Tổng quan luận án
Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu
Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (Composite) được tổng hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau nhằm tạo ra vật liệu mới có tính năng cơ học và vật lý nâng cao so với các vật liệu thành phần riêng lẻ. Cấu trúc của Composite bao gồm pha gián đoạn (pha cốt) đóng vai trò tăng cường cơ tính, chống mài mòn, chống trầy xước và pha liên tục (pha nền) giữ nhiệm vụ liên kết, truyền tải ứng suất. Loại vật liệu này được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp chế tạo phương tiện giao thông như ô tô, xe máy, tàu thuyền, máy bay (điển hình như cấu trúc máy bay Boeing 787 sử dụng vật liệu Composite chiếm tới 50% theo trọng lượng), trong xây dựng dân dụng (gia cố kết cấu dầm, sàn, cột, trang trí nội ngoại thất), cũng như trong sản xuất đồ gia dụng.
Ở cấp độ vi mô, các thành phần vật liệu biểu hiện các tính chất cơ - lý khác biệt. Tuy nhiên, khi đánh giá ở cấp độ vĩ mô, vật liệu Composite được coi là một môi trường đồng nhất tương đương và được đặc trưng bởi các giá trị hiệu dụng (effective modulus). Các giá trị hiệu dụng này phụ thuộc trực tiếp vào tính chất của từng pha, tỉ lệ thể tích, cấu trúc hình học và trạng thái tiếp xúc liên kết giữa các pha. Trong quá trình gia công và chế tạo thực tế, do phản ứng hóa học xảy ra tại bề mặt tiếp xúc giữa nền và cốt hoặc do áp dụng kỹ thuật tráng phủ bề mặt cốt, một pha trung gian xuất hiện hình thành nên lớp vỏ bao quanh cốt (interface). Cấu trúc gồm lõi cốt và lớp vỏ bọc này được định nghĩa trong luận án là "cốt phức hợp".
Lớp vỏ trung gian sở hữu các đặc trưng cơ - lý tính khác biệt với cả pha nền lẫn pha cốt lõi, từ đó làm thay đổi đáng kể các tính chất hiệu dụng vĩ mô của toàn bộ khối vật liệu. Khi phân tích các hệ vật liệu này, nếu áp dụng phương pháp đường bao biến phân kinh điển để xác định cận trên và cận dưới thì khoảng cách giữa hai đường bao thường quá rộng, làm giảm giá trị ứng dụng thực tiễn trong kỹ thuật. Mặt khác, các phương pháp xấp xỉ trung bình phân tích dựa trên mô hình hình cầu hoặc trụ tròn nhiều lớp lại có cấu trúc toán học phức tạp, gây trở ngại cho quá trình tính toán thiết kế của kỹ sư. Từ thực tế đó, khoảng trống nghiên cứu mà luận án tập trung giải quyết là xây dựng các công thức giải tích xấp xỉ đơn giản, thuận tiện cho việc tính toán thực hành dựa trên phương pháp cốt tương đương nhằm xác định các đặc trưng cơ - lý tính vĩ mô của vật liệu Composite có cốt phức hợp, đồng thời sử dụng phương pháp mô phỏng số phần tử hữu hạn để kiểm chứng.
Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu tổng quát của luận án được xác định cụ thể qua hai nhiệm vụ chính sau:
- Xây dựng các công thức xấp xỉ giải tích sử dụng mô hình cốt tương đương để xác định các giá trị hiệu dụng của hệ số dẫn (hệ số dẫn nhiệt, dẫn điện, khuếch tán, thấm từ, điện môi) và các mô đun đàn hồi (mô đun đàn hồi thể tích, mô đun đàn hồi trượt) của vật liệu Composite có cốt phức hợp.
- Áp dụng phương pháp số sử dụng phần tử hữu hạn (PTHH) để tính toán đồng nhất hóa cho một số mô hình vật liệu cụ thể nhằm kiểm nghiệm tính đúng đắn và độ chính xác của các công thức giải tích đã thiết lập.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ số dẫn hiệu dụng, mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng ($k^{eff}$) và mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng ($\mu^{eff}$) của vật liệu Composite nhiều thành phần ở trạng thái đẳng hướng vĩ mô, với các pha thành phần đẳng hướng hoặc có lớp vỏ bọc quanh cốt dị hướng.
- Phạm vi nghiên cứu:
- Về hình học cốt liệu: Tập trung vào hai dạng hình học cơ bản là Composite cốt sợi (dạng hình trụ tròn đồng phương một chiều) và Composite cốt hạt (dạng hình cầu).
- Về mô hình ứng xử: Xét các quá trình truyền dẫn tuyến tính tĩnh tuân theo định luật Fourier (lấy hệ số dẫn nhiệt làm đại diện cho các hệ số dẫn vật lý tương đương) và ứng xử biến dạng nhỏ đàn hồi tuyến tính tuân theo định luật Hooke.
- Về điều kiện tiếp xúc: Giả thiết liên kết giữa các pha là lý tưởng (trường nhiệt độ, dòng nhiệt, trường chuyển vị và ứng suất pháp/tiếp liên tục qua các mặt phân chia pha).
- Về miền tính toán: Phân tích trên phần tử thể tích đại diện (RVE - Representative Volume Element) có cấu trúc tuần hoàn hoặc phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Các hướng nghiên cứu trước được điểm luận
Luận án đã phân loại và tổng thuật hệ thống các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về bài toán đồng nhất hóa và xác định tính chất hiệu dụng của vật liệu tổ hợp:
-
Phương pháp xấp xỉ trung bình kinh điển:
- Voigt (1928): Đề xuất công thức trung bình cộng số học dựa trên giả thiết trường biến dạng không đổi, cho cận trên của tính chất hiệu dụng ($c_V = \langle c \rangle$, $k_V = \langle k \rangle$, $\mu_V = \langle \mu \rangle$).
- Reuss (1929): Đề xuất công thức trung bình cộng điều hòa dựa trên giả thiết trường ứng suất không đổi ($c_R = \langle 1/c \rangle^{-1}$, $k_R = \langle 1/k \rangle^{-1}$, $\mu_R = \langle 1/\mu \rangle^{-1}$).
- Maxwell (1873) và Maxwell – Garnett (1904): Thiết lập công thức giải tích tính toán hệ số dẫn và mô đun đàn hồi cho vật liệu hai pha dạng nền - cốt.
-
Các phương pháp dựa trên bài toán phân bố thưa của Eshelby:
- Eshelby (1957): Giải bài toán giải tích một hạt cốt liệu dạng elip cô lập đặt trong pha nền vô tận chịu tải trọng ở vô cực, làm nền tảng cho lý thuyết đồng nhất hóa vi cơ học.
- Sơ đồ vi phân (Differential scheme): Khởi xướng bởi Bruggeman (1935), Roscoe (1952), sau đó được phát triển bởi Boucher (1974), McLaughlin (1977), Norris và cộng sự (1985), Hashin (1988) cho vật liệu có tỷ lệ thể tích pha cốt hữu hạn và vật liệu có vết nứt.
- Phương pháp tự tương hợp (Self-consistent method): Bắt nguồn từ ý tưởng của Einstein (1906, 1911), phát triển bởi Bruggeman (1935), Hershey (1954), Kerner (1956), Hill (1965), Laws (1973, 1974) cho bài toán đàn - nhiệt, cùng các mở rộng của Christensen và Waals (1972), Berryman (1980), Walpole (1969).
- Phương pháp Mori – Tanaka (1973): Đánh giá tương tác pha trong vật liệu nền - cốt thông qua trường trung bình của pha nền, được chuẩn hóa bởi Weng (1984), Benveniste và cộng sự (1987), Chen và cộng sự (1992).
-
Phương pháp đường bao biến phân:
- Đường bao Hill (1952) – Paul (1960): Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu với trường thử hằng số để xác định các cận thô.
- Đường bao Hashin – Shtrikman (1962, 1963): Sử dụng nguyên lý biến phân với trường phân cực (polarization fields) để tạo ra các khoảng chặn trên và chặn dưới hẹp hơn.
- Đánh giá bậc 3 của Phạm Đức Chính (1995–2016): Kết hợp các tham số hình học vi mô bậc ba ($\zeta_1, \zeta_2, A, B$) để thu hẹp đáng kể khoảng cách giữa hai đường bao Hashin – Shtrikman.
- Xấp xỉ tương tác 3 điểm của Pham & Torquato (1995) và xấp xỉ phân cực của Pham & Nguyen (1996), Tran & Pham (2001).
-
Phương pháp cốt tương đương cho pha trung gian:
- Eshelby (1957), Moschovidis và Mura (1975), Shodja và cộng sự (2003): Thay thế hạt không đồng nhất bằng một hạt đồng nhất tương đương có cùng kích thước hình học.
- Hashin (1991), Christensen và Lo (1979): Áp dụng mô hình ống trụ liên hợp để đánh giá lớp trung gian mỏng trong composite cốt sợi.
- Qui và Weng (1991): Xây dựng công thức tính mô đun đàn hồi thể tích cho hạt hình cầu có lớp bọc mỏng.
- Tran (2001), Pham (2004): Áp dụng cốt tương đương xác định hệ số dẫn và mô đun đàn hồi cho hạt được phủ trong không gian hai chiều.
- Nghiên cứu vật liệu nano của Duan và cộng sự (2005), Chen và Dvorak (2006).
Vị trí và khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết
Luận án xác định rõ điểm phân tách với các công trình đi trước:
- Luận án của Vũ Lâm Đông (2014) và Nguyễn Văn Luật (2014) khảo sát lớp phủ quanh cốt theo mô hình 3 pha nhưng giải quyết bằng cách xây dựng đường bao trên - dưới theo phương pháp biến phân (cho kết quả dạng khoảng giá trị).
- Luận án của Vương Mỹ Hạnh (2015) tập trung vào môi trường vật liệu đa tinh thể.
- Luận án của Đỗ Quốc Hoàng (2017) dùng cốt tương đương để chuyển đổi cốt elip về dạng cốt cầu tương đương.
- Luận án này lựa chọn giải quyết bài toán xác định giá trị hiệu dụng dạng công thức hiển tường minh, đơn giản cho vật liệu Composite cốt sợi và cốt hạt có lớp vỏ bọc (đẳng hướng hoặc dị hướng) bằng phương pháp cốt tương đương kết hợp mô phỏng số phần tử hữu hạn trên phần mềm Cast3M.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết và khung phân tích
-
Lý thuyết truyền dẫn tĩnh: Hệ số dẫn biểu diễn dưới dạng vô hướng đối với môi trường đẳng hướng và ten-xơ hạng hai đối với môi trường dị hướng. Dòng truyền dẫn $\mathbf{q}$ liên hệ với gradient thế qua định luật Fourier $\mathbf{q} = -c \nabla T$ (hoặc định luật Ohm $\mathbf{J} = c \mathbf{E}$, định luật Fick $\mathbf{J} = -D \nabla \Phi$, định luật Darcy $\mathbf{q} = -\frac{k}{\eta} \nabla P$). Phương trình cân bằng nhiệt tĩnh có dạng $\nabla \cdot \mathbf{q} = 0$.
-
Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: Quan hệ ứng suất - biến dạng tuân theo định luật Hooke tổng quát: $$\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{C} : \boldsymbol{\varepsilon}$$ Trong đó ten-xơ độ cứng đẳng hướng $\mathbf{C}$ phụ thuộc vào mô đun đàn hồi thể tích $k$ và mô đun đàn hồi trượt $\mu$. Ten-xơ biến dạng nhỏ liên hệ với véc-tơ chuyển vị qua $\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + \nabla \mathbf{u}^T)$ và thỏa mãn phương trình cân bằng tĩnh học $\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0}$.
Mối quan hệ giữa các đại lượng đàn hồi đẳng hướng được tổng hợp trong khung lý thuyết của luận án như sau:
| Hằng số đàn hồi biểu diễn | Biểu diễn qua đôi ($k, \mu$) | Biểu diễn qua đôi ($E, \nu$) | Biểu diễn qua đôi ($\lambda, \mu$) |
|---|---|---|---|
| Mô đun Young ($E$) | $\frac{9k\mu}{3k+\mu}$ | $E$ | $\frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu}$ |
| Hệ số Poisson ($\nu$) | $\frac{3k-2\mu}{2(3k+\mu)}$ | $\nu$ | $\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}$ |
| Mô đun thể tích ($k$) | $k$ | $\frac{E}{3(1-2\nu)}$ | $\lambda + \frac{2}{3}\mu$ |
| Hằng số Lamé ($\lambda$) | $k - \frac{2}{3}\mu$ | $\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$ | $\lambda$ |
| Mô đun trượt ($\mu$) | $\mu$ | $\frac{E}{2(1+\nu)}$ | $\mu$ |
- Phần tử thể tích đại diện (RVE) và quan hệ vĩ mô: Các giá trị trung bình thể tích của ứng suất $\langle \boldsymbol{\sigma} \rangle$, biến dạng $\langle \boldsymbol{\varepsilon} \rangle$, dòng nhiệt $\langle \mathbf{q} \rangle$, gradient nhiệt độ $\langle \nabla T \rangle$ được lấy tích phân trên thể tích $V$ của RVE. Quan hệ hiệu dụng vĩ mô được xác định qua: $$\langle \boldsymbol{\sigma} \rangle = \mathbf{C}^{eff} : \langle \boldsymbol{\varepsilon} \rangle, \quad \langle \mathbf{q} \rangle = -c^{eff} \langle \nabla T \rangle$$
Phương pháp nghiên cứu
Luận án kết hợp đồng thời hai hướng tiếp cận:
- Phương pháp giải tích (Cốt tương đương hai bước):
- Bước 1: Thiết lập lời giải trực tiếp từ phương trình vi phân đạo hàm riêng cho bài toán phân bố thưa của một cốt liệu phức hợp (gồm lõi và vỏ bọc) đặt trong pha nền vô tận. Song song đó, giải bài toán của một hạt cốt đồng nhất tương đương đặt trong pha nền vô tận. Đồng nhất trường chuyển vị/ứng suất hoặc trường nhiệt độ/dòng nhiệt ở biên ngoài giữa hai mô hình để rút ra công thức xác định đặc trưng tương đương ($c_{23}, k_{EI}, \mu_{EI}$) của cốt phức hợp.
- Bước 2: Thay thế hệ vật liệu 3 pha ban đầu (nền - vỏ - cốt) thành hệ vật liệu 2 pha (nền - cốt tương đương), sau đó áp dụng các mô hình 2 pha kinh điển (mô hình đĩa tròn/quả cầu lồng nhau của Hashin, sơ đồ vi phân, xấp xỉ tương tác 3 điểm) để suy ra các giá trị hiệu dụng vĩ mô ($c^{eff}, k^{eff}, \mu^{eff}$).
- Phương pháp mô phỏng số:
- Sử dụng phần mềm MATLAB để giải các hệ phương trình đại số, phương trình vi phân và xử lý thuật toán giải tích.
- Sử dụng phần mềm phần tử hữu hạn CAST3M để chia lưới cấu trúc vi mô, gán điều kiện biên tuần hoàn trên RVE và tính toán các trường ứng suất, nhiệt độ nhằm xác định các mô đun hiệu dụng số học.
Nguồn tư liệu và dữ liệu kiểm chứng
- Dữ liệu thực nghiệm đo đạc hệ số dẫn ngang của vật liệu composite cốt sợi tự nhiên abaca phân bố một chiều trong nền nhựa epoxy từ công trình thực nghiệm của Liu và cộng sự (2012). Sợi abaca có đường kính trung bình $185\ \mu\text{m}$, cấu trúc gồm lumen ($c_3 = 0{,}089\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$), vách tế bào ($c_2 = 0{,}411\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$), nền epoxy ($c_1 = 0{,}298\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$), tỷ lệ thể tích giữa lumen và sợi là $0{,}27$.
- Dữ liệu tham số hình học vi mô bậc ba $\zeta_2$ thu được từ phương pháp tính toán số của Torquato đối với đĩa tròn phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn.
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1: Tổng quan
Chương 1 hệ thống hóa cơ sở lý thuyết về vật liệu composite và các bài toán cơ học liên quan. Tác giả trình bày phân loại composite theo bản chất nền (nền hữu cơ, nền khoáng chất, nền kim loại) và theo hình dạng cốt liệu (cốt sợi và cốt hạt). Luận án xác lập trọng tâm nghiên cứu vào cách phân loại theo hình thái cốt liệu.
Nội dung chương trình bày chi tiết định nghĩa toán học và vật lý của các hệ số dẫn (nhiệt, điện, khuếch tán, thấm nước qua định luật Darcy, điện môi, từ thẩm) cùng hệ thức biến dạng - ứng suất trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính. Tác giả tổng thuật chi tiết lịch sử nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ trung bình (Voigt, Reuss, Maxwell), phương pháp vi cơ học Eshelby, sơ đồ vi phân, phương pháp tự tương hợp, phương pháp Mori – Tanaka, các đường bao biến phân (Hill – Paul, Hashin – Shtrikman, cận bậc ba Phạm Đức Chính), và lý thuyết cốt tương đương. Từ việc phân tích các ưu điểm và hạn chế của các phương pháp hiện có, chương 1 khẳng định lý do lựa chọn hướng tiếp cận cốt tương đương nhằm tạo ra các công thức tường minh, dễ ứng dụng cho kỹ sư.
Chương 2: Xấp xỉ tương đương hệ số dẫn vĩ mô vật liệu có cốt liệu phức hợp
Chương 2 tập trung giải quyết bài toán xác định hệ số dẫn ngang hiệu dụng $c^{eff}$ của vật liệu Composite cốt sợi tròn đồng phương qua hai trường hợp:
- Trường hợp các pha đồng nhất và đẳng hướng:
- Xét phần tử thể tích đại diện với sợi lõi bán kính $r_3$ (pha 3, hệ số dẫn $c_3$), lớp vỏ bọc giới hạn từ $r_3$ đến $r_2$ (pha 2, hệ số dẫn $c_2$), pha nền giới hạn từ $r_2$ đến $r_1 \to \infty$ (pha 1, hệ số dẫn $c_1$). Thiết lập phương trình Laplace $\nabla^2 T = 0$ trong tọa độ cực và giải với các điều kiện liên tục về nhiệt độ và dòng nhiệt tại các mặt phân chia pha.
- Đồng nhất cốt phủ với một cốt tương đương bán kính $r_2$, thể tích $\nu_{23} = \nu_2 + \nu_3$, tìm ra hệ số dẫn của cốt tương đương: $$c_{23} = c_2 \frac{c_2 + c_3 + \nu_3' (c_3 - c_2)}{c_2 + c_3 - \nu_3' (c_3 - c_2)}$$ với $\nu_3' = \frac{\nu_3}{\nu_2 + \nu_3}$.
- Kết hợp $c_{23}$ với mô hình đĩa tròn lồng nhau (ĐTLN) của Hashin thu được công thức hiệu dụng: $$c^{eff} = c_1 \left[ 1 + \frac{2\nu_{23}(c_{23}-c_1)}{c_{23}+c_1 - \nu_{23}(c_{23}-c_1)} \right]$$
- Tác giả tiếp tục phát triển công thức xấp xỉ vi phân cho cốt tương đương (VP-CTĐ) và xấp xỉ tương tác 3 điểm cho cốt tương đương (TT-CTĐ) dựa trên thông tin hình học vi mô $\zeta_1, \zeta_2$.
Dưới đây là bảng thông số cấu trúc vi mô bậc ba $\zeta_2$ của hệ đĩa tròn phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn được tác giả trích dẫn từ Torquato để phục vụ tính toán:
| Tỉ lệ thể tích pha cốt ($\nu_2$) | Giá trị thông tin hình học bậc ba ($\zeta_2$) | Tỉ lệ thể tích pha cốt ($\nu_2$) | Giá trị thông tin hình học bậc ba ($\zeta_2$) |
|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,023 | 0,5 | 0,214 |
| 0,2 | 0,052 | 0,6 | 0,289 |
| 0,3 | 0,091 | 0,7 | 0,381 |
| 0,4 | 0,144 | 0,8 | 0,496 |
Tính toán kiểm chứng số học trên hai hệ vật liệu đối nghịch:
- Hệ 1: Pha nền dẫn nhiệt kém hơn pha cốt ($c_1 = 1, c_2 = 5, c_3 = 20\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, giả thiết $\nu_2 = \nu_3$):
| $\nu_{23}$ | Cận dưới HSL | Cận trên HSU | Mô hình VP-CTĐ | Mô hình ĐTLN | Mô hình TT-CTĐ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 1,180 | 1,283 | 1,201 | 1,200 | 1,200 |
| 0,3 | 1,675 | 2,192 | 1,778 | 1,763 | 1,765 |
| 0,5 | 2,499 | 3,892 | 2,836 | 2,750 | 2,758 |
| 0,7 | 4,057 | 7,378 | 5,147 | 4,778 | 4,815 |
- Hệ 2: Pha nền dẫn nhiệt tốt hơn pha cốt ($c_1 = 20, c_2 = 5, c_3 = 1\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, giả thiết $\nu_2 = \nu_3$):
| $\nu_{23}$ | Cận dưới HSL | Cận trên HSU | Mô hình VP-CTĐ | Mô hình ĐTLN | Mô hình TT-CTĐ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 16,076 | 17,460 | 17,046 | 17,059 | 17,058 |
| 0,3 | 10,131 | 13,249 | 12,239 | 12,333 | 12,323 |
| 0,5 | 5,907 | 9,804 | 8,421 | 8,696 | 8,655 |
| 0,7 | 2,873 | 6,837 | 5,310 | 5,797 | 5,690 |
So sánh với số liệu thực nghiệm trên composite sợi abaca - epoxy của Liu và cộng sự:
| Tỉ lệ thể tích sợi ($V_{fiber}$) | Hệ số dẫn thực nghiệm ($c^{eff}$) | Mô hình tính toán ĐTLN | Mô hình tính toán TT-CTĐ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,298 | 0,298 | 0,298 |
| 0,12 | 0,285 | 0,282 | 0,282 |
| 0,24 | 0,265 | 0,265 | 0,265 |
| 0,41 | 0,238 | 0,241 | 0,241 |
| 0,53 | 0,214 | 0,222 | 0,223 |
- Trường hợp lớp phủ quanh cốt dị hướng:
- Lớp vỏ có hệ số dẫn theo phương pháp tuyến $c_N$ và phương tiếp tuyến $c_T$. Tác giả chia lớp phủ mỏng thành $2m$ lớp đồng tâm luân phiên hệ số dẫn $c_2^{(1)}, c_2^{(2)}$ với $c_T = \frac{1}{2}(c_2^{(1)} + c_2^{(2)})$ và $c_N = 2\left(\frac{1}{c_2^{(1)}} + \frac{1}{c_2^{(2)}}\right)^{-1}$.
- Sử dụng phương pháp giải tích tiệm cận vi phân thiết lập phương trình vi phân cho $c_{23}$: $$\frac{dc}{d\nu} = \frac{1}{1-\nu} \frac{c_I^2 - c^2}{2c_N}, \quad c_I = \sqrt{c_T c_N}$$
- Lời giải tích phân khi $c_N, c_T = \text{const}$ cho phép xác định chính xác $c_{23}$, sau đó thay vào mô hình nền - cốt tương đương để tìm $c^{eff}$.
Chương 3: Xấp xỉ tương đương mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu có cốt liệu phức hợp
Chương 3 trình bày việc xác định các mô đun đàn hồi hiệu dụng ($k^{eff}, \mu^{eff}$) cho hai hệ vật liệu: Composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp và Composite cốt sợi phức hợp đồng phương.
Đối với Composite cốt hạt hình cầu:
- Xét bài toán phân bố thưa với một hạt cầu lõi (pha $I_2$, bán kính $R_{I2}$, mô đun $k_{I2}, \mu_{I2}$), lớp vỏ bọc cầu (pha $I_1$, bán kính ngoài $R_{I1}$, mô đun $k_{I1}, \mu_{I1}$) đặt trong pha nền vô tận (pha $M$, mô đun $k_M, \mu_M$) chịu áp lực thủy tĩnh vĩ mô $E = E_0 \mathbf{I}$.
- Phương trình cân bằng cơ học đối xứng cầu theo chuyển vị hướng tâm $u_r$: $$\frac{d^2 u_r}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{du_r}{dr} - \frac{2}{r^2}u_r = 0 \implies u_r(r) = Ar + \frac{B}{r^2}$$
- Thiết lập hệ phương trình điều kiện biên liên tục chuyển vị và ứng suất tại $r = R_{I2}$ và $r = R_{I1}$, tìm được các hệ số $A_{I2}, A_{I1}, B_{I1}, B_M$.
- Xét mô hình tương đương với hạt cầu đồng nhất bán kính $R_{I1}$ có mô đun thể tích $k_{EI}$. Đồng nhất chuyển vị tại biên $r = R_{I1}$ giữa hai mô hình: $$u_r^{I1}(R_{I1}) = u_r^{EI}(R_{I1})$$
- Rút ra công thức hiển giải tích cho mô đun đàn hồi thể tích của cốt tương đương: $$k_{EI} = \frac{4 R_{I2}^3 k_{I2}\mu_{I1} - 4 R_{I2}^3 k_{I1}\mu_{I1} + 3 R_{I1}^3 k_{I2}k_{I1} + 4 R_{I1}^3 k_{I1}\mu_{I1}}{3 R_{I2}^3 k_{I2} - 3 R_{I2}^3 k_{I1} + 3 R_{I1}^3 k_{I2} + 4 R_{I1}^3 \mu_{I1}}$$ Đặt tỉ số thể tích $a = R_{I2}^3 / R_{I1}^3$, công thức thu gọn thành dạng hàm phụ thuộc trực tiếp vào tỉ số bán kính và cơ tính các pha.
- Thay giá trị $k_{EI}, \mu_{EI}$ vào các mô hình xấp xỉ 2 pha (xấp xỉ Maxwell, mô hình quả cầu lồng nhau của Hashin) để xác định các mô đun đàn hồi thể tích và mô đun trượt hiệu dụng vĩ mô.
Chương 4: Mô phỏng số phần tử hữu hạn vật liệu phức hợp
Chương 4 thực hiện mô phỏng số kiểm chứng trên phần mềm CAST3M (xây dựng trên nền tảng phương pháp phần tử hữu hạn).
Nội dung chương trình bày:
- Thiết lập phần tử thể tích đại diện (RVE) cho các cấu trúc tuần hoàn hai chiều và ba chiều của vật liệu composite có lớp vỏ bọc quanh cốt.
- Áp dụng các điều kiện biên tuần hoàn (Periodic Boundary Conditions) cho trường nhiệt độ và trường chuyển vị trên biên đối diện của RVE.
- Chia lưới phần tử hữu hạn (sử dụng các phần tử tam giác, tứ giác 2D và tứ diện 3D), kiểm soát mật độ lưới tại lớp tiếp xúc vỏ bọc mỏng để đảm bảo độ hội tụ năng lượng.
- Tính toán số các giá trị hệ số dẫn nhiệt hiệu dụng và các mô đun đàn hồi hiệu dụng cho các trường hợp cấu trúc hình học tuần hoàn, lớp phủ đẳng hướng và lớp phủ dị hướng.
- Đối chiếu kết quả mô phỏng số từ CAST3M với các kết quả giải tích nhận được từ các công thức thiết lập ở Chương 2 và Chương 3, xác nhận mức độ sai số và giới hạn khả dụng của các biểu thức xấp xỉ cốt tương đương.
Kết quả và những đóng góp mới
Đóng góp mới về mặt lý luận và khoa học
- Xây dựng thành công hệ thống công thức giải tích hiển xác định hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương, xét cho cả hai trường hợp lớp vỏ bọc quanh cốt là môi trường đẳng hướng và môi trường dị hướng theo phương pháp tuyến/tiếp tuyến.
- Thiết lập công thức tường minh tính toán các mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng và mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng cho vật liệu Composite cốt hạt hình cầu phức hợp và Composite cốt sợi phức hợp đồng phương thông qua phương pháp cốt tương đương.
- Mở rộng cơ sở lý thuyết đồng nhất hóa cho hệ vật liệu chứa pha trung gian dị hướng bằng phương pháp xấp xỉ vi phân tiệm cận nhiều lớp.
Đóng góp mới về mặt thực tiễn và ứng dụng
- Cung cấp các công thức toán học giải tích đơn giản, trực quan, giúp các kỹ sư thiết kế vật liệu và kết cấu composite có thể tính toán nhanh các đặc trưng cơ - nhiệt vĩ mô mà không bắt buộc phải thực hiện các thuật toán số phức tạp hay giải hệ phương trình biến phân nhiều ẩn.
- Ứng dụng quy trình mô phỏng số bằng phần tử hữu hạn trên phần mềm CAST3M với điều kiện biên tuần hoàn cho bài toán đồng nhất hóa composite có lớp vỏ bọc, làm công cụ đối chuẩn tin cậy cho tính toán lý thuyết.
- Kiểm nghiệm và xác nhận độ chính xác của các công thức giải tích đề xuất thông qua việc so sánh khớp với số liệu thực nghiệm trên vật liệu composite sợi abaca - nền epoxy và nằm chuẩn xác bên trong các đường bao biến phân Hashin – Shtrikman.
Công bố khoa học của luận án
Các kết quả nghiên cứu chính của luận án đã được công bố trong 08 công trình khoa học, bao gồm:
- 01 bài báo trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCIE (Archive of Applied Mechanics).
- 01 bài báo trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục ESCI (Computational Thermal Sciences).
- 01 bài báo trên tạp chí chuyên ngành trong nước (Vietnam Journal of Mechanics).
- 01 bài báo trên tạp chí chuyên ngành giao thông (Tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải).
- 04 báo cáo khoa học xuất bản trong kỷ yếu các hội nghị cơ học toàn quốc.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Hạn chế của nghiên cứu
- Các công thức giải tích xấp xỉ được xây dựng dựa trên nền tảng bài toán phân bố thưa của Eshelby, do đó cho độ chính xác rất cao khi tỷ lệ thể tích pha cốt nhỏ và vừa. Khi tỷ lệ thể tích pha cốt lớn, các hạt hoặc sợi nằm sát nhau, sai số xấp xỉ sẽ tăng lên do chưa xét hết hiệu ứng tương tác cục bộ bậc cao giữa các hạt lân cận.
- Toàn bộ mô hình lý thuyết được giới hạn trong giả thiết liên kết hoàn hảo (liên tục tuyệt đối về ứng suất, chuyển vị, nhiệt độ và dòng nhiệt tại các mặt phân chia pha); chưa xét đến hiện tượng trượt biên, gián đoạn chuyển vị hoặc điện trở nhiệt tiếp xúc (Kapitza resistance).
- Nghiên cứu chỉ giới hạn ở bài toán đàn hồi tuyến tính tĩnh và truyền nhiệt tuyến tính tĩnh dưới giả thiết biến dạng nhỏ, chưa mở rộng cho các bài toán phi tuyến vật liệu, từ biến, đàn - dẻo hoặc động lực học.
Hướng nghiên cứu tiếp
- Mở rộng phương pháp cốt tương đương để tính toán cho vật liệu Composite có cốt liệu mang hình học phức tạp hơn (dạng elip dẹt, dạng phiến mỏng) hoặc phân bố ngẫu nhiên đa phương trong không gian ba chiều.
- Nghiên cứu cơ chế tiếp xúc không hoàn hảo giữa pha cốt, lớp vỏ và pha nền (liên kết đàn hồi yếu, suy giảm ứng suất tiếp xúc).
- Phát triển mô hình tính toán cho các bài toán phi tuyến hình học, phi tuyến vật lý và đánh giá quá trình phá hủy, nứt vỡ vi mô cục bộ trong vật liệu composite có pha trung gian.
Giá trị tham khảo
Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị học thuật và thực tiễn trong chuyên ngành Cơ học vật rắn biến dạng và Cơ học vật liệu Composite:
- Đối với nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Luận án cung cấp hệ thống tổng quan toàn diện, chặt chẽ về các trường phái đồng nhất hóa vi cơ học (từ các mô hình trung bình Voigt, Reuss, Eshelby, Mori – Tanaka, sơ đồ vi phân, tự tương hợp đến các đường bao biến phân bậc cao Hashin – Shtrikman, Phạm Đức Chính). Chương 1, Chương 2 và Chương 3 là tài liệu tham khảo giá trị cho việc giảng dạy và nghiên cứu chuyên sâu về phương pháp giải tích trong vi cơ học.
- Đối với kỹ sư thiết kế kết cấu và vật liệu: Các biểu thức giải tích rút gọn xác định hệ số dẫn nhiệt và mô đun đàn hồi tương đương ở Chương 2 và Chương 3 cung cấp công cụ tính toán nhanh, trực tiếp xác định cơ - lý tính của vật liệu tổ hợp có lớp phủ xử lý bề mặt mà không cần sử dụng các phần mềm thương mại đắt tiền.
- Đối với các nhà nghiên cứu mô phỏng tính toán: Quy trình thiết lập phần tử thể tích đại diện (RVE) và xử lý điều kiện biên tuần hoàn trên phần mềm CAST3M ở Chương 4 cung cấp phương pháp luận thực hành mô phỏng số chuẩn xác cho các bài toán đồng nhất hóa vật liệu có cấu trúc vi mô phức tạp.
Câu hỏi thường gặp
1. "Cốt phức hợp" trong luận án được định nghĩa như thế nào và tại sao cần nghiên cứu cốt phức hợp?
"Cốt phức hợp" được định nghĩa là cấu trúc gồm lõi cốt liệu cùng với lớp vỏ trung gian bao bọc xung quanh cốt (hình thành do phản ứng hóa học bề mặt giữa nền và cốt trong quá trình chế tạo hoặc do kỹ thuật chủ động tráng phủ sợi/hạt). Cần nghiên cứu cốt phức hợp vì lớp vỏ trung gian này có tính chất cơ - lý khác biệt hoàn toàn với cả pha cốt lẫn pha nền, làm thay đổi đáng kể tính chất hiệu dụng vĩ mô của vật liệu; nếu bỏ qua lớp vỏ này, các dự báo cơ - nhiệt vĩ mô sẽ gặp sai số lớn.
2. Ý tưởng cốt lõi của phương pháp cốt tương đương được luận án triển khai qua những bước nào?
Phương pháp cốt tương đương được triển khai qua quy trình 2 bước:
- Bước 1: Giải bài toán vi cơ học phân bố thưa cho một hạt/sợi cốt phức hợp (gồm lõi và vỏ) đặt trong pha nền vô tận, đồng thời giải bài toán cho một cốt đồng nhất tương đương đặt trong pha nền vô tận. Đồng nhất các trường cơ/nhiệt tại biên ngoài để rút ra đặc trưng tương đương ($c_{23}, k_{EI}, \mu_{EI}$) của cốt phức hợp có cùng kích thước hình học.
- Bước 2: Thay thế hệ vật liệu 3 pha ban đầu thành hệ vật liệu 2 pha (gồm nền và cốt tương đương), sau đó sử dụng các công thức 2 pha có sẵn (như mô hình Hashin, sơ đồ vi phân, xấp xỉ tương tác 3 điểm) để tính toán các đặc trưng hiệu dụng vĩ mô.
3. Khi lớp vỏ bao quanh cốt có tính chất dị hướng, luận án đã xử lý bài toán xác định hệ số dẫn như thế nào?
Luận án giả thiết lớp vỏ có hệ số dẫn theo phương pháp tuyến $c_N$ và phương tiếp tuyến $c_T$. Tác giả chia lớp vỏ mỏng thành $2m$ lớp vi phân đồng tâm luân phiên tính chất, sau đó sử dụng kỹ thuật xấp xỉ vi phân để thiết lập phương trình vi phân đạo hàm: $$\frac{dc}{d\nu} = \frac{1}{1-\nu} \frac{c_T c_N - c^2}{2c_N}$$ Giải phương trình vi phân này với điều kiện biên tương ứng cho phép tìm ra giá trị hệ số dẫn giải tích chính xác $c_{23}$ của cốt tương đương, từ đó đưa về bài toán 2 pha để xác định hệ số dẫn hiệu dụng vĩ mô.
4. Luận án đã sử dụng dữ liệu thực nghiệm nào để kiểm chứng mô hình lý thuyết hệ số dẫn?
Luận án sử dụng dữ liệu thực nghiệm đo hệ số dẫn ngang của vật liệu composite cốt sợi tự nhiên abaca đặt trong nền nhựa epoxy từ công trình của Liu và cộng sự (2012). Cấu trúc sợi gồm lumen ($c_3 = 0{,}089\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$), vách tế bào ($c_2 = 0{,}411\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$), nền epoxy ($c_1 = 0{,}298\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$) với tỷ lệ thể tích lumen/sợi là $0{,}27$. Kết quả tính toán từ các công thức giải tích của luận án cho thấy sự trùng khớp chặt chẽ với số liệu đo đạc thực nghiệm ở các tỷ lệ thể tích sợi khác nhau ($V_{fiber}$ từ $0$ đến $0{,}53$).
5. Phần mềm phần tử hữu hạn nào được sử dụng trong luận án và vai trò của nó là gì?
Luận án sử dụng phần mềm phần tử hữu hạn CAST3M kết hợp với thuật toán đại số trên MATLAB. CAST3M đóng vai trò là công cụ mô phỏng số, thiết lập lưới phần tử trên phần tử thể tích đại diện (RVE) với điều kiện biên tuần hoàn nhằm tính toán số các đặc trưng cơ - nhiệt hiệu dụng, từ đó đối chuẩn và kiểm chứng tính đúng đắn của các công thức giải tích giải bằng phương pháp cốt tương đương.
Kết luận
Luận án đã giải quyết bài toán xác định các đặc trưng dẫn nhiệt và đàn hồi hiệu dụng vĩ mô của vật liệu Composite có cốt phức hợp thông qua việc phát triển phương pháp cốt tương đương kết hợp mô phỏng số phần tử hữu hạn. Bằng cách tiếp cận giải tích chặt chẽ, tác giả đã thiết lập các công thức xấp xỉ hiển đơn giản cho cả hai dạng cốt sợi đồng phương và cốt hạt hình cầu, xét đến cả trường hợp lớp vỏ trung gian đẳng hướng và dị hướng. Các kết quả lý thuyết thu được đều được kiểm chứng nằm trong giới hạn đường bao biến phân Hashin – Shtrikman, trùng khớp với dữ liệu thực nghiệm trên sợi abaca và tương thích với kết quả mô phỏng số trên phần mềm CAST3M. Công trình đóng góp hệ thống công thức có ý nghĩa khoa học và giá trị ứng dụng cao cho việc tính toán thiết kế vật liệu composite trong kỹ thuật.