I. Tối ưu hóa bằng lý thuyết hội tụ biến phân
Nghiên cứu về tối ưu hóa thông qua lý thuyết hội tụ biến phân đã trở thành một lĩnh vực quan trọng trong toán ứng dụng. Luận văn này tập trung vào việc phát triển các phương pháp tối ưu hóa dựa trên các dạng hội tụ biến phân khác nhau, đặc biệt là hội tụ epi, hypo và lop. Các phương pháp này không chỉ giúp xác định nghiệm của bài toán tối ưu mà còn bảo toàn tính chất biến phân, cho phép ứng dụng vào nhiều bài toán thực tiễn. Một trong những điểm nổi bật là việc sử dụng hội tụ biến phân để xấp xỉ nghiệm của bài toán tối ưu, từ đó cung cấp các giải pháp hiệu quả cho các bài toán như bài toán tựa cân bằng và bài toán tựa cân bằng Nash.
1.1. Các khái niệm cơ bản về hội tụ biến phân
Hội tụ biến phân là một khái niệm tổng quát dùng để chỉ các dạng hội tụ của dãy hàm hoặc song hàm. Hội tụ epi là một trong những dạng hội tụ cơ bản, cho phép xác định các tính chất của hàm trong không gian metric. Định nghĩa về hội tụ epi được thiết lập nhằm đảm bảo rằng dãy hàm hội tụ đến một hàm giới hạn trong khi vẫn giữ được tính chất biến phân. Điều này rất quan trọng trong việc phát triển các phương pháp tối ưu hóa vì nó giúp xác định các điểm cực tiểu của hàm trong các bài toán tối ưu phức tạp.
1.2. Tính chất của hội tụ biến phân
Các tính chất của hội tụ biến phân được nghiên cứu kỹ lưỡng trong luận văn, trong đó có mối liên hệ giữa hội tụ epi và các loại hội tụ khác. Ví dụ, nếu một dãy hàm hội tụ epi, thì giới hạn dưới của dãy hàm đó cũng sẽ hội tụ đến giới hạn dưới của hàm giới hạn. Điều này cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các khái niệm hội tụ và tính chất biến phân, từ đó mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán tối ưu. Ngoài ra, luận văn cũng nêu rõ cách thức mà hội tụ biến phân có thể được áp dụng vào các bài toán thực tế như bài toán tựa cân bằng Nash, từ đó khẳng định giá trị thực tiễn của nghiên cứu.
II. Ứng dụng của lý thuyết hội tụ biến phân trong tối ưu hóa
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày chi tiết về các ứng dụng của lý thuyết hội tụ biến phân vào các bài toán tối ưu cụ thể. Các bài toán như tựa cân bằng và tựa cân bằng Nash sẽ được phân tích dựa trên các phương pháp tối ưu hóa đã được phát triển. Những ứng dụng này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn mang lại những giải pháp hữu ích cho các vấn đề trong thực tiễn như tối ưu hóa trong mạng giao thông hay trong các hệ thống kinh tế phức tạp. Việc áp dụng lý thuyết hội tụ biến phân vào các bài toán này cho thấy tính linh hoạt và khả năng thích ứng của các phương pháp toán học trong các lĩnh vực khác nhau.
2.1. Bài toán tựa cân bằng
Bài toán tựa cân bằng là một trong những ứng dụng điển hình của lý thuyết hội tụ biến phân. Trong bối cảnh này, việc sử dụng hội tụ epi giúp xác định các điểm cân bằng trong các hệ thống tương tác phức tạp. Các phương pháp hội tụ biến phân cho phép xây dựng các thuật toán hiệu quả để tìm kiếm các điểm cân bằng, từ đó giải quyết các vấn đề trong kinh tế học và lý thuyết trò chơi. Luận văn cũng đưa ra các ví dụ minh họa cụ thể để làm rõ cách thức mà các phương pháp này hoạt động trong thực tế.
2.2. Bài toán tựa cân bằng Nash
Bài toán tựa cân bằng Nash là một trường hợp đặc biệt trong lý thuyết trò chơi, nơi mà mỗi người chơi đều chọn chiến lược tối ưu của mình dựa trên chiến lược của người khác. Việc áp dụng hội tụ biến phân vào bài toán này không chỉ giúp tìm ra các điểm cân bằng Nash mà còn đảm bảo rằng các giải pháp thu được là ổn định và có thể duy trì trong thời gian dài. Luận văn trình bày các phương pháp cụ thể để giải quyết bài toán này, đồng thời thảo luận về các ứng dụng thực tiễn của nó trong các lĩnh vực như kinh tế và quản lý.
