiiiiiitiiittootiiiiniittiaiiii1i181110611821118183813655518363851885138535838885488535E 2 BMG BOB TT TT TP T0 900077170710771701771070007100771 0707700771 071707170771 707/10 70. BAC TOPO CUA ANH XA ĐA TRI TÁC DONG TRONG KHÔNG GIANIBANACH CO THU WU scssisssisicassscccssssscersasssszincessasiressssartesoseanasercsessiarrasssat 12 1.1 Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi.1 Định nghĩa và các tính chat đặc trưng của bậc tôpô theo nón.2 Tinh bạc tôpô của một SỐ GRD XẠ.

St SH TH n1 xe ccec 15 1.3 Tính bậc trên các miễn đặc biệt. cv ng S21 21121611 se eccu 21 1.4 Bậc tôpô của GHAR xạ Khổ VE.5 Ứng dụng vào bài toán điểm bat động của ánh xạ đa trị.6 Ung dung vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ da trị.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ da trị có giá trị không lồi. UNG DỤNG VÀO MỘT SO LÓP BAO HAM THUC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VỚI DIEU KHIEN PHAN HỎI.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng PHÍSIDHƯGTEiciiciiicciieiiii:200014201041104421221121112421461594016413853882853683594818433844832536s8g8g3.sai 45 Zi (IOIMỆ Haonastiaaoipitindtitistii3511401184319311481823558335561054858415531384358238314856158558532 45 2. Các kết quả chính.

2c: tt St St 211 2110210021001101110011012 xe 47 2.2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khién phản hồi.à SH HH HT ng ng nha 58 DD, (I0IVNGHIGIHÏR:.-set:tv66:4062110560231E3ia1053118E119815190213223222113383328122318361 50 62 2.3 Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi.:55255cc55cccs2 74 PC TA laia.2 Chuyển về bài toán điểm bắt động .-552255c25ccScccSercrrcsee 78 DSS) (GBIRENgnil'GNINftoansasroanntainnaiiag1t03311241053333111031816311883383189318/331835481383191838) 83 KET LUẬN. DANH MỤC CÔNG TRÌNH CUA TÁC GIÁ. S2 S9 2201211221121 11 2 xe TÀI LIỆU THAM KHẢO MO DAU Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bat động của ánh xa co được tim ra kha sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm.

Định lý điểm bat động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới. Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả câu tâm Ø (phan tử zero của không gian định chuẩn) thi không khang định được điểm bat động tìm được la khác Ø, trong khi các phương trình mô ta các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm Ø va ta cần tìm nghiệm khác Ø. Hạn chế này được khác phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J. Schauder xây dựng và được phat triển trong các công trình của M.

Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tôn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cau trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compact). Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm. Vi du, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào dau thé kỷ 20 dé chứng minh các dang tương đương của tiên đề chọn như bé dé Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại,. Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff vẻ tích các không gian compact, Định lý Hahn — Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm.

Lý thuyết về các phương trình trong không gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thong vào thập niên 1940 trong công trình của M. Ly thuyét nay duge phat trién mạnh mẽ trong những năm 1950 — 1970 trong các công trình của M. Krasnoselskii và các học trò, của N. 6, 8, 10, 15, 25, 43, 44, 64, 69] và các tài liệu tham khảo trong đó).

Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay. Các kết qua trừu tượng cúa Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình. bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y — Sinh học, Kinh tế học,. vì những ưu điểm sau: - Chúng cho phép chứng minh sự tôn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính đương, tính đơn điệu, tính lỏi,.

là những tính chất cần có của nghiệm của các bải toán xuất phát từ các mô hình thực tế. - Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các đữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tuc,. la những tình huống thưởng gặp trong thực tế. - Chúng cho phép đánh giá khoảng ton tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía.

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán Tài chính,. mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự, ví dụ như nghiền cứu các phương trình với ánh xa đa trị (hay cũng gọi là các bao hảm thức). Các ánh xa đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tôi ưu, Lý thuyết điều khién, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Sự ton tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Dinh lý Banach-Caccioppoli, Dinh lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster — Kuratowski — Mazurkiewicz, bat đăng thức Ky Fan,.

Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ da trị có giá trị lôi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y. Eitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức. Dựa vào nó, các Định lý điểm bat động của M. Krasnoselskii, Leggett - Williams đã được chứng minh cho các ánh xa đa trị và được ứng dụng cho các bao ham thức vi phân (xem [25, 32, 38, 60, 61] và các tai liệu tham khảo trong đó).

Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp ve thứ tự giữa hai tập hợp. Gan đây, với việc sử dung các dang thứ tự thích hợp giữa các tập hợp ma quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô dé thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7. Dé nghiên cứu các bao ham thức vi phân chứa các toán tử vi phân không tuyến tính (ví dụ toán tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ có giá trị không lồi cũng được xây đựng. Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tépé tương đối theo một tập lồi.

cho lớp ánh xạ dạng P=7' với 7 là ánh xạ đa trị lỗi. P là ánh xạ đơn trị phi tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thông hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng toán tử giải của bai toán liên kết dé tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thê, Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án. Ngoài phan Mở dau, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng.

Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự 1. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi Ở mục nay, dựa trên các tính chat đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp anh xa đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết qua dé áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miễn đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý ở phan này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xa compact vả bậc tôpô của anh xạ ban đầu có thé được tính qua bậc tôpô của đạo hàm của nó. Sau đó chúng tôi áp đụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô dé chứng minh các kết quả sau: e Sự tôn tại một hoặc nhiều điểm bat động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lỗi, là mở rộng các Định lý vẻ ánh xạ nén hoặc giãn nón của M.

Krasnoselskii, Dinh lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn tri. ¢ Sự tôn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham SỐ tiễn về ø. Các kết quả trong mục nảy của luận án đã được công bố trong [TGI]. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ da trị có giá trị không lồi Trong bài báo [2].

Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ đa trị dạng PeT , trong đó 7 là ánh xạ đa trị có giá trị lôi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuân và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thê không tuyến tinh), liên tục đối với tôpô yéu và tôpô-chuân. Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô (*) -yêu. Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô nảy mới được sử dụng đề chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder vẻ tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm Ø.

Kết quả này không đủ đề thu được điềm bat động không tam thường của các bao hàm thức. Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết qua vé tính bậc tôpô của R. Các kết quả này được được công bồ trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 đề chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tam thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiến 2.