Nghiên Cứu Ứng Dụng Quan Hệ Thứ Tự và Bậc Tôpô trong Nghiên Cứu Toán Giải Tích

Luận án tiến sĩ khám phá ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu các lớp bao hàm thức, mở ra hướng nghiên cứu mới trong toán học.

• Tác giả: Nguyen Dang Quang
• Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyen Bich Huy
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Nghiên Cứu Ứng Dụng Quan Hệ Thứ Tự và Bậc Tôpô trong Toán Giải Tích
• Loại tài liệu: Luận Án Tiến Sĩ Toán Học
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ
• 1.1. Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi
• 1.1.1. Định nghĩa và các tính chất đặc trưng của bậc tôpô theo nón
• 1.2. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi
• 1.2. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển phản hồi
• 1.2.1. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương
• 1.2.2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển phản hồi
• 1.2.3. Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ LỚP BẢO HÀM THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VỚI ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
• 2.1. Các kết quả chính
• 2.2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi
• 2.3. Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi
• KẾT LUẬN
• DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới Thiệu Nghiên Cứu Quan Hệ Thứ Tự và Bậc Tôpô 55 ký tự

Nghiên cứu quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong toán giải tích mở ra một hướng tiếp cận mới trong giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Từ việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân đến việc xây dựng các thuật toán tối ưu, hai khái niệm này đóng vai trò then chốt. Bậc tôpô cho phép xác định số lượng nghiệm, trong khi quan hệ thứ tự giúp xác định tính chất của nghiệm, ví dụ như tính đơn điệu hay tính lồi. Nghiên cứu này dựa trên nền tảng lý thuyết vững chắc và mở rộng các ứng dụng thực tiễn của toán giải tích. Các kết quả thu được không chỉ có giá trị về mặt lý thuyết mà còn mang tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1.1. Tổng Quan Ứng Dụng Toán Học Quan Hệ Thứ Tự

Quan hệ thứ tự không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong lý thuyết tập hợp mà còn là công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán trong giải tích hàm. Ví dụ, nó được sử dụng để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn, định lý Tychonoff và định lý Hahn-Banach. Việc áp dụng quan hệ thứ tự giúp chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đồng thời đánh giá các tính chất đặc biệt của nghiệm như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi - những yếu tố quan trọng trong các bài toán mô hình hóa thực tế.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Bậc Tôpô và Ứng Dụng

Lý thuyết bậc tôpô được xây dựng bởi J. Schauder và phát triển bởi M. Krasnoselskii, cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường và đánh giá số nghiệm. Theo như tài liệu gốc, lý thuyết này khắc phục hạn chế của Định lý Schauder khi áp dụng cho quả cầu tâm Ø. Nhờ đó, các bài toán mô tả hiện tượng tự nhiên đã có nghiệm Ø có thể tìm nghiệm khác Ø. Ứng dụng bậc tôpô trong nghiên cứu giải tích hàm giúp đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm, ví dụ như tính liên thông và tính compact.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Bậc Tôpô và Quan Hệ Thứ Tự 58 ký tự

Mặc dù có nhiều ưu điểm, việc ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong toán giải tích vẫn còn gặp nhiều thách thức. Một trong những thách thức lớn nhất là việc xác định một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp, đặc biệt trong nghiên cứu các bao hàm thức. Hơn nữa, việc xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị không lồi cũng là một vấn đề phức tạp, đòi hỏi các phương pháp tiếp cận mới. Việc sử dụng quan hệ thứ tự kết hợp với bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả hai lĩnh vực.

2.1. Hạn Chế Trong Định Nghĩa Thứ Tự Giữa Tập Hợp

Việc áp dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp. Điều này gây khó khăn trong việc xây dựng các công cụ và phương pháp để giải quyết các bài toán liên quan. Do đó, việc nghiên cứu và phát triển các định nghĩa mới về thứ tự giữa tập hợp là một hướng đi quan trọng trong lĩnh vực này.

2.2. Khó Khăn Xây Dựng Bậc Tôpô Cho Ánh Xạ Đa Trị

Việc xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị không lồi là một vấn đề phức tạp, đòi hỏi các phương pháp tiếp cận mới. Theo [2], Bader đã xây dựng bậc tôpô tương đối theo một tập lồi. Tuy nhiên, việc sử dụng bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế và chưa đủ để thu được điểm bất động không tầm thường.

III. Phương Pháp Tính Bậc Tôpô trong Không Gian Banach 59 ký tự

Để vượt qua những thách thức trên, nghiên cứu này tập trung vào việc sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm. Cụ thể, nghiên cứu sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bài toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể. Nghiên cứu cũng mở rộng các định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii và định lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn trị.

3.1. Sử Dụng Toán Tử Giải Để Tính Bậc Tôpô

Nghiên cứu sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị. Phương pháp này cho phép đơn giản hóa quá trình tính toán và thu được các kết quả chính xác hơn. Việc sử dụng toán tử giải cũng giúp nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc của các nghiệm và tính chất của các ánh xạ đa trị.

3.2. Mở Rộng Định Lý Krasnoselskii và Leggett Williams

Nghiên cứu mở rộng các định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii và định lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn trị. Các mở rộng này cho phép áp dụng các định lý này vào các lớp bài toán rộng hơn và thu được các kết quả có ý nghĩa hơn. Việc mở rộng các định lý này cũng góp phần vào sự phát triển của lý thuyết điểm bất động.

IV. Ứng Dụng Nghiên Cứu vào Bao Hàm Thức Vi Phân 52 ký tự

Các kết quả thu được từ nghiên cứu được ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về bao hàm thức vi phân, đặc biệt là các bài toán với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương. Cụ thể, nghiên cứu xét bài toán về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến về ∞. Ngoài ra, nghiên cứu cũng sử dụng phương pháp dãy lặp đơn điệu để chứng minh bài toán có hai nghiệm.

4.1. Giải Bài Toán Bao Hàm Thức Vi Phân Cấp Hai

Nghiên cứu xét bài toán bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương. Theo tài liệu, bài toán này mô tả quá trình truyền nhiệt. Nghiên cứu áp dụng các định lý điểm bất động để chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán, chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán chứa tham số và đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm.

4.2. Nghiên Cứu Phương Trình Logistic với Điều Khiển

Nghiên cứu cũng xem xét phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi. Nghiên cứu cho phép độ tăng trưởng phụ thuộc vào vị trí và mật độ, tạo ra mô tả toán học chính xác hơn về sự phát tán của thú. Sử dụng các kết quả về bậc tôpô, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, nghiên cứu chứng minh bài toán có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường.

V. Kết Quả Nghiên Cứu và Hướng Phát Triển Tương Lai 55 ký tự

Nghiên cứu đã đạt được những kết quả quan trọng trong việc ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong toán giải tích. Các kết quả này không chỉ có giá trị về mặt lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này. Trong tương lai, cần tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính bậc tôpô hiệu quả hơn và mở rộng ứng dụng của quan hệ thứ tự vào các bài toán phức tạp hơn.

5.1. Tổng Kết Các Kết Quả Chính Đạt Được

Nghiên cứu đã xây dựng và ứng dụng thành công lý thuyết bậc tôpô trong nón và quan hệ thứ tự để giải quyết các bài toán về bao hàm thức vi phân và phương trình logistic. Nghiên cứu đã chứng minh sự tồn tại nghiệm và đánh giá các tính chất của nghiệm, đồng thời mở rộng các định lý cổ điển như định lý Krasnoselskii và Leggett-Williams.

5.2. Đề Xuất Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng và Phát Triển

Trong tương lai, cần tập trung vào việc phát triển các phương pháp tính bậc tôpô hiệu quả hơn và mở rộng ứng dụng của quan hệ thứ tự vào các bài toán phức tạp hơn, ví dụ như các bài toán trong giải tích số và mô hình hóa toán học. Việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị có giá trị không lồi cũng là một hướng đi quan trọng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH NGUYEN ĐĂNG QUANG UNG DUNG QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ BAC TOPO TRONG NGHIEN CUU MOT SO LOP BAO HAM THUC Thanh phố Hồ Chí Minh — Nam 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH NGUYÊN ĐĂNG QUANG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SÓ: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN BICH HUY Thanh phó Hô Chí Minh — Nam 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi đưới sự hưởng dan của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bồ trong bat kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Nguyễn Đăng Quang MỤC LỤC LỚI CAM DOAN .cccsssssssconssssssccssnsssscssnsssecsssnssssessonsssscseansvsesennssssscansnassocssosseseersnsss | MUICILUUEhiioiiioaoiiaiosuiatiiiiiitiiittootiiiiniittiaiiii1i181110611821118183813655518363851885138535838885488535E 2 BMG BOB TT TT TP T0 900077170710771701771070007100771 0707700771 071707170771 707/10 70. BAC TOPO CUA ANH XA ĐA TRI TÁC DONG TRONG KHÔNG GIANIBANACH CO THU WU scssisssisicassscccssssscersasssszincessasiressssartesoseanasercsessiarrasssat 12 1.1 Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi.1 Định nghĩa và các tính chat đặc trưng của bậc tôpô theo nón.2 Tinh bạc tôpô của một SỐ GRD XẠ.

St SH TH n1 xe ccec 15 1.3 Tính bậc trên các miễn đặc biệt. cv ng S21 21121611 se eccu 21 1.4 Bậc tôpô của GHAR xạ Khổ VE.5 Ứng dụng vào bài toán điểm bat động của ánh xạ đa trị.6 Ung dung vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ da trị.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ da trị có giá trị không lồi. UNG DỤNG VÀO MỘT SO LÓP BAO HAM THUC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VỚI DIEU KHIEN PHAN HỎI.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng PHÍSIDHƯGTEiciiciiicciieiiii:200014201041104421221121112421461594016413853882853683594818433844832536s8g8g3.sai 45 Zi (IOIMỆ Haonastiaaoipitindtitistii3511401184319311481823558335561054858415531384358238314856158558532 45 2. Các kết quả chính.

2c: tt St St 211 2110210021001101110011012 xe 47 2.2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khién phản hồi.à SH HH HT ng ng nha 58 DD, (I0IVNGHIGIHÏR:.-set:tv66:4062110560231E3ia1053118E119815190213223222113383328122318361 50 62 2.3 Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi.:55255cc55cccs2 74 PC TA laia.2 Chuyển về bài toán điểm bắt động .-552255c25ccScccSercrrcsee 78 DSS) (GBIRENgnil'GNINftoansasroanntainnaiiag1t03311241053333111031816311883383189318/331835481383191838) 83 KET LUẬN. DANH MỤC CÔNG TRÌNH CUA TÁC GIÁ. S2 S9 2201211221121 11 2 xe TÀI LIỆU THAM KHẢO MO DAU Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bat động của ánh xa co được tim ra kha sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm.

Định lý điểm bat động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới. Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả câu tâm Ø (phan tử zero của không gian định chuẩn) thi không khang định được điểm bat động tìm được la khác Ø, trong khi các phương trình mô ta các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm Ø va ta cần tìm nghiệm khác Ø. Hạn chế này được khác phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J. Schauder xây dựng và được phat triển trong các công trình của M.

Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tôn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cau trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compact). Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm. Vi du, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào dau thé kỷ 20 dé chứng minh các dang tương đương của tiên đề chọn như bé dé Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại,. Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff vẻ tích các không gian compact, Định lý Hahn — Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm.

Lý thuyết về các phương trình trong không gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thong vào thập niên 1940 trong công trình của M. Ly thuyét nay duge phat trién mạnh mẽ trong những năm 1950 — 1970 trong các công trình của M. Krasnoselskii và các học trò, của N. 6, 8, 10, 15, 25, 43, 44, 64, 69] và các tài liệu tham khảo trong đó).

Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay. Các kết qua trừu tượng cúa Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình. bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y — Sinh học, Kinh tế học,. vì những ưu điểm sau: - Chúng cho phép chứng minh sự tôn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính đương, tính đơn điệu, tính lỏi,.

là những tính chất cần có của nghiệm của các bải toán xuất phát từ các mô hình thực tế. - Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các đữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tuc,. la những tình huống thưởng gặp trong thực tế. - Chúng cho phép đánh giá khoảng ton tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía.

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán Tài chính,. mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự, ví dụ như nghiền cứu các phương trình với ánh xa đa trị (hay cũng gọi là các bao hảm thức). Các ánh xa đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tôi ưu, Lý thuyết điều khién, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Sự ton tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Dinh lý Banach-Caccioppoli, Dinh lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster — Kuratowski — Mazurkiewicz, bat đăng thức Ky Fan,.

Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ da trị có giá trị lôi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y. Eitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức. Dựa vào nó, các Định lý điểm bat động của M. Krasnoselskii, Leggett - Williams đã được chứng minh cho các ánh xa đa trị và được ứng dụng cho các bao ham thức vi phân (xem [25, 32, 38, 60, 61] và các tai liệu tham khảo trong đó).

Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp ve thứ tự giữa hai tập hợp. Gan đây, với việc sử dung các dang thứ tự thích hợp giữa các tập hợp ma quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô dé thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7. Dé nghiên cứu các bao ham thức vi phân chứa các toán tử vi phân không tuyến tính (ví dụ toán tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ có giá trị không lồi cũng được xây đựng. Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tépé tương đối theo một tập lồi.

cho lớp ánh xạ dạng P=7' với 7 là ánh xạ đa trị lỗi. P là ánh xạ đơn trị phi tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thông hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng toán tử giải của bai toán liên kết dé tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thê, Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án. Ngoài phan Mở dau, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng.

Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự 1. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi Ở mục nay, dựa trên các tính chat đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp anh xa đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết qua dé áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miễn đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý ở phan này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xa compact vả bậc tôpô của anh xạ ban đầu có thé được tính qua bậc tôpô của đạo hàm của nó. Sau đó chúng tôi áp đụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô dé chứng minh các kết quả sau: e Sự tôn tại một hoặc nhiều điểm bat động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lỗi, là mở rộng các Định lý vẻ ánh xạ nén hoặc giãn nón của M.

Krasnoselskii, Dinh lý Leggett - Williams cho ánh xạ đơn tri. ¢ Sự tôn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham SỐ tiễn về ø. Các kết quả trong mục nảy của luận án đã được công bố trong [TGI]. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ da trị có giá trị không lồi Trong bài báo [2].

Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ đa trị dạng PeT , trong đó 7 là ánh xạ đa trị có giá trị lôi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuân và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thê không tuyến tinh), liên tục đối với tôpô yéu và tôpô-chuân. Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô (*) -yêu. Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô nảy mới được sử dụng đề chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder vẻ tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm Ø.

Kết quả này không đủ đề thu được điềm bat động không tam thường của các bao hàm thức. Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết qua vé tính bậc tôpô của R. Các kết quả này được được công bồ trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 đề chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tam thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiến 2.