Chương 1: Các kiến thức cơ bản Nội dung chính của chương này là trình bày về một số các kiến thức cơ bản về số học, về dạng toàn phương và các trường số p -adic. Các kiến thức này quan trọng cho chương sau. Chương 2: Kí hiệu Legendre và luật thuận nghịch bậc hai Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của kí hiệu Legendre. Đặc biệt là tìm ra một số cách chứng minh khác của luật thuận nghịch bậc hai.
Chương 3: Kí hiệu Hilbert Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của kí hiệu Hilbert và đặc biệt là định lí về sự tồn tại của các số hữu tỉ với các kí hiệu Hilbert đã cho trước. CÁC KIEN THỨC CƠ BAN 1. Trường hữu hạn Định nghĩa 1. Cho K là một trường, | là đơn vi của #*.
Khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu cấp của 1 trong nhóm (F,+) bang © (nghĩa là n.1#0,Vn eÑÌ) thì ta nói đặc số của F bang 0, kí hiệu char(F)=0. Trường hợp 2: Nếu cấp của 1 trong nhóm (F,+) bằng p (nghĩa là p là số bé nhất trong Ñ” để p.1=0) thì ta nói đặc số của F bằng p, kí hiệu char(F) = p. Chú ý, nếu trường hợp 2 xảy ra thì p luôn là sé nguyén tố. Nhu vay, dac số của một trường hoặc bằng 0 hoặc bằng số nguyên tố p.
Néu char(K) = p thì ánh xạ ø: K —>K”,xt> x” là một đăng cầu với K? là trường con của K. Ddc số của một trường hữu hạn K là một số nguyên tổ p#0; Nếu ƒ=l|K:F,] thì số các phần tử của K là q= pÏ. Cho p là một số nguyên tổ và q = pÏ,(ƒ >1) là một lũy thừa của p. Cho Q là một trường đóng đại số có đặc số p.
Khi đó, tôn tại duy nhất một trường con F. cua © có q phân tử. Nó là tập hợp các nghiệm của da thức X" — X. Tat cả các trường hữu hạn có q = pÍ phan tử là dang cầu với Fi.
Cho p là một số nguyên tố, ƒ >1 là một số nguyên va q=p’. Nhóm nhân F cua một trường hữu han F„ là một nhóm cyclic có cấp q—]. Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường Định nghĩa 1. Cho F là một trường.
Ánh xạ :F +IR được gọi là một chuân trên # nêu thỏa các điêu kiện sau: 1. |x|=0 VỚI moi xeF. VỚI moi x,yeF, iii. |x+ y|<|a|+|y , VỚI mỌI x,yeF.
F=Q hoặc F =R thì hàm giá trị tuyệt đối ||:F > R là chuẩn trên F và ta gọi là chuẩn giá trị tuyệt đối. F là trường bất ki, ta có thé định nghĩa ánh xạ :Ƒ—>lR sao cho 0 Nếu x=0 hl 1 Néu x40 là là chuẩn trên F và ta gọi là chuẩn tam thường. (Các tinh chất của chuẩn) Cho |s| là một chuẩn trên trường F có đơn vil. Với mọi xe F, ta có: i.
Xx x , voi moi ne N -] -1 ili. oes Nhận xét 1. Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn là chuẩn tam thường. (Hai chuẩn tương đương) Cho 1 k : là hai chuân trên trường #.
Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu {x„} là dãy Cauchy theo chuân , khi và chỉ khi {x,} là day Cauchy theo chuẩn " Chú ý rằng {x,} là dãy Cauchy theo chuẩn|| nghĩa là Ix, —X, ——— m,n 0. Nói cách khác với mọi € > 0, tôn tai ny ¢N, sao cho với mọi n,m > mạ, X„—X„|<£. Cho F là một trường; 1 k „ là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau là tưong đương: ¡Với mọi xeF, |x|, <1 khi và chỉ khi |x|, <1.
Với mọi xe F, || <1 khi và chỉ khi |x|, <1. Tôn tai hăng số c>0 sao cho với mọi xe F, › x 1° iv. Các tôpô sinh bởi |x|, va lat, la tring nhau. ¡ ttơng đương với „{ 1 Hệ quả 1.
Cho ll là hai chuẩn trên trường F. Nêu ton tai hai so dương C,sC, Sao cho |s| <c, „ va *|, Sc, |e}, thi i> 1 2° 1. Chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1. Cho là một chuẩn trên trường F.
Chuan được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện iil’. x+ y|<max {|x yỊ}, với mọi x, y e F. Chuan thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii?) được gọi là chuẩn Archimede. Chuan tầm thường trên F là chuẩn phi Archimede.
Thật vậy: Nếu x+ y=0 thi |x+z|=0 suy ra |x + y| <max {|x vị. ° Nếu x+y #0 thì hoặc |x|#0 hoặc |y|#0, do đó |x+ y|=1< max{|x|. Nếu F là trường hữu hạn có ¿ phan tử với phần tử đơn vị là e thì chuẩn trên trường # là chuẩn phi Archimede. Thật vậy: kK ` ` k ` = ` —1 = Nêu x=0 thì |x|=0.
Còn nếu x0 thì x7 =e thi |x" =lx?1 =|e|=1. Vay || là chuẩn tầm thường trên trường F va do đó nó là chuẩn phi Archimede. Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede. Ta có các khang định sau: i.
VỚI moi x,yEF, x|#|y| thi |x+ y|=max {|x sly}.)={xeF: |x-al <r}, Ba(r)={xeF: |x-al<r}, S r={xeF: |x—a|=r}, là các tập vừa dong vừa mo. Mọi điểm thuộc hình cau đều là tâm của nó. Nghĩa là với mọi be B,(r) suy ra B(r)=B,('). Day {x,}< F là day Cauchy khi và chỉ khi lim|x,.
Cho {x,}la day Cauchy. Khi đó nếu x, —>0 thì x, |x,|—>0. Còn nếu x, 0 thì {x,} la day dừng. Nghia la: ton tai N, với moi n= N, |x,|=|xn+l X, n+2 Định lí 1.
(Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede) Cho F là một trường, là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương: i. || là chuẩn phi Archimede. |n| <1, với mọi ne N ={n=n.
Tap N bi chan. Nghia la, ton tại c>0: In| <c, với mọi nceN. Cho p là một số nguyên tố có định. Với mỗi xeQ\{0}, ta luôn có : x=p**”, (m,neZ, (m,n) =1, (m,p)=1, (n, p)=)), n a được gọi là p-s6 mũ của x, kí hiệu v„(x)=øđ.
Quy ước: v„(0)=øœ, œ+a=Ằ, Mệnh đề 1. Cho p là một số nguyên to, với moi x,y €Q ta có: 1. Cho 0 là một số thực thỏa 0< Ø<l và p là một số nguyên to. Ánh xạ „:Q->R vp (x) xh |x| =p › là một chuẩn phi Archimede trên Q với quy ước p” =0.
Với mỗi số nguyên to p, ta có chuẩn ii „@ |x| =| — , với mọi xe(Q. " ÁP Chuẩn > được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p. Rõ rang chuẩn p là chuẩn phi Archimede. (Ostrowski) Mọi chuẩn không tam thường trên Q hoặc tương đương với chuẩn : (p là số nguyên tô) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên Q.
Xây dựng trường p-adic Ô „. Theo định lí Ostrowski, ta thay mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường |+| hoặc là chuẩn phi Archimede ứ P là số nguyên tố). Mặt khác, ta biết rang làm đầy đủ Q theo|+| ta được trường số thực R. Làm day đủ Q theo „ ta Sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic ©„ là tương tự p-adic của trường số thực R.
Cụ thé ta xây dựng như sau: vp (x) Xét ; là chuân p-adic trên Q; x| = B ~ ¬ 1Ì , với mọi x EQ. Kí hiệu S là tập Hs. N xa “ \p tất cả các dãy Cauchy trong Q theo chuẩn p Trên Š xét quan hệ tương đương ~ được cho như sau: Với mọi {x,},(y,}Q, {x,}~ {y,} nếu và chỉ nếu lim|x, — y, nao P =0. Kí hiệu: Q, = Sy = tu) :{x,} Cauchy trong Q theo ,).
Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho Q p để nó trở thành một trường. Phép cộng: Với mọi x={x,}, y={y,}€Q, x+y={x,+y,}. Phép nhân: Với moi x={x,}, y={y,}eQ, x. Vành các số nguyên p-adic 2, Định nghĩa 1.
Cho p là số nguyên to. M,, là idéan tối đại của vành Z, và Z,/pZ., là trường goi là trường thang dự của Q, Mệnh dé 1. Cho p là số nguyên to. Khi đó ta có: Z,/ pL, =Z[pL=F,, nghĩa là trường thang du của (© „, „) là F, =Zjp”.
Khai triển p-adic của một phần tử trong Q ph Định nghĩa 1. Với mọi a,beZ, ta nói a=b (modp”) khi và chỉ khi a—b:p". Với mọi a,beZ,. Khi đó a=b (modp") khi và chỉ khi l¿—»,| <p”.
Néu xeQ, và |x| <1 thì với mọi neÑ, tôn tai reÑ sao cho |x - r| <p". Hon nữa, số r có thé chọn trong tập {0,1, 2,. Khi do, x có một dai diện la {a,} = thỏa P mãn các điều kiện sau: i. Sau day, ta sẽ đi khai triển p-adic của x trong Q > i.
Với xeQ„„, |x > <1, theo Dinh lí 1.4 tồn tai day Cauchy {a,} trong Q thỏa hai điều kiện a,€Z, O<a,<p" (n=1,2,. Khi đó, với mỗi ø e Ñ ta có khai triển p-phân a, =b, +bip+. Mặt khác a, =a,,, (mod p") khi và chi khi a, —a,,,: p". Suy ra bạ+b[p+.+bJ ph” =bạ+bịp+.+b,,p"' nên x=lima, =lim)°),p' = >°b,p'.
Tóm lại n> n—>œ 4 ¡=0 i=0 với mọi xeQ,, 3|, <1, tổn tại b, e{0,1,.p—1}, x= 2b, p” gọi là khai triển ¡=0 p-adic của x trong Z,. Với x không thỏa điều kiện Ix, <1 thi ta sé nhân x với một số p” thích hợp sao cho x’ =x.p” thỏa man Ix", <1. SUY ra =0 x= dbp’, b, €{0,1,. Công thức này gọi là khai triển p-adic của x trong Q,.
Néu x=Š b,pˆmà bạ =b,=. Nếu xeQ,, |x| =p", GneZ) thì x= DY bp’, b, c{0,1,. Bồ dé Hensel Bồ đề 1.+ne,x"” là đạo hàm của nó, néeN. Nếu ton tại phan tử Ay € Z, thỏa điều kiện: ƒ(4,)=0 (mod p) f'(ay) #0 (mod p) thi ton tai duy nhất a eZ , sao cho f(a)=0 va a=a, (mod p).+ne,x"" là đạo hàm của nó, neÑ.
Nếu ton tại phan tử a, eZ „ thỏa điều kiện: f'(a)) = 0 (mod p”) f'(ay) #0 (mod p””") f (ay) =0 (mod p“”*') thi ton tai duy nhất một số a eZ, sao cho f(a)=0 va a=a, (mod pM"). (M6 ta căn của I trong Q ,) Cho p là số nguyên tổ lẻ. Khi đó với mọi 1<i< p—] tốn tại duy nhất é, EQ, thoa Liên =1 và ¿mm =i (mod p). Do đó, tập các căn bậc p—\ cua I trong Q, la: U4 ={ỗ›Š»--sốpl}- Tập các căn cua I trong Q, chính la U„, (hay xeQ„, x"`=1<© x? t=1), Định lí 1.
(Mô ta căn cua I trong Q,) Tập các căn cua I trong Q, là {£1} nghĩa là nếu xeQ, va ton taine N* để x" =1 thì x= +I. Phương trình p-adic Định nghĩa 1.X,,] là một đa thức với hệ số trong Z, và nếu n là một số nguyên dương, ta kí hiệu đa thức f, với hệ số trong Z. suy từ ƒ bằng cách rút gọn (mod p").