Chương 1. Kiến thức chuẩn bi Trong chương này tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản của lý thuyết vành có liên quan đến nội dung của đề tài. Cụ thê tôi sẽ trình bày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chat của môđun và médun nội xạ. Bao nội xạ của médun - những hình ảnh cụ thé của nó.
Trong chương này tôi đề cập đến ba nội dung chính. Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở rộng cốt yếu và bao nội xạ của môđun. Nội dung thứ hai tôi sẽ nêu ra một sỐ ví dụ cụ thể về bao nội xạ của môđun để qua đó ta thấy rõ được hình ảnh cụ thé của bao nội xạ. Nội dung thứ ba tôi sẽ đi nghiên cứu về tính nội xạ trên vành Noether thông qua định lý Bass Papp và các hệ quả của nó.
KIEN THỨC CHUAN BỊ 1. Môäun — Môđun con - Môđun thương 1. Định nghĩa Giả sử R là vành. Một R môđun phải M là nhóm cộng aben cùng với ánh MxRM oa „ R ^ , k 2 an xạ được gọi là phép nhân vô hướng nêu thỏa các hệ thức sau: (m,r)> mr (mr)r`= m(rr `) (m+m')r=mr+m'r VỚI moi mm'eM vamoi r,r'eR.
mir +r')=mr+mr' m.l=m Tương tự, một R môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân vô hướng rm (re R,m e Mĩ) thỏa r{r`m) = (rr)m r(m+m')=rm+rm' VỚI moi m,m'eM Và mọi r,r'eR. (r+r`)m = rm+r`m lừn=m Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm R môđun phải và R môđun trái trùng nhau và được gọi là R môẩun. Ví dụ Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun. Bởi vậy R là R môđun phải.
Tương tự R cũng là R môđun trái. Do đó R là R môđun. Mỗi ideal phải của R là R môđun phải, mỗi ideal trái của R là R môđun trái. Gia sử R=Z là vành các số nguyên.
Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như Z mddun. Có thé nói khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben va không gian vecto. Định nghĩa Gia sử M là R môđun phải. Tap con A của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A.
Bồ đề Giả sử M là R môđun phải. Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các điều sau tương đương (a) A là môđun con của M (b) A là nhóm con cộng của M và với mọi ae Ayre R ta CÓ are A (c) Với mọi abe A và r,se# ta có ar+bse A 1. Ví dụ (a) Mỗi môđun M đều có các môđun con tầm thường là 0 và M. Môđun con A của M được gọi là thực sự nếu Az0 và A¥M.
(b) Giả sử M là R môđun tùy ý và m,eM. Khi đó tập con m,R={m,r,réR} là médun con của M. Nó được gọi là môđun con xiclic sinh bởi phan tử m,. (c) Giả sử m, là phan tử của R môđun M, I là ideal phái của vành R.
Tập hợp các phan tử ma trong đó @ chạy khap I là một môđun con của M. (d) Gia sử A và B là hai môđun con của M thì ANB cũng là môđun con của M và A+B=(a+b/aeA,b¢ B} cũng là môđun con của M. Mệnh đề Giao của một ho bất kì những môđun con của R môđun M là một môđun con của M. Ví dụ : 1) 3Z/s3Z =6Z 2) ƒ pz =0 với P là tập tat cả các số nguyên tố.
Định nghĩa Gia sử X là một tập con của R môđun M. Môđun con bé nhất A chứa X gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trường hợp A=M ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X. Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R môđun hữu hạn sinh.
Nếu môđun con sinh bởi một phân tử thì ta gọi môđun đó là môđun con xIclic. Mệnh đề Giả sử X là một tập con của R môđun M. Các mệnh để sau tương đương: 1) A là môđun con sinh bởi tập X. 2) A={Ö1r,0xeX„r,eR) trong đó r, bằng 0 hau hết trừ một số hữu hạn.
Ví dụ : Z môđun Q các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn. Thật vậy: Giả sử X =(a,a,.a,} là hệ sinh hữu hạn của Q. Khi đó ta, có thé biéu diễn đưới dang tông hữu han l ¬ 28/1/0,+ › a,x,,a,€Z. SUY ra a,=2x,a,+ › 2a,x,,4,€Z ie} ie} Từ đó ma,=>°2a,x,,4,¢Z VỚI m=1-2x, fel Giả sử —a,=y,a,+Ð_4,y,, 9, €Z m mà Khi đó a,=my,a,+3my,a,= )°2x,4,y, + 3 mya, = ra, fl éel fal dnl Điêu này chứng to X \{a,} cũng là hệ sinh của Q.
Tiếp tục quá trình này sau n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của Q và do đó Ø=(0} !. Dinh nghĩa Giả sử (A /ie7 ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M. Khi đó môđun con sinh bởi tập s =| JA, được gọi là tông của các môđun con J A, và được kí hiệu bởi Ð_A, J 1. Mệnh đề Cho (A /¡c7 ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M.
Khi đó : MA =(¥a,4,eA.ieJ c1,J hữu han}. Dinh nghia Môđun con A của M được gọi là tối đại néu AZM và nó không chứa trong một môđun con thật sự nào của M. Định lý Trong những môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thật sự được chứa trong một médun con tối đại. Bồ đề Zorn Cho A là tập sắp thứ tự.
Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại. Hệ qua Mỗi môđun hữu han sinh M z(0 đều chứa môđun con tối đại. Luật môđula Nếu B,C,D là những môđun con của R médun M va CcB thì (D+€C)nB=Dna(B+C) 1. Mệnh đề và định nghĩa Cho A là môđun con của R môđun M.
Khi đó tương ứng (MxA)!R->M/A là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương M/A là R môdun (Úm+ A,r) > mr + A với phép nhân vô hướng (m+A)r = mr+A và được gọi là môđun thương. Định nghĩa môđun đơn (môđun bat kha qui) R — môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bat khả qui) nếu M chỉ có hai médun con tầm thường là (0) và M. Định nghĩa môđun nửa đơn R - môđun M được gọi là médun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn kha qui) nếu M phân tích được thành tông trực tiếp của các môđun đơn 1.
Đối với mỗi R — môđun M, các phat biêu sau đây là tương đương (i) M là nửa don (ii) Moi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M (iii) M là tông của một họ môđun con đơn. Bồ đề Cho M là R - môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn. Khi đó R có idéan phải (idéan trái) đăng cấu với M khi và chỉ khi M*= Homg (M,Rạ ) 0 1. Định nghĩa vành đơn.
vành nửa đơn Vành R +0 được gọi la vành don (nửa đơn) nêu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính nó. Đối với mỗi vành R, các phát biêu sau là tương đương: (i) R là R - môđun phải nửa đơn (ii) R là R - môđun trái nửa don (iit) Mọi R — môđun phải M là môđun nửa đơn (iv) Mọi R - môđun trai M là môđun nửa đơn 1. Vành nguyên — vành chia. Vành nguyên: Vành R được gọi là vành nguyên nếu R40 và ab=0—=a=0 hoặc b=0 Vành nguyên giao hoán gọi là miễn nguyên.
Vành chia Vành R được gọi là vành chia nếu R #0 và mọi phân từ khác không trong R đều khả nghịch Vành chia giao hoán là trường. Đồng cấu môđun 1. Định nghĩa Cho hai môđun Me và Nạg. Một đồng cau R môđun hay một ánh xạ tuyến tính £:Aƒ - là một ánh xạ f thỏa các điều kiện : S(x+ y= f+ f(y) = for fir) Với mọi xyeM,reR.
Nếu N=M thi f được gọi là tự đồng cau của M. Một đồng cau R môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần chỉ rõ vành cơ sở. Dễ dàng thấy rằng f:M -> NV là đồng cấu môđun khi và chỉ khi ƒ(xr+ys)= f(x)r + flys Với mọi xyeM, r,se<R. Tập tat cả các đồng cau từ Mạ đến Ne kí hiệu bởi Høm,(M.
Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu ) + g(a) Cf + g)(x) = f(x Với f,g¢Hom(M,N) và xeR. Nếu R là vành giao hoán thì nhóm cộng này có cấu trúc R-môđun với phép nhân vô hướng f(rx)=7f(). Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đăng cấu médun tương tự đồng cau nhóm. Cụ thé ƒ:A/, > „ được gọi là đơn cau (toàn cau, đăng cau) nều f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Đối với đồng cấu môđun f:M—ON ta kí hiệu imf=f(M) và kerf ={xeM / f(x) =0}= ý '(0) và gọi imf là ảnh của f và ker/ là hạt nhân của f. Mệnh đề Cho đồng cấu môđun f:M ->M và U,V tương ứng là môđun con của MLN. Khi đó : 1) #(U) là môđun con của N 2) fF") ={xeM /f(x)eV} là môđun con của M Đặc biệt imf và kerf là những môđun con tương ứng của N. Mệnh đề Giả sử f:X SY là một đồng cau R môđun.
Khi đó các điều sau tương đương: 1) f là đơn cau 2) f giản ước được bên trái nghĩa là đăng thức fe, = fe, =ø,=ø, trong đó ø.e, là những đồng cau từ R môđun tùy ý M tới X. Mệnh đề Giả sử /:X ->Y là một đồng câu R môđun. Khi đó các điều sau tương đương: 1) f là toàn cấu 2) f giản ước được bên phải nghĩa là đăng thức ø ƒ =ø,ƒ =ø,=ø, trong đó ø,.o, là những đồng cấu từ Y đến một R môđun bat kì N. Bồ đề Giả sử @:A-»Ø là một đồng cau R môđun va U,V là những môđun con cua A,B.
Khi đó : 1) ø là đơn cau khi và chỉ khi kerø=0 2) ø*'(@(U}) =U + ker@ 3) ø''(@(V})=V mime 1. Định lý Mỗi đồng cau R môđun ø: A> B có sự phân tích A/kerø Trong đó ự: A—> A/kerø là toàn cấu tự nhiên, còn ø' là đơn cấu. Hơn nữa ø' là toàn câu khi và chỉ khi ø là toàn cau.C là hai môđun con của A thì (B+C)/C =BI(BOC) 1. Định lý Giả sử ø:A-—> là đồng cau môđun và z:4-»€ là toàn cau, ngoài ra kerø ckerg.
Khi đó tôn tại đồng cau 4:C -> sao cho: 1) =Àœ 2) imÀ = ime 3) A đơn cấu khi và chỉ khi kerz = kerø 1. Định nghĩa Giả sử ¢: A> 8 là đồng cau R môđun.