Chương I: Kiến thức cơ bản. Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bồ trong nhiêu tài liệu về các chuyên ngành Toán: - Các định lí cơ bản mô tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh. - Các đa tạp xạ anh, afin. - Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu cơ bản về đường cong cllipuc trên các trường số Q, R, C va Fy.
Chương 2: Các đường cong Elliptic dang Weierstrass trên Q - Tổng quan về các đường cong dang Weierstrass trên Q. - Các Dinh lí co bản mô tả về cầu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ, các điểm xoắn hữu tỷ của các đường cong Elliptic trên Q: Định lý Mordell-Weil, Định lý Nagell-Lutz và Định lý Mazur. - Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q. ES xà ` # 2 3 - Mô ta chung về luật nhóm, các j-bat biên của các ho yˆ = x =px, vỶ =XỶ - pỶ, với p là số nguyên tô.
2_ 3 2_ 3 n2 y - Nhóm con xoăn của các họ: y” = xX -px, y= x" - po và ` + voy ¿ 2v2 của đường cong: yo = x" + 2X - 3x Phần kết luận ` Trong luận van sẽ đưa ra các két luận về: a - Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q, với một số họ các đường cong Elliptic cụ thé va đưa ra sự mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biển trên chúng. - Nhóm con xoắn của các họ y” = x° -px, y= xỶ - p” 3 của v2 2 Ín - Nhóm con xoắn của y* = x* + 2x” - 3x Trong Luận văn này cũng giới thiệu nội dung cơ bản và ứng dụng của các Thuật toán Doud, Schoof,. KIÊN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh Trong phan này sẽ giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm aben hữu hạn sinh, + “ ‘ + JA ^ ° £ 2 `.1 Mot nhóm aben A được gọi là hữu hạn sinh nêu ton tại hữu han các phan tứ qy,., dạ € A sao cho với moi x € A, ton tai các số nguyên K\ị,., Ky thỏa x = Dit, kaj. Cho A là một nhóm aben.
Nhóm con xoắn của A, kí hiệu T(A), là tập : T(A) = {a € A: 3n € N na = 0}.3 Mới nhóm aben A được gọi là không có xoắn nếu T(A) = {0}. 62 (tông cian bản ) được gọi là nhóm aben tự do hạng n.5 Cho A là một nhóm aben, khi đó A{T(A) là không có xoắn.6 Cho A là một nhóm aben và B,C là các nhóm con của A. Ta nói A là tong trực tiếp trong của B và C, kí hiệu A =B @C, nếu A=B+C và BOC = {0}, rong đó B + € = {b+c: b€B,c€(C}.7 Néu A là nhóm aben hữu han sinh không có xoắn mà có một tập sinh có lực lượng bé nhất với n phan từ thì A đăng cau với nhóm aben tự do có hạng n. Chứng mình Ap dụng phương pháp quy nạp trên số phan tử sinh nhỏ nhất của A.
Nếu A là một nhóm xyclic (nghĩa là nhóm được sinh bởi một phan tử khác 0 duy nhất của nhóm). Giả sử mệnh dé đúng với tat cả những nhóm aben hữu han sinh không có xoắn với tập sinh nhỏ nhất có ít hơn n phần tử. Giả sử A là không có xoắn và {ay, .,@,} là tập sinh nhỏ nhất của A. với bat kỳ phần tử b € B\{0}, tồn tại một số nguyên i € Z\{0} sao cho ib € (a).
Suy ra tôn tạij € Z sao cho ib = ja,. Ta định nghĩa ƒ:B — Q:b > j/¡ và ƒ(0) 0. Khi đó, dé thấy kerf = {0} và ta có ƒ là một đơn ánh. Nếu P là nhóm hữu han sinh thì B là nhóm cyclic.
Giá sử B= (bhị,., f(bm„)) = Visite im/im) là nhóm con của nhóm cyclic và do đó cyclic. Nếu B = A thì A là nhóm tự do sinh bởi một phan tử. Nếu không, ta sẽ có A/B = (ã;,. Như vậy A/B là nhóm không có xoắn và được sinh bởi nhiều nhất n — 1 phan tử, do đó theo quy nạp nó là nóm aben tự do có hạng m<n.
Suy ra A = BOZ”, từ đó B = A/ZTM và B là nhóm hữu han sinh.8 Cho A là một nhóm aben hữu han sinh. Chứng minh Gia str A = (ay,. Vi vay A/T(A) là nhóm hữu han sinh.,#„) là một tập sinh nhỏ nhất của A/T(A). Nếu ä€ A/T(4) thì ã=ŸƑ',k,š, với mọi k¿€Z.
Dẫn đến a— thị kị#i € T(A). Hơn nữa, vì A/T(A) là không có xoắn nên (x4, .9 Mãi một nhóm aben hữu hạn sinh đều là tổng trực tiếp Của mot nhóm hitu hạn và một nhóm aben tự do có hạng hữu hạn.2 Da tap affine và đa tạp xạ ảnh Trong phan này, ta sẽ mô tả một số đối tượng cơ bản được nghiên cứu trong hình học đại số. Ta sẽ dùng K dé ký hiệu một trường bat kỳ và K đóng đại số của K từ đây về sau.1 Da tạp affine Định nghĩa 1.1 Không gian affine n chiêu là tập các bộ n phần tit A” = AR = {P = (x\,. Một cách tương tu, tập các điểm K — hữu tỷ của A” là tập xị € K).,X,] là một vành đa thức n biến và cho J c K[X] là một idean.
Với mỗi một / như vậy, ta liên kết một tập con của Ag. V, = {P € Ag: ƒ(P) = 0 với mọi ƒ € J}.2 Mér tap đại số (affine) là một tập bat kỳ có dạng V,. Nếu V là mot tập dai số thì idean của V được định nghĩa bởi I(V) = (fF € K{X}: ƒ(P) = 0 với mọi P € V}. Một tập đại số được xác định trên nếu idean / (V) của nó được sinh bởi các đa thức trong K[X].
Ta ký hiệu tập này bởi V/K. Nếu V được xác định trên K, thì tập các điểm K — hữu ty của V là tập hợp Vg =V NAB.3 Tap đại số V:Y? = X3 + 17 có nhiều điểm Q - hữu tỷ, ching han như 137 2651 (-2,3), (234,378661), (64” 5127) Định nghĩa 1.4 Một tập đại số affine V được gọi là một da tap affine nếu 1(V) là một idean nguyên tô trong KX). Chú ý là nếu V được định nghĩa trên K thì sẽ không đủ nếu ta chỉ kiểm tra I(V/K) có nguyên tổ trong K[X] hay không. Ví dụ, xét idean X? — 2XỶ trong Định nghĩa 1.5 Cho V là một da tạp.
Chiêu của V, ký hiệu bởi dim(V), là bậc siêu việt của R(V) trên KR.6 Chiều của AZ là n, vì K(AZ) = K(X,,. Tương tự, nêu V € AZ được cho bởi phương trình đa thức khác hing FfƠ,. Cho V là một da tạp, P EV và fy, 1 fin € K[X] là tập các phan tứ sinh của ly. Khi đó, V là không kỳ di (hoặc tron) tai P nếu ma trận 1m X (Fi ) afi —(P isjsn có hạng n — dim(V).
Nếu V không kỳ di tai mọi điểm thì ta nói rằng V là không kỳ di (hoặc trơn).8 Cho V được định nghĩa bởi phương trình đa thức khác hang ƒŒX,. Khi đó Vi dụ 1.2 Da tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1 Không gian xa ảnh n chiều trên K, ký hiệu PTM hay Py, là tập tất cả các bộ (n + 1 ) phần tử (Xụ,.,Xp+¡) € Anh sao cho ton tại ít nhất một phan ne x, khác 0. Hai bộ (x4, 6X4) và Cy, Yanai) được gọi là tương đương nếu ton tại một số 2 € K\{0} sao cho x; = Ay, với moi i. Một lớp quan hệ tương đương {(Ax;,.
AXn4+ 1 ): A = \{0)) open +s Ũ a 2 i : được ký hiệu bởi [xạ:.: Xa+v] và Xy, os May được gọi là các toa độ thuần nhất của một điểm trong ?". Tập các điểm K = hữu tỳ trong P” là tập Pe = {Íx::.2 Chú ý là néu P = [x;:.:x„¿¡] € Pg, ta không thé suy ra mỗi x; € K. Tuy nhiên, nếu chọn một i nào đó sao cho x; # 0 thì ta có x;/x; € K với mọi j.3 Mét da thức ƒ € K[X] = K[X,, .,Xn41] là thuần nhất bậc d nếu f(AXy, AX ng) = ATF (Xp, Xana) với mọi A € K. Một tdean Ï C K[X ]ià thuần nhất nếu nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất.
Với mỗi idean thuần nhất / ta liên kết một tập con của Py bởi quy tắc V, = {P € Pz: ƒ(P) = 0 với mọi ƒ € J thuần nhất}.4 Moi tap đại so xạ ảnh là tập bắt kỳ có dang V, với một idean | thuần nhất. Nếu V là một tập đại số xạ ảnh thì idean thuân nhất của V, ký hiệu là I(V), là idean của K[X] sinh bởi {f € KLX]: f là thuần nhất và f (P) = 0 với mọi P € V). Một như vậy được định nghĩa trên K, ký hiệu là V/, nếu idean /(V) của nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất trong K[X]. Nếu V được định nghĩa trên K thì tập các điểm - hữu tỷ của V là tập V(K) =Vn PR.5 Một đường trong P? là một tập đại số cho bởi phương trình tuyến tính aX + bY +cZ=0 với a,b,c € Ï không đồng thời bằng 0.
Nếu giả sử c # 0 thì một đường như vậy được định nghĩa trên một trường bat kỳ chứa a/c va b /c. Một cách tông quát hon, một siêu phang trong P” được cho bởi phương trình GIẤt + - + anyyẤn¿ = 0 với các a; € không dong thời bằng 0.6 Một diém của PgR có dạng [x;:. Nhân với một số hữu tỷ A € thích hợp, ta có thé loại bỏ mẫu số và các nhân tử chung khỏi các x;. Nói cách khác, mỗi P € PH có thé viết đưới dang tọa độ thuần nhất thỏa Xyy 0) Xng, EZ và gcdx,.
Nhu vay, nếu một idean của tập V/Q được sinh bởi các đa thức thuần nhất Í. /„ © Œ[X] thì việc mô tả V(@) tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình thuần nhất NÓ. Ấn‡i) = = fn(Ấh,.Ăn+v) = 0 với các SỐ Xị,.,Xu+¡ nguyên td cùng nhau Định nghĩa 1.7 Một tập đại số xạ ảnh được gọi là một da tạp xạ ảnh nêu idean thuần nhất I(V) của nó là một idean nguyên to trong KX]. Rõ ràng Pz có thé chứa nhiều thành phần giống với AR.
Ching hạn, với mỗi 0 <¡<ïn, ta có phép nhúng sau dig sg Xu) th [Bị ss png 1:8 acs Sai Ta ký hiệu H; là siêu phăng trong Pz xác định bởi X; = 0, Hị = {P = [xị:.:X„++Ì € Pgs x; = 0), Và U; là phần bù của H;, U; = {P = [xị:.¡Ì 6 Pex, £ 0} = PE\Hj.