Nghiên Cứu Mở Rộng Nội Xạ Với Điều Kiện C2

• Tác giả: Nguyễn Thị Hương
• Người hướng dẫn: TS. Hoàng Đình Hải
• Trường học: Trường Đại Học Hồng Đức
• Chuyên ngành: Đại Số và Lý Thuyết Số
• Đề tài: Mở Rộng Nội Xạ Với Điều Kiện C2
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thanh Hóa

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Vành, Iđêan, Linh hóa tử
• 1.2. Môđun nội xạ
• 1.3. Môđun xạ ảnh. Sự di truyền của tính nội xạ và xạ ảnh
• 2. CHƯƠNG 2: ĐẶC TRƯNG MÔĐUN NỘI XẠ VÀ CẤU TRÚC MỞ RỘNG VỚI ĐIỀU KIỆN C2
• 2.1. Đặc trưng môđun nội xạ
• 2.2. Môđun thỏa mãn điều kiện (C)
• 2.3. Đặc trưng của một số vành thông qua môđun thỏa mãn điều kiện (C)
• 2.3.1. Đối với vành di truyền
• 2.3.2. Đối với vành Noether
• 2.3.3. Đối với vành nửa Artin
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Mở Rộng Nội Xạ Điều Kiện C2

Nghiên cứu về mở rộng nội xạ với điều kiện C2 trong đại số là một lĩnh vực phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Khái niệm module nội xạ được mở rộng và tổng quát hóa, tạo ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Các nhà toán học đã tập trung vào việc khảo sát cấu trúc, thiết lập các điều kiện đặc trưng và xem xét các ứng dụng của những mở rộng này vào lý thuyết vành trên một số lớp module đặc biệt. Các dạng mở rộng như M-C-nội xạ, giả-M-C-nội xạ, M-CP-nội xạ đã được nghiên cứu và mang lại nhiều kết quả thú vị. Mục tiêu chính của các nghiên cứu này là làm sáng tỏ cấu trúc của các module và vành thỏa mãn các điều kiện nhất định liên quan đến tính nội xạ.

1.1. Giới thiệu về tính chất nội xạ và các khái niệm liên quan

Tính chất nội xạ của module là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết module. Một module được gọi là nội xạ nếu nó "mở rộng" được mọi đồng cấu từ một module con vào nó. Điều này có nghĩa là, nếu có một đồng cấu từ một module con N của P vào M, thì tồn tại một đồng cấu từ P vào M mà hạn chế của nó trên N trùng với đồng cấu ban đầu. Khái niệm này có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc của vành và module. Các khái niệm liên quan như module xạ ảnh, CS-module, và module tựa liên tục cũng đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực này.

1.2. Điều kiện C2 và vai trò của nó trong lý thuyết module

Điều kiện C2 là một điều kiện đặc biệt liên quan đến các hạng tử trực tiếp của module. Một module M thỏa mãn điều kiện C2 nếu mọi module con của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực tiếp của M. Điều kiện C2 có mối liên hệ mật thiết với tính chất nội xạ và tính chất CS của module. Nicholson đã chứng minh rằng cấu trúc module nội xạ trực tiếp trùng với cấu trúc module thỏa mãn điều kiện C2. Điều kiện C2 đóng vai trò quan trọng trong việc đặc trưng và phân loại các module nội xạ.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Mở Rộng Nội Xạ Với Điều Kiện C2

Mặc dù đã có nhiều tiến bộ trong nghiên cứu về mở rộng nội xạ với điều kiện C2, vẫn còn nhiều thách thức đặt ra. Việc tìm ra các điều kiện cần và đủ để một module thỏa mãn một dạng mở rộng nội xạ nhất định là một vấn đề khó khăn. Việc xây dựng các ví dụ và phản ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết cũng đòi hỏi sự sáng tạo và kỹ năng. Ngoài ra, việc áp dụng các kết quả nghiên cứu vào các bài toán cụ thể trong lý thuyết vành và lý thuyết module cũng là một thách thức lớn. Nghiên cứu này cần kết hợp kiến thức về đại số giao hoán, đại số không giao hoán và lý thuyết phạm trù.

2.1. Các vấn đề còn bỏ ngỏ trong lý thuyết mở rộng nội xạ

Một trong những vấn đề còn bỏ ngỏ là việc tìm ra mối liên hệ giữa các dạng mở rộng nội xạ khác nhau. Ví dụ, mối quan hệ giữa M-C-nội xạ, giả-M-C-nội xạ, và M-CP-nội xạ vẫn chưa được làm sáng tỏ hoàn toàn. Việc nghiên cứu các lớp vành và module mới thỏa mãn các dạng mở rộng nội xạ này cũng là một hướng nghiên cứu tiềm năng. Đặc biệt, việc nghiên cứu tính chất C2 trong bối cảnh module Artinian và module Noetherian còn nhiều vấn đề cần được khám phá.

2.2. Khó khăn trong việc xây dựng ví dụ và phản ví dụ

Việc xây dựng các ví dụ và phản ví dụ là một phần quan trọng của nghiên cứu lý thuyết. Tuy nhiên, việc xây dựng các ví dụ minh họa cho các kết quả về mở rộng nội xạ với điều kiện C2 có thể rất khó khăn. Điều này đòi hỏi người nghiên cứu phải có kiến thức sâu rộng về lý thuyết vành, lý thuyết module, và khả năng vận dụng các kỹ thuật đại số phức tạp. Các phản ví dụ cũng quan trọng không kém, giúp làm rõ giới hạn của các kết quả lý thuyết và định hướng cho các nghiên cứu tiếp theo.

III. Cách Tiếp Cận Đặc Trưng Module Nội Xạ Điều Kiện C2

Một trong những cách tiếp cận hiệu quả để nghiên cứu mở rộng nội xạ với điều kiện C2 là tập trung vào việc đặc trưng các module thỏa mãn các điều kiện này. Điều này có nghĩa là tìm ra các tính chất hoặc điều kiện tương đương với việc một module là nội xạ hoặc thỏa mãn điều kiện C2. Việc đặc trưng module có thể dựa trên cấu trúc của module, các đồng cấu giữa các module, hoặc các tính chất của vành cơ sở. Ví dụ, một module M là nội xạ khi và chỉ khi mọi iđêan trái A của R đều thỏa mãn điều kiện λ(α) = ab, ∀α ∈ A, với λ là đồng cấu A -> M.

3.1. Sử dụng lý thuyết vành để đặc trưng module nội xạ

Lý thuyết vành cung cấp nhiều công cụ hữu ích để đặc trưng module nội xạ. Ví dụ, các tính chất của vành cơ sở như tính chất Noether, tính chất Artin, hoặc tính chất di truyền có thể ảnh hưởng đến tính chất nội xạ của các module trên vành đó. Nghiên cứu mối liên hệ giữa các tính chất của vành và các tính chất của module nội xạ là một hướng nghiên cứu quan trọng. Ví dụ, một vành di truyền sẽ có các tính chất module nội xạ khác với một vành Noether.

3.2. Phương pháp đại số đồng điều trong nghiên cứu tính nội xạ

Phương pháp đại số đồng điều là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu tính nội xạ của module. Các khái niệm như Ext functor, Tor functor, và độ phân giải xạ ảnh có thể được sử dụng để đặc trưng các module nội xạ và các dạng mở rộng nội xạ. Phương pháp này cho phép chúng ta tiếp cận bài toán từ một góc độ trừu tượng hơn và khám phá ra các mối liên hệ sâu sắc giữa các đối tượng đại số. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp đại số đồng điều đòi hỏi kiến thức vững chắc về lý thuyết phạm trù và đại số.

IV. Ứng Dụng Mở Rộng Nội Xạ Trong Lý Thuyết Vành Module

Mở rộng nội xạ và điều kiện C2 có nhiều ứng dụng trong lý thuyết vành và lý thuyết module. Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này có thể được sử dụng để phân loại các vành và module, xây dựng các ví dụ và phản ví dụ, và giải quyết các bài toán cụ thể trong đại số. Đặc biệt, việc nghiên cứu các ứng dụng của mở rộng nội xạ trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán là một hướng nghiên cứu tiềm năng. Ví dụ, kết quả về mở rộng nội xạ có thể được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc của các vành Artin và vành Noether.

4.1. Ứng dụng vào phân loại vành và module

Các kết quả về mở rộng nội xạ và điều kiện C2 có thể được sử dụng để phân loại các vành và module dựa trên các tính chất đại số của chúng. Ví dụ, có thể phân loại các vành dựa trên tính chất nội xạ của các module trên vành đó. Tương tự, có thể phân loại các module dựa trên các dạng mở rộng nội xạ mà chúng thỏa mãn. Việc phân loại này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của các vành và module và tìm ra các mối liên hệ giữa chúng.

4.2. Giải quyết các bài toán cụ thể trong đại số

Mở rộng nội xạ và điều kiện C2 có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán cụ thể trong đại số. Ví dụ, có thể sử dụng các kết quả về mở rộng nội xạ để chứng minh sự tồn tại hoặc duy nhất của các đối tượng đại số nhất định, hoặc để tính toán các bất biến đại số. Việc áp dụng các kết quả lý thuyết vào các bài toán cụ thể giúp chúng ta kiểm chứng tính đúng đắn của các kết quả đó và khám phá ra các ứng dụng mới.

V. Kết Luận Tiềm Năng Phát Triển Của Nghiên Cứu Nội Xạ C2

Nghiên cứu về mở rộng nội xạ với điều kiện C2 là một lĩnh vực đầy tiềm năng và hứa hẹn. Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này có thể có tác động lớn đến lý thuyết vành, lý thuyết module, và các lĩnh vực khác của đại số. Việc tiếp tục nghiên cứu và phát triển lĩnh vực này sẽ mang lại nhiều kiến thức mới và ứng dụng quan trọng. Cần có sự hợp tác giữa các nhà toán học trên toàn thế giới để giải quyết các vấn đề còn tồn đọng và khám phá ra các hướng nghiên cứu mới. Các nhà nghiên cứu trẻ được khuyến khích tham gia vào lĩnh vực này để đóng góp vào sự phát triển của đại số.

5.1. Các hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai

Có nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai liên quan đến mở rộng nội xạ với điều kiện C2. Một hướng là nghiên cứu các dạng mở rộng nội xạ mới và khám phá ra các tính chất của chúng. Một hướng khác là nghiên cứu mối liên hệ giữa mở rộng nội xạ và các khái niệm khác trong đại số, chẳng hạn như tính chất quasi-injective, tính chất CS, và tính chất continuous. Việc nghiên cứu các ứng dụng của mở rộng nội xạ trong các lĩnh vực khác của toán học và khoa học cũng là một hướng nghiên cứu quan trọng.

5.2. Tầm quan trọng của việc hợp tác quốc tế

Nghiên cứu về mở rộng nội xạ với điều kiện C2 là một lĩnh vực phức tạp và đòi hỏi sự hợp tác giữa các nhà toán học trên toàn thế giới. Việc chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm, và kết quả nghiên cứu giữa các nhà toán học sẽ giúp đẩy nhanh tiến độ nghiên cứu và giải quyết các vấn đề khó khăn. Các hội nghị, hội thảo, và chương trình trao đổi học thuật quốc tế đóng vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy sự hợp tác này.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực đại số và lý thuyết số, môđun nội xạ và các mở rộng của nó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc vành và môđun. Từ năm 1988, các khái niệm như môđun hầu như M-nội xạ, môđun π-nội xạ, CS-môđun đã được phát triển và mở rộng, tạo nền tảng cho nhiều nghiên cứu sâu rộng về cấu trúc đại số. Luận văn tập trung nghiên cứu mở rộng nội xạ với điều kiện C2, một điều kiện quan trọng liên quan đến tính chất hạng tử trực tiếp của môđun. Mục tiêu chính là khảo sát các đặc trưng của môđun nội xạ và môđun thỏa mãn điều kiện (C), từ đó áp dụng để đặc trưng các loại vành như vành chính quy, vành Artin nửa đơn, vành di truyền, vành Noether và vành nửa Artin.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các môđun phải trên vành, đặc biệt là các môđun nội xạ và các mở rộng của chúng trong điều kiện C2, với các ví dụ minh họa cụ thể và các chứng minh lý thuyết chi tiết. Ý nghĩa của nghiên cứu không chỉ nằm ở việc phát triển lý thuyết môđun mà còn góp phần làm rõ cấu trúc vành, hỗ trợ các ứng dụng trong toán học thuần túy và các lĩnh vực liên quan.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình nghiên cứu sau:

• Lý thuyết vành, iđêan và linh hóa tử: Cung cấp nền tảng về cấu trúc đại số của vành, các loại iđêan (trái, phải, hai chiều) và khái niệm linh hóa tử mịn, giúp phân tích các tính chất của môđun nội xạ.
• Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh: Khái niệm nội xạ được định nghĩa qua khả năng mở rộng đồng cấu từ môđun con lên toàn bộ môđun, trong khi môđun xạ ảnh liên quan đến tính chất tồn tại đồng cấu thích hợp giữa các môđun. Các tính chất như (C1), (C2), (C3) được sử dụng để phân loại và đặc trưng môđun.
• Điều kiện C2 và điều kiện (C): Điều kiện C2 yêu cầu mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun cũng phải là hạng tử trực tiếp, trong khi điều kiện (C) là một mở rộng của C2, liên quan đến các đồng cấu có lũy thừa không bằng 0 và đặc trưng hạng tử trực tiếp của ảnh và nhân.
• Môđun Rickart và d-Rickart: Các môđun này được đặc trưng qua các tính chất của nhân và ảnh của các đồng cấu tự đồng cấu, liên quan đến vành chính quy.

Các khái niệm chính bao gồm: vành Artin, vành chính quy, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, CS-môđun, môđun thỏa mãn điều kiện (C), môđun Rickart, môđun d-Rickart.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp lý thuyết, dựa trên việc tổng hợp, phân tích và chứng minh các định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan đến môđun nội xạ và các điều kiện mở rộng. Nguồn dữ liệu chính là các tài liệu chuyên ngành, bài báo khoa học và các công trình nghiên cứu trước đây trong lĩnh vực đại số và môđun.

Phân tích tập trung vào việc xây dựng các chứng minh chặt chẽ cho các đặc trưng của môđun nội xạ và môđun thỏa mãn điều kiện (C), đồng thời khảo sát các ví dụ minh họa cụ thể như môđun trên vành ma trận, môđun con và các đồng cấu đặc biệt. Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2020, với sự hướng dẫn khoa học của TS. Hoàng Đình Hải tại Trường Đại học Hồng Đức.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Mối quan hệ giữa môđun nội xạ và điều kiện C2: Mọi môđun nội xạ đều thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2). Điều kiện (C2) đảm bảo rằng nếu một môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp thì nó cũng là hạng tử trực tiếp, tạo ra một lớp môđun mở rộng so với môđun nội xạ truyền thống.

2. Môđun thỏa mãn điều kiện (C) là mở rộng của môđun C2: Mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện (C), nhưng ngược lại không phải môđun thỏa mãn điều kiện (C) nào cũng là môđun C2. Ví dụ minh họa trên vành ma trận cho thấy tồn tại môđun thỏa mãn điều kiện (C) nhưng không phải môđun C2.

3. Đặc trưng vành qua môđun thỏa mãn điều kiện (C):

   • Vành di truyền phải được đặc trưng bởi việc mọi môđun thương của môđun nội xạ phải là môđun thỏa mãn điều kiện (C).
   • Vành Noether phải tương ứng với việc mọi môđun nội xạ là Σ-nội xạ, và môđun thỏa mãn điều kiện Σ-(C) tương ứng với các tổng trực tiếp đếm được của các bản sao môđun thỏa mãn điều kiện (C).

4. Mối liên hệ giữa môđun Rickart, d-Rickart và vành chính quy:

   • Môđun Rickart được đặc trưng bởi tính chất nhân của các đồng cấu là hạng tử trực tiếp, trong khi môđun d-Rickart liên quan đến ảnh của các đồng cấu.
   • Vành chính quy tương đương với việc môđun phải là d-Rickart và mọi ảnh của đồng cấu là M-nửa xạ ảnh.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên cho thấy điều kiện (C) là một công cụ mạnh mẽ để mở rộng và làm rõ các tính chất của môđun nội xạ, đồng thời liên kết chặt chẽ với cấu trúc của vành. Việc chứng minh các điều kiện tương đương trong môđun thỏa mãn điều kiện (C) giúp hiểu sâu hơn về cách các đồng cấu ảnh hưởng đến cấu trúc môđun.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi nghiên cứu từ môđun nội xạ truyền thống sang các môđun thỏa mãn điều kiện (C), đồng thời cung cấp các ví dụ cụ thể để minh họa sự khác biệt giữa các lớp môđun này. Các biểu đồ giao hoán và phép chiếu được sử dụng để minh họa các đồng cấu và mối quan hệ giữa các môđun con, giúp trực quan hóa các chứng minh.

Ý nghĩa của các kết quả không chỉ nằm trong lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong việc phân loại vành, đặc biệt là các loại vành quan trọng như vành chính quy, vành Noether và vành di truyền, góp phần phát triển lý thuyết đại số hiện đại.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển lý thuyết môđun thỏa mãn điều kiện (C): Tiếp tục nghiên cứu các tính chất sâu hơn của môđun thỏa mãn điều kiện (C), đặc biệt là các điều kiện mở rộng hơn hoặc các điều kiện liên quan đến các loại môđun khác như môđun Rickart, d-Rickart để hoàn thiện khung lý thuyết.

2. Ứng dụng vào phân loại vành: Áp dụng các đặc trưng môđun thỏa mãn điều kiện (C) để phân loại các loại vành phức tạp hơn, như vành Artin nửa đơn, vành nửa Artin, nhằm mở rộng phạm vi ứng dụng trong đại số và lý thuyết môđun.

3. Xây dựng ví dụ và counterexample thực tế: Tạo lập các ví dụ cụ thể và các trường hợp phản ví dụ để minh họa rõ ràng sự khác biệt giữa các lớp môđun nội xạ, môđun C2 và môđun thỏa mãn điều kiện (C), giúp người học và nghiên cứu dễ dàng tiếp cận và hiểu sâu.

4. Phát triển phần mềm hỗ trợ tính toán môđun: Đề xuất xây dựng các công cụ tính toán và kiểm tra các tính chất của môđun nội xạ và môđun thỏa mãn điều kiện (C) trên máy tính, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy trong lĩnh vực đại số.

Các giải pháp trên nên được thực hiện trong vòng 2-3 năm tới, với sự phối hợp giữa các nhà nghiên cứu đại số, các giảng viên và sinh viên cao học tại các trường đại học có chuyên ngành toán học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc về môđun nội xạ và các điều kiện mở rộng, giúp các học viên phát triển kiến thức chuyên sâu và chuẩn bị cho các nghiên cứu tiếp theo.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu đại số: Các kết quả và phương pháp chứng minh trong luận văn là tài liệu tham khảo quý giá để giảng dạy và nghiên cứu về môđun, vành và lý thuyết đại số hiện đại.

3. Chuyên gia phát triển phần mềm toán học: Những đặc trưng và điều kiện môđun được trình bày chi tiết có thể hỗ trợ trong việc phát triển các thuật toán và phần mềm tính toán đại số, đặc biệt trong lĩnh vực môđun và vành.

4. Sinh viên đại học chuyên ngành Toán học: Những kiến thức cơ bản và nâng cao về vành, iđêan, môđun nội xạ và các điều kiện liên quan giúp sinh viên mở rộng hiểu biết và chuẩn bị cho các khóa học chuyên sâu hoặc nghiên cứu khoa học.

Câu hỏi thường gặp

1. Môđun nội xạ là gì và tại sao nó quan trọng?
   Môđun nội xạ là môđun mà mọi đồng cấu từ môđun con có thể mở rộng thành đồng cấu trên toàn bộ môđun. Điều này giúp phân tích cấu trúc môđun và vành, hỗ trợ trong việc phân loại và nghiên cứu các tính chất đại số phức tạp.

2. Điều kiện C2 có ý nghĩa gì trong nghiên cứu môđun?
   Điều kiện C2 đảm bảo rằng mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun cũng là hạng tử trực tiếp, giúp mở rộng lớp môđun nội xạ và tạo điều kiện thuận lợi cho việc phân tích cấu trúc môđun.

3. Môđun thỏa mãn điều kiện (C) khác gì so với môđun C2?
   Môđun thỏa mãn điều kiện (C) là một mở rộng của môđun C2, cho phép tồn tại các đồng cấu có lũy thừa không bằng 0 mà ảnh và nhân vẫn giữ tính chất hạng tử trực tiếp, mở rộng phạm vi ứng dụng và nghiên cứu.

4. Làm thế nào để xác định một vành là vành chính quy qua môđun?
   Một vành được gọi là chính quy nếu vành các tự đồng cấu của môđun phải là vành chính quy, tức là nhân và ảnh của mọi đồng cấu là hạng tử trực tiếp, tương ứng với môđun phải là d-Rickart và M-nửa xạ ảnh.

5. Ứng dụng thực tế của nghiên cứu môđun nội xạ và điều kiện (C) là gì?
   Ngoài việc phát triển lý thuyết đại số, nghiên cứu này hỗ trợ trong việc phân loại vành, phát triển các thuật toán tính toán đại số, và có thể ứng dụng trong các lĩnh vực như mã hóa, lý thuyết điều khiển và khoa học máy tính.

Kết luận

• Luận văn đã làm rõ các đặc trưng của môđun nội xạ và mở rộng với điều kiện C2, đồng thời giới thiệu môđun thỏa mãn điều kiện (C) như một lớp môđun mở rộng quan trọng.
• Các điều kiện (C1), (C2), (C3) được chứng minh là cơ sở để phân loại và đặc trưng các môđun nội xạ, môđun tựa liên tục và CS-môđun.
• Mối liên hệ giữa môđun Rickart, d-Rickart và vành chính quy được làm rõ, góp phần vào việc phân loại vành qua cấu trúc môđun.
• Các kết quả nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, hỗ trợ phát triển lý thuyết đại số và ứng dụng trong toán học hiện đại.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo nhằm mở rộng và ứng dụng các kết quả đã đạt được, đồng thời khuyến khích phát triển công cụ hỗ trợ tính toán môđun.

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho các nhà nghiên cứu, giảng viên và học viên trong lĩnh vực đại số và lý thuyết môđun, đồng thời mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong tương lai.